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A´LGEBRA LINEAR Pedro Resende Departamento de Matema´tica, Instituto Superior Te´cnico, Lisboa, Portugal 2010/2011 Capı´tulo 1 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA 1. L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. 2. G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 1988, 3a. ed., Academic Press. 3. S. Lipschutz, A´lgebra Linear, 1994, Schaum’s Outline Series. McGraw-Hill. 4. T.M. Apostol, Ca´lculo, 1994, Vols. I e II. Reverte´. 5. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 2003, Wellesley–Cambridge Press. 6. H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra — Applications Version, 1994, John Wiley & Sons. HORA´RIOS DE DU´VIDAS Sera˜o afixados em breve na pa´gina da cadeira, na barra lateral esquerda com o tı´tulo “Hora´rios de Du´vidas”. AVALIAC¸A˜O TESTE 1: Nas aulas da 5a semana (18–23/10), com 40 minutos de durac¸a˜o. TESTE 2: Sa´bado, 4/12/2010, com 50 minutos de durac¸a˜o. TESTE 3: Sa´bado, 8/1/2011, com 90 minutos de durac¸a˜o. Os treˆs testes sa˜o classificados com nu´meros inteiros de 0 a 20, respectivamente T1, T2 e T3. A classificac¸a˜o geral e´ o nu´mero inteiro T de 0 a 20 que resulta de arredondar o valor 2T1+3T2+5T3 10 . AVALIAC¸A˜O PROVAS DE RECUPERAC¸A˜O: No dia 25/1/2011 havera´ uma prova escrita de recuperac¸a˜o, com durac¸a˜o ma´xima de 3 horas. Os alunos que se apresentarem a esta prova recebera˜o um enunciado correspondente a toda a mate´ria, dividido em duas partes. As classificac¸o˜es da primeira parte e da segunda parte sa˜o nu´meros inteiros R12 e R3, respectivamente, ambos de 0 a 20, havendo duas opc¸o˜es de recuperac¸a˜o: AVALIAC¸A˜O RECUPERAC¸A˜O PARCIAL: O aluno entrega a prova ao fim de um tempo ma´ximo igual a 90 minutos e assinala qual das duas partes deve ser classificada: I Se assinalar a primeira parte, no ca´lculo de T o valor 2T1+3T2 e´ substituı´do por 5R12, se este for superior; I Se assinalar a segunda parte, no ca´lculo de T o valor T3 e´ substituı´do por R3, se este for superior. RECUPERAC¸A˜O TOTAL: O aluno assinala ambas as partes e ambas sa˜o classificadas. O valor T e´ substituı´do pela me´dia arredondada de R12 e R3, se esta for superior. AVALIAC¸A˜O INSCRIC¸O˜ES NAS PROVAS ESCRITAS: Havera´, para cada prova escrita, um perı´odo de inscric¸a˜o (no fe´nix), o qual decorrera´ durante a semana da prova (que sera´ sempre num sa´bado) desde as 8:00 de 2a feira ate´ ao meio dia da 4a feira. Todos os alunos que pretendem fazer uma prova escrita devem inscrever-se, a fim de que seja feita uma previsa˜o correcta do nu´mero de salas necessa´rias e assim na˜o venham a faltar lugares para todos. A inscric¸a˜o na˜o e´ vinculativa: se um aluno se inscrever e por qualquer raza˜o tiver de faltar a` prova na˜o sofre qualquer penalizac¸a˜o. Mas, pelo contra´rio, se um aluno na˜o se inscrever podera´ ver-se impedido de realizar a prova. AVALIAC¸A˜O AVALIAC¸A˜O CONTI´NUA: Durante o semestre sera´ avaliada a resoluc¸a˜o de problemas pelos alunos nas aulas de problemas. A classificac¸a˜o final desta componente e´ um nu´mero inteiro P ∈ {0,1,2} que contribui com uma bonificac¸a˜o para a nota global N de acordo com a tabela seguinte: I Se T ≤ 9 enta˜o N = T+P; I Se 10≤ T ≤ 13 enta˜o N = T+ dP/2e; I Se 14≤ T ≤ 15 enta˜o N = T+ bP/2c; I Se 16≤ T enta˜o N = T. AVALIAC¸A˜O PROVA ORAL: Se N ≥ 18 o aluno pode fazer uma prova oral (facultativa) em data a combinar oportunamente com o responsa´vel da cadeira. A classificac¸a˜o da prova oral e´ um nu´mero inteiro de 0 a 20. APROVAC¸A˜O E CLASSIFICAC¸A˜O FINAL: Se tiver havido prova oral, a classificac¸a˜o final F sera´ a da prova oral. Caso contra´rio a classificac¸a˜o final sera´ F = min{17,N}. Ha´ aprovac¸a˜o na cadeira se e so´ se T3 ≥ 8 e F ≥ 10. INI´CIO DAS AULAS As aulas iniciam-se pontualmente 10 minutos depois da hora indicada no hora´rio. PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES EXPRESSO˜ES LINEARES: I x+ y−3z I 5z−2x I 2y EXPRESSO˜ES NA˜O LINEARES: I 5x2+ y I xyz I 3 SISTEMA DE EQUAC¸O˜ES LINEARES: 2y+2z = 6 x+2y− z = 1 x+ y+ z = 4 I Me´todo da substituic¸a˜o I Me´todo da reduc¸a˜o ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS FIGURA: O alema˜o Carl Friedrich Gauss (30/04/1777 – 23/02/1855), considerado por muitos um dos mais geniais matema´ticos de sempre. ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS 2y + 2z = 6 x + 2y − z = 1 x + y + z = 4 x + 2y − z = 1 2y + 2z = 6 (Permuta´mos a primeira e a segunda equac¸o˜es.) x + y + z = 4 x + 2y − z = 1 2y + 2z = 6 (Subtraı´mos a primeira equac¸a˜o da terceira.) −y + 2z = 3 ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS x + 2y − z = 1 y + z = 3 (Dividimos por 2 ambos os la- dos da segunda equac¸a˜o.) −y + 2z = 3 x + 2y − z = 1 y + z = 3 (Adiciona´mos a segunda equac¸a˜o a` terceira.) 3z = 6 x = 1 y = 1 (Aplica´mos o me´todo da substituic¸a˜o.) z = 2 ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES 2y + 2z = 6 x + 2y − z = 1 x + y + z = 4 0x + 2y + 2z = 6 1x + 2y + (−1)z = 1 1x + 1y + 1z = 4 0 2 2 61 2 −1 1 1 1 1 4 I Este quadro designa-se por matriz. ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES 2y + 2z = 6 x + 2y − z = 1 x + y + z = 4 Matriz aumentada do sistema: 0 2 2 61 2 −1 1 1 1 1 4 Matriz dos coeficientes do sistema: 0 2 21 2 −1 1 1 1 Matriz dos termos independentes do sistema: 61 4 ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES 0 2 2 61 2 −1 1 1 1 1 4 → 1 2 −1 10 2 2 6 1 1 1 4 → 1 2 −1 10 2 2 6 0 −1 2 3 → 1 2 −1 10 1 1 3 0 −1 2 3 → 1 2 −1 10 1 1 3 0 0 3 6 → x + 2y − z = 1 y + z = 3 3z = 6 ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES 1. Podem permutar-se linhas da matriz aumentada sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere. 2. Pode adicionar-se a uma linha um mu´ltiplo de outra linha (distinta) sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere. 3. Pode multiplicar-se uma linha por um nu´mero diferente de zero sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere. NU´MEROS COMPLEXOS I Os nu´meros que surgem nos sistemas de equac¸o˜es lineares e nas correspondentes matrizes podem ser de va´rios tipos. I Nesta disciplina vamos sobretudo considerar os nu´meros racionais, os reais e os complexos. I Os nu´meros racionais sa˜o representados por fracc¸o˜es m/n em que m e n sa˜o nu´meros inteiros. I Os nu´meros reais sa˜o definidos a partir dos racionais e incluem nu´meros como pi = 3,141592654..., e= 2,71828..., etc., e ha´ va´rias formas de os definir (uma sera´ vista em CDI-I). I Os nu´meros complexos sa˜o representados por pares de nu´meros reais: o nu´mero (a,b) e´ usualmente representado na forma z= a+ ib, onde a e´ a parte real de z e b e´ a parte imagina´ria de z. NU´MEROS COMPLEXOS Podemos tambe´m representar o nu´mero complexo z= a+ ib geometricamente no plano de Argand, em que a parte real e´ a abcissa e a parte imagina´ria e´ a ordenada (coordenadas cartesianas): NU´MEROS COMPLEXOSI Soma, subtracc¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros complexos: (a+ ib)+(c+ id) = (a+ c)+ i(b+d) (a+ ib)− (c+ id) = (a− c)+ i(b−d) (a+ ib)(c+ id) = (ac−bd)+ i(ad+bc) (Ana´logo a operac¸o˜es com polino´mios a+bx e c+dx, onde x e´ substituı´do por i e temos i2 =−1.) I Divisa˜o de nu´meros complexos: a+ ib c+ id = (a+ ib)(c− id) (c+ id)(c− id) = ac+bd c2+d2 + i bc−ad c2+d2 . I w= c− id e´ o conjugado de w= c+ id. I Na divisa˜o usa´mos a igualdade ww= |w|2, onde |w|=√c2+d2 e´ o mo´dulo de w. NU´MEROS COMPLEXOS A representac¸a˜o do nu´mero complexo z= a+ ib pode tambe´m ser em coordenadas polares, com a= r cosθ e b= r senθ (r = |z|): NU´MEROS COMPLEXOS Neste caso z e´ definido pela operac¸a˜o de exponenciac¸a˜o de nu´meros complexos: z= reiθ (no ensino secunda´rio era usual a notac¸a˜o r cisθ , onde “cis” corresponde a “cos ...isen”). Multiplicac¸a˜o e divisa˜o de nu´meros complexos em coordenadas polares:( r1eiθ1 )( r2eiθ2 ) = (r1r2)ei(θ1+θ2)( r1eiθ1 ) / ( r2eiθ2 ) = (r1/r2)ei(θ1−θ2) NU´MEROS COMPLEXOS I Os conjuntos dos nu´meros racionais, dos nu´meros reais e dos nu´meros complexos denotam-se por Q, R e C, respectivamente. I Munidos das operac¸o˜es alge´bricas de soma, multiplicac¸a˜o, divisa˜o, etc., teˆm a estrutura de um corpo alge´brico. (Voltaremos a ver esta noc¸a˜o mais a` frente.) I O corpo C distingue-se de Q e de R pelo facto de ser completo. Por outras palavras, verifica-se o Teorema Fundamental da A´lgebra: Vamos rever o Teorema Fundamental da A´lgebra: TEOREMA Qualquer polino´mio com coeficientes complexos e grau maior ou igual a 1 tem pelo menos uma raiz complexa. COROLA´RIO Para qualquer polino´mio p(z) = a0+a1z+ · · ·anzn de coeficientes complexos com n≥ 1 existem z1, . . . ,zn ∈ C tais que p(z) = an(z− z1) · · ·(z− zn) . NOTA z1, . . . ,zn sa˜o as raı´zes do polino´mio. Para cada i, o nu´mero de factores em que ocorre a raiz zi e´ a multiplicidade dessa raiz. Capı´tulo 2 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Secc¸o˜es 1.2,1.5 e o inı´cio de 1.3. REVISA˜O 2y + 2z = 6 x + 2y − z = 1 x + y + z = 4 Matriz aumentada do sistema: 0 2 2 61 2 −1 1 1 1 1 4 Matriz dos coeficientes do sistema: 0 2 21 2 −1 1 1 1 Matriz dos termos independentes do sistema: 61 4 ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES 0 2 2 61 2 −1 1 1 1 1 4 → 1 2 −1 10 2 2 6 1 1 1 4 → 1 2 −1 10 2 2 6 0 −1 2 3 → 1 2 −1 10 1 1 3 0 −1 2 3 → 1 2 −1 10 1 1 3 0 0 3 6 → x + 2y − z = 1 y + z = 3 3z = 6 ENTRADAS DUMA MATRIZ I A= 2 1 4 26 1 0 −10 −1 2 −10 −4 I A= a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 I aij e´ a entrada da linha i e da coluna j. I a23 = 0, a34 =−4, etc. I Exemplo: linha 2 = [6 1 0 −10] I Exemplo: coluna 2 = 11 2 ME´TODO DA ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS COM MATRIZES REGRA DA PERMUTAC¸A˜O: Podem permutar-se linhas da matriz aumentada sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere. REGRA DA ELIMINAC¸A˜O: Pode adicionar-se a uma linha um mu´ltiplo de outra linha (distinta) sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere. REGRA DA MULTIPLICAC¸A˜O: Pode multiplicar-se uma linha por um nu´mero diferente de zero sem que a soluc¸a˜o do sistema se altere. REGRA DA ELIMINAC¸A˜O 2x + y + 4z = 2 6x + y = −10 −x + 2y − 10z = −4 I Matriz aumentada do sistema: 2 1 4 26 1 0 −10 −1 2 −10 −4 I Pivot = 2 I Adicionar a` segunda linha −6 2 × (primeira linha) = [−6 −3 −12 −6] : I 2 1 4 20 −2 −12 −16 −1 2 −10 −4 REGRA DA ELIMINAC¸A˜O 2 1 4 20 −2 −12 −16 −1 2 −10 −4 I Pivot = 2 I Adicionar a` terceira linha −(−1) 2 × (primeira linha) = [ 1 1 2 2 1 ] : I 2 1 4 20 −2 −12 −16 0 52 −8 −3 REGRA DA ELIMINAC¸A˜O 2 1 4 20 −2 −12 −16 0 52 −8 −3 I Segundo pivot = -2 I Adicionar a` terceira linha −(5/2) (−2) × (segunda linha) = [ 0 − 5 2 −15 −20 ] : I 2 1 4 20 −2 −12 −16 0 0 −23 −23 I O processo de eliminac¸a˜o terminou (o terceiro pivot teria sido −23). I Um pivot e´ necessariamente diferente de zero! ESBOC¸O DE ALGORITMO (INSUFICIENTE) I Seja A a matriz aumentada dum sistema. I Se a11 6= 0 escolhe-se a11 como pivot para obter uma nova matriz B com b21 = b31 = . . .= 0. I Se b22 6= 0 escolher b22 como pivot para obter uma nova matriz C com c32 = c42 = . . .= 0. I Se c33 6= 0 escolher c33 como pivot, etc. I Se alguma entrada que queremos usar como pivot for nula podemos recorrer a` regra da permutac¸a˜o para tentar obter um pivot va´lido. I A regra da multiplicac¸a˜o e´ teoricamente desnecessa´ria mas serve para simplificar os ca´lculos (e a`s vezes para minorar problemas nume´ricos com arredondamentos). I Um pivot na˜o tem de ser uma entrada aij com i= j como nos exemplos anteriores: A= 2 1 4 20 0 −1 −10 0 0 1 −4 → 2 1 4 20 0 −1 −10 0 0 0 −14 (A eliminac¸a˜o terminou e os pivots sa˜o 2, −1 e −14.) I Neste caso a regra da permutac¸a˜o na˜o permite obter uma matriz com um pivot na posic¸a˜o i= j= 2. I O objectivo da eliminac¸a˜o de Gauss e´ obter uma matriz na forma de “escada de linhas”, como veremos de seguida. DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz com m linhas e n colunas. Para cada i seja zi o nu´mero total de zeros consecutivos a contar da esquerda na linha i (ou seja, o maior nu´mero em {0, . . . ,n} tal que aij = 0 para qualquer j ∈ {0, . . . ,zi}). Diz-se que A tem a forma de escada de linhas, ou que e´ uma matriz em escada de linhas, se para quaisquer i,k ∈ {1, . . . ,m} tais que i< k enta˜o: I se zi = n enta˜o zk = n e I se zi < n enta˜o zi < zk. EXEMPLO A matriz 0 2 1 4 2 0 0 0 −1 −10 0 0 0 0 −14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 esta´ na forma de escada de linhas: z1 = 1 z2 = 3 z3 = 4 z4 = 5 (= nu´mero de colunas) z5 = 5 ALGORITMO I Seja A uma matriz. Se z1 ≤ zi para qualquer linha i enta˜o o primeiro pivot e´ a1j com j= z1+1. I Em caso contra´rio, primeiro permuta-se a linha 1 com uma linha i que tenha zi mı´nimo e so´ depois se escolhe o pivot da primeira linha. I Aplica-se a regra da eliminac¸a˜o com o primeiro pivot a todas as linhas por forma a obter uma matriz B. I Se z2 ≤ zi para qualquer linha i> 2 de B enta˜o o segundo pivot e´ b2j com j= z2+1. I Em caso contra´rio, primeiro permuta-se a linha 2 de B com uma linha i> 2 que tenha zi mı´nimo e so´ depois se escolhe o pivot da segunda linha. I Assim por diante ate´ obter uma matriz na forma de escada de linhas. EXEMPLO / CARACTERI´STICA DE UMA MATRIZ A= 0 2 2 6 1 2 −1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 → 1 2 −1 1 0 2 2 6 1 1 1 4 1 1 1 1 → 1 2 −1 1 0 2 2 6 0 −1 2 3 0 −1 2 0 → 1 2 −1 1 0 2 2 6 0 0 3 6 0 0 3 3 → 1 2 −1 1 0 2 2 6 0 0 3 6 0 0 0 −3 = B Ha´ quatro pivots: diz-se enta˜o que a matriz B (e, conforme veremos adiante, tambe´m a matriz A) tem caracterı´stica igual a 4 (numa matriz em escada de linhas a caracterı´stica e´ igual ao nu´mero de linhas na˜o nulas, ou seja, que teˆm pelo menos uma entrada na˜o nula). REVISA˜O Um vector de Rn e´ uma lista de n nu´meros reais a= (a1, . . . ,an). Vectores especiais e operac¸o˜es com vectores: I Vector nulo: 0= (0, . . . ,0) I Soma: a+b= (a1+b1, . . . ,an+bn) I Produto por um escalar: ab= (ab1, . . . ,abn) Exemplos: em R2 a interpretac¸a˜o geome´trica e´ a dos vectores no plano: o vector nulo e´ a origem; a soma e´ definida pela regra do paralelogramo; o produto por escalar altera o comprimento e o sentidode um vector mas na˜o a direcc¸a˜o. Ide´m para R3 e vectores no espac¸o. DEFINIC¸A˜O Uma soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es lineares em n inco´gnitas x1, . . . , xn e´ um vector (a1, . . . ,an) ∈ Rn tal que todas as equac¸o˜es sa˜o verdadeiras se se substituir xi por ai para cada i ∈ {1, . . . ,n}. Um sistema diz-se: I possı´vel se tiver pelo menos uma soluc¸a˜o. I determinado se tiver exactamente uma soluc¸a˜o. I indeterminado se tiver mais do que uma soluc¸a˜o. I impossı´vel se na˜o tiver nenhuma soluc¸a˜o. EXEMPLOS Para as seguintes matrizes aumentadas (ja´ na forma de escada de linhas) os respectivos sistemas sa˜o: I 1 2 −1 1 0 2 2 6 0 0 3 6 0 0 0 −3 Impossı´vel — a carac- terı´stica da matriz aumen- tada e´ superior a` da matriz dos coeficientes. I 1 2 −1 1 0 2 2 6 0 0 3 6 0 0 0 0 Determinado (e portanto possı´vel) com soluc¸a˜o (1,1,2) — a caracterı´stica (de ambas as matrizes) e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas. I 1 2 −1 1 0 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 Indeterminado (e portanto possı´vel) SOLUC¸A˜O GERAL DE UM SISTEMA INDETERMINADO 1 2 −1 1 0 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 → x + 2y − z = 1 2y + 2z = 6 0 = 0 0 = 0 A coluna da inco´gnita z (a terceira coluna) na˜o tem nenhum pivot e portanto o valor de z na˜o fica determinado: podemos considerar z uma inco´gnita livre e definir as outras inco´gnitas em func¸a˜o de z, pelo me´todo da substituic¸a˜o:{ x+2(−z+3)− z = 1 y = −z+3 → { x = 3z−5 y = −z+3 O conjunto-soluc¸a˜o do sistema e´ {(x,y,z) ∈ R3 | x= 3z−5, y=−z+3} . DESCRIC¸A˜O PARAME´TRICA DO CONJUNTO-SOLUC¸A˜O O conjunto {(x,y,z) ∈ R3 | x= 3z−5, y=−z+3} e´ o conjunto dos vectores da forma (3z−5,−z+3,z)= (3z,−z,z)+(−5,3,0)= z(3,−1,1)+(−5,3,0) . A inco´gnita livre z e´ um paraˆmetro (neste caso u´nico) em func¸a˜o do qual e´ definido o vector. 1 2 −1 2 3 1 0 2 2 0 2 6 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 → x1 + 2x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 1 2x2 + 2x3 + 2x5 = 6 + 2x4 + 2x5 = 0 0 = 0 As inco´gnitas livres sa˜o x3 e x5. O grau de indeterminac¸a˜o e´ 2 = nu´mero de inco´gnitas livres = nu´mero de inco´gnitas menos o nu´mero de pivots = nu´mero de colunas da matriz dos coeficientes menos a caracterı´stica (de ambas as matrizes). (Nota: um sistema e´ determinado ⇐⇒ e´ possı´vel com grau de indeterminac¸a˜o = 0.) x1 + 2x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 1 2x2 + 2x3 + 2x5 = 6 + 2x4 + 2x5 = 0 0 = 0 O conjunto-soluc¸a˜o e´ o conjunto dos vectores (x1,x2,x3,x4,x5) ∈ R5 tais que x1 = 3x3+ x5−11 x2 = −x3− x5+6 x4 = −x5 Na forma parame´trica ha´ dois paraˆmetros, x3 e x5: ( x1︷ ︸︸ ︷ 3x3+ x5−11, x2︷ ︸︸ ︷ −x3− x5+6, x3, x4︷︸︸︷−x5 , x5) = x3(3, −1, 1, 0, 0) + x5(1, −1, 0, −1, 1) + (−11, 6, 0, 0, 0) PROPOSIC¸A˜O Qualquer sistema indeterminado tem infinitas soluc¸o˜es. Capı´tulo 3 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Secc¸a˜o 1.3. COMPLEMENTO DA AULA PASSADA DEFINIC¸A˜O Um sistema diz-se homoge´neo se os termos independentes forem todos nulos, ou seja, se a matriz aumentada for da forma seguinte: a11 · · · a1n 0... . . . ... 0 am1 · · · amn 0 PROPOSIC¸A˜O Qualquer sistema homoge´neo e´ completamente definido pela matriz dos coeficientes e e´ um sistema possı´vel cujo conjunto-soluc¸a˜o conte´m o vector nulo. Se o sistema for determinado enta˜o a (u´nica) soluc¸a˜o e´ o vector nulo. COMPLEMENTO DA AULA PASSADA TEOREMA Seja A uma matriz e B uma matriz em escada de linhas obtida de A aplicando as treˆs regras do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss por uma ordem arbitra´ria. Qualquer que seja a matriz B assim obtida o nu´mero de pivots e´ sempre o mesmo. DEFINIC¸A˜O A caracterı´stica de uma matriz A e´ o nu´mero de pivots de qualquer matriz em escada de linhas B obtida de A pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss. MAIS TERMINOLOGIA PARA MATRIZES I Uma matriz com m linhas e n colunas A= a11 · · · a1n... . . . ... am1 · · · amn diz-se uma matriz m por n, ou uma matriz de dimensa˜o m×n, ou simplesmente uma matriz m×n. I Se m= n a matriz diz-se quadrada, caso contra´rio diz-se rectangular. I Se a matriz for quadrada a sua diagonal principal e´ a lista (a11, . . . ,ann). I Se m= 1 diz-se que A e´ uma matriz linha. I Se n= 1 diz-se que A e´ uma matriz coluna. I O conjunto de todas as matrizes m×n denota-se por Matm×n. VECTORES COMO MATRIZES COLUNA Ha´ uma correspondeˆncia evidente entre os vectores x= (x1, . . . ,xn) de Rn e as matrizes coluna de dimensa˜o n×1 X = x1... xn . Por esta raza˜o chamaremos tambe´m vectores coluna a`s matrizes coluna e usaremos tanto a notac¸a˜o X de matriz ou a notac¸a˜o x de vector, para este tipo de matrizes, consoante as circunstaˆncias. VECTORES COMO MATRIZES COLUNA SLOGAN Nesta disciplina vamos usar a convenc¸a˜o Rn = Matn×1 . A notac¸a˜o de vector ou a notac¸a˜o de matriz sera˜o escolhidas em func¸a˜o das circunstaˆncias. Em particular os nu´meros reais sa˜o identificados com as matrizes 1×1: R= Mat1×1 . (Tambe´m poderia estabelecer-se uma correspondeˆncia entre vectores e matrizes linha, como e´ o´bvio, mas na˜o adoptaremos essa convenc¸a˜o.) OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES As operac¸o˜es de vectores de Rn (soma e produto por escalar) podem ser definidas para matrizes mais gerais (desde que tenham todas a mesma dimensa˜o): DEFINIC¸A˜O Sejam A e B duas matrizes m×n e seja r ∈ R. Definem-se as matrizes A+B e rA da forma seguinte: A+B = a11+b11 · · · a1n+b1n... . . . ... am1+bm1 · · · amn+bmn rA = ra11 · · · ra1n... . . . ... ram1 · · · ramn NOTAC¸O˜ES ALTERNATIVAS I Usa-se por vezes a notac¸a˜o abreviada [aij] para denotar a matriz A. Com esta notac¸a˜o, a soma e o produto por escalar de matrizes sa˜o definidos por [aij]+ [bij] = [aij+bij] r[aij] = [raij] . I Para qualquer expressa˜o E que represente uma matriz, por exemplo A+(B+3C), a respectiva entrada da linha i e da coluna j e´ usualmente denotada por (E )ij. Em particular tem-se, portanto: (A)ij = aij (A+B)ij = aij+bij (rA)ij = raij . DEFINIC¸A˜O Para qualquer dimensa˜o m×n denota-se por 0 a matriz nula definida por (0)ij = 0, e por −A= (−1)A o sime´trico de A. PROPOSIC¸A˜O As operac¸o˜es com matrizes satisfazem as seguintes propriedades: ASSOCIATIVIDADE DA SOMA: A+(B+C) = (A+B)+C COMUTATIVIDADE DA SOMA: A+B= B+A ELEMENTO NEUTRO DA SOMA: A+0= A ASSOCIATIVIDADE DO PRODUTO POR ESCALAR: (rs)A= r(sA) SIME´TRICO DE UMA MATRIZ: A+(−A) = 0 ELEMENTO ABSORVENTE A` ESQUERDA: 0A= 0 ELEMENTO ABSORVENTE A` DIREITA: r0= 0 (Escrevemos habitualmente A−B em vez de A+(−B).) OPERAC¸O˜ES ENVOLVENDO DIMENSO˜ES DIFERENTES DEFINIC¸A˜O A transposta de uma matriz A m×n e´ a matriz AT n×m definida por (AT)ij = aji . Uma matriz A diz-se: I sime´trica se A= AT ; I anti-sime´trica se A=−AT . PROPOSIC¸A˜O Algumas propriedades: (AT)T = A (A+B)T = AT +BT (rA)T = rAT DEFINIC¸A˜O Sejam A e B duas matrizes, respectivamente de dimenso˜es m×p e p×n. O produto de A por B e´ a matriz AB de dimensa˜o m×n definida da seguinte forma: (AB)ij = p ∑ k=1 aikbkj . O produto AB so´ esta´ definido se o nu´mero de colunas de A for igual ao nu´mero de linhas de B! (AB)ij = p ∑ k=1 aikbkj EXEMPLO Sejam x,y ∈ Rn. O produto interno (ou produto escalar) de x e y (que generaliza o produto escalar de R2 ou R3 visto no ensino secunda´rio) e´ o nu´mero real x · y= x1y1+ . . .+ xnyn = n ∑ i=1 xiyi . Logo, o produto escalar dosvectores coincide com o produto de matrizes xTy= [ x1 · · · xn ] y1... yn . EXEMPLO Seja A uma matriz m×n e seja x ∈ Rn. Enta˜o tem-se Ax= a11x1+ . . .+a1nxn... am1x1+ . . .+amnxn . Logo, o sistema de equac¸o˜es a11x1+ . . .+a1nxn = b1 ... am1x1+ . . .+amnxn = bm e´ equivalente a` equac¸a˜o matricial Ax= b . DEFINIC¸A˜O Para qualquer dimensa˜o n×n denota-se por I a matriz identidade (quadrada) definida por (I)ij = { 0 se i 6= j 1 se i= j PROPOSIC¸A˜O As operac¸o˜es com matrizes satisfazem as seguintes propriedades: ASSOCIATIVIDADE DO PRODUTO: A(BC) = (AB)C DISTRIBUTIVIDADE A` ESQUERDA: A(B+C) = AB+AC DISTRIBUTIVIDADE A` DIREITA: (B+C)A= BA+CA ELEMENTO NEUTRO DO PRODUTO: AI = IA= A ELEMENTO ABSORVENTE: A0= 0A= 0 TRANSPOSTA DUM PRODUTO: (AB)T = BTAT OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE O produto de matrizes na˜o e´ em geral comutativo, pois mesmo para matrizes quadradas da mesma dimensa˜o pode ter-se AB 6= BA:[ 1 0 1 0 ][ 0 0 1 1 ] = 0 6= [ 0 0 2 0 ] = [ 0 0 1 1 ][ 1 0 1 0 ] Nota: existem matrizes A e B na˜o quadradas tais que os produtos AB e BA tambe´m esta˜o ambos definidos (exercı´cio: escreva um exemplo e mostre que se tem necessariamente AB 6= BA). Exercı´cio: Deˆ exemplos de matrizes quadradas A e B distintas, com a mesma dimensa˜o, tais que AB= BA. Capı´tulo 4 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Secc¸o˜es 1.3 e 1.6. REVISA˜O DEFINIC¸A˜O Sejam A e B duas matrizes, respectivamente de dimenso˜es m×p e p×n. O produto de A por B e´ a matriz AB de dimensa˜o m×n definida da seguinte forma: (AB)ij = p ∑ k=1 aikbkj . O produto AB so´ esta´ definido se o nu´mero de colunas de A for igual ao nu´mero de linhas de B! REVISA˜O EXEMPLO Seja A uma matriz m×n e seja x ∈ Rn. O sistema de equac¸o˜es a11x1+ . . .+a1nxn = b1 ... am1x1+ . . .+amnxn = bm e´ equivalente a` equac¸a˜o matricial Ax= b . DEFINIC¸A˜O Para qualquer dimensa˜o n×n denota-se por I a matriz identidade (quadrada) definida por (I)ij = { 0 se i 6= j 1 se i= j PROPOSIC¸A˜O As operac¸o˜es com matrizes satisfazem as seguintes propriedades: ASSOCIATIVIDADE DO PRODUTO: A(BC) = (AB)C DISTRIBUTIVIDADE A` ESQUERDA: A(B+C) = AB+AC DISTRIBUTIVIDADE A` DIREITA: (B+C)A= BA+CA ELEMENTO NEUTRO DO PRODUTO: AI = IA= A ELEMENTO ABSORVENTE: A0= 0A= 0 TRANSPOSTA DUM PRODUTO: (AB)T = BTAT OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE O produto de matrizes na˜o e´ em geral comutativo, pois mesmo para matrizes quadradas da mesma dimensa˜o pode ter-se AB 6= BA:[ 1 0 1 0 ][ 0 0 1 1 ] = 0 6= [ 0 0 2 0 ] = [ 0 0 1 1 ][ 1 0 1 0 ] Nota: existem matrizes A e B na˜o quadradas tais que os produtos AB e BA tambe´m esta˜o ambos definidos (exercı´cio: escreva um exemplo e mostre que se tem necessariamente AB 6= BA). Exercı´cio: Deˆ exemplos de matrizes quadradas A e B distintas, com a mesma dimensa˜o, tais que AB= BA. MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por inversa de A uma matriz B (necessariamente da mesma dimensa˜o) tal que AB= BA= I. Uma matriz A para a qual existe inversa diz-se invertı´vel. PROPOSIC¸A˜O 1. Qualquer matriz quadrada A tem quando muito uma matriz inversa. Se existir, a inversa de A e´ denotada por A−1. 2. Se A e B forem invertı´veis enta˜o AB tambe´m e´ e tem-se (AB)−1 = B−1A−1 . 3. Se A for invertı´vel enta˜o AT tambe´m e´ e tem-se (AT)−1 = (A−1)T . APLICAC¸A˜O AOS SISTEMAS DE n EQUAC¸O˜ES LINEARES A n INCO´GNITAS Seja A uma matriz quadrada de dimensa˜o n×n. Se A for invertı´vel enta˜o o sistema linear Ax= b e´ determinado e a soluc¸a˜o e´ x= A−1b . (Note-se a analogia com a soluc¸a˜o x= a−1b da equac¸a˜o ax= b quando a 6= 0.) ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS–JORDAN Seja A uma matriz quadrada n×n. Se o sistema Ax= b for determinado podemos encontrar a soluc¸a˜o usando os passos do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss por forma a transformar a matriz aumentada a11 · · · a1n b1... . . . ... ... an1 · · · ann bn numa com a forma [I | x], onde x e´ a soluc¸a˜o do sistema: 1 · · · 0 x1... . . . ... ... 0 · · · 1 xn RESOLUC¸A˜O SIMULTAˆNEA DE VA´RIOS SISTEMAS Seja A uma matriz dos coeficientes comum a k sistemas diferentes: Ax = b(1) ... Ax = b(k) Podemos fazer a eliminac¸a˜o de Gauss de uma so´ vez numa matriz aumentada que inclui todos os vectores de termos independentes: a11 · · · a1n b (1) 1 · · · b(k)1 ... . . . ... ... . . . ... am1 · · · amn b(1)m · · · b(k)m Capı´tulo 5 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Secc¸a˜o 1.6. REVISA˜O — INVERSAS DE MATRIZES DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por inversa de A uma matriz B (necessariamente da mesma dimensa˜o) tal que AB= BA= I. Uma matriz A para a qual existe inversa diz-se invertı´vel. PROPOSIC¸A˜O Se A for invertı´vel qualquer sistema Ax= b e´ determinado e a soluc¸a˜o e´ dada por x= A−1b. REVISA˜O — ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS–JORDAN Seja A uma matriz quadrada n×n. Se o sistema Ax= b for determinado podemos encontrar a soluc¸a˜o usando os passos do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss por forma a transformar a matriz aumentada a11 · · · a1n b1... . . . ... ... an1 · · · ann bn numa com a forma [I | x], onde x e´ a soluc¸a˜o do sistema: 1 · · · 0 x1... . . . ... ... 0 · · · 1 xn REVISA˜O — RESOLUC¸A˜O DE MU´LTIPLOS SISTEMAS Seja A uma matriz dos coeficientes comum a k sistemas diferentes: Ax = b(1) ... Ax = b(k) Podemos fazer a eliminac¸a˜o de Gauss de uma so´ vez numa matriz aumentada que inclui todos os vectores de termos independentes: a11 · · · a1n b (1) 1 · · · b(k)1 ... . . . ... ... . . . ... am1 · · · amn b(1)m · · · b(k)m Suponha-se que cada um dos sistemas Ax= b(`) e´ possı´vel e tem uma soluc¸a˜o x(`): Ax(1) = b(1) ... Ax(k) = b(k) Enta˜o, sendo X e B as matrizes n× k e m× k definidas por xij = x (j) i e bij = b (j) i , tem-se AX = B . Se A for uma matriz n×n invertı´vel (caso em que todos os sistemas Ax= b sa˜o determinados) podemos resolver os k sistemas de uma so´ vez por eliminac¸a˜o de Gauss–Jordan: a11 · · · a1n b (1) 1 · · · b(k)1 ... . . . ... ... . . . ... an1 · · · ann b(1)n · · · b(k)n → 1 · · · 0 x (1) 1 · · · x(k)1 ... . . . ... ... . . . ... 0 · · · 1 x(1)n · · · x(k)n Mas se A for invertı´vel tambe´m resulta de AX = B que X = A−1B e portanto concluı´mos que a eliminac¸a˜o de Gauss–Jordan produz a seguinte transformac¸a˜o de matrizes: [A | B]→ [I | A−1B] . Em particular, tem-se [A | I]→ [I | A−1] . Podemos assim calcular a matriz inversa de uma forma expedita pelo me´todo de Gauss–Jordan. EXEMPLO Vamos verificar que a matriz A= [ 2 1 2 2 ] tem inversa e vamos calcular A−1. O primeiro passo e´ obter uma matrizem escada de linhas: [ 2 1 1 0 2 2 0 1 ] → [ 2 1 1 0 0 1 −1 1 ] Ha´ dois pivots (2 e 1) e portanto a inversa existe (o sistema AX = I e´ determinado).[ 2 1 1 0 0 1 −1 1 ] → [ 2 0 2 −1 0 1 −1 1 ] → [ 1 0 1 −1/2 0 1 −1 1 ] Portanto tem-se A−1 = [ 1 −1/2 −1 1 ] . DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz quadrada n×n. Se por eliminac¸a˜o de Gauss encontrarmos n pivots para A enta˜o A diz-se na˜o-singular. caso contra´rio diz-se singular. (Por outras palavras, A e´ na˜o-singular se e so´ se a sua caracterı´stica for n.) TEOREMA Seja A uma matriz quadrada n×n. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes: 1. A e´ invertı´vel. 2. A e´ na˜o-singular. OBSERVAC¸O˜ES I Se A for uma matriz quadrada enta˜o o sistema Ax= b e´ determinado se e so´ se qualquer sistema Ax= b′ for determinado. I Esta afirmac¸a˜o e´ falsa para matrizes rectangulares: o sistema que tem a matriz aumentada 1 2 30 2 2 0 0 0 e´ determinado mas 1 2 30 2 2 0 0 1 e´ impossı´vel. MATRIZES ESPECIAIS DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que a matriz A e´ triangular superior se i> j⇒ aij = 0. EXEMPLO I 1 1 10 0 1 0 0 1 e´ triangular superior. I Qualquer matriz quadrada em escada de linhas e´ triangular superior (o exemplo anterior mostra que a afirmac¸a˜o recı´proca e´ falsa). PROPOSIC¸A˜O Uma matriz triangular superior e´ invertı´vel se e so´ se tiver todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero. Nesse caso a inversa tambe´m e´ uma matriz triangular superior. DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que a matriz A e´ I triangular inferior se i< j⇒ aij = 0 (ou seja, AT e´ triangular superior); I elementar se for triangular inferior com todas as entradas da diagonal principal iguais a 1 e apenas uma entrada abaixo da diagonal principal diferente de zero. PROPOSIC¸A˜O Uma matriz triangular superior e´ invertı´vel se e so´ se tiver todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero. Nesse caso a inversa tambe´m e´ uma matriz triangular superior. PROPOSIC¸A˜O A inversa de uma matriz elementar obte´m-se trocando o sinal da u´nica entrada na˜o-nula fora da diagonal principal. EXEMPLO 1 0 00 1 0 2 0 1 −1 = 1 0 00 1 0 −2 0 1 DEFINIC¸A˜O Uma matriz de permutac¸a˜o e´ uma matriz quadrada cujas entradas sa˜o todas 0 ou 1, tal que em cada linha e em cada coluna existe exactamente uma entrada com o valor 1. (Equivalentemente, uma matriz que resulta da matriz identidade por uma permutac¸a˜o das linhas, ou por uma permutac¸a˜o das colunas.) EXEMPLO 0 1 01 0 0 0 0 1 PROPOSIC¸A˜O Se P for uma matriz de permutac¸a˜o enta˜o e´ invertı´vel e tem-se P−1 = PT . Capı´tulo 6 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Capı´tulo 5. MOTIVAC¸A˜O — A´REAS DE PARALELOGRAMOS Dados dois vectores x,y ∈ R2, seja A (x,y) o nu´mero real igual, em mo´dulo, a` a´rea do paralelogramo determinado pelos vectores, com sinal igual ao do seno do aˆngulo formado pelos vectores x e y (por esta ordem) — por exemplo na figura seguinte tem-se A (x,y)> 0: y x ALGUMAS PROPRIEDADES DA FUNC¸A˜O A ANULAC¸A˜O: A (x,x) = 0 ALTERNAˆNCIA: A (x,y) =−A (y,x) NORMALIZAC¸A˜O: A (e1,e2) = 1 ( onde { e1 = (1,0) e2 = (0,1) ) ALGUMAS PROPRIEDADES DA FUNC¸A˜O A LINEARIDADE A` ESQUERDA: A (αx,y) = αA (x,y) A (x+x′,y) = A (x,y)+A (x′,y) Estas duas propriedades sa˜o equivalentes a` seguinte: A (αx+βx′,y) = αA (x,y)+βA (x′,y) Da mesma forma existe linearidade a` direita (respeitante a`s somas e produtos por escalar na segunda varia´vel). O conjunto dos dois tipos de linearidade designa-se por bilinearidade. Volumes de paralelepı´pedos podem ser tratados de forma ana´loga, por meio duma func¸a˜o V que a cada treˆs vectores x,y,z ∈ R3 atribui um nu´mero real V (x,y,z) que em mo´dulo e´ igual ao volume do paralelepı´pedo determinado pelos treˆs vectores. Teremos agora: I Linearidade em cada uma das treˆs varia´veis. I Anulac¸a˜o: V (x,y,z) = 0 se se tiver x= y ou x= z ou y= z. I Alternaˆncia: V (x,y,z) =−V (y,x,z), etc. (o sinal muda sempre que se permutarem duas das varia´veis). I Normalizac¸a˜o: V (e1,e2,e3) = 1, onde e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1). DEFINIC¸A˜O Uma func¸a˜o determinante de ordem n e´ uma func¸a˜o d que a cada n vectores x1, . . . ,xn de Rn atribui um nu´mero real d(x1, . . . ,xn) satisfazendo as condic¸o˜es seguintes: MULTILINEARIDADE: (= linearidade em cada uma das n varia´veis) d(x1, . . . ,αxi, . . . ,xn) = αd(x1, . . . ,xi, . . . ,xn) ; d(x1, . . . ,xi+x′i, . . . ,xn) = d(x1, . . . ,xi, . . . ,xn) + d(x1, . . . ,x′i, . . . ,xn) . ANULAC¸A˜O: d(x1, . . . ,xn) = 0 se existirem i 6= j tais que xi = xj. NORMALIZAC¸A˜O: d(e1, . . . ,en) = 1, onde e1 = (1,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en = (0, . . . ,0,1). A alternaˆncia e´ uma propriedade derivada das anteriores: 0 = d(x1, . . . ,x+ y, . . . ,x+ y, . . . ,xn) (Anul.) = d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn)+d(x1, . . . ,x, . . . ,y, . . . ,xn) +d(x1, . . . ,y, . . . ,x, . . . ,xn)+d(x1, . . . ,y, . . . ,y, . . . ,xn) (Mult.) = d(x1, . . . ,x, . . . ,y, . . . ,xn) +d(x1, . . . ,y, . . . ,x, . . . ,xn) (Anul.) Nota: Na verdade a anulac¸a˜o tambe´m e´ consequeˆncia da alternaˆncia, pois se x ocorre em duas posic¸o˜es diferentes enta˜o trocando x com x nessas duas posic¸o˜es o valor da func¸a˜o determinante na˜o se altera mas a alternaˆncia impo˜e uma mudanc¸a de sinal: d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn) =−d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn) Logo, obtemos 2d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn) = 0 e portanto d(x1, . . . ,x, . . . ,x, . . . ,xn) = 0 . FUNC¸O˜ES DETERMINANTE PARA MATRIZES A nossa identificac¸a˜o de vectores com matrizes coluna permite-nos pensar numa func¸a˜o determinante de ordem n d : Rn× . . .×Rn→ R como uma func¸a˜o definida sobre o conjunto das matrizes n×n: d : Matn×n→ R . Sendo A uma matriz n×n, d(A) e´ o mesmo que d(x1, . . . ,xn) , onde, para cada j, o vector xj e´ a coluna j de A. MATRIZES DE PERMUTAC¸A˜O I Para qualquer func¸a˜o determinante d tem de ter-se d(I) = 1. I Se P for uma matriz de permutac¸a˜o que resulta de I por um nu´mero k de trocas de colunas enta˜o tem de ter-se d(P) = (−1)k. I O nu´mero (−1)k designa-se por paridade da matriz de permutac¸a˜o (qualquer outro nu´mero k′ de permutac¸o˜es que levem de I a P tem de satisfazer (−1)k = (−1)k′ e portanto a noc¸a˜o de paridade esta´ bem definida — a paridade e´ um conceito associado a permutac¸o˜es em geral). PERMUTAC¸O˜ES Seja C = {a1, . . . ,an} um conjunto de n objectos distintos (nu´meros, colunas de uma matriz, etc.). Uma permutac¸a˜o de C e´ uma func¸a˜o bijectiva σ : C→ C . Convencionando uma ordem para os elementos de C, por exemplo (a1, . . . ,an) , podemos representar as permutac¸o˜es σ por outras listas ordenadas de elementos de C: EXEMPLO Seja C = {1,2,3,4}. Adoptando a lista (1,2,3,4) como refereˆncia, a permutac¸a˜o σ : C→ C tal que σ(1) = 3, σ(2) = 4, σ(3) = 1 e σ(4) = 2 e´ representada pela lista (σ(1),σ(2),σ(3),σ(4)) = (3,4,1,2). Notac¸a˜o simplificada: σi em vez de σ(i). PROPOSIC¸A˜O Seja σ uma permutac¸a˜o de {1, . . . ,n} e sejam k e k′ dois nu´meros de trocas de elementos aos pares que transformam a lista (1, . . . ,n) em (σ1, . . . ,σn). Enta˜o ambos os nu´meros k e k′ sa˜o pares ou ambos sa˜o ı´mpares. DEFINIC¸A˜O O nu´mero (−1)k ∈ {−1,1} da proposic¸a˜oanterior designa-se por paridade ou sinal da permutac¸a˜o σ e denota-se por sgn(σ). Se a paridade e´ 1 a permutac¸a˜o diz-se par, caso contra´rio diz-se ı´mpar. EXEMPLO A permutac¸a˜o que transforma (1,2,3,4) em (1,3,4,2) e´ par: (1,2,3,4)→ (1,3,2,4)→ (1,3,4,2) . Da mesma forma dizemos que uma matriz de permutac¸a˜o P e´ par ou ı´mpar quando a permutac¸a˜o das colunas que transforma I em P e´ par ou ı´mpar, respectivamente. Dada uma matriz de permutac¸a˜o P de dimensa˜o n×n seja σ a permutac¸a˜o de C = {1, . . . ,n} tal que para cada j ∈ C a coluna j de P e´ igual a` coluna σj de I. Enta˜o as entradas de P que sa˜o iguais a 1 sa˜o exactamente pσ11, . . . , pσnn . EXEMPLO Seja P= 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 As entradas iguais a 1 sa˜o p31, p12, p23, p44 e portanto a permutac¸a˜o σ corresponde a` lista (3,1,2,4) e e´ par. EXEMPLO Seja A= 0 a12 0 0 0 0 a23 0 a31 0 0 0 0 0 0 a44 e seja σ a mesma permutac¸a˜o do exemplo anterior. Se d for uma func¸a˜o determinante de ordem 4 enta˜o pela multinearidade temos d(A) = a31a12a23a44d(P) = sgn(σ)a31a12a23a44 = a31a12a23a44 . EXEMPLO Seja d uma func¸a˜o determinante de ordem 2. Pela multilinearidade, uma vez que (a11,a21) = a11(1,0)+a21(0,1) e (a12,a22) = a12(1,0)+a22(0,1), temos d ([ a11 a12 a21 a22 ]) = a11a12d ([ 1 1 0 0 ]) + a11a22d ([ 1 0 0 1 ]) + a21a12d ([ 0 1 1 0 ]) + a21a22d ([ 0 0 1 1 ]) = a11a22−a21a12 . OBSERVAC¸O˜ES O exemplo anterior mostra que existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante d de ordem 2. Para cada matriz A de dimensa˜o 2×2 temos d(A) = a11a22−a21a12 . Este resultado permite obter uma fo´rmula simples para a a´rea de um paralelogramo: PROPOSIC¸A˜O A a´rea do paralelogramo determinado por dois vectores x,y ∈ R2 e´ igual a |x1y2− x2y1| . MATRIZES 3×3 Da mesma forma se mostra que para qualquer ordem n existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante d. Por exemplo, se A for uma matriz 3×3 ter-se-a´ d(A) igual a uma soma de seis parcelas (correspondendo a`s seis permutac¸o˜es de treˆs colunas): d(A) = a11a22a33−a11a32a23+a31a12a23 − a31a22a13+a21a32a13−a21a12a33 . PROPOSIC¸A˜O O volume do paralelepı´pedo determinado por treˆs vectores x,y,z ∈ R3 e´ igual a |x1y2z3− x1y3z2+ x3y1z2− x3y2z1+ x2y3z1− x2y1z3| . TEOREMA Para cada n ∈ N existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante d, que e´ definida, para cada matriz A de dimensa˜o n×n, pela fo´rmula seguinte, onde Sn e´ o conjunto das permutac¸o˜es de {1, . . . ,n}: d(A) = ∑ σ∈Sn sgn(σ)aσ11 . . .aσnn . DEFINIC¸A˜O O determinante de uma matriz A de dimensa˜o n×n e´ o valor atribuı´do a` matriz A pela u´nica func¸a˜o determinante de ordem n. Denota-se este valor por detA ou det(A). Outra notac¸a˜o: det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣. EXERCI´CIO Calcule o determinante seguinte:∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 2 1 0 0 3 0 4 0 0 0 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Capı´tulo 7 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Capı´tulo 5. REVISA˜O Uma func¸a˜o determinante de ordem n e´ uma func¸a˜o d que a cada n vectores x1, . . . ,xn de Rn atribui um nu´mero real d(x1, . . . ,xn) satisfazendo as condic¸o˜es de multilinearidade, anulac¸a˜o e normalizac¸a˜o (e em consequeˆncia tambe´m alternaˆncia). Exemplos sa˜o: I a a´rea orientada determinada por dois vectores de R2; I o volume orientado determinado por treˆs vectores de R3. Para qualquer n existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante de ordem n. (Vamos concluir isto hoje.) Pensando em vectores como colunas de matrizes obtemos a noc¸a˜o de determinante de uma matriz quadrada: DEFINIC¸A˜O O determinante de uma matriz A de dimensa˜o n×n e´ o valor atribuı´do a` matriz A pela u´nica func¸a˜o determinante de ordem n. Denota-se este valor por detA ou det(A). Outra notac¸a˜o: det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣. EXERCI´CIO Calcule o determinante seguinte:∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 2 1 0 0 3 0 4 0 0 0 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ TEOREMA Para cada n ∈ N existe uma e uma so´ func¸a˜o determinante det, que e´ definida, para cada matriz A de dimensa˜o n×n, pela fo´rmula seguinte, onde Sn e´ o conjunto das permutac¸o˜es de {1, . . . ,n}: det(A) = ∑ σ∈Sn sgn(σ)aσ11 . . .aσnn . Demonstrac¸a˜o. A unicidade demonstra-se como nos exemplos. Para a existeˆncia demonstramos que det satisfaz os axiomas: Multilinearidade: Suponha-se que a coluna j de A e´ a combinac¸a˜o αx+βy. Todas as parcelas do somato´rio det(A) conteˆm exactamente um factor aσjj da coluna j, que e´ da forma αxσj +βyσj , pelo que se obte´m det(A) = α det(A1)+β det(A2) onde A1 e A2 sa˜o as matrizes que se obte´m de A substituindo a coluna j por x e por y, respectivamente. Demonstrac¸a˜o. (Continuac¸a˜o) Anulac¸a˜o: Se a coluna j e a coluna k de A forem o mesmo vector (mas j 6= k) enta˜o cada parcela aσ11 . . .aσjj . . .aσkk . . .aσnn aparece duas vezes no somato´rio, com sinal trocado: mais precisamente, tem-se aσ11 . . .aσjj . . .aσkk . . .aσnn = aτ11 . . .aτjj . . .aτkk . . .aτnn onde τ e´ igual a σ excepto que τj = σk e τk = σj e, como σ e τ diferem exactamente numa troca, tem-se sgn(τ) =−sgn(σ). Portanto det(A) = 0. Normalizac¸a˜o: Tem-se det(I) = 1 porque a u´nica parcela na˜o nula e´ o produto dos elementos da diagonal principal, que corresponde a` permutac¸a˜o identidade, que e´ par. LEMA Qualquer matriz triangular tem determinante igual ao produto das entradas da diagonal principal. Em particular, uma matriz triangular tem determinante nulo se e so´ se for uma matriz singular. TEOREMA Para qualquer matriz quadrada A tem-se det(AT) = det(A) . Demonstrac¸a˜o. Cada parcela aσ11 . . .aσnn pode ser escrita com os factores permutados na forma aσ11 . . .aσnn = a1τ1 . . .anτn onde τ = σ−1 e´ a permutac¸a˜o inversa de σ . Mas cada factor ajτj e´ igual a (A T)τjj e portanto tem-se det(A) = ∑ σ∈Sn sgn(σ)aσ11 . . .aσnn = ∑ σ∈Sn sgn(σ)(AT)τ11 . . .(A T)τnn = ∑ σ∈Sn sgn(σ)(AT)σ11 . . .(A T)σnn = det(A T) , onde no fim a substituic¸a˜o de τ por σ e´ justificada pelo facto de o conjunto {σ−1 | σ ∈ Sn} ser igual a Sn e para qualquer permutac¸a˜o σ se ter sgn(σ) = sgn(σ−1). CA´LCULO DE DETERMINANTES POR ELIMINAC¸A˜O DE GAUSS Como det(AT) = det(A) podemos trabalhar com as linhas de A em vez das colunas. Regra da eliminac¸a˜o para determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... ai1 . . . ain ... . . . ... ak1+ rai1 . . . akn+ rain ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... ai1 . . . ain ... . . . ... ak1 . . . akn ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸ det(A) +r ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... ai1 . . . ain ... . . . ... ai1 . . . ain ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸ 0 Regra da multiplicac¸a˜o para determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... rai1 . . . rain ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = r ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... ai1 . . . ain ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = rdet(A) Regra da permutac¸a˜o para determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... ak1 . . . akn ... . . . ... ai1 . . . ain ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =− ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · an1 ... . . . ... ai1 . . . ain ... . . . ... ak1 . . . akn ... . . . ... an1 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ EXERCI´CIOCalcule pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss o determinante seguinte: ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 3 −1 −1 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ TEOREMA det(A) = 0 ⇐⇒ A e´ singular. Demonstrac¸a˜o. Usando a regra da eliminac¸a˜o e a regra da permutac¸a˜o podemos obter a partir de A uma matriz triangular superior A′. Tem-se det(A′) = det(A) ou det(A′) =−det(A). Portanto det(A) = 0 se e so´ se det(A′) = 0. Como A′ e´ triangular a condic¸a˜o det(A′) = 0 e´ equivalente a A′ ser singular e portanto e´ equivalente a A ser singular. TEOREMA Sejam A e B matrizes quadradas n×n. Enta˜o det(AB) = det(A)det(B). Demonstrac¸a˜o. Primeiro consideremos o caso em que B e´ na˜o-singular. Podemos enta˜o definir a func¸a˜o f (A) = det(AB)det(B) . Como as linhas da matriz produto AB sa˜o determinadas pelo produto das linhas de A pela matriz B e´ fa´cil concluir que a func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o determinante das linhas de A, ou seja, f (A) = det(AT) = det(A). Portanto tem-se det(AB) = det(A)det(B). Por outro lado, no caso em que B e´ singular enta˜o AB tambe´m e´ singular e por isso tem-se det(AB) = 0 = det(A)det(B). EXERCI´CIO Justifique detalhadamente as seguintes afirmac¸o˜es da demonstrac¸a˜o anterior: I Se B e´ na˜o-singular enta˜o f (A) = det(AB)det(B) e´ uma func¸a˜o determinante das linhas de A. I Se B e´ singular enta˜o AB e´ singular. (Sugesta˜o: mostre que existe x 6= 0 tal que (AB)x= 0.) COROLA´RIO Se A tiver inversa enta˜o det(A−1) = 1det(A) . Demonstrac¸a˜o. Se A tiver inversa tem-se 1 = det(I) = det(AA−1) = det(A)det(A−1). Capı´tulo 8 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Capı´tulo 5. REVISA˜O TEOREMA det(A) = ∑ σ∈Sn sgn(σ)aσ11 . . .aσnn . I Algoritmo baseado em permutac¸o˜es das colunas (ou das linhas). I Pouco u´til para ca´lculo excepto em casos especiais (muito pouco eficiente), mas u´til ao demonstrar propriedades da func¸a˜o determinante. I No caso de matrizes 3×3 este me´todo e´ conhecido como Regra de Sarrus e e´ computacionalmente razoa´vel porque envolve um somato´rio com apenas seis parcelas. I Algoritmo baseado em eliminac¸a˜o de Gauss: computacionalmente eficiente. REGRA DE SARRUS detA = a11a22a33−a11a32a23+a31a12a23 − a31a22a13+a21a32a13−a21a12a33 . Permutac¸o˜es pares: • • • •• • • • • Permutac¸o˜es ı´mpares: •• • •• • • • • detA = a11a22a33−a11a32a23+a31a12a23 − a31a22a13+a21a32a13−a21a12a33 . Pondo as entradas da primeira linha em evideˆncia obtemos detA= a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣−a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . Pondo as entradas da segunda linha em evideˆncia obtemos detA=−a21 ∣∣∣∣ a12 a13a32 a33 ∣∣∣∣+a22 ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33 ∣∣∣∣−a23 ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32 ∣∣∣∣ . Etc. O sinal de que e´ afectada cada uma das treˆs parcelas e´ determinado pelo sinal (−1)i+j de cada uma das entradas ij da matriz: + − +− + − + − + . Outro exemplo: pondo as entradas da terceira coluna em evideˆncia obtemos detA=+a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣−a23 ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32 ∣∣∣∣+a33 ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ . E´ fa´cil generalizar estes factos para matrizes n×n, como veremos de seguida. FO´RMULA DE LAPLACE DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz n×n, com n≥ 2, e sejam i, j ∈ {1, . . . ,n}. O menor-ij de A e´ a matriz Aij (na˜o confundir com a entrada aij = (A)ij) cuja dimensa˜o e´ (n−1)× (n−1) e que resulta de A pela eliminac¸a˜o das entradas da linha i e da coluna j. TEOREMA (FO´RMULA DE LAPLACE) Seja A uma matriz n×n. Para qualquer i ∈ {1, . . . ,n} temos det(A) = n ∑ j=1 (−1)i+jaij det(Aij) . NOTA Como det(A) = det(AT) tambe´m temos a Fo´rmula de Laplace “ao longo das colunas”: para qualquer j ∈ {1, . . . ,n} temos det(A) = n ∑ i=1 (−1)i+jaij det(Aij) . EXERCI´CIO Calcule pela regra de Laplace os seguintes determinantes: 1. ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 2 1 0 0 3 0 4 0 0 0 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2. ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 3 −1 −1 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ NOTA O ca´lculo de um determinante exclusivamente por meio da fo´rmula de Laplace e´ em geral pouco eficiente computacionalmente, uma vez que apenas se resume a` reorganizac¸a˜o, por meio de uma regra de recorreˆncia, da fo´rmula baseada em permutac¸o˜es. Mas a fo´rmula de Laplace pode ser usada para decompor o ca´lculo de um determinante em partes mais simples, por exemplo em conjunto com a eliminac¸a˜o de Gauss, como no seguinte exemplo em que se aplica a fo´rmula a` segunda linha:∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 4 0 0 2 0 4 4 4 4 9 7 1 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣=−2× ∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 4 4 4 9 7 2 ∣∣∣∣∣∣= . . . (elim. Gauss) Outras aplicac¸o˜es da fo´rmula de Laplace sa˜o teo´ricas, como veremos de seguida. EXEMPLO COMPLETO ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 4 0 0 2 0 4 4 4 4 9 7 1 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2× ∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 4 4 4 9 7 2 ∣∣∣∣∣∣ (F. Laplace, linha 2) = −2× ∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 0 −4 −12 0 −11 −34 ∣∣∣∣∣∣ (Elim. Gauss, pivot 1) = −2×1× ∣∣∣∣ −4 −12−11 −34 ∣∣∣∣ (F. Laplace, coluna 1) = −2×1× ((−4)× (−34) −(−11)× (−12)) = −8 CO-FACTORES E MATRIZES INVERSAS DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz n×n e sejam i, j ∈ {1, . . . ,n}. O cofactor-ij de A e´ o nu´mero A′ij = (−1)i+j det(Aij) . A matriz dos cofactores de A e´ a matriz cof(A) = [A′ij] cuja entrada (cof(A))ij e´ o cofactor-ij de A. Definindo a matriz B cuja entrada bij e´ o cofactor-ji de A (note-se a permutac¸a˜o dos ı´ndices), ou seja, B= cof(A)T , podemos rescrever a fo´rmula de Laplace da seguinte forma: det(A) = n ∑ j=1 aij(−1)i+j det(Aij) = n ∑ j=1 aijbji = (AB)ii . (De igual modo, a fo´rmula de Laplace ao longo das colunas permite concluir que (BA)jj = det(A).) TEOREMA Seja A uma matriz n×n na˜o-singular. Enta˜o A−1 = 1 detA (cofA)T . Demonstrac¸a˜o. Continuando a denotar (cofA)T por B, ja´ vimos que para quaisquer i e j temos (AB)ii = (BA)jj = detA. Falta apenas mostrar que se i 6= j enta˜o (AB)ij = (BA)ji = 0 para concluir que AB= BA= (detA)I, ou seja, que A−1 = 1detAB como pretendido. Demonstrac¸a˜o. (Continuac¸a˜o) Sejam enta˜o i 6= j. Temos (AB)ij = n ∑ k=1 aikbkj = n ∑ k=1 aik(−1)j+k det(Ajk) . Note-se que o menor-jk de A, que aparece neste somato´rio, na˜o depende da linha j de A e por isso e´ igual ao menor-jk da matriz A˜ que resulta de A se substituirmos a linha j de A pela linha i. Enta˜o o somato´rio pode rescrever-se assim: n ∑ k=1 (A˜)jk(−1)j+k det(A˜jk) . Demonstrac¸a˜o. (Continuac¸a˜o) Mas a soma ∑nk=1(A˜)jk(−1)j+k det(A˜jk) e´ precisamente o valor de det(A˜) dado pela fo´rmula de Laplace aplicada a` linha j. Uma vez que A˜ tem duas linhas (i e j) iguais resulta que det(A˜) = 0 e por isso (AB)ij = 0. De igual forma, usando a fo´rmula de Laplace aplicada a colunas, se conclui que (BA)ji = 0. Portanto AB= BA= (detA)I, como pretendı´amos provar. EXERCI´CIO Considere a matriz A= 1 1 11 0 1 2 3 4 . 1. Calcule as entradas da primeira linha de cofA. 2. Calcule detA. 3. Se A for na˜o-singular calcule as restantes entradas de cofA e calcule a matriz A−1. Capı´tulo 9 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Capı´tulo 5 e Secc¸a˜o 4.6. REVISA˜O DEFINIC¸A˜O Seja A uma matriz n×n. O cofactor-ij de A e´ o nu´mero A′ij = (−1)i+j det(Aij) , onde Aij e´ o menor-ij de A, ou seja, a matriz que resulta de A se apagarmos a linha i e a coluna j. A matriz dos cofactores de A e´ cof(A) = [A′ij] . REVISA˜O TEOREMA A fo´rmula de Laplace ao longo da linha i e´: det(A) = (linha i de A) · (linha i de cofA) = n ∑ j=1 aij (−1)i+j det(Aij) = (A(cofA)T)ii . A fo´rmula de Laplace ao longo da coluna j e´: det(A) = (coluna j de cofA) · (coluna j de A) = n ∑ i=1 (−1)i+j det(Aij)aij = ((cofA)T A)jj . REVISA˜O TEOREMA Seja A uma matriz n×n. Enta˜o tem-se A(cofA)T = (detA)I = (cofA)TA . COROLA´RIO Seja A uma matriz n×n na˜o-singular. Enta˜o A−1 = 1 detA (cofA)T . REGRA DE CRAMER A fo´rmula anterior para matrizes inversas permite-nos resolver sistemas determinados pela chamada regra de Cramer, como veremos de seguida. Se A for uma matriz na˜o-singular enta˜o Ax= b e´ um sistema determinado cuja soluc¸a˜o e´ x= A−1b. Substituindo A−1 por 1detA(cofA) T obte´m-se xj = 1 detA n ∑ i=1 (cofA)ijbi . Uma vez que (cofA)ij na˜o depende da coluna j de A temos (cofA)ij = (cofB)ij para qualquer i e qualquer matriz B que apenas difira de A na coluna j. Em particular, seja A(j) a matriz que resulta de A se substituirmos a coluna j de A pelo vector b. Tem-se enta˜o, para cada j, n ∑ i=1 (cofA)ijbi = n ∑ i=1 (cofA(j))ij(A(j))ij = detA(j) . Obtivemos assim a regra de Cramer, que e´ uma fo´rmula para calcular directamente a j-e´sima inco´gnita xj sem ter de calcular todo o vector-soluc¸a˜o: xj = detA(j) detA . EXERCI´CIO Considere as matrizes A= 1 1 11 0 1 2 3 4 , b= 01 0 , x= xy z . Calcule o valor de y determinado pelo sistema Ax= b. (Ja´ vimos noutro exercı´cio que A e´ uma matriz na˜o-singular e calcula´mos detA.) RESOLUC¸A˜O Ja´ calcula´mos detA=−2 noutra aula. A matriz que resulta de substituir a segunda coluna de A pelo vector b e´ A(2) = 1 0 11 1 1 2 0 4 , pelo que, pela regra de Cramer, a inco´gnita y (que corresponde a` segunda coluna) tem o valor y= ∣∣∣∣∣∣ 1 0 1 1 1 1 2 0 4 ∣∣∣∣∣∣ −2 = +1× ∣∣∣∣ 1 12 4 ∣∣∣∣ −2 = 1×4−2×1 −2 =−1 . PRODUTO EXTERNO DEFINIC¸A˜O Sejam x,y ∈ R3 dois vectores. O produto externo de x e y e´ o vector de R3 definido da seguinte forma: x× y= (x2y3− y2x3, y1x3− x1y3, x1y2− y1x2) . NOTA x× y= ∣∣∣∣ x2 x3y2 y3 ∣∣∣∣e1− ∣∣∣∣ x1 x3y1 y3 ∣∣∣∣e2+ ∣∣∣∣ x1 x2y1 y2 ∣∣∣∣e3 NOTA Simbolicamente podemos escrever, pensando na fo´rmula de Laplace aplicada a` primeira linha, a seguinte fo´rmula para o produto externo: x× y= ∣∣∣∣∣∣ e1 e2 e3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 ∣∣∣∣∣∣ (Note-se que na˜o esta´ definida uma noc¸a˜o de matriz cujas entradas sa˜o vectores e por isso a notac¸a˜o acima e´ apenas uma mnemo´nica!) EXERCI´CIO Verifique as seguintes propriedades: NORMALIZAC¸A˜O: I e1× e2 = e3 I e2× e3 = e1 I e3× e1 = e2 ANULAC¸A˜O: x×x= 0 ALTERNAˆNCIA: x× y=−y×x BILINEARIDADE: (αx)× y = α(x× y) x× (αy) = α(x× y) (x+x′)× y = x× y+x′× y x× (y+ y′) = x× y+x× y′ EXERCI´CIO Recorde (do ensino secunda´rio) que dois vectores x,y ∈ R3 sa˜o ortogonais, ou perpendiculares (e escreve-se x⊥ y), se e so´ se o seu produto escalar for nulo: x⊥ y ⇐⇒ x · y= 0 . 1. Mostre que se tem, para quaisquer x,y,z ∈ R3, x · (y× z) = ∣∣∣∣∣∣ x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 ∣∣∣∣∣∣ . 2. Mostre que x× y e´ ortogonal a x e a y. NOTA O produto externo tem ainda as propriedades seguintes (a demonstrac¸a˜o sera´ feita oportunamente): I O comprimento de x× y e´ igual a` a´rea do paralelogramo definido por x e y. I A orientac¸a˜o relativa do terno ordenado (x,y,x× y) e´ semelhante a` de (e1,e2,e3). Por outras palavras, esta orientac¸a˜o e´ dada pela “regra da ma˜o direita”: se os dedos da ma˜o direita acompanharem a rotac¸a˜o de x para y (no sentido em que o aˆngulo e´ menor que pi) enta˜o x× y aponta no sentido do polegar. EXERCI´CIOS Seja A uma matriz n×n (com n≥ 2). 1. Mostre que para qualquer nu´mero real r se tem det(rA) = rn detA. 2. Mostre que A e´ singular se e so´ se cofA for singular. 3. Mostre que (detA)(det(cofA)) = (detA)n. 4. Mostre que se A for na˜o-singular enta˜o det(cofA) = (detA)n−1. 5. Mostre que detA= 1 se e so´ se det(cofA) = 1. Definindo, para uma matriz de permutac¸a˜o P qualquer, sgn(P) = { +1 se P e´ par, −1 se P e´ ı´mpar (ou seja, sgn(P) e´ o sinal da correspondente permutac¸a˜o das colunas), resolva o exercı´cio seguinte: EXERCI´CIO Seja P uma matriz de permutac¸a˜o n×n (com n≥ 2) e sejam i, j ∈ {1, . . . ,n} tais que pij = 1. 1. Mostre que Pij tambe´m e´ uma matriz de permutac¸a˜o. 2. Esta conclusa˜o manter-se-ia se pij = 0? Explique. 3. Verifique, escolhendo uma matriz de permutac¸a˜o 4×4 arbitra´ria, que sgn(P) = (−1)i+j sgn(Pij). (Ou seja, P e´ par se e so´ se os sinais da entrada ij e do menor Pij forem iguais.) (Na verdade tem-se sgn(P) = (−1)i+j sgn(Pij) para uma matriz de permutac¸a˜o P qualquer.) Capı´tulo 10 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Secc¸o˜es 2.1 e 2.2. MOTIVAC¸O˜ES I Ate´ agora recorda´mos que um “vector” e´ um elemento de um espac¸o Rn com n= 1,2,3, . . ., e tambe´m adopta´mos a convenc¸a˜o de identificar os vectores de Rn com as matrizes coluna de Matn×1. I Este conceito revelou-se u´til por exemplo ao definir o que se entende por soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es lineares e veremos que muito mais se pode dizer a este respeito. I No entanto este conceito de vector e´, em muitas aplicac¸o˜es, insuficiente. I Por exemplo, os vectores x ∈ Rn podem descrever-se por meio de um nu´mero finito de “coordenadas” x1, . . . , xn. Sa˜o necessa´rias exactamente n coordenadas para descrever um vector e esta situac¸a˜o corresponde, como veremos, a dizer que Rn e´ um espac¸o de dimensa˜o igual a n. I Mas encontraremos situac¸o˜es em que sera˜o necessa´rios vectores mais gerais, descritos por um nu´mero infinito de coordenadas. Como veremos, um espac¸o formado por tais vectores diz-se de dimensa˜o infinita. I Ou, por vezes, encontraremos espac¸os que, mesmo sendo de dimensa˜o igual a n, teˆm um aspecto aparentemente muito diferente de Rn. Por exemplo, conjuntos de soluc¸o˜es de certas equac¸o˜es diferenciais sa˜o deste tipo: os “vectores” sa˜o func¸o˜es (por exemplo func¸o˜es reais de varia´vel real). I Para obter o conceito suficientemente geral de vector que permita englobar ambos os aspectos mencionados vamos recorrer a uma abordagem axioma´tica, estudando quais devem ser as operac¸o˜es alge´bricas com vectores e quais sa˜o as propriedades destas operac¸o˜es, descritas por axiomas apropriados. I (Ja´ vimos um exemplo do poder da abordagem axioma´tica ao calcular a a´rea orientada de um paralelogramo a partir da descric¸a˜o de um conjunto de axiomas que a func¸a˜o A satisfaz.) I Comec¸aremos por extrair as operac¸o˜es e axiomas apropriados inspirando-nos no exemplo concreto de Rn. DEFINIC¸A˜O Um espac¸o vectorial real, ou espac¸o linear real, e´ um conjunto V, cujos elementos sa˜o denominados vectores, sobre o qual esta˜o definidas as operac¸o˜es seguintes (satisfazendo os axiomas que descreveremos de seguida): ADIC¸A˜O: Dadosx,y ∈ V existe um vector x+ y ∈ V, designado por soma de x e y. (Esta operac¸a˜o diz-se bina´ria.) ZERO: Existe um vector 0 ∈ V designado por zero. (Esta operac¸a˜o diz-se constante ou 0-a´ria.) SIME´TRICO: Dado x ∈ V existe um vector −x ∈ V designado por sime´trico de x. (Esta operac¸a˜o diz-se una´ria.) Escrevemos x− y em vez de x+(−y). MULTIPLICAC¸A˜O: Dado r ∈ R e x ∈ V existe um vector rx ∈ V, designado por produto de r por x. (Operac¸a˜o bina´ria heteroge´nea.) DEFINIC¸A˜O (Continuac¸a˜o) Os axiomas sa˜o os seguintes: ASSOCIATIVIDADE DA SOMA: (x+ y)+ z= x+(y+ z). COMUTATIVIDADE DA SOMA: x+ y= y+ x. ELEMENTO NEUTRO: 0+ x= x. ELEMENTO SIME´TRICO: x− x= 0. ASSOCIATIVIDADE DA MULT.: r(sx) = (rs)x. UNITARIDADE: 1x= x. DISTRIBUTIVIDADE DIREITA: r(x+ y) = rx+ ry. DISTRIBUTIVIDADE ESQUERDA: (r+ s)x= rx+ sx. Nota 1: V e´ um grupo abeliano (primeiros quatro axiomas). Nota 2: 0 e´ o u´nico elemento neutro; para cada vector x o u´nico vector y tal que x+ y= 0 e´ o vector y=−x; e se x+ x= x enta˜o x= 0. Nota 3: 0x= 0 e (−1)x=−x. EXEMPLO 1. Rn . 2. Matm×n . 3. RA = {func¸o˜es f : A→ R} . (f +g)(a) = f (a)+g(a) 0(a) = 0 (−f )(a) = −(f (a)) (rf )(a) = r(f (a)) 4. Mais uma convenc¸a˜o: R{1,...,n} = Rn . Um vector x ∈ Rn corresponde a` func¸a˜o f : {1, . . . ,n}→ R definida por f (1) = x1, . . . , f (n) = xn . 5. RN. Os vectores sa˜o as sucesso˜es de nu´meros reais, que podemos encarar como “vectores infinitos” (x1,x2,x3, . . .) (veremos que este e´ um exemplo de espac¸o de dimensa˜o infinita). EXEMPLO 6. Se A e B forem dois conjuntos, escreve-se A×B= {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B} . (Por exemplo, R×R= R2.) Em particular, {1, . . . ,m}×{1, . . . ,n} e´ o conjunto de pares ordenados (i, j) de nu´meros naturais tais que i ∈ {1, . . . ,m} e j ∈ {1, . . . ,n} e por isso podemos fazer a identificac¸a˜o R{1,...,m}×{1,...,n} = Matm×n , segundo a qual a matriz A de dimensa˜o m×n corresponde a` func¸a˜o f : {1, . . . ,m}×{1, . . . ,n}→ R definida por f (i, j) = aij. EXEMPLO 7. Se V e W forem dois espac¸os vectoriais reais enta˜o V×W e´ um espac¸o vectorial real com as operac¸o˜es (v1,w1)+(v2,w2) = (v1+ v2,w1+w2) zero = (0,0) −(v,w) = (−v,−w) r(v,w) = (rv,rw) . 8. R×R e´ exactamente o mesmo que o espac¸o R2. 9. Evidentemente, podemos identificar (R×R)×R com R3, pois o vector ((x1,x2),x3) de (R×R)×R pode identificar-se com (x1,x2,x3) ∈ R3. AVISO O conceito de “vector” agora definido e´ abstracto. Na verdade na˜o definimos o que se entende por vector mas sim por “espac¸o de vectores”. Ou seja, apenas faz sentido dizer que um objecto e´ um vector no contexto duma colecc¸a˜o da qual o objecto faz parte e que tem as propriedades apropriadas. DEFINIC¸A˜O Definimos tambe´m as seguintes noc¸o˜es: I Um espac¸o vectorial racional, ou espac¸o linear racional tem uma definic¸a˜o em tudo ana´loga a` de espaco vectorial real, mas com R substituı´do pelo conjunto dos nu´meros racionais Q. I Um espac¸o vectorial complexo, ou espac¸o linear complexo tem uma definic¸a˜o em tudo ana´loga a` de espaco vectorial real, mas com R substituı´do pelo conjunto dos nu´meros complexos C. NOTA Uma vez que se tem as incluso˜es Q⊂ R⊂ C, qualquer espac¸o vectorial complexo e´ tambe´m um espac¸o vectorial real e qualquer espac¸o vectorial real e´ tambe´m um espac¸o vectorial racional. EXEMPLO Os exemplos sa˜o em tudo semelhantes aos de espac¸o vectorial real: I Qn e Cn sa˜o respectivamente um espac¸o vectorial racional e um espac¸o vectorial complexo. I Dado um conjunto A definem-se os espac¸os de func¸o˜es QA e CA, que sa˜o respectivamente um espac¸o vectorial racional e um espac¸o vectorial complexo. I CN e´ o espac¸o vectorial complexo das sucesso˜es de nu´meros complexos. I Se V e W sa˜o espac¸os racionais (resp. complexos) enta˜o define-se o produto cartesiano V×W, que e´ um espac¸o racional (resp. complexo). I Os comenta´rios relativos a`s identificac¸o˜es, por exemplo C{1,...,n} = Cn, ou Q× (Q× (Q×Q)) =Q4, sa˜o ana´logos. MUDANC¸A DE ESCALARES Ja´ referimos que qualquer espac¸o vectorial complexo e´ tambe´m um espac¸o vectorial real. Por exemplo, C, que e´ um espac¸o vectorial complexo, e´ portanto tambe´m um espac¸o vectorial real, cujos vectores sa˜o descritos exactamente por duas coordenadas independentes: a parte real e a parte imagina´ria dum nu´mero complexo. Como veremos, isto significa que C, enquanto espac¸o vectorial real, tem dimensa˜o igual a 2 e por isso e´ “ana´logo” (dir-se-a´ “isomorfo”) a R2: cada vector a+ ib de C corresponde ao vector (a,b) de R2 (o plano de Argand pode ser identificado com o plano xy). Um sistema de nu´meros com as propriedades apropriadas para definir a noc¸a˜o de espac¸o vectorial, de que Q, R e C sa˜o exemplos, diz-se um corpo alge´brico. Nesta disciplina os corpos mais importantes sera˜o R e C. PROPOSIC¸A˜O Tudo o que foi visto a propo´sito de sistemas de equac¸o˜es lineares, matrizes e determinantes, e´ va´lido quando R e´ substituı´do por Q ou C. A partir daqui, nesta aula, faremos uma digressa˜o sobre o conceito de corpo. Comec¸amos pela definic¸a˜o rigorosa, que e´ a seguinte: DEFINIC¸A˜O Um corpo alge´brico, ou simplesmente um corpo, e´ um conjunto K equipado com: I uma estrutura de grupo abeliano (ou seja, operac¸o˜es “+”, “0” e “−” com propriedades ana´logas a`s das correspondentes operac¸o˜es dos espac¸os vectoriais); I uma operac¸a˜o bina´ria associativa e comutativa de multiplicac¸a˜o que a cada par de elementos x,y ∈ K faz corresponder o produto xy; I um elemento neutro denotado por 1 e designado por unidade do corpo (ou seja, um elemento necessariamente u´nico e tal que 1x= x); I para cada x 6= 0 em K, um inverso x−1 (ou seja, um elemento, necessariamente u´nico, tal que xx−1 = 1). EXEMPLO I Para cada nu´mero primo p o conjunto Zp = {0,1, . . . ,p−1} dos nu´meros inteiros mo´dulo p e´ um corpo. Estes corpos sa˜o finitos, ao contra´rio de Q, R e C. I O corpo Z2 tem apenas dois elementos e pode relacionar-se com a a´lgebra de Boole dos valores lo´gicos 0 e 1: a multiplicac¸a˜o corresponde a` conjunc¸a˜o e a soma corresponde ao “ou exclusivo”. DEFINIC¸A˜O Um espac¸o vectorial sobre um corpo K e´ definido da mesma forma que um espac¸o vectorial real mas com R substituı´do por K. EXEMPLO Os exemplos ba´sicos de espac¸o vectorial sobre um corpo K sa˜o novamente semelhantes aos de espac¸o vectorial real: I Kn = {(k1, . . . ,kn) | k1, . . . ,kn ∈ K}. I Dado um conjunto A temos o espac¸o de func¸o˜es KA = {func¸o˜es f : A→ K}. I Se V e W sa˜o espac¸os vectoriais sobre K enta˜o define-se o produto cartesiano V×W, que e´ um espac¸o vectorial sobre K. I Os comenta´rios relativos a`s identificac¸o˜es, por exemplo K{1,...,n} = Kn, ou (K×K)× (K×K) = K4, sa˜o ana´logos. MATRIZES E DETERMINANTES SOBRE UM CORPO ARBITRA´RIO Quase tudo o que foi dito acerca de matrizes e determinantes e´ va´lido se substituirmos R por um corpo arbitra´rio. A excepc¸a˜o: para certos corpos K pode acontecer que a propriedade da anulac¸a˜o deixe de ser equivalente a` alternaˆncia (mas a anulac¸a˜o implica sempre a alternaˆncia). Por exemplo, isto acontece com o corpo Z2: se duas colunas duma matriz A forem iguais enta˜o pela alternaˆncia concluı´mos apenas det(A) =−det(A), ou seja, det(A)+det(A) = 0, e em Z2 isto pode acontecer com det(A) = 1. Mais geralmente, a alternaˆncia e´ uma propriedade mais fraca do que a anulac¸a˜o precisamente quando o corpo tem caracterı´stica igual a 2: DEFINIC¸A˜O Diz-se que um corpo tem caracterı´stica n se n for o menor nu´mero natural tal que a soma 1+ . . .+1 com n parcelas e´ igual a 0; e diz-se que tem caracterı´stica 0 se na˜o existir nenhum nu´mero natural n com essa propriedade. EXEMPLO Q, R e C teˆm caracterı´stica 0. O corpo finito Zp tem caracterı´stica p. PROPOSIC¸A˜O Tudo o que foi dito a propo´sito de sistemas de equac¸o˜es lineares, matrizes e determinantes e´ va´lido para qualquer corpo de caracterı´stica diferente de 2. Capı´tulo 11 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Secc¸a˜o 2.2. REVISA˜O I Um espac¸o vectorial sobre um corpo K, ou espac¸o linear sobre K, e´ um conjunto V, cujos elementos sa˜o denominados vectores, sobre o qual esta˜o definidas operac¸o˜es que incluem I adic¸a˜o de vectores e I multiplicac¸a˜o de vectores por elementos de K (os quais sa˜o denominados escalares). I (Nesta disciplina usaremos maioritariamente o caso K = R ou K = C, mas outros casos podera˜o aparecer de vez em quando, por exemplo K =Q ou K = Zp para algum p.) I Todas as operac¸o˜es podem ser derivadas destas duas. Em particular, os axiomas de espac¸o vectorial sa˜o tais que V na˜o pode ser o conjunto vazio e para cada x ∈ V o elemento 0 = 0x e´ o elemento neutro da adic¸a˜o e −x= (−1)x e´ o elemento sime´trico (significando que V tem a estrutura de grupo abeliano). I Ale´m disso a multiplicac¸a˜o por escalar tambe´m e´ associativa, ou seja, tem-se r(sx) = (rs)x para quaisquer r,s ∈ K e x ∈ V, unita´ria, ou seja, 1x= x para cada x ∈ V, e distributiva sobre a soma em cada uma das varia´veis. I O exemplo principal de espac¸o vectorial sobre K visto na aula passada foi o do espac¸o das func¸o˜es f : A→ K, onde A e´ um conjunto A fixo. I Como vimos, este exemplo inclui muitos outros, em particular os espac¸os Kn, que podem ser identificados com K{1,...,n}. I No caso K = R vimos que tambe´m o espac¸o Matm×n e´ deste tipo. I Em geral, para um corpo K qualquer, designaremos o espac¸o vectorial sobre K das matrizes m×n com entradas em K por Matm×n(K). Este espac¸o pode ser identificado com K{1,...,m}×{1,...,n}. I Vimos tambe´m o produto cartesiano V×W de dois espac¸os vectoriais V e W sobre o mesmo corpo K. I Por exemplo, podemos identificar Km×Kn com Km+n, pois cada vector ((x1, . . . ,xm),(y1, . . . ,yn)) ∈ Km×Kn e´ o mesmo, a menos de mudanc¸a de pareˆnteses, que o vector (x1, . . . ,xm,xm+1, . . . ,xm+n) ∈ Km+n , em que xm+1 = y1, . . . , xm+n = yn. I Vamos agora estudar mais exemplos e em simultaˆneo introduzir a noc¸a˜o importante de subespac¸o de um espac¸o vectorial. EXEMPLO Os seguintes conjuntos tambe´m sa˜o espac¸os lineares com as operac¸o˜es habituais: I O conjunto de todos os vectores de R2 que sa˜o mu´ltiplos de (1,2). I O conjunto de todas as matrizes A ∈Mat2×3(C) tais que a12 = 0. I O conjunto de todas as func¸o˜es contı´nuas f : R→ R. Em todos estes casos toma´mos para espac¸o vectorial um subconjunto de um espac¸o conhecido, respectivamente R2, Mat2×3(C) e RR. DEFINIC¸A˜O Seja V um espac¸o vectorial sobre um corpo K. Um subconjunto S⊂ V diz-se um subespac¸o vectorial de V se satisfizer as seguintes condic¸o˜es relativamente a`s operac¸o˜es de espac¸o vectorial definidas em V: 1. 0 ∈ S. 2. Se x,y ∈ S enta˜o x+ y ∈ S. 3. Se r ∈ K e x ∈ S enta˜o rx ∈ S. PROPOSIC¸A˜O Se S for um subespac¸o vectorial de V enta˜o S, com as mesmas operac¸o˜es de V, tambe´m e´ um espac¸o vectorial sobre K. EXEMPLO I O conjunto de todas as func¸o˜es f : R→ R tais que f (2) = 0 e´ um subespac¸o de RR. I O subconjunto de Mat2×3(C) formado pelas matrizes A tais que a12 = 1 NA˜O e´ um subespac¸o porque a matriz nula na˜o lhe pertence. I Qualquer recta em R2 que passe pela origem define um subespac¸o de R2. I Qualquer plano em R3 que passe pela origem define um subespac¸o de R3. I Nenhuma recta em R2 que na˜o passe pela origem pode ser um subespac¸o. I A para´bola de equac¸a˜o y= x2 conte´m a origem mas na˜o e´ um subespac¸o de R2. EXEMPLO Sa˜o espac¸os vectoriais: I O conjunto P(K) de todos os polino´mios a0+a1x+a2x2+ . . .+anxn com coeficientes ai ∈ K (subespac¸o de KK). I O conjunto Pn(K) de todos os polino´mios de P(K) com grau menor ou igual a n. I O conjunto de todas as sucesso˜es de nu´meros reais {xn} que satisfazem a relac¸a˜o de recorreˆncia xn+2 = xn+1+ xn (subespac¸o de RN). I O conjunto C(a,b) de todas as func¸o˜es contı´nuas f : ]a,b[→ R, ou o conjunto C[a,b] de todas as func¸o˜es contı´nuas f : [a,b]→ R (subespac¸os de R]a,b[ e R[a,b], respectivamente). I O subespac¸o Ck(a,b)⊂ C(a,b) de todas as func¸o˜es reais com derivada contı´nua ate´ a` ordem k ≥ 1 em ]a,b[. EXEMPLO Sa˜o espac¸os vectoriais: I O conjunto de todas as func¸o˜es y : ]a,b[→ R com segunda derivada contı´nua e que sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial y′′+ ry′+ y= 0 . (Subespac¸o de C2(a,b).) I O conjunto-soluc¸a˜o de um sistema homoge´neo Ax= 0 (subespac¸o de Kn se a matriz A tiver n colunas). DEFINIC¸A˜O O conjunto-soluc¸a˜o do sistema homoge´neo cuja matriz dos coeficientes e´ A designa-se por nu´cleo, ou espac¸o nulo, de A, e denota-se por nuc(A). EXEMPLO O plano em R3 definido pela equac¸a˜o x+ y− z= 0 e´ o nu´cleo da matriz [1 1 −1] e por isso e´ um subespac¸o de R3. Como a equac¸a˜o Ax= 0 significa que o produto interno (1,1,−1) · (x,y,z) e´ nulo, deduz-se que este espac¸o e´, geometricamente, o plano que passa pela origem e e´ perpendicular ao vector (1,1,−1). EXEMPLO I Se V ′ e V ′′ forem subespac¸os de um espac¸o vectorial V sobre um corpo K enta˜o a intersecc¸a˜o V ′∩V ′′ tambe´m e´ um subespac¸o de V (e´ o maior subespac¸o de V contido em V ′ e em V ′′). I O conjunto-soluc¸a˜o do sistema{ x+ y− z = 0 x− y+ z = 0 e´ a recta que passa pela origem de R3 e que e´ a intersecc¸a˜o dos dois subespac¸os (planos passando pela origem de R3) definidos pelas equac¸o˜es x+ y− z= 0 e x− y+ z= 0. Note-se que a intersecc¸a˜o e´ mesmo uma recta, ou seja, os dois planos na˜o sa˜o coincidentes, porque os vectores (1,1,−1) e (1,−1,1) na˜o sa˜o colineares. Assunto a retomar na pro´xima aula: EXEMPLO I Se V ′ e V ′′ forem subespac¸os de um espac¸o vectorial V sobre um corpo K enta˜o o conjunto V ′+V ′′ = {x+ y | x ∈ V ′, y ∈ V ′′} e´ designado por soma de V ′ e V ′′ e tambe´m e´ um subespac¸o de V (e´ o menor subespac¸o de V que conte´m V ′ e V ′′). Capı´tulo 12 PROGRAMA 1. Sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espac¸os vectoriais (ou espac¸os lineares) 2.1 Espac¸os e subespac¸os 2.2 Subespac¸os associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independeˆncia linear, bases e dimensa˜o 2.5 Aplicac¸o˜es 3. Transformac¸o˜es lineares 3.1 Representac¸a˜o matricial 3.2 Equac¸o˜es lineares 3.3 Mudanc¸a de base 3.4 Vectores e valores pro´prios 4. Espac¸os Euclidianos 4.1 Produtos internos e me´tricas 4.2 Projecc¸o˜es e distaˆncias 4.3 Transformac¸o˜es lineares entre espac¸os Euclidianos 4.4 Aplicac¸o˜es BIBLIOGRAFIA L. Magalha˜es, A´lgebra Linear como Introduc¸a˜o a` Matema´tica Aplicada, 1992, Texto Editora. I Secc¸a˜o 2.2. REVISA˜O I Vimos o conceito de subespac¸o de um espac¸o vectorial V sobre um corpo K: e´ um subconjunto S⊂ V que satisfaz as treˆs condic¸o˜es seguintes para quaisquer x,y ∈ S e qualquer k ∈ K: I 0 ∈ S I x+ y ∈ S I kx ∈ S I Vimos va´rios exemplos, incluindo o de nu´cleo de uma matriz A ∈Matm×n(K), que e´ um subespac¸o nuc(A)⊂ Kn definido como o conjunto-soluc¸a˜o do sistema homoge´neo Ax= 0. EXEMPLO O nu´cleo da matriz A= [ 1 1 −1 1 −1 1 ] e´ a recta que passa pela origem de R3 e e´ a intersecc¸a˜o dos dois planos que passam pela origem e sa˜o perpendiculares aos vectores (1,1,−1) e (1,−1,1). NOTA Se B resulta de A por eliminac¸a˜o de Gauss enta˜o nuc(B) = nuc(A) . DEFINIC¸A˜O Equac¸o˜es que relacionam as coordenadas dos vectores de Kn de modo a definir um subconjunto S⊂ Kn dizem-se equac¸o˜es cartesianas para S. EXEMPLO I No exemplo anterior
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