Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA 3ª AVALIAÇÃO PARCIAL – ÁLGEBRA LINEAR – MAT0360AB (68/69) PROFª. MONICA SCOTTI ALUNO: ____________________________________________________ DATA: 11/12/2015 Orientações: Resolva as questões com detalhes, apresentando todos os passos do desenvolvimento e justificando suas respostas. Não será permitido o uso de calculadora que manipula matrizes, nem de celular durante o tempo de prova. Formulário: Matrizes de transformadas geométricas Cisalhamentos em R² 1 0 1 k , 1 0 1k Rotação em R² cos sin sin cos Rotação em R³ (eixo x) 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos Rotação em R³ (eixo y) cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos Rotação em R³ (eixo z) cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 (1,5 pontos) Questão 1) Seja 4 3:T a transformada linear tal que 1 2 3 41,0,2 , 3,1, 4 , 5, 3,4 e 5,5, 4T e T e T e T e . a) Escreva a matriz canônica da transformada. b) Encontre uma base para o núcleo de T. c) Qualquer vetor do 3 é imagem para essa transformada? Justifique. a) 1 3 5 5 0 1 3 5 2 4 4 4 A b) 3 3 3 4 4 3 3 ( ) 1 0 0 x x Nul x A c) Sim. Se observarmos a forma escalonada obtida na resolução do item anterior, percebemos que existem 3 colunas LI em A. Logo, o conjunto gerado pelas colunas de A é o R³. Dessa condição, podemos con- cluir que qualquer vetor do R³ está na imagem de A (dada a relação existente entre o conjunto imagem de A e o espaço das colunas de A). (2,0 pontos) Questão 2) Encontre a matriz que representa a composição de transformadas indicadas: a) 2 2 1 :T é cisalhamento horizontal de fator ½ , seguido de uma reflexão em relação à reta y x e, depois, uma dilatação de fator 2 , no sentido vertical. b) 3 3 2 :T é rotação anti-horária de 45º em torno do eixo y, seguida de uma dilatação de razão 2 , na direção do vetor. c) 3 3 3 :T é uma reflexão no plano xy, seguida de uma rotação em torno do eixo z de 90º. a) 1 111 0 0 1 0 1 2 0 2 1 0 2 10 1 T b) 2 2 202 0 0 1 0 12 2 0 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0 10 0 2 2 20 2 2 T c) 3 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 T (1,5 pontos) Questão 3) Considere as transformadas da questão anterior: a) Calcule 1 2,4T . b) Determine a imagem do vetor 0, 2,2u pela transformada T2. c) Encontre o vetor v tal que 3 4,3,2T v . a) 1 2 0 1 2 4 4 2 1 4 8 T b) 2 0 1 0 1 0 2 2 0 2 0 2 2 2 1 0 1 2 2 T c) 0 1 0 4 3 1 0 0 3 4 0 0 1 2 2 x y z v (1,5 pontos) Questão 4) É possível obter uma base para o espaço vetorial R 3 formada por autovetores da matriz 1 0 2 1 1 1 2 0 1 A ? Justifique sua resposta. Para responder essa questão devemos, em primeiro lugar, calcular os autovalores. Resolvendo a equação det 0A I , encontramos os autovalores 1 2 31, 1 e 3 . Como todos os autovalores são distintos, é possível afirmar que existem três autovetores LI, cada um de- les associado a um autovetor. E, nesse caso, é possível encontrar uma base para o espaço tridimensional. (1,5 pontos) Questão 5) A matriz 0 2 7 5 0 1 3 1 0 0 2 4 0 0 0 1 A é diagonalizável? Por quê? Para identificar se a Diagonalização é possível, devemos verificar se é possível encontrar 4 autovetores LI para A. Como a matriz é diagonal, os autovalores estão dispostos na sua diagonal principal. Dessa forma, observamos que 2 4 1 é um autovalor duplo. Nesse caso, para que seja possível obter os 4 autovetores LI, precisamos verificar se o autovalor duplo gera dois autovetores LI. Então: 0 2 7 5 1 2 7 5 0 0 1 3 1 0 0 3 1 0 1 0 0 2 4 0 0 3 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x x y y z z w w Av v Cuja solução forma o autoespaço 2 0 0 y y v , que gera somente um autovetor LI. Logo, a matriz A não é diagonalizável. (2,0 pontos) Questão 6) a) Para cada autoespaço da transformada , , , 2 ,2 2T x y z x x y x y z , encontre uma base e descreva-o geometricamente. b) Analisando o resultado do item (a), podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável? Justifique. Em caso positivo, exiba a matriz P que diagonaliza A. a) A transformada dada deve ser representada na forma matricial T v Av , onde 1 0 0 2 1 0 2 1 2 A . O primeiro autoespaço corresponde aos vetores associados ao autovalor duplo 1 2 1 , é uma reta em R³ e uma base desse autoespaço pode ser 0 1 1 . O segundo autoespaço está associado ao autovalor simples 3 2 e representa uma reta em R³. Uma base: 0 0 1 .. b) Analisando o resultado do item anterior, podemos afirmar que a matriz A, que representa a transformada, não é diagonalizável pois o autovalor duplo gera somente um autovetor. Dessa forma, é impossível obter 3 autove- tores LI, necessários para montar a matriz P (que seria a matriz “responsável” pela Diagonalização de A).
Compartilhar