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Concreto Armado - Notas de Aula 2ªEd Carvalho

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ii
 iii 
 
 
 
 
Silva, Ricardo José Carvalho 
Concreto Armado – Notas de Aulas 
2a Edição (Julho/2013) 
Sobral: Universidade Estadual vale do Acaraú, Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, 
Engenharia Civil, 2013. 
 
1. Flexão 2. Cisalhamento 3. Torção 4. Estruturas de concreto armado 
 
 
 
 
 
 
 
Capa: A foto da capa mostra o edifício SHAMS ABU DHABI de 75 andares em Abu Dhabi 
(próximo a Dubai) que foi calculado em 2008 pelo Prof. Ricardo Carvalho, prestando serviço 
através do escritório Hepta Engenharia Estrutural (Fortaleza-CE) ao escritório Adapt (Nova Iorque-
EUA) do Eng. Bijan Alami. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
Notas de Aula 
(2a Edição – Julho/2013) 
 
 
 
 
 
 
Ricardo José Carvalho Silva 
Professor Efetivo da Universidade Estadual Vale do Acaraú 
Engenheiro Civil (Unifor) 
Mestre em Estruturas (UnB) 
Doutor em Estruturas (UnB / Imperial College – London) 
 
 
 
 
 
 
 iv 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Elaborei esta apostila com o objetivo de servir de notas de aula para as disciplinas de 
Concreto Armado I e Concreto Armado II, do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual 
Vale do Acaraú, em Sobral-CE. Este material é necessário para que os alunos acompanhem as aulas 
e anotem informações complementares discutidas em sala de aula. 
O concreto armado é o material estrutural mais utilizado no mundo. Desde pequenas obras, 
como pequenas casas residenciais, até grandes obras, como edifícios altos, estádios de futebol, entre 
outros, geralmente são projetados com peças estruturais de concreto armado e (ou) protendido. 
Essa apostila visa auxiliar os que se iniciam na arte de projetar estruturas de concreto, 
introduzindo os fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado de acordo com as 
recomendações normativas. A análise, o dimensionamento e o detalhamento das armaduras dos 
elementos estruturais como vigas, lajes, pilares, escadas e caixa d’água são discutidos nos capítulos 
dessa apostila. 
Para que o aluno tenha um aprendizado bem fundamentado, sugiro que não se limite a 
estudar somente por esta apostila. Quanto mais livros de diferentes autores o aluno conseguir 
estudar, melhor será para compreensão do assunto. 
 Quaisquer críticas ou sugestões, com o intuito de melhorar as notas de aula, serão bem-
vindas. 
 
 
Ricardo José Carvalho Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 v 
SUMÁRIO 
 
1. CONCEITOS INICIAIS, MATERIAIS E PRÉ-DIMENSIONAMENTO...........................1 
2. CARREGAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DAS CARGAS PARA AS VIGAS...............5 
3. FLEXÃO, ESTÁDIOS E ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) .............................................6 
4. ESTÁDIO LIMITE ÚLTIMO (ELU), DOMÍNIOS, DIMENSIONAMENTO DE VIGAS 
DE SEÇÂO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES....................................................10 
5. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS (ANCORAGEM, TRANSPASSE, 
ARMADURA SOBRE-APOIO, ARMADURA DE PELE, PORTA-ESTRIBOS) .................14 
6. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA 
DUPLA ..............................................................................................................................................21 
7. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE SEÇÃO “T” COM ARMADURA SIMPLES ...23 
8. DIMENSIONAMENTO AO ESFORÇO CORTANTE .........................................................26 
9. DIMENSIONAMENTO A TORÇÃO ......................................................................................29 
10. LAJES........................................................................................................................................33 
11. LAJE MACIÇA .........................................................................................................................42 
12. LAJE NERVURADA................................................................................................................44 
13. LAJE PREMOLDADA (VOLTERRANA OU TRELIÇADA).............................................48 
14. PILAR DE CONTRAVENTAMENTO E PILAR CONTRAVENTADO ...........................51 
15. PILAR CONTRAVENTADO ..................................................................................................53 
16. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS .............................................................................57 
17. CARREGAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DAS CARGAS PARA OS PILARES......59 
18. PILAR INTERMEDIÁRIO – DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO NORMAL 
COMPOSTA RETA .........................................................................................................................62 
19. PILAR DE EXTREMIDADE – DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO NORMAL 
COMPOSTA RETA .........................................................................................................................67 
20. PILAR DE CANTO – DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO NORMAL COMPOSTA 
OBLÍQUA .........................................................................................................................................74 
21. PILAR INTERMEDIÁRIO PELO PROCESSO APROXIMADO – 
DIMENSIONAMENTO À COMPRESSÃO CENTRADA ÈQUIVALENTE...........................82 
22. ESCADA ...................................................................................................................................87 
23. CAIXA D’ÁGUA ......................................................................................................................89 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................................93 
ANEXO 1 – TABELAS DE MARCUS ........................................................................................94 
ANEXO 2 – TABELAS PARA DIMENSIONAMENTO DE PILAR INTERMEDIÁRIO E 
DE EXTREMIDADE COM AÇO CA-50 ..................................................................................100 
ANEXO 3 - TABELAS PARA DIMENSIONAMENTO DE PILAR DE CANTO COM AÇO 
CA-50 .............................................................................................................................................132 
ANEXO 4 – CARGAS PARA CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES 
(NBR6120:1980) .......................................................................................................................156 
ANEXO 5 – TABELAS DE AÇOS DA GERDAU ..................................................................160 
 
 
 
 
 
 1
1. CONCEITOS INICIAIS, MATERIAIS E PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
Concreto Armado é o material estrutural composto pela associação do concreto com barras de aço, 
de modo que constituam um sólido único, do ponto de vista mecânico, quando submetido às ações 
externas. 
 
Características da união do aço com o concreto: 
� o concreto tem boa resistência à compressão; 
� o aço tem elevada resistência à tração e à compressão; 
� boa aderência entre o aço e o concreto; 
� o concreto protege o aço contra a corrosão; 
� o aço e o concreto têm coeficientes de dilatação térmica muito parecidos. 
 
Vantagens do Concreto Armado Desvantagens do Concreto Armado 
(a) maior liberdade de formas; 
(b) baixo custo quando comparado com outros 
sistemas estruturais; 
(c) boa resistência a choques, vibrações e altas 
temperaturas; 
(d) resistência à compressão do concreto aumenta 
com a idade. 
(a) peso próprio elevado (25 kN/m3); 
(b) peça sujeita à fissuração; 
(c) necessidade de fôrmas e escoramentos; 
(d) dificuldade em adaptações posteriores. 
 
 
 
AÇOS COM PATAMAR DE ESCOAMENTO DEFINIDO 
(CA-25 e CA-50) 
 
Figura 1.1 – Diagrama tensão x deformação dos aços CA-25 e CA-50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
AÇOS SEM PATAMAR DE ESCOAMENTO DEFINIDO 
(CA-60) 
 
Figura 1.2 – Diagrama tensão x deformação do aço CA-60 
 
 
Tabela 1.1 – Aços mais utilizadosna construção civil 
AÇOS MAIS USADOS : 
CA-60 CA-50 
Φ 5 mm 
 
Φ 6,3 mm (1/4”) 
Φ 8 mm (5/16”) 
Φ 10 mm (3/8”) 
Φ 12,5 mm (1/2”) 
Φ 16 mm (5/8”) 
Φ 20 mm (3/4”) 
Φ 25 mm (1”) 
Φ 32 mm (1 1/4") 
Φ 40 mm (1 9/16”) 
 
CONCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Diagrama tensão x deformação do concreto 
 
Módulo de Elasticidade Tangente Inicial � Eci = 5600 (fck)1/2 
Módulo de Elasticidade Secante � Ecs = 0,85 Eci 
 
 
 
 
σ
εc 
α
0,3fc 
 fc 
2%o 
εc 
α
0,3fc 
 fc 
2%o 3,5%o 
Ruptura à compressão axial 
Ruptura à flexão simples 
Diagrama de ensaio à 
compressão 
Diagrama idealizado 
 3
 
 
Tabela 1.2 – Cobrimentos mínimos da NBR6118:2003 
Classe de agressividade ambiental 
I II III IV 
Tipo de estrutura Componente 
ou elemento 
Cobrimento nominal (mm) 
Laje 20 25 35 45 Concreto armado 
Viga/Pilar 25 30 40 50 
 
Tabela 1.3 – Dimensões mínimas permitidas pela NBR6118:2003 
Lajes � 5cm para lajes de cobertura não em balanço; 
� 7cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
� 10cm para lajes que suportem veículos até 30 kN; 
� 12cm para lajes que suportem veículos com peso maior que 30 kN; 
� 15cm para lajes com protensão; 
� 16cm para lajes lisas e 14 para lajes cogumelo. 
Vigas � Largura mínima para vigas é de 12 cm. 
� Largura mínima para vigas parede é de 15 cm. 
Esses limites podem ser reduzidos para 10 cm em casos excepcionais, desde que se 
respeite: os cobrimentos mínimos e as condições de concretagem de acordo com a 
NBR14931. 
Pilares � Dimensão mínima para seção qualquer forma é 19 cm. 
� Em casos especiais, permite-se dimensões entre 12 e 19 cm, desde que se 
multiplique a carga por um coeficiente adicional γn. 
1,0 ≤ γn = 1,95 – 0,05 . (menor dimensão da seção) ≤1,35 
Em qualquer caso não se permite área de seção transversal inferior a 360 cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
Tabela 1.4 – Pré-dimensionamentos (Simplificação mais usual para arquitetos) 
Lajes � Laje maciça de CA � h = 2% . Vão 
� Laje nervurada de CA � h = 3% . Vão 
� Laje lisa de CP � h = 2,5% . Vão 
OBS: No caso de balanço, utiliza-se o dobro das percentagens. 
Vigas � Viga de CA � h = 10% . Vão 
OBS: No caso de balanço, utiliza-se o dobro das percentagens. 
Pilares � Área da Seção = P/(100 kgf/cm2) 
� P = (Ainfluência em m2) . 1000 kgf/m2 . (no de repetições) 
OBS: As repetições são (os pavimentos) + (a coberta). 
 
 5
2. CARREGAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DAS CARGAS PARA AS VIGAS 
� Cargas Permanentes (g) 
Concreto armado 25 kN/m3 
Tijolo furado 13 kN/m3 
Por Volume 
Tijolo maciço 18 kN/m3 
 
Pavimentação 1,0 kN/m2 Por Área 
Revestimento 1,0 kN/m2 
 
� Cargas Acidentais (q) 
Residência (dormitório, sala, copa, cozinha, banheiro) 1,5 kN/m2 
Residência (despensa, área de serviço, lavanderia) 2,0 kN/m2 
Escritórios comerciais (salas, banheiros) 2,0 kN/m2 
Biblioteca (sala de leitura) 2,5 kN/m2 
Biblioteca (sala para depósito de livros) 4,0 kN/m2 
Biblioteca (sala com estante de livros) 6,0 kN/m2 
Escadas (com acesso ao público) 3,0 kN/m2 
Por Área 
Escadas (sem acesso ao público) 2,5 kN/m2 
 
Transferência de cargas das lajes para as vigas pelo método das linhas de ruptura: 
 
Figura 2.1 – Método das linhas de ruptura (face inferior da laje) 
 6
 
3. FLEXÃO, ESTÁDIOS E ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
 
Figura 3.1 – Flexão pura e flexão simples em vigas 
 
 
Figura 3.2 – Viga de Stuttgart (Flexão simples e pura) 
 
 
 
 
 7
A Teoria da Flexão ou Hipótese de Bernoulli ou Teoria de Bernoulli-Navier, utilizadas para vigas 
esbeltas e medianamente esbeltas (L/h ≥ 3), considera que as seções das vigas indeformadas 
permanecem planas após deformadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 – Hipótese de Bernoulli (Seções Planas) 
 
TIPOLOGIA DAS VIGAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Tipologia das vigas 
 
(a) Viga com Armadura Simples (Simplesmente Armada) 
(b) Viga com Armadura Dupla (Duplamente Armada) 
(c) Viga de Seção “T” 
compressão 
tração 
compressão 
tração 
compressão 
tração 
 8
ESTÁDIOS DE CARREGAMENTO: 
 
 
 
Figura 3.5 – Estádios de carregamento 
 
 9
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ESTÁDIO III) 
 
Figura 3.6 – Estado Limite Último 
Rcc = 0,85 fcd b 0,8 x = 0,68 fcd b x 
Rst = As σst 
 
Equilíbrio: 
Md = Rcc z = 0,68 fcd b x (d – 0,4 x) = 0,68 (x/d) [1 – 0,4 (x/d)] b d2 fcd 
Sendo: kx = x/d e kz = z/d 
Md = 0,68 kx [1 – 0,4 kx] b d2 fcd 
Sendo: kmd = 0,68 kx [1 – 0,4 kx] 
Md = kmd b d2 fcd 
kmd = Md / (b d2 fcd) 
kmd = 0,68 kx [1 – 0,4 kx] 
-0,27 kx2 + 0,68 kx – kmd = 0 .(-1) 
0,27 kx2 - 0,68 kx + kmd = 0 
kx = [-B ± (B2 – 4AC)1/2]/(2 A) 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 
z/d = (d – 0,4 x)/d 
kz = 1 – 0,4 kx 
Md = Rst z = σst As z 
Md /d = σst As z/d 
 Md /d = σst As kz 
As = Md /( kz d σst) 
 10
 
4. ESTÁDIO LIMITE ÚLTIMO (ELU), DOMÍNIOS, DIMENSIONAMENTO DE VIGAS 
DE SEÇÂO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 
 
Figura 4.1 – Estádios de carregamento 
 
Figura 4.2 – Domínios de deformação 
 
 
 
 11
 
Denomina-se: 
Viga fracamente-armada: Dom. 2 com As < As, mín Ruptura Frágil (Evitar) 
Viga sub-armada Dom. 2 com As ≥ As, min ou Dom. 3 Ruptura Dúctil (Ok) 
Viga normalmente-armada Limite Dom. 3-4 Ruptura ainda Dúctil (Ok) 
Viga super-armada Dom. 4 Ruptura Frágil (Evitar) 
 
EXERCÍCIO: 
4.1.Determine os domínios de cada viga conforme as deformações específicas fornecidas: 
 
 12
 
Figura 4.3 – Limites dos domínios de deformação 
 
 
 
Figura 4.4 – Relação do kx com os domínios de deformação 
 
 
 
 
 
 
 
 13
ROTEIRO PARA DIMENSIONAMENTO: 
 
CÁLCULO DO As,min: 
As,min = ρmín (b . h) 
 
Tabela 4.1 – Taxa de armadura mínima (ρmín) 
 
 14
 
5. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS (ANCORAGEM, TRANSPASSE, ARMADURA 
SOBRE-APOIO, ARMADURA DE PELE, PORTA-ESTRIBOS) 
 
 
Armaduras 
 
 
 
Figura 5.1 – Tipos de armadura 
 
A armadura positiva do vão 1 é dimensionada pelo momento fletor máximo no LVÃO1, a armadura 
positiva do vão 2 é dimensionada pelo momento fletor máximo no LVÃO2 e a armadura negativa é 
dimensionada pelo momento fletor negativo máximo que aparece sobre o apoio intermediário. 
 
A armadura sobre-apoio é calculada como maior ou igual a 1/3 do As da armadura positiva do 
referido vão. 
 
A armadura de pele só é necessária, segundo a norma NBR6118:2003, para vigas com altura maior 
que 60 cm. A norma recomenda que se calcule essa armadura como maior ou igual a 0,10% da área 
da seção transversal da viga para cada face. Esse tipo de armadura longitudinal deve ser corrida, 
distribuída nas duas faces da viga e espaçada não mais que 20 cm. Além disso, deve-se usar 
somente barras de alta aderência. 
 
O Porta–Estribo é uma armadura adotada com a função única de segurar os estribos. 
 
Diagrama Deslocado 
 
Para detalhar as armaduras de uma viga, a primeira coisa a ser feita é deslocar o diagrama do 
momento fletor a uma distância al. Sendo: 
 



=
45aestribosd2,0
90aestribosd5,0
a 0
0
l 
 15
 
 
Figura 5.2 – Diagrama de momento fletor deslocado 
 
Comprimento de Ancoragem (lb e lb,nec) 
 
Deve-se ancorar uma barra tracionada em uma região comprimida a uma distância lb, além do 
diagrama deslocado. Porém, como o As calculado é sempre menor que o As adotado, a 
NBR6118:2003 permite que se reduza o lb para lb,nec. 
 





φ≥φ==
mm100
10
l3,0
A
A
f
f
4A
All
b
adot,s
calc,s
bdyd
adot,s
calc,s
bnec,b 








γ
ηηη=
c
inf,ctk
321bd
f
f 
f21,0f 3/2ckinf,ctk = 





−
−
−
=η
)50CAnervuradasbarras(25,2
)60CAentalhadasbarras(4,1
)25CAlisasbarras(0,1
1 
 16



=η )aderênciamá(7,0
)aderênciaboa(0,1
2 ( )




>φφ−
≤φ
=η )mm32(
100
132
)mm32(0,1
3 
 
E define-se a zona de boa ou má aderência da seguinte maneira: 
 
 
Figura 5.3 – Zonas de boa e má aderência 
 
Além disso, a NBR6118:2003 permite que se reduza o comprimento de ancoragem em mais 30% 
caso seja usado gancho na barra (virada da barra). 
 
 
Figura 5.4 – Barras com comprimento de ancoragem necessário com e sem gancho 
 
O comprimento do gancho deve ser: 
 
 17
 
Figura 5.5 – Tamanhos dos ganchos 
 
Raio de Curvatura das Barras 
 
Para dobrar uma barra, deve-se respeitar os seguintes diâmetros internos de curvatura (Pinos de 
dobramento – D) 
 
Figura 5.6 – Diâmetros de dobramento 
 
Emenda por Transpasse 
 
Outro assunto importante é o do transpasse de armaduras. A emenda de barras pode ser denominada 
de transpasse, porém essa emenda introduz tensões de tração e de compressão na região. Para evitar 
altas concentrações de tensão, deve-se limitar a quantidade de emendas numa mesma seção. 
 
A NBR 6118:2003 considera as emendas na mesma seção transversal quando a extremidades mais 
próximas estejam afastadas menos que 20 % do maior comprimento de transpasse, como mostrado 
na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.7 - Emendas supostas na mesma seção transversal. 
 18
 
 
 19
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
� Dimensione e detalhe as armaduras da viga V4 apresentada na planta de fôrma abaixo. Considere 
que não há alvenaria sobre as lajes. Há alvenaria de tijolo furado somente sobre as vigas. Também 
considere que as lajes L1 e L2 estão engastadas uma na outra. 
5.1. Utilize fck = 20 MPa, h = 90 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 6,00 cm2 
5.2. Utilize fck = 20 MPa, h = 80 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 6,86 cm2 
5.3. Utilize fck = 20 MPa, h = 70 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 8,14 cm2 
5.4. Utilize fck = 20 MPa, h = 60 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 10,25 cm2 
5.5. Utilize fck = 20 MPa, h = 50 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : É necessário redimensionar a seção (domínio 4) 
5.6. Utilize fck = 30 MPa, h = 90 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 5,92 cm2 
5.7. Utilize fck = 30 MPa, h = 80 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 6,77cm2 
5.8. Utilize fck = 30 MPa, h = 70 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 7,89 cm2 
5.9. Utilize fck = 30 MPa, h = 60 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 9,53 cm2 
 20
5.10. Utilize fck = 30 MPa, h = 50 cm e sobre-carga de sala residencial. 
Resposta : As = 12,52 cm2 
 
EXERCÍCIO: 
5.11. Dimensione e detalhe as armaduras da viga apresentada na figura abaixo. Considere essa viga 
com dois trechos em balanço, carregada apenas por uma alvenaria de tijolo furado de 1,5 m de 
altura e pelo seu peso próprio. Utilize fck = 25 MPa. 
Resposta : As, positivo = 1,94 cm2 e As, negativo = 1,35 cm2 
 
 21
6. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA 
DUPLA 
 
Figura 6.1 – Seção retangular com armadura dupla 
 
 
 
Tabela 6.1 – Valores das constantes k’s limites 
� Para Momento Fletor Positivo: 
kmd 3-4 = 0,320 kx 3-4 = 0,628 kz 3-4 = 0,749 
� Para Momento Fletor Negativo (para aumentar a ductilidade): 
kmd = 0,272 kx = 0,500 kz = 0,800 (fck ≤ 35 Mpa) 
 
kmd,lim , 
kx,lim e 
kz,lim 
(NBR6118:2003) kmd = 0,228 kx = 0,400 kz = 0,840 (fck > 35 Mpa) 
 
 22
 
Figura 6.2 – Esforços na seção retangular com armadura dupla 
 
OBS1: A NBR6118 não explicita nenhuma limitação para o dimensionamento de vigas com 
armadura dupla. 
OBS2: A Norma Russa limita o uso da armadura dupla para kmd > 0,425, ou seja, Md2 = Md1/3. 
Por isso recomenda-se o uso de vigas com armaduras dupla somente quando Md2 ≤ Md1/3. Caso 
contrário, melhor optar pelo uso da viga de seção “T”. 
 
EXERCÍCIOS: 
6.1.Dimensione e detalhe as armaduras da viga V4 do exercício 5 do capítulo 5, calculando com 
armadura dupla. 
Resposta : As = 13,7 cm2 e A’s = 1,1 cm2 
 
6.2.Dimensione as armaduras longitudinais de uma viga duplamente armada (veja figura abaixo). 
Considere um momento fletor positivo Mk = 165 kNm. Também considere o uso de aço CA-50 
(para armaduras longitudinais) e o concreto com fck = 20MPa. 
Resposta : As = 15,3 cm2 e A’s = 2,6 cm2 
 
 23
7. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE SEÇÃO “T” COM ARMADURA SIMPLES 
 
 
Figura 7.1 – Geometria da viga de seção “T” 
 
 



≤
b5,0
a1,0
b
2
1 



≤
b
a1,0
b
4
3 
Sendo: 
b2 = distância entre as faces de duas vigas sucessivas; 
b4 = distância entre a face da viga seção “T” ao bordo livre; 
a = distância entre os pontos de momento nulo na viga seção “T”. 
 
 
Figura 7.2 – Valores do “a” 
 
 24
 
Figura 7.3 – Altura útil de comparação (do) 
 
Se d = do � y = hf � Linha Neutra tangente à mesa � 1o Caso 
Se d > do � y < hf � Linha Neutra dentro da mesa � 1o Caso 
Se d < do � y > hf � Linha Neutra dentro da nervura � 2o Caso 
 
Figura 7.4 – Viga de seção “T” do 1o caso 
 
 25
 
Figura 7.5 – Viga de seção “T” do 2o caso 
 
OBS: As armaduras negativas que engastam uma laje na outra podem ser consideradas como 
Armadura de Ligação Mesa-Alma, desde que se respeite uma armadura mínima de 1,5 cm2/m. 
 
Figura 7.6 – Detalhe da armadura de ligação mesa-alma na viga de seção “T” 
 
EXERCÍCIOS: 
7.1.Dimensione e detalhe as armaduras da viga V4 do exercício 5 do capítulo 5, calculando como 
seção “T”. 
Resposta : As = 10,39 cm2 
 
 26
8. DIMENSIONAMENTO AO ESFORÇO CORTANTE 
 
 
Figura 8.1 – Modelo da Treliça de Morsch para cálculo dos estribos de vigas 
 
 
 
 27
 
 
 
Figura 8.2 – Seção transversal da faixa dos estribos 
 
 28
 
Figura 8.3 – Detalhamento dos estribos 
EXERCÍCIO: 
8.1.Dimensione e detalhe os estribos da viga V1 da figura abaixo, calculada como modelo II. 
Suponha o seguinte carregamento sobre a laje: g+q = 12,37 kN/m2. Suponha carga de uma 
alvenaria de tijolo furado de 15cm x 2,4m sobre a viga V1. Utilize estribos CA-60 e altura útil 
d=55cm. 
Resposta : As = 2,93 cm2/m 
 
 
 29
9. DIMENSIONAMENTO A TORÇÃO 
 
Quando uma viga é submetida à torção simples, suas seções transversais, inicialmente planas, se 
empenam, devido aos diferentes alongamentos longitudinais de suas fibras. Se não houver nenhuma 
restrição ao empenamento como apoios, a barra estará livre de tensões normais e a torção é 
denominada “torção de Saint Venant”. 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 – Treliça de Morsch espacial para análise de torção 
 
 
 
 
 
 
Para Torção de Compatibilidade, é possível desprezar a taxa geométrica mínima, desde que o 
elemento estrutural tenha adequada capacitação de adaptação plástica e que todos os outros esforços 
sejam calculados desprezando a torção. Porém, em regiões onde o comprimento do elementos seja 
menor ou igual a 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se 
respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que VSd ≤ 0,7VRd2. 
 30
 
GEOMETRIA PARA ANÁLISE A TORÇÃO: 
 
 
 
Figura 9.2 – Geometrias para análise de torção 
 
 
 
ANÁLISE A TORÇÃO PURA: 
 
A NBR6118:2003 alerta que a inclinação da biela comprimida utilizada para o esforço cortante 
deve ser a mesma inclinação para o momento torçor. 
 
 31
 
 
Figura 9.3 – Estribos 
 
 
 
Figura 9.4 – Armaduras longitudinais (armadura de pele) 
 
 32
 33
 
10. LAJES 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.1 – Tipos de lajes 
 
 
Espessuras Mínimas das Lajes: 
 
h ≥ 5 cm � Cobertura não em balanço; 
h ≥ 7 cm � Piso ou Cobertura em balanço; 
h ≥ 10 cm � Com veículo de peso ≤ 30 kN; 
h ≥ 12 cm � Com veículo de peso > 30 kN; 
h ≥ 15 cm � Com protensão; 
h ≥ 16 cm � Para laje lisa; 
h ≥ 14 cm � Para laje cogumelo. 
 
 
 
Classificação das lajes retangulares apoiadas em todo o contorno: 
 34
 
Figura 10.2 – Lajes em cruz e em 1 só direção 
 
 
Laje em uma só direção: 
 
Figura 10.3 – Lajes em 1 só direção isoladas 
 35
 
 
Figura 10.4 – Lajes em 1 só direção contínuas 
Laje em cruz: 
 
Figura 10.5 – Lajes em cruz isoladas (Casos 1 e 2) 
 36
 
Figura 10.6 – Lajes em cruz isoladas (Casos 3 e 4) 
 
Figura 10.7 – Lajes em cruz isoladas (Casos 5 e 6) 
Regra para a escolha do vão principal (Lx) : 
1o - Maior número de engastes; 
2o – Menor vão. 
 37
 
Figura 10.8 – Lajes em cruz contínuas 
 
 
O cálculo estrutural da laje é igual o da viga, sendo com b=1m: 
kmd = Md / (b d2 fcd) = Md / (1 d2 fcd), kx, kz e As. 
 
Tabela 10.1 – Armadura mínima de lajes (NBR6118:2003) 
Armaduras Positivas 
Laje em 1 direção 
 
 
Armaduras 
Negativas 
Laje em Cruz 
(Lx e Ly) 
Armadura Principal Armadura Secundária 
hb
As
s
=ρ ρ≥ρ míns ρ≥ρ míns 67,0 ρ≥ρ míns A%20A princ,ss ≥ 
m/cm9,0A 2s ≥ 
ρ≥ρ princs 5,0 
 
 
 38
Tabela 10.2 – Taxa de armadura mínima (NBR6118:2003) 
fck (MPa) 
20 25 30 35 40 
(%)
mínρ 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 
 
Bitolas Máximas e Espaçamentos Máximos: 
Bitola Máxima � 
8
h≤φ 
Espaçamento Máximo para Armadura Principal: 



≤
h2
cm20
S 
Espaçamento Máximo para Armadura Secundária: cm33S ≤ 
 
Detalhamento das Armaduras: 
 
Figura 10.9 – Detalhamento das armaduras negativas 
 
 39
 
Figura 10.10 – Critério para interrupção das armaduras negativas 
 
 
Figura 10.11 – Detalhamento das armaduras negativas em laje em balanço 
 
 40
 
Figura 10.12 – Detalhamento das armaduras positivas 
EXERCÍCIO: 
10.1.Dimensione e detalhe as lajes L1 e L2 da figura abaixo. Suponha que as lajes tenham sobre-
carga de dormitório residencial. Não há alvenaria sobre as lajes, exceto na extremidade do 
balanço, onde há uma alvenaria de tijolo furado com 3m de altura. Considere fck = 20 MPa e 
altura útil das lajes d = 7cm. 
Resposta : L1 (Asx,pos = 2,21 cm2/m e Asy,pos = 1,39 cm2/m) e L2 (Asx,neg = 4,62 cm2/m) 
 
 41
10.2.Dimensione e detalhe somente a laje L1 do exercício anterior como laje premoldada (treliçada) 
e como laje nervurada. Suponha uma altura de 15 cm para laje treliçada (d = 13 cm) com 3cm 
de capa. E para laje nervurada, suponha 25 cm de altura (d = 23 cm) com 4 cm de capa. 
Resposta : Laje Treliçada (Asx,pos = ?? cm2/vigota) e Laje Nervurada (Asx,pos = ?? cm2/nervura e 
Asy,pos = ?? cm2/nervura) 
 
 42
11. LAJE MACIÇA 
 
 
 
 
fcd = fck/1,4 = 20 / 1,4 = 14,28 MPa 
fyd = fyk/1,15 = 500 / 1,15 = 434,78 MPa 
 
 
(a) Carregamento: 
 
PP = 25 . 0,10 = 2,5 kN/m2 
Rev = 1,0 kN/m2 
Pav = 1,0 kN/m2 
Alv = 0,0 kN/m2 
S.C. = 2,0 kN/m2 
TOTAL = 6,5 kN/m2 
 
 
(b) Análise (Marcus): 
 
λ = ly/lx = 1 
Mx = My = p lx2/mx = 6,5 . (5)2/27,43 = 5,47 kNm/m � Md = 1,4 . 5,47 = 7,66 kNm/m 
 
 
(c) Dimensionamento: 
 
kmd = Md / (b d2 fcd) = 7660 / (1 . 0,072 . 14,28 . 106) = 0,109 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 = 0,173 (domínio 2) 
εcd = [kx / (1-kx)] εsd = 2,094%o 
εsd = 10%o 
 43
β = 1,25 [ 1 – (0,67 / εsd)] = 0,850 
kmd, corr = kmd / β = 0,129 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 = 0,207 (domínio 2) 
kz = 1 – 0,4 kx = 0,917 
As = Md / (kz d σsd) = 2,74 cm2/m �9 barras�8 espaç�100/8 = 12,5cm � ϕ 6,3mm c/ 12,5 cm 
As,mín = 0,67 . 0,15% . (100 . 10) = 1,00 cm2/m 
 
(d) Detalhamento das Armaduras 
 
Detalhamento das Armaduras Positivas: 
 
 
Detalhamento das Armaduras Negativas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44
 
12. LAJE NERVURADA 
 
 
 
 
** Utilizando a fôrma de 61 cm x 61 cm com altura de 21 cm � A laje fica com h = 26 cm. 
 
 
 
 
 45
 
 
 
fcd = fck/1,4 = 20 / 1,4 = 14,28 MPa 
fyd = fyk/1,15 = 500 / 1,15 = 434,78 MPa 
 
 
(a) Carregamento: 
 
PP = 25.[(6,5 . 6,5 . 0,26)m3 – 
-100cxs.(0,056m3)]/ (6,5 . 6,5) m2 = 3,19 kN/m2 
Rev = 1,0 kN/m2 
Pav = 1,0 kN/m2 
Alv = 0,0 kN/m2 
S.C. = 2,0 kN/m2 
TOTAL = 7,19 kN/m2 
 
 
(b) Análise (Marcus) – Pode-se usar Marcus para laje nervurada somente se a linha neutra cair 
dentro da mesa (x ≤ 5 cm). Caso contrário, deve-se dimensionar cada nervura como viga “T” caso 
2. 
 
 
λ = ly/lx = 1 
Mx = My = p lx2/mx = 7,19 . (6,5)2/27,43 = 11,07 kNm/m � Md = 1,4 . 11,07 = 15,50 kNm/m 
 
 46
 
(c) Dimensionamento: 
 
kmd = Md / (b d2 fcd) = 15500 / (1 . 0,212 . 14,28 . 106) = 0,025 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 = 0,037 (domínio 2) 
εcd = [kx / (1-kx)] εsd = 0,384%o 
εsd = 10%o 
β = 0,59 (εsd)1/2 = 0,366 
kmd, corr = kmd / β = 0,067 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 = 0,134 (domínio 2) � x = kx d = 2,81 cm < 5 cm � OK 
kz = 1 – 0,4 kx = 0,946 
As = Md / (kz d σsd) = 1,79 cm2/m .(0,61m) = 1,09 cm2/nervura � 1 ϕ 12,5 mm c/ nervura 
As,mín = 0,15% . (554,6) = 0,83 cm2/m 
 
 
 
 
 47
(d) Detalhamento das Armaduras: 
 
Detalhamento das Armaduras Positivas: 
 
 
Detalhamento das Armaduras Negativas: 
 
 
 48
 
13. LAJE PREMOLDADA (VOLTERRANA OU TRELIÇADA) 
 
 
 
 
 
 
fcd = fck/1,4 = 20 / 1,4 = 14,28 MPa 
fyd = fyk/1,15 = 500 / 1,15 = 434,78 MPa 
 
 
(a) Carregamento: 
 
PP = 1,85 kN/m2 
Rev = 1,0 kN/m2 
Pav = 1,0 kN/m2 
Alv = 0,0 kN/m2 
S.C. = 2,0 kN/m2 
TOTAL = 5,85 kN/m2 
 
 
 49
 
 
 
 
(b) Análise em uma única direção – Pode-se calcular como laje em única direção somente se a 
linha neutra cair dentro da mesa (x ≤ 3 cm). Caso contrário, deve-se dimensionar cada vigota como 
viga “T” caso 2. 
 
Mx = p lx2/8 = 5,85 . (3)2 / 8 = 6,58 kNm/m � Md = 1,4 . 6,58 = 9,21 kNm/m 
 
(c) Dimensionamento: 
 
kmd = Md / (b d2 fcd) = 9210 / (1 . 0,072 . 14,28 . 106) = 0,132 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 = 0,212 (domínio 2) 
εcd = [kx / (1-kx)] εsd = 2,684%o 
εsd = 10%o 
β = 1,25 [ 1 – (0,67 / εsd)] = 0,938 
kmd, corr = kmd / β = 0,140 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 = 0,227 (domínio 2) � x = kx d = 1,59 cm < 3 cm � OK 
kz = 1 – 0,4 kx = 0,909 
As = Md / (kz d σsd) = 3,33 cm2/m .(0,42m) = 1,40 cm2/nervura 
As,mín = 0,15% . (193,5) = 0,29 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 50
 
(d) Detalhamento das vigotas 
 
 
 
 
OBS: Colocar na mesa uma armadura mínima que deve ficar sobre os tijolos (ϕ 5mm c/ 33 cm). 
 
 51
 
14. PILAR DE CONTRAVENTAMENTO E PILAR CONTRAVENTADO 
 
 
Figura 14.1 – Pilar contraventado e de contraventamento 
 
Simplificação para 1,1 < γz ≤ 1,2 � MVento = γz M1a ordem 
Simplificação para 1,1 < γz ≤ 1,3 � MVento = 0,95 γz M1a ordem 
 
Figura 14.2 – Análise do efeito do vento na base do pilar 
 52
 
 
Figura 14.3 – Análise do efeito da imperfeição geométricana base do pilar 
 
OBS: Utiliza-se o mais desfavorável como excentricidade inicial: 
ei = [(MVento ou MImp.Geom.) / Nd] + ei existente 
 
 53
15. PILAR CONTRAVENTADO 
 
Esbeltez: 
 
Figura 15.1 – Análise da esbeltez do pilar 
 
Índice de Esbeltez: 
 
A/I
l
i
l ee
==λ � Para seção retangular � 
h
l46,3 e=λ 
 
Sendo denominado: 
 
Pilar Curto ---------------------------------------------------- λ ≤ 35 
Pilar Medianamente Esbelto --------------------------35 < λ ≤ 90 
Pilar Esbelto ---------------------------------------------90 < λ ≤ 200 
 
Situações de cálculo: 
 54
 
 
Figura 15.2 – Tipos de pilar 
 
Momento transferido da viga para o pilar: 
 
Figura 15.3 – Momentos transferidos para o pilar 
 
rrr
rMM
vigsupinf
inf
enginf
++
= 
rrr
r
MM
vigsupinf
sup
engsup
++
= 
l
I4
r
vig
vig
vig = , 
l
I6
r
sup
sup
sup = , 
l
I6
r
inf
inf
inf = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15.4 – Momentos supondo um engastamento da viga no pilar por conta da armadura sobre o 
apoio 
Meng = -ql2/12 
M = ql2/24 
- 
+ 
- 
Meng = -ql2/12 
 55
Análise de um pilar: 
 
Esforços Solicitantes: 
N4,1N kd = e )eN(4,1M kd = 
 
Esforços Solicitantes Reduzidos: 
σ
=ν
cd
d
hb
N
 e 
σ
=µ
cd
2
d
hb
M
 
 
Área de Armadura: 
f
hbA
yd
cd
s
σϖ= 
 
.tabelaemobtidaarmaduradeTaxa−ϖ 
Figura 15.5 – Análise de um pilar sujeito a esforços solicitantes 
 
 
 
Excentricidades: 
 
e = e1 + e2 + ec 
e = excentricidade total de um eixo (x ou y); 
e1 = excentricidade de 1a ordem: e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h. 
ea = excentricidade acidental: 400
l
e
e
a = . 
(1) carga excêntrica de projeto (Ex: Viga apoiada excêntrica na seção 
do pilar). 
 
 
 
ei = excentricidade inicial 
 (2) transferência de momento de viga para o pilar (ei = Mk/Nk = 
Md/Nd). 
 
e2 = excentricidade de 2a ordem: 
( ) 




+






=
h5,0v
005,0
10
l
e
o
2
e
2 , sendo: 5,0
fA
N
v
cdc
d
o ≥= e )hb(Ac = . 
 
 56
ec = excentricidade de fluência: 








−
















−
ϕ
=
∞ 1
fP
f
expe
gex
g
c � Só é obrigatório quando λ>90 (Pilar 
Esbelto). 
 
 57
16. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 
 
(a) Pelo menos 1 barra em cada vértice; 
(b) Em seções circulares, no mínimo 6 barras. 
 
(c) Espaçamento de barras longitudinais: 
 
 
 



≤≤





φ
φ
b2
mm400
s
2,1
mm20
agreg
 
 
sendo: b = menor dimensão da seção. 
(d) O estribo serve para impedir a flambagem das barras longitudinais: 
 



φ≥φ 4/
mm5
t 
 
(e) Deve-se travar as armaduras longitudinais com estribos duplos ou grampos (gravatas): 
 
(f) Espaçamento longitudinal dos estribos deve respeitar: 
 58
 
 





−φ
≤
)50CA(12
b
mm200
st 
 
sendo: b = menor dimensão da seção. 
 
(g) Taxas de armaduras: 
 







=ρ≤
≥=ρ≥
=ρ
%0,8
%4,0
Af
N15,0
A
'A
máx
cyd
d
mín
c
s
 
 
(h) Bitola ϕ: 
 
10 mm ≤ ϕ ≤ b/8 
 
sendo: b = menor dimensão da seção. 
 59
17. CARREGAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DAS CARGAS PARA OS PILARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(i) Carregamento das Lajes (L1=L2=L3=L4) 
 
g � PP = 25 . 0,10 = 2,5 kN/m2 
 REV = 1,0 kN/m2 
 PAV = 1,0 kN/m2 
 ALV = 0,0 kN/m2 
q � SC = 1,5 kN/m2 
 g+q = 6,0 kN/m2 
(ii) Carregamento das Vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
L1 L2 
L3 L4 
V1 
V2 
V3 
V
4 
V
5 
V
6 
PC PC 
PC PC 
PE 
PE PE 
PE 
PI 
5m 5m 
5m
 
5m
 
30o 
60o 
45o 
45o 
30o 
60o 45o 
45o 
a b 
a 
b 
 60
tg30o=a/b � a=b tg30o � a+b=5 � b tg30o + b = 5 � b=3,17m 
 a=1,83m 
A1 = 5 . 1,83/2 = 4,58 m2 A2 = 5 . 3,17/2 = 7,93 m2 
 
 
 
 61
 
 
 
 62
 
18. PILAR INTERMEDIÁRIO – DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO NORMAL 
COMPOSTA RETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
fcd = 20 / 1,4 = 14,28 MPa 
 
fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa 
 
(a) Momento em X 
 
 



=+=+
=
≤
m8,23,05,2hlo
m3l
lex � lex = 2,8m 
3,32
3,0
8,246,3
h
l46,3 ex ===λ ( λx ≤ 35 � Pilar Curto) 
 
e = e1 + e2 + ec = 2,4 + 1,01 = 3,41 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 = 280/400 = 0,7 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,4 cm 
 
Pilar não é Esbelto 
Pilar Intermediário (Não há transferência de momento da viga) 
 63
( ) ( ) =




+






=





+






=
305,079,0
005,0
10
280
h5,0v
005,0
10
l
e
2
o
2
e
2 1,01 cm 
vo = Nd / (Ac fcd) = 1353,41.103 N / (0,3.0,4m2. 14,28.106N/m2) = 0,79 ≥ 0,5 
 
(b) Momento em Y 
 



=+=+
=
≤
m9,24,05,2hlo
m3l
ley � ley = 2,9m 
1,25
4,0
9,246,3
h
l46,3 ey ===λ ( λy ≤ 35 � Pilar Curto) 
 
e = e1 + e2 + ec = 2,7 + 0,81 = 3,51 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 = 290/400 = 0,73 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,7 cm 
 
( ) ( ) =




+






=





+






=
405,079,0
005,0
10
290
h5,0v
005,0
10
l
e
2
o
2
e
2 0,81 cm 
vo = Nd / (Ac fcd) = 1353,41.103 N / (0,3.0,4m2. 14,28.106N/m2) = 0,79 ≥ 0,5 
 
(C) Dimensionamento (Pilar de 6 barras) 
 
Pilar não é Esbelto 
Pilar Intermediário (Não há transferência de momento da viga) 
 64
 
 
 
 
 
 
 
93,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m4,0
N10.41,1353
hb
N
26
3
cd
d
==
σ
=ν 
11,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m4,0
Nm0341,0.10.41,1353
hb
M
2622
3
cd
2
d
===
σ
=µ 
δ=d’/h = 3/30 = 0,10 
 µ 
 0,10 0,11 0,20 
0,90 0,15 0,18 0,44 
0,93 0,18 0,21 0,46 
 
ν 
1,00 0,24 0,27 0,52 
ωωωω = 0,21 
 
 
 
 
 
 
 
 
93,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m4,0
N10.41,1353
hb
N
26
3
cd
d
==
σ
=ν 
08,0
m/N10.28,14.85,0.m4,0.m3,0
Nm0351,0.10.41,1353
hb
M
2622
3
cd
2
d
===
σ
=µ 
δ=d’/h = 4/40 = 0,10 
 µ 
 0,00 0,08 0,10 
0,90 0,00 0,13 0,16 
0,93 0,00 0,15 0,19 
 
ν 
1,00 0,00 0,21 0,26 
ω = 0,15 
x 
Mdx 
Nd 
y 
Mdy 
Nd 
 65
As = ω b h σcd / fyd = 0,21 . 30 . 40 . 0,85 . 14,28 MPa / 434,78 MPa = 7,03 cm2 � 6φ 12,5 mm 
 
(d) verificação da Taxa de Armadura 
%61,0
40.30
4
25,16
A
'A
2
c
s
=
pi
==ρ 
Na seção intermediária (6 φ 12,5mm): 
ρρρρ = 0,61% %39,0)40,0.30,0(.10.78,434
10.41,1353.15,0
Af
N15,0
6
3
cyd
d
mín ===ρ≥ ≥ 0,40% � OK (0,61%>0,40%) 
Na região do transpasse (12 φ 12,5mm): 
ρρρρ = 2 . 0,61% = 1,22% =ρ≤ máx 8%� OK 
 
(e) Estribos 
 



==φ≥φ mm13,34/5,124/
mm5
t �: adota-se φt = 5 mm 
 





==φ
=≤
mm150mm5,12.1212
mm300ensãodimmenor
mm200
st �: adota-se st = 15 cm 
 
(f) Espaçamento de barras longitudinais: 
 
 
 



==
≤≤





φ
φ=
mm600300..2b2
mm400
s
2,1
mm5,12
mm20
agreg
 � OK 
 
sendo: b = menor dimensão da seção. 
 
 (g) Estribos duplos ou grampos(gravatas): 
 66
 
20 ϕt = 20 . 0,5cm = 10 cm � deve-se travar as armaduras do meio com grampo ou gravata. 
 
(h) detalhamento 
 
 
 67
19. PILAR DE EXTREMIDADE – DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO NORMAL 
COMPOSTA RETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Momento em X 
 



=+=+
=
≤
m7,22,05,2hlo
m3l
lex � lex = 2,7m 
71,46
2,0
7,246,3
h
l46,3 ex ===λ (35< λx ≤ 90 � Pilar Medianamente Esbelto) 
 
 
(a.1) Seções 1 e 3 
 
 
 
 
 
Nd = 524,66 kN 
Seção 2 
30 cm 
20 cm 
Seção 1 
Seção 3 
25,78 kN/m 
25,78 kN/m 
V2 
V2 
V4 
V4 
MENG MENG 
MENG MENG 
MENG = Q l2/12 
MENG = 25,78 . (5)2 / 12 = 53,71 kNm 
fcd = 20/1,4 = 14,28 MPa 
fyd = 500/1,15 = 434,78 MPa 
e1 e2 ec 
h = 20cm 
b 
=
 
30
cm
 
 68
 
 
e = e1 + e2 + ec = 3,66 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 + ei = 270/400 + 2,98 = 0,68 + 2,98 = 3,66 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,1 cm 
m10.25,1
m5
m)12/50,0.15,0(4
l
I4
r
33
43
vig
vig
vig
−
=== 
m10.44,4
m7,2
m)12/20,0.30,0(6
l
I6
rr
34
43
sup
sup
infsup
−
==== 
kNm15,11
10.25,110.44,410.44,4
10.44,471,53
rrr
r
MMM 344
4
viginfsup
sup
enginfsup =
++
=
++
==
−−−
−
 
eia = eib = 1,4 Msup/Nd =1,4 . 11,15 kNm / 524,66 kN = 0,0298 m = 2,98 cm 



≥
e
e
e
ib
ia
i � ei = 2,98 cm 
 
 
 
(a.2) Seção 2 
 
 
 
 
 
 
e = e1 + e2 + ec = 2,1 + 1,64 = 3,74 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 + ei = 270/400 + 2,98 = 0,68 + 1,19 = 1,87 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,1 cm 
eia = eib = 2,98 cm 



==
=−+=+
≥
cm19,198,2.4,0e4,0
cm60,0)98,2(.4,098,2.6,0e4,0e6,0
e
ia
ibia
i � ei = 1,19 cm 
( ) ( ) =




+






=





+






=
205,061,0
005,0
10
270
h5,0v
005,0
10
l
e
2
o
2
e
2 1,64 cm 
vo = Nd / (Ac fcd) = 524,66.103 N / (0,2.0,3m2. 14,28.106N/m2) = 0,61 ≥ 0,5 
Pilar não é Esbelto 
Seção Indeslocável 
Pilar não é Esbelto 
e1 e2 ec 
h = 20cm 
b 
=
 
30
cm
 
 69
(b) Momento em Y 
 



=+=+
=
≤
m8,23,05,2hlo
m3l
ley � ley = 2,8m 
29,32
3,0
8,246,3
h
l46,3 ey ===λ (λy ≤ 35 � Pilar Curto) 
 
 
(b.1) Seções 1 e 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e = e1 + e2 + ec = 2,4 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 + ei = 280/400 + 0 = 0,7 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,4 cm 
 
 
 
(b.2) Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
e = e1 + e2 + ec = 2,4 + 1,18 = 3,58 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 + ei = 280/400 + 0 = 0,7 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,4 cm 
( ) ( ) =




+






=





+






=
305,061,0
005,0
10
280
h5,0v
005,0
10
l
e
2
o
2
e
2 1,18 cm 
b = 20cm 
e1 
e2 
ec 
h 
=
 
30
cm
 
Pilar não é Esbelto 
Seção Indeslocável 
V4 não transmite momento ao pilar 
Pilar não é Esbelto 
V4 não transmite momento ao pilar 
b = 20cm 
e1 
e2 
ec 
h 
=
 
30
cm
 
 70
vo = Nd / (Ac fcd) = 524,66.103 N / (0,2.0,3m2. 14,28.106N/m2) = 0,61 ≥ 0,5 
(C) Dimensionamento (Pilar de 4 barras) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
N10.66,524
hb
N
26
3
cd
d
==
σ
=ν 
13,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
Nm0366,0.10.66,524
hb
M
2622
3
cd
2
d
===
σ
=µ 
δ=d’/h = 3/20 = 0,15 
 µ 
 0,10 0,13 0,20 
0,70 0,00 0,11 0,35 
0,72 0,01 0,12 0,36 
 
ν 
0,80 0,06 0,17 0,41 
ωωωω = 0,12 
 
x 
Mdx 
Nd 
 71
 
 
 
 
 
 
 
 
72,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
N10.66,524
hb
N
26
3
cd
d
==
σ
=ν 
13,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
Nm0374,0.10.66,524
hb
M
2622
3
cd
2
d
===
σ
=µ 
δ=d’/h = 3/20 = 0,15 
 
(IDEM) 
ωωωω = 0,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
N10.66,524
hb
N
26
3
cd
d
==
σ
=ν 
06,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
Nm024,0.10.66,524
hb
M
2622
3
cd
2
d
===
σ
=µ 
δ=d’/h = 3/30 = 0,10 
y 
Mdy 
Nd 
x 
Mdx 
Nd 
 72
 µ 
 0,00 0,06 0,10 
0,70 0,00 0,00 0,00 
0,72 0,00 0,01 0,01 
 
ν 
0,80 0,00 0,04 0,06 
ω = 0,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
N10.66,524
hb
N
26
3
cd
d
==
σ
=ν 
09,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
Nm0358,0.10.66,524
hb
M
2622
3
cd
2
d
===
σ
=µ 
δ=d’/h = 3/30 = 0,10 
 µ 
 0,00 0,09 0,10 
0,70 0,00 0,00 0,00 
0,72 0,00 0,01 0,01 
 
ν 
0,80 0,00 0,05 0,06 
ω = 0,01 
 
As = ω b h σcd / fyd = 0,12 . 20 . 30 . 0,85 . 14,28 MPa / 434,78 MPa = 2,01 cm2 � 4 φ 10 mm 
(d) verificação da Taxa de Armadura 
%52,0
30.20
4
14
A
'A
2
c
s
=
pi
==ρ 
Na seção intermediária (4 φ 10 mm): 
y 
Mdy 
Nd 
 73
ρρρρ = 0,52% %30,0)30,0.20,0(.10.78,434
10.66,524.15,0
Af
N15,0
6
3
cyd
d
mín ===ρ≥ ≥ 0,40% � OK (0,52%>0,40%) 
Na região do transpasse (8 φ 10 mm): 
ρρρρ = 2 . 0,52% = 1,04% =ρ≤ máx 8%� OK 
 
(e) Estribos 



==φ≥φ mm5,24/104/
mm5
t �: adota-se φt = 5 mm 
 





==φ
=≤
mm120mm10.1212
mm200ensãodimmenor
mm200
s t �: adota-se st = 12 cm 
 
(f) Espaçamento de barras longitudinais: 
 
 



==
≤≤





φ
φ=
mm400200..2b2
mm400
s
2,1
mm10
mm20
agreg
 � OK 
 
sendo: b = menor dimensão da seção. 
 
 (g) Estribos duplos ou grampos (gravatas): 
Não há barras soltas. Todas as 4 barras já estão travadas por se localizarem nos vértices dos 
estribos. 
 
(h) detalhamento 
 
 
 74
20. PILAR DE CANTO – DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO NORMAL COMPOSTA 
OBLÍQUA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Momento em X (e1, e2, ec) + Momento em Y (ei) 



=+=+
=
≤
m7,22,05,2hlo
m3l
lex 
lex = 2,7m 
71,46
2,0
7,246,3
h
l46,3 ex ===λ 
(35< λx ≤ 90 � Pilar Medianamente Esbelto) 



=+=+
=
≤
m8,23,05,2hlo
m3l
ley 
lex = 2,8m 
29,32
3,0
8,246,3
h
l46,3 ey ===λ 
(λy ≤ 35 � Pilar Curto) 
 
 
(a.1) Seções 1 e 3 
 
 
 
 
 
 
e = e1 + e2 + ec = 4,53 cm 
 
MENG = Q l2/12 
MENG,x = MENG,y = 12,25 . (5)2 / 12 = 25,52 kNm 
fcd = 20/1,4 = 14,28 MPa 
fyd = 500/1,15 = 434,78 MPa 
Pilar não é Esbelto 
Seção Indeslocável 
Nd = 192,95 kN 
Seção 2 
30 cm 
20 cm 
Seção 1 
Seção 3 
 75
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 + ei = 270/400 + 3,85 = 0,68 + 3,85 = 4,53 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,1 cm 
m10.25,1
m5
m)12/50,0.15,0(4
l
I4
r
33
43
vig
vig
vig
−
=== 
m10.44,4
m7,2
m)12/20,0.30,0(6
l
I6
rr
34
43
sup
sup
infsup
−
==== 
kNm30,5
10.25,110.44,410.44,4
10.44,452,25
rrr
r
MMM 344
4
viginfsup
sup
enginfsup =
++
=
++
==
−−−
−
 
eia = eib = 1,4 Msup/Nd =1,4 . 5,30 kNm / 192,95 kN = 0,0385 m = 3,85 cm 



≥
e
e
e
ib
ia
i � ei = 3,85 cm 
 
Cálculo do ei em Y 
m10.25,1
m5
m)12/50,0.15,0(4
l
I4
r
33
43
vig
vig
vig
−
=== 
m10.64,9
m8,2
m)12/30,0.20,0(6
l
I6
rr
34
43
sup
sup
infsup
−
====kNm74,7
10.25,110.64,910.64,9
10.64,952,25
rrr
r
MMM 344
4
viginfsup
sup
enginfsup =
++
=
++
==
−−−
−
 
eia = eib = 1,4 Msup/Nd =1,4 . 7,74 kNm / 192,95 kN = 0,0562 m = 5,62 cm 



≥
e
e
e
ib
ia
i � ei = 5,62 cm 
 
 
 
 
(a.2) Seção 2 
 
 
 
 
 
 
e = e1 + e2 + ec = 2,22 + 1,82 = 4,04 cm 
 
Pilar não é Esbelto 
 76
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 + ei = 270/400 + 1,54 = 0,68 + 1,54 = 2,22 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,1 cm 
eia = eib = 3,85 cm 



==
=−+=+
≥
cm54,185,3.4,0e4,0
cm77,0)85,3(.4,085,3.6,0e4,0e6,0
e
ia
ibia
i � ei = 1,54 cm 
( ) ( ) =




+







=





+






=
205,05,0
005,0
10
270
h5,0v
005,0
10
l
e
2
o
2
e
2 1,82 cm 
vo = Nd / (Ac fcd) = 192,95.103 N / (0,2.0,3m2. 14,28.106N/m2) = 0,23 ≥ 0,5 
 
Cálculo do ei em Y 



==
=−+=+
≥
25,262,5.4,0e.4,0
12,1)62,5(.4,062,5.6,0e4,0e6,0
e
ib
ibia
i � ei = 2,25 cm 
 
(b) Momento em Y (e1, e2, ec) + Momento em X (ei) 



=+=+
=
≤
m7,22,05,2hlo
m3l
lex 
lex = 2,7m 
71,46
2,0
7,246,3
h
l46,3 ex ===λ 
(35< λx ≤ 90 � Pilar Medianamente Esbelto) 



=+=+
=
≤
m8,23,05,2hlo
m3l
ley 
lex = 2,8m 
29,32
3,0
8,246,3
h
l46,3 ey ===λ 
(λy ≤ 35 � Pilar Curto) 
 
 
 
(b.1) Seções 1 e 3 
 
 
 
 
 
 
 
e = e1 + e2 + ec = 6,32 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
Pilar não é Esbelto 
Seção Indeslocável 
 77
e1 = le/400 + ei = 280/400 + 5,62 = 0,70 + 5,62 = 6,32 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,4 cm 
 
eia = eib = 1,4 Msup/Nd =1,4 . 7,74 kNm / 192,95 kN = 0,0562 m = 5,62 cm 



≥
e
e
e
ib
ia
i � ei = 5,62 cm 
 
Cálculo do ei em X 



≥
e
e
e
ib
ia
i � ei = 3,85 cm 
 
 
(b.2) Seção 2 
 
 
 
 
 
e = e1 + e2 + ec = 2,95 + 1,31 = 4,26 cm 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 + ei = 280/400 + 2,25 = 0,70 + 2,25 = 2,95 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,4 cm 
 
eia = eib = 5,62 cm 



==
=−+=+
≥
cm25,2 cm 5,62.4,0e4,0
cm12,1) cm 5,62(.4,0 cm 5,62.6,0e4,0e6,0
e
ia
ibia
i � ei = 2,25 cm 
 
( ) ( ) =




+







=





+






=
305,05,0
005,0
10
280
h5,0v
005,0
10
l
e
2
o
2
e
2 1,31 cm 
vo = Nd / (Ac fcd) = 192,95.103 N / (0,2.0,3m2. 14,28.106N/m2) = 0,23 ≥ 0,5 
Cálculo do ei em X 



==
=−+=+
≥
54,185,3.4,0e.4,0
77,0)85,3(.4,085,3.6,0e4,0e6,0
e
ib
ibia
i � ei = 1,54 cm 
 
Pilar não é Esbelto 
 78
 
(C) Dimensionamento (Pilar de 4 barras – adotando d’x/hx = d’y/hy = 0,10) 
 
 
2,026,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
N10.95,192
hb
N
26
3
cd
d
≈==
σ
=ν 
06,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
Nm0453,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
x
===
σ
=µ 
05,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
Nm0562,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
y ===
σ
=µ 
 µx 
 0,00 0,06 0,10 
0,00 0,00 0,03 0,05 
0,05 0,03 0,08 0,12 
 
µy 
0,10 0,05 0,13 0,19 
ωωωω = 0,08 
 
 
 
 79
 
2,0
hb
N
cd
d
≈
σ
=ν 
05,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
Nm0404,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
x
===
σ
=µ 
02,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
Nm0225,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
y ===
σ
=µ 
 µx 
 0,00 0,05 0,10 
0,00 0,00 0,03 0,05 
0,02 0,01 0,05 0,08 
 
µy 
0,10 0,05 0,12 0,19 
ω = 0,05 
 
 
 
2,0
hb
N
cd
d
≈
σ
=ν 
05,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
Nm0385,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
x
===
σ
=µ 
05,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
Nm0632,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
y ===
σ
=µ 
 
 80
 µx 
 0,00 0,05 0,10 
0,00 0,00 0,03 0,05 
0,05 0,03 0,08 0,12 
 
µy 
0,10 0,05 0,12 0,19 
ωωωω = 0,08 
 
 
2,0
hb
N
cd
d
≈
σ
=ν 
02,0
m/N10.28,14.85,0.m2,0.m3,0
Nm0154,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
x
===
σ
=µ 
04,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m2,0
Nm0426,0.10.95,192
hb
M
2622
3
cd
2
d
y ===
σ
=µ 
 µx 
 0,00 0,02 0,10 
0,00 0,00 0,01 0,05 
0,04 0,02 0,04 0,11 
 
µy 
0,10 0,05 0,08 0,19 
ω = 0,04 
As = ω b h σcd / fyd = 0,08 . 20 . 30 . 0,85 . 14,28 MPa / 434,78 MPa = 1,34 cm2 � 4 φ 10 mm 
 
(d) verificação da Taxa de Armadura 
%52,0
30.20
4
14
A
'A
2
c
s
=
pi
==ρ 
Na seção intermediária (4 φ 10 mm): 
 81
ρρρρ = 0,52% %11,0)30,0.20,0(.10.78,434
10.95,192.15,0
Af
N15,0
6
3
cyd
d
mín ===ρ≥ ≥ 0,40% � OK (0,52%>0,40%) 
Na região do transpasse (8 φ 10 mm): 
ρρρρ = 2 . 0,52% = 1,04% =ρ≤ máx 8%� OK 
 
(e) Estribos 



==φ≥φ mm5,24/104/
mm5
t �: adota-se φt = 5 mm 
 





==φ
=≤
mm120mm10.1212
mm200ensãodimmenor
mm200
s t �: adota-se st = 12 cm 
 
(f) Espaçamento de barras longitudinais: 
 
 



==
≤≤





φ
φ=
mm400200..2b2
mm400
s
2,1
mm10
mm20
agreg
 � OK 
 
sendo: b = menor dimensão da seção. 
 
 (e) Estribos duplos ou grampos (gravatas): 
Não há barras soltas. Todas as 4 barras já estão travadas por se localizarem nos vértices dos 
estribos. 
 
(f) detalhamento 
 
 
 82
21. PILAR INTERMEDIÁRIO PELO PROCESSO APROXIMADO – 
DIMENSIONAMENTO À COMPRESSÃO CENTRADA ÈQUIVALENTE 
 
A NBR6118:2003 admite o uso do processo aproximado à compressão centrada equivalente, como 
uma opção ao cálculo à flexão composta, para pilares curtos e medianamente esbeltos com seções 
retangulares ou circulares de armadura simétrica, desde que se enquadrem na expressão: 
h/e5,1225 11 +=λ≤λ e que a força normal reduzida de cálculo (ν) obedeça o seguinte limite: 
7,0)fA/(N cd'cSd ≥=ν . 
 
Dimensionando o mesmo pilar do capítulo 15 pelo processo aproximado: 
 
 
Nk = 966,72 kN 
Nd = γc . Nk = 1,4 . 966,72 = 1353,41 kN 
Nd,eq = γc . γu . Nk � carga equivalente do processo aproximado 
 
 
 
fcd = 20 / 1,4 = 14,28 MPa 
 
fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa 
 
 
(a) Verificação do valor da força normal reduzida (ν): 
7,093,0
m/N10.28,14.85,0.m3,0.m4,0
N10.41,1353
hb
N
26
3
cd
d ≥==
σ
=ν � OK. Pode-se usar o Processo 
Aproximado. 
(b) Momento em X 
 



=+=+
=
≤
m8,23,05,2hlo
m3l
lex � lex = 2,8m 
 83
3,32
3,0
8,246,3
h
l46,3 ex ===λ ( λx ≤ 35 � Pilar Curto) 
 
e = e1 = 2,4 cm � e/h = 2,4/30 = 0,080 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 = 280/400 = 0,7 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,4 cm 
 
0,2630/4,2.5,1225h/e5,1225 11 =+=+=λ < 3,32x =λ � Não OK. Não pode-se usar o 
Processo Aproximado para essa seção de pilar. 
 
** Reiniciando o cálculo para uma nova seção de 40 cm x 40 cm: 
(a) Verificação do valor da força normal reduzida (ν): 
7,070,0
m/N10.28,14.85,0.m4,0.m4,0
N10.41,1353
hb
N
26
3
cd
d ≥==
σ
=ν � OK. Pode-se usar o Processo 
Aproximado. 
(b) Momento em X = Momento em Y 
 



=+=+
=
≤
m9,24,05,2hlo
m3l
lex � lex = 2,9m 
1,25
4,0
9,246,3
h
l46,3 ex ===λ ( λx ≤ 35 � Pilar Curto) 
 
e = e1 = 2,7 cm � e/h = 2,7/40 = 0,068 
 
e1 = ea + ei ≥ 1,5 + 0,03 h 
e1 = le/400 = 290/400 = 0,73 cm ≥ 1,5 + 0,03 h = 2,7cm 
Pilar Intermediário (Não há transferência de momento da viga) 
Pilar Intermediário (Não há transferência de momento da viga) 
 84
 
8,2540/7,2.5,1225h/e5,122511 =+=+=λ ≥ 1,25x =λ � OK. Pode-se usar o Processo 
Aproximado para essa seção de pilar. 
 
Cálculo do coeficiente de majoração (γu): 
 
αS = (NBb – 1)/(NBh – 1) = (3-1)/(3-1) = 1 
 
α = -1 / αS � se αS <1 
α = αS ���� se αS ≥ 1 
α = 6 � se αS > 6 
 
α = αS = 1 
)h/'d8,0()01,039,0(
1
−α+
=β 
13,3)40/4.8,0()1.01,039,0(
1
=
−+
=β 
21,1068,0.13,31
h
e1 h
u
=+=β+=γ 
 
(c) Dimensionamento (Pilar de 8 barras) 
 
Nd,eq = γu γc Nk = 1,21 . 1,4 . 966,72 = 1637,62 kN 
 
cm00,7m10.00,7
10.78,434
)4,0.4,0(.10.28,14.85,01637620
f
AN
A 2246
6
yd
ccdeq,d
s −=−=
−
=
σ−
= 
Esse valor negativo indica que a seção de 40x40 é tão robusta que ela nem necessitaria de armadura 
para resistir essa carga Nd,eq. Veja que Accdσ > N eq,d . Porém a NBR6118:2003 não permite pilar 
sem armadura e, assim, deve-se utilizar uma armadura maior ou igual a mínima que as 8 barras 
tenham bitola no mínimo igual a 10 mm. 
 
** Adota-se � 8 ϕ 10 mm 
 
(d) verificação da Taxa de Armadura 
 85
%39,0
40.40
4
0,18
A
'A
2
c
s
=
pi
==ρ 
Na seção intermediária (8 φ 12,5mm): 
%35,0)40,0.40,0(.10.78,434
10.62,1637.15,0
Af
N15,0
6
3
cyd
d
mín ===ρ ≥ 0,40% 
%39,0=ρ < %40,0
mín =ρ � Não OK. Deve-se aumentar a bitola para elevar a taxa de armadura da 
seção (ρ). 
** Adota-se agora � 8 ϕ 12,5 mm � %61,0
40.40
4
25,18
A
'A
2
c
s
=
pi
==ρ 
 
≥=ρ %61,0 %40,0
mín =ρ � OK. 
 
Na região do transpasse (16 φ 12,5mm): 
ρρρρ = 2 . 0,61% = 1,22% =ρ≤ máx 8%� OK 
 
(g) Estribos 
 



==φ≥φ mm13,34/5,124/
mm5
t � adota-se φt = 5 mm 
 





==φ
=≤
mm150mm5,12.1212
mm400ensãodimmenor
mm200
s t � adota-se st = 15 cm 
 
(h) Espaçamento de barras longitudinais: 
 86
 
 



==
≤≤





φ
φ=
mm800400..2b2
mm400
s
2,1
mm5,12
mm20
agreg
 � OK 
 
sendo: b = menor dimensão da seção. 
 
 (i) Estribos duplos ou grampos (gravatas): 
 
20 ϕt = 20 . 0,5cm = 10 cm � deve-se travar as armaduras do meio com grampo ou gravata. 
 
(j) detalhamento 
 
 87
22. ESCADA 
 
 
Pé direito = 17,5 cm . 16 degraus = 280 cm fck = 30 MPa 
Largura de cada lance de escada = 150 cm CA-50 
 
Mk = 21,20 . (4,152)/8 = 45,64 kNm 
Md = 1,4 . 45,64 = 63,90 kNm 
kmd = Md / (b d2 fcd) = 63900 / (1,5 . 0,092 . 30/1,4 . 106) = 0,245 
kx = 1,25 – 1,917 (0,425 – kmd)1/2 = 1,25 – 1,917 (0,425 – 0,245)1/2 = 437 (Dom. 3) 
 88
 
kz = 1 – 0,4 kx = 1 – 0,4 . 0,619 = 0,825 
As = Md /( kz d σst) = 63900 / (0,825 . 0,09 . 500/1,15 . 106) = 19,79 cm2 
26 ϕ 10 mm c/ 6 cm 
 
 
 
OBS: 1 ϕ 10 mm � As = 0,78 cm2 
19,79 cm2 / 0,78 cm2 = 25,35 Bitolas ≈ 26 Bitolas (25 Espaçamentos) 
150 cm / 25 Espaçamentos = 6 cm 
 
 
 
 
 
 89
23. CAIXA D’ÁGUA 
 
 
 90
 
 
 91
 
 
 92
 
 
 
 93
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ARAUJO, Jose Milton de. Curso de concreto armado. 2. ed. Rio Grande: Dunas, 2003. v.1. 
ISBN:85-86717-01-0. 
ARAUJO, Jose Milton de. Curso de concreto armado. 2. ed. Rio Grande: Dunas, 2003. v.2. 
ISBN:85-86717-02-9. 
ARAUJO, Jose Milton de. Curso de concreto armado. 2. ed. Rio Grande: Dunas, 2003. v.3. 
ISBN:85-86717-11-6. 
ARAUJO, Jose Milton de. Curso de concreto armado. 2. ed. Rio Grande: Dunas, 2003. v.4. 
ISBN:85-86717-08-6. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5739/94 – Ensaio de compressão 
de corpos de prova cilíndricos de concreto. Rio de Janeiro, 1994-a. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 – Projeto e execução de 
obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 2003. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6152/92 – Materiais metálicos - 
Determinação das propriedades mecânicas a tração – Métodos de ensaio. Rio de Janeiro, 1992. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7222/94 – Argamassa e concreto 
– Determinação da resistência a tração por compressão diametral de corpos de prova cilíndricos – 
Método de ensaio. Rio de Janeiro, 1994-b. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8522/84 – Concreto – 
Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação – Método de 
ensaio. Rio de Janeiro, 1984. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o calculo de estruturas de 
edificacoes : NBR 6120. Rio de Janeiro:[s.n.], 1980. 
CLÍMACO, João Calos Teatini de S. Estruturas de concreto armado: Fundamentos de projeto, 
dimensionamento e verificação. 1a. Edição. Universidade de Brasília, Brasília, 2010. 
FUSCO, P. B. Técnica de Armar as Estruturas de Concreto. São Paulo: Pini , 1994. Interciência, 
1979. 
MaCGREGOR J.G., Reinforced Concrete - Mechanics & Design, Prentice Hall, Second Edition, 
New Jersey, U.S.A., 1992. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 94
 
ANEXO 1 – TABELAS DE MARCUS 
TABELA DE MARCUS - CASO 1 
 
 
 
 95
TABELA DE MARCUS - CASO 2 
 
 
 
 
 96
TABELA DE MARCUS - CASO 3 
 
 
 
 
 97
TABELA DE MARCUS - CASO 4 
 
 
 
 
 98
TABELA DE MARCUS - CASO 5 
 
 
 
 
 99
TABELA DE MARCUS - CASO 6 
 
 
 
 
 100
ANEXO 2 – TABELAS PARA DIMENSIONAMENTO DE PILAR INTERMEDIÁRIO E DE 
EXTREMIDADE COM AÇO CA-50 
 
 101
 
 102
 
 103
 
 104
 
 105
 
 106
 
 107
 
 108
 
 109
 
 110
 
 111
 
 112
 
 113
 
 114
 
 115
 
 116
 
 117
 
 118
 
 119
 
 120
 
 121
 
 122
 
 123
 
 124
 
 125
 
 126
 
 127
 
 128
 
 129
 
 130
 
 131
 
 
 132
ANEXO 3 - TABELAS PARA DIMENSIONAMENTO DE PILAR DE CANTO COM AÇO 
CA-50 
 
 133
 
 134
 
 135
 
 136
 
 137
 
 138
 
 139
 
 140
 
 141
 
 142
 
 143
 
 144
 
 145
 
 146
 
 147
 
 148
 
 149
 
 150
 
 151
 
 152
 
 153
 
 154
 
 155
 
 
 
 156
 
ANEXO 4 – CARGAS PARA CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES 
(NBR6120:1980) 
 
PESOS ESPECÍFICOS DE MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO CIVIL (kN/m3): 
 
 
 
 
 157
 
 
SOBRE-CARGAS MÍNIMAS (kN/m2): 
 
 
 
 
 
 
 158
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 159
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 160
ANEXO 5 – TABELAS DE AÇOS DA GERDAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 161
VERGALHÃO GERDAU GG50 (CA-50) 
 
 
 
Para o seu projeto sair do papel com segurança e qualidade, use o Vergalhão Gerdau GG 50. 
Produzido rigorosamente de acordo com as especificações da norma ABNT NBR 7480:2007, é 
fornecido na categoria CA-50 com superfície nervurada, garantindo assim maior aderência da 
estrutura ao concreto. É comercializado em barras retas nas bitolas de 6,3 a 40 mm, dobradas até 20 
mm e em rolos de 6,3 a 16 mm. Os feixes de barras possuem comprimento de 12 m e peso de 2.000 
kg. Fácil de encontrar e de trabalhar, o vergallhão Gerdau GG 50 pode vir cortado e dobrado de 
acordo com o seu projeto, proporcionando economia de tempo, redução de custo e capital de giro, 
eliminando o desperdício de material e otimizando otrabalho no canteiro de obras, além de receber 
suporte técnico durante a etapa da armação das ferragens. Agora que você já sabe, use o vergalhão 
Gerdau GG 50, o vergalhão que está por dentro das melhores obras. 
 
 
Diâmetro do Pino para dobramento a 180o : 
ϕ 6.3 - ϕ 16.0 � 3 x Diâmetro Nominal 
ϕ 20.0 - ϕ 40.0 � 6 x Diâmetro Nominal 
 162
VERGALHÃO CA-25 GERDAU 
 
 
 
Usado em estruturas de concreto armado, o vergalhão CA-25 é produzido rigorosamente de acordo 
com as especificações da norma ABNT NBR 7480:2007. O vergalhão CA-25 possui superfície lisa, 
é comercializado em barras retas com comprimento de 12 m de feixes de 1.000 kg ou 2.000 kg e é 
soldável para todas as bitolas. Mais qualidade e segurança com o vergalhão que está sempre por 
dentro das melhores obras. 
 
 
Diâmetro do Pino para dobramento a 180o : 
ϕ 6.3 - ϕ 16.0 � 2 x Diâmetro Nominal 
ϕ 20.0 - ϕ 40.0 � 4 x Diâmetro Nominal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 163
CA – 60 GERDAU 
 
 
 
Para viabilizar seus projetos de estruturas de concreto armado com segurança e resistência, use o 
vergalhão CA-60. Produzido de acordo com a norma ABNT NBR 7480:2007, o CA-60 é conhecido 
pela alta resistência, proporcionando estruturas de concreto armado mais leves. Além disso, o CA-
60 Gerdau possui superfície nervurada e é soldável em todas as bitolas e apresentações. A garantia 
de qualidade do CA-60 você encontra em: Rolos com peso aproximado de 170 kg; 
� Barras de 12 m de comprimento, retas ou dobradas; 
� Feixes de 1.000 kg; 
� Bobinas de 1.000 kg ou 2.000 kg para uso industrial. 
 
 
Diâmetro do Pino para dobramento a 180o : 
ϕ 4.2 - ϕ 9.50 � 5 x Diâmetro Nominal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 164
TELA SOLDADA NERVURADA GERDAU 
 
 
 
Própria para construir lajes em concreto armado, pisos industriais e estruturas pré-moldadas e 
paredes de concreto, a tela soldada nervurada oferece segurança e economia. sinônimo de qualidade 
e garantia de procedência. É feita com Aço Gerdau 60 e/ou GG 50, sinônimo de qualidade e 
garantia de procedência. Soldada em todos os pontos de cruzamento garante melhor ancoragem, 
ligando os elementos estruturais, além de um excelente controle de fissuramento. 
 
 
 165
TELA SOLDADA NERVURADA GERDAU (Continuação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 166
TRELIÇA GERDAU 
 
 
 
A Treliça Gerdau é fabricada com aço CA-60 nervurado, que permite melhor aderência ao concreto. 
Possui uma enorme capacidade de vencer grandes vãos e suportar altas cargas com toda a 
segurança. Você encontra a treliça Gerdau nos comprimentos de 8 m, 10 m e 12 m, em feixes de 
aproximadamente 65 kg. Sua utilização estrutural em lajes treliçadas e mini painéis treliçados bem 
como espaçador de armaduras, traz diversos benefícios para processo de construção: 
� Redução do uso de fôrmas e escoramentos 
� Redução do custo com mão-de-obra 
� Racionalização na execução e na 
� organização do canteiro de obras 
� Maior rapidez na montagem 
 
 
 167
COLUNA E VIGA POP GERDAU 
 
 
 
Indicada para fazer vigas, cintas, colunas, baldrames, muros e para travamento de paredes, a Coluna 
POP Gerdau já vem pronta para uso. Possui total garantia de qualidade, pois é feita com vergalhão 
GG 50 e estribos de aço CA-60 Gerdau, unidos por solda ponto. Possui espaçamento uniforme de 
20 cm entre os estribos e seu comprimento pode chegar a 7 m. Com a coluna POP Gerdau, você 
constrói com mais qualidade, praticidade, maior rapidez e, é claro, mais segurança e economia para 
sua obra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 168
ESTRIBO NERVURADO GERDAU 
 
 
 
Feito com vergalhão CA-60 nervurado Gerdau, que proporciona maior aderência do aço com o 
concreto, está disponível na bitola 4,2 mm e padronizado em formatos quadrados e retangulares. 
Simples de usar, já vem pronto e possui medidas exatas, reduzindo o tempo de armação das vigas e 
colunas. Use o estribo nervurado Gerdau, prático e econômico, feito na medida certa da sua 
necessidade. 
 
 
 
 
 169
MALHA POP GERDAU 
 
 
 
Indicada para lajes e pisos, a Malha POP já vem pronta para uso. É produzida com aço CA-60 
nervurado Gerdau e soldada em todos os pontos de cruzamento, garantindo maior segurança, 
evitando trincas, fissuras e embarrigamentos. Fornecida no tamanho 2 m x 3 m, em quatro tipos, de 
acordo com a sua necessidade: 
 
 
 
Leve ���� Ferragem para lajes pré-fabricadas ou treliçadas de cobertura, contrapisos e calçadas 
residenciais, argamassa de proteção para impermeabilização. 
Médio ���� Ferragem para lajes pré-fabricadas ou treliçadas de pisos de residências, placas pré-
moldadas para execução de muros. 
Reforçado ���� Ferragem para lajes pré-fabricadas ou treliçadas de pisos de escritórios ou depósitos, 
placas pré-moldadas para jazigos, pisos de concreto para quadras, garagens e estacionamentos. 
Pesado ���� Ferragem pronta para piscinas de profundidade até 1,20 m (armar lado interno e externo 
das paredes e fundo), pisos de concreto para postos de gasolina e depósitos leves.

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