Prova 3 Álgebra Linear UCS - Mônica - 2015/4

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA 
3ª AVALIAÇÃO PARCIAL – ÁLGEBRA LINEAR – MAT0360AB (68/69) 
PROFª. MONICA SCOTTI 
ALUNO: ____________________________________________________ DATA: 11/12/2015 
 
Orientações: Resolva as questões com detalhes, apresentando todos os passos do desenvolvimento e justificando suas respostas. Não 
será permitido o uso de calculadora que manipula matrizes, nem de celular durante o tempo de prova. 
 
 
Formulário: Matrizes de transformadas geométricas 
Cisalhamentos em R² 
 
1
0 1
k 
 
 
, 
1 0
1k
 
 
 
 
Rotação em R² 
 
cos sin
sin cos
   
   
 
Rotação em R³ 
(eixo x) 
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
 
   
 
   
 
Rotação em R³ 
(eixo y) 
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
  
 
 
    
 
Rotação em R³ 
(eixo z) 
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
   
  
 
  
 
 
(1,5 pontos) Questão 1) Seja 4 3:T  a transformada linear tal que 
               1 2 3 41,0,2 , 3,1, 4 , 5, 3,4 e 5,5, 4T e T e T e T e        
. 
a) Escreva a matriz canônica da transformada. 
b) Encontre uma base para o núcleo de T. 
c) Qualquer vetor do 3 é imagem para essa transformada? Justifique. 
 
 
a) 
1 3 5 5
0 1 3 5
2 4 4 4
  
  
 
   
A
 
 
b) 
3
3
3
4 4
3 3
( )
1
0 0
x
x
Nul
x
      
      
           
      
            
A 
 
c) Sim. Se observarmos a forma escalonada obtida na resolução do item anterior, percebemos que existem 
3 colunas LI em A. Logo, o conjunto gerado pelas colunas de A é o R³. Dessa condição, podemos con-
cluir que qualquer vetor do R³ está na imagem de A (dada a relação existente entre o conjunto imagem 
de A e o espaço das colunas de A). 
 
(2,0 pontos) Questão 2) Encontre a matriz que representa a composição de transformadas indicadas: 
a) 
2 2
1 :T 
 é cisalhamento horizontal de fator ½ , seguido de uma reflexão em relação à reta 
y x
 e, 
depois, uma dilatação de fator 
2
, no sentido vertical. 
b) 
3 3
2 :T 
 é rotação anti-horária de 45º em torno do eixo y, seguida de uma dilatação de razão 
2
, 
na direção do vetor. 
c) 
3 3
3 :T 
 é uma reflexão no plano xy, seguida de uma rotação em torno do eixo z de 90º. 
 
a) 
 1
111 0 0 1 0 1
2
0 2 1 0 2 10 1
T
      
       
       
 
 
b)  2
2 202 0 0 1 0 12 2
0 2 0 0 1 0 0 2 0
1 0 10 0 2 2 20
2 2
T
                         
 
 
 
c)  3
0 1 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
T
      
      
     
           
 
 
 
 
(1,5 pontos) Questão 3) Considere as transformadas da questão anterior: 
a) Calcule 
 1 2,4T
. 
b) Determine a imagem do vetor 
 0, 2,2u
 pela transformada T2. 
c) Encontre o vetor v tal que 
   3 4,3,2T  v
. 
 
a) 
1
2 0 1 2 4
4 2 1 4 8
T
        
         
        
 
 
b) 
2
0 1 0 1 0 2
2 0 2 0 2 2
2 1 0 1 2 2
T
        
                 
                 
 
 
 
c) 
0 1 0 4 3
1 0 0 3 4
0 0 1 2 2
x
y
z
        
         
       
               
v
 
 
 
 
 
 
 
(1,5 pontos) Questão 4) É possível obter uma base para o espaço vetorial R
3
 formada por autovetores da matriz 
1 0 2
1 1 1
2 0 1
 
  
 
  
A
? Justifique sua resposta. 
 
 
Para responder essa questão devemos, em primeiro lugar, calcular os autovalores. 
Resolvendo a equação 
 det 0A I 
, encontramos os autovalores 
1 2 31, 1 e 3      
. 
Como todos os autovalores são distintos, é possível afirmar que existem três autovetores LI, cada um de-
les associado a um autovetor. E, nesse caso, é possível encontrar uma base para o espaço tridimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1,5 pontos) Questão 5) A matriz 
0 2 7 5
0 1 3 1
0 0 2 4
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
A é diagonalizável? Por quê? 
 
Para identificar se a Diagonalização é possível, devemos verificar se é possível encontrar 4 autovetores LI para 
A. Como a matriz é diagonal, os autovalores estão dispostos na sua diagonal principal. 
Dessa forma, observamos que 
2 4 1    
 é um autovalor duplo. Nesse caso, para que seja possível obter os 4 
autovetores LI, precisamos verificar se o autovalor duplo gera dois autovetores LI. 
Então: 
0 2 7 5 1 2 7 5 0
0 1 3 1 0 0 3 1 0
1
0 0 2 4 0 0 3 4 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
x x
y y
z z
w w
        
       
           
       
       
       
Av v 
Cuja solução forma o autoespaço 
2
0
0
y
y
 
 
 
 
 
 
v , que gera somente um autovetor LI. 
Logo, a matriz A não é diagonalizável. 
 
 
 
 
(2,0 pontos) Questão 6) 
a) Para cada autoespaço da transformada 
   , , , 2 ,2 2T x y z x x y x y z    
, encontre uma base e descreva-o 
geometricamente. 
b) Analisando o resultado do item (a), podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável? Justifique. 
Em caso positivo, exiba a matriz P que diagonaliza A. 
 
a) A transformada dada deve ser representada na forma matricial 
 T v Av
, onde 
1 0 0
2 1 0
2 1 2
 
 
 
 
  
A
. 
 
O primeiro autoespaço corresponde aos vetores associados ao autovalor duplo 
1 2
1 
,
 é uma reta em R³ e uma 
base desse autoespaço pode ser 
0
1
1
  
  
    
    
. 
O segundo autoespaço está associado ao autovalor simples 
3
2 
 e representa uma reta em R³. 
Uma base: 
0
0
1
  
  
    
    
.. 
 
 
b) Analisando o resultado do item anterior, podemos afirmar que a matriz A, que representa a transformada, não 
é diagonalizável pois o autovalor duplo gera somente um autovetor. Dessa forma, é impossível obter 3 autove-
tores LI, necessários para montar a matriz P (que seria a matriz “responsável” pela Diagonalização de A).