Capitulo 2 - Modelagem e Simulação de Processos

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Modelagem e Simulação de Processos 
Classificação dos modelos 
Aplicação das Leis Fundamentais 
 
Professora Andrea Farias 
1.2. Classificação dos modelos 
matemáticos 
Classificação 
generalista 
• Baseado no detalhamento dos princípios físico-
químicos 
 
Modelo molecular e atômico 
Trata um sistema arbitrário como se fosse constituído de entidades 
individuais, cada uma das quais obedecendo certas regras. 
 
Exemplos: 
»Mecânica Quântica 
»Mecânica Estatística 
»Teoria cinética dos gases 
 
 
 
 
Classificação de modelos matemáticos 
Modelo Microscópico 
• Considera o sistema um contínuo 
• Os detalhes das interações moleculares são ignorados. 
Exemplos: Balanços diferenciais 
»Massa 
»Quantidade de movimento 
»Energia 
 
 
Modelos de Gradientes Múltiplos 
• As formas das equações matemáticas são equivalentes ao 
modelo microscópico mas com alguns coeficientes modificados 
(coeficientes efetivos) 
 
 
Classificação de modelos matemáticos 
Modelos de Gradientes máximos 
• Simplificação do modelo de gradientes múltiplos 
• Os termos de dispersão são desprezados e somente o 
maior componente do gradiente da variável 
dependente é mantido nos balanços 
 
 
 
Modelo Macroscópico 
• Ignora todos os detalhes internos – nenhum gradiente 
espacial é envolvido no modelo 
– As variáveis dependentes representam valores médios 
sobre o volume do sistema 
 
 
 
 
Escoamento 
turbulento 
Secchi, 2011 
• Baseado no espaço de definição das variáveis 
– Modelo em variáveis discretas (manufatura, estágios) 
• Variáveis só podem assumir valores específicos 
– Modelo em variáveis contínuas 
• Variáveis podem assumir qualquer valor dentro de um 
intervalo 
 
• Baseado na variável temporal 
– Modelo em estado estacionário 
– Modelo dinâmico 
• A solução completa consiste na solução no estado 
estacionário + solução do transiente 
 
Classificação de modelos matemáticos 
• Baseado nas variáveis espaciais 
– Modelo a parâmetros concentrados 
• As variações são desprezadas: propriedades consideradas 
homogêneas em todo o volume de controle 
• Geram sistemas de equações diferenciais ordinárias 
– Modelos a parâmetros distribuídos 
• Consideram as variações espaciais das variáveis. 
• Geram sistemas de equações diferenciais parciais. 
 
• Baseado definição no tratamento matemático da variável 
– Modelo Determinístico 
• Variáveis assume valores exatos 
– Modelo Estocástico (ou aleatório, ou probabilístico) 
• Variáveis apresentam uma parcela referente às variações causadas 
por ruídos 
 
 
Classificação de modelos matemáticos 
Observação: obtenção de soluções 
• Facilidade de soluções por métodos analíticos 
 
Equações Lineares Equações Não-lineares 
Nº de Equações Uma Algumas Muitas Uma Algumas Muitas 
Algébrica Trivial Fácil 
Praticamente 
impossível 
Muito difícil Muito difícil Impossível 
E.D.O Fácil Difícil 
Praticamente 
impossível 
Muito difícil Impossível Impossível 
E.D.P Difícil 
Praticamente 
impossível 
Impossível Impossível Impossível Impossível 
2. Aplicação das Leis Fundamentais de Conservação 
Para desenvolver e utilizar os modelos matemáticos, é 
necessário que o engenheiro químico seja familiar com os 
fundamentos dos fenômenos que regem os processos químicos. 
 
• Equação da continuidade total (balanço de massa global): 
Princípio da conservação de massa quando aplicado a um sistema dinâmico: 
 
 
• As unidades desta equação são massa por tempo. 
• Somente uma equação da continuidade total pode ser escrita para um determinado 
sistema. 
• O termo do lado direito da igualdade será uma derivada parcial (∂/ ∂ t) ou uma 
derivada ordinária (d/dt) da massa dentro do sistema com respeito a variável 
independente, t. 
 
• Equação da continuidade de componente (balanço de componente): 
Diferente da massa global, os componentes químicos não são conservados. 
– Se ocorrer reações químicas em um sistema, a quantidade de um 
componente individual aumentará se ele for produto de reações ou 
diminuirá se ele for reagente. 
– Portanto, a equação da continuidade de componente para a i-ésima espécie 
química do sistema diz: 
• As unidades desta equação são massa de i por unidade de tempo. 
• As taxas de massa que entram e saem do sistema podem ser 
advectivas (devido ao fluxo da massa) e molecular (devido a difusão). 
• Pode-se escrever uma equação da continuidade de componente para 
cada componente no sistema. 
• A equação de balanço de massa global e as equações de balanço de 
componente não são todas independentes, desde que a soma das 
massas dos componentes é igual a massa total C. 
– Um dado sistema tem somente C equações da continuidade independentes, onde C é o 
número de componentes. 
• Equação da energia: 
– A primeira lei da termodinâmica expõe o princípio da conservação 
de energia. 
– Escrito para um sistema aberto genérico (onde pode correr fluxo 
para dentro e fora do sistema) ele tem a forma: 
• As unidades desta equação são energia por tempo. 
• Na maioria dos sistemas da engenharia química esta forma geral reduz-se 
essencialmente a um balanço de energia em termos de entalpias e energia 
interna (energia térmica). 
• Equação do movimento: 
A segunda lei de Newton do movimento diz que a força é igual a 
massa vezes a aceleração para um sistema com massa 
constante. 𝐹 = 𝑚𝑎 
 Esta é a relação básica que é usada para escrever a equação do 
movimento para um sistema. 
 Em uma forma um pouco mais geral, onde a massa pode variar 
com o tempo, tem-se: 
onde vi é a velocidade na direção i e Fji é a j-ésima força atuando na direção i. 
 
• Taxa de variação de quantidade de movimento na direção i (massa vezes velocidade na 
direção i) é igual a soma líquida das forças empurrando na direção i. 
• É um balanço de forças, (balanço da conservação da quantidade de movimento): 
2.1 Sistemas de Parâmetros Concentrados 
• Na formulação de modelos de parâmetros 
concentrados: 
– as variáveis espaciais são ignoradas 
– As propriedades e variáveis de estado são consideradas 
homogêneas através de todo o sistema. 
 
• Quando usar parâmetros concentrados ? 
Se a resposta do elemento, isto é, a velocidade de 
propagação da entrada do elemento, é, para todos os 
propósitos práticos, instantânea através de todo o elemento, 
então os parâmetros do elemento podem ser concentrados. 
2.2 Sistemas de Parâmetros Distribuídos 
• Considera as variações no comportamento, de ponto a ponto, 
através do sistema. 
– As variações espaciais consideradas no modelo podem ser para 
uma, duas ou três dimensões 
 
– Exemplo: Coluna recheada de absorção de gás (ou extração,...) 
 
 
 
 
 
 
Transferência de massa 
2.3 Variáveis de Processos e 
Parâmetros de modelos 
• Variáveis de entrada 
– Perturbações 
• Variáveis que não podem ser controladas 
– Variáveis manipuladas 
• Podem ser variadas de modo a controlar o processo 
– Variáveis de saída 
• Pertencem as correntes que deixam o processo, sendo 
que algumas podem ser controladas e outras não. 
– Variáveis de estado 
• Internas do processo e descrevem seu 
comportamento. 
Exemplo 1: Coluna de destilação 
 
Parâmetros de modelos 
• São constantes ou conjunto de valores 
que caracterizam um modelo matemático. 
– Geralmente determinados 
experimentalmente. 
– Exemplo: 
 
2.4. Relações Constitutivas 
• Equações de Transporte 
– “Leis” que governam as transferências de 
massa, energia e quantidade de movimento;– Tem a forma de fluxo (taxa de transferência 
por área) e este é proporcional a sua força 
motriz. (gradiente de concentração, 
velocidade ou temperatura) 
– A constante de proporcionalidade é uma 
propriedade física do sistema. (difusividade, 
viscosidade e condutividade térmica) 
Exemplo 1: Nível molecular 
Exemplo 2. Nível Macroscópico 
• Relações de transferência ao nível macroscópico são também 
usadas, onde as forças motrizes são as diferenças de propriedades 
da massa principal entre duas posições. A constante de 
proporcionalidade é um coeficiente global de transferência 
 
Equações de Estado 
• Para descrever os modelos matemáticos são também 
necessárias equações que descrevam como as 
propriedades físicas (massa específica, calor 
específico, entalpia,...) variam com a temperatura, 
pressão e composição 
 
– Ocasionalmente têm que ser bastante complexas para 
descrever adequadamente o sistema. 
– Em muitos casos podem ser feitas simplificações sem 
sacrificar a precisão global do modelo 
Equilíbrio 
• A segunda lei da termodinâmica é a base 
para as equações que descrevem as 
condições de um sistema em equilíbrio. 
– Em um sistema reativo o equilíbrio ocorre 
quando 
Cinética química 
• A taxa de global de reação é usualmente definida como a taxa de 
variação do número de moles de qualquer um dos componentes por 
unidade de volume devido à reação química dividida pelo 
coeficiente estequiométrico do componente: 
Modelagem de reatores químicos 
• CSTR 
Camisa 
ou 
2.6 Modelagem de Sistemas de 
separação 
Estrutura de controle do gerador de vapor 
Flash Multicomponente