Teste 2 - Fila A - Solucao - Cálculo 1-UFRGS

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UFRGS – Instituto de Matema´tica
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Teste 2 – 11/11/15 – Fila A – 08h30min
1 2 3 Total
0,75 0,75 1,5 3
Nome: Carta˜o:
Se necessa´rio, use o verso como rascunho.
Marque a resposta final a caneta.
Questa˜o 1. 0,75 ponto Calcule a integral indefinida usando integrac¸a˜o por partes∫
ln (x− 2)dx.
Soluc¸a˜o 1: Antes de aplicar a integrac¸a˜o por partes e´ poss´ıvel usar a substituic¸a˜o
t = x− 2, assim ∫
ln (x− 2) dx =
∫
ln t dt
A nova integral pode ser calculada por meio de integrac¸a˜o por partes da seguinte
maneira:
u = ln t =⇒ du = dt
t
d v = 1d t =⇒ v = t ignorando a constante
Dessa forma a integral pode ser reescrita como∫
ln (x− 2)dx =
∫
ln td t
= t ln t−
∫
t · d t
t
= t ln t−
∫
1d t
= t ln t− t+ C
= (x− 2) ln (x− 2)− (x− 2) + C
= (x− 2) ln (x− 2)− x+ C
Soluc¸a˜o 2. Tambe´m e´ poss´ıvel integral por partes diretamente:
u = ln (x− 2) =⇒ du = dx
x− 2
d v = 1 d x =⇒ v = x
Assim, ∫
ln (x− 2)dx = x ln(x− 2)−
∫
x · dx
x− 2
= x ln (x− 2)−
∫
x
x− 2 dx
= x ln (x− 2)−
∫
(x− 2) + 2
x− 2 dx
= x ln (x− 2)−
∫
1 +
2
x− 2 dx
= x ln (x− 2)− x+ 2 ln (x− 2) + C
= (x− 2) ln (x− 2)− x+ C
Soluc¸a˜o 3: Certamente o me´todo menos o´bvio e´ integrar por partes COM A CONS-
TANTE na func¸a˜o v:
u = ln (x− 2) =⇒ du = dx
x− 2
d v = 1 dx =⇒ v = x− 2 Observe a constante C = −2
Assim, ∫
ln (x− 2) dx = (x− 2) ln (x− 2)−
∫
(x− 2) · dx
x− 2
= (x− 2) ln (x− 2)−
∫
1 dx
= (x− 2) ln (x− 2)− x+ C
Questa˜o 2. 0,75 ponto A a´rea total entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 12 − 3x2 e o
intervalo [0, 3] e´
( X ) 23 u.a.
( ) 27 u.a.
( ) 9 u.a.
( ) 5 u.a.
( ) 3 u.a.
Soluc¸a˜o : Observe na figura que a func¸a˜o muda de sinal no ponto x = 2.
Figura 1: Gra´fico de y = 12− 3x2
Assim, a a´rea total A e´ dada por
A =
∫ 3
0
|12− 3x2|dx
=
∫ 2
0
12− 3x2 dx−
∫ 3
2
12− 3x2 dx
=
[
12x− x3
]2
0
−
[
12x− x3
]3
2
=
[(
12 · 2− 23
)
−
(
12 · 0− 03
)]
−
[(
12 · 3− 33
)
−
(
12 · 2− 23
)]
= [(24− 8)− (0)]− [(36− 27)− (24− 8)]
= (16− 0)− (9− 16)
= 16− (−7)
= 16 + 7
= 23
Ou seja, a a´rea total entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 12− 3x2 e o intervalo [0, 3] e´
23 unidades de a´rea.
Questa˜o 3. Calcule as seguintes integrais definidas:
a) 0,5 ponto
∫ 1/2
−1/2
1
1 + 4x2
dx =
( )
√
2
2
( )
√
3
3
( )
pi
2
( )
pi
3
( X )
pi
4
Soluc¸a˜o : Primeiro reescrevemos a integral:∫ 1/2
−1/2
1
1 + 4x2
dx =
∫ 1/2
−1/2
1
1 + (2x)2
dx
Fac¸a a substituic¸a˜o u = 2x =⇒ 1
2
du = dx, u(−1/2) = −1 e u(1/2) = 1
∫ 1/2
−1/2
1
1 + 4x2
dx =
1
2
∫ 1
−1
1
1 + u2
du
=
1
2
arctan(u)
]1
−1
=
1
2
[
arctan(1)− arctan(−1)
]
=
1
2
[
pi
4
−
(
− pi
4
)]
=
1
2
·
[
pi
4
+
pi
4
]
=
1
2
· 2pi
4
=
pi
4
b) 0,5 ponto
∫ 1
0
√
4− 3x dx =
( )
63
2
( X )
14
9
( )
7
9
( )
2
9
( ) 1
Soluc¸a˜o : Substituic¸a˜o : u = 4 − 3x =⇒ du = −3dx =⇒ −1
3
du = dx, com
u(0) = 4 e u(1) = 1. ∫ 1
0
√
4− 3x dx = −1
3
∫ 1
4
√
u du
=
1
3
∫ 4
1
u1/2 du
=
1
3
[
u3/2
3/2
]4
1
=
2
9
u3/2
∣∣∣∣4
1
=
2
9
[
(22)3/2 − 13/2
]
=
2
9
[8− 1]
=
14
9
c) 0,5 ponto
∫ 3
−1
f(x) dx, onde f e´ a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ representado abaixo.
( ) 0
( ) 6
( X ) −4
( ) −6
( ) 4
Figura 2: Gra´fico de y = f(x)
Soluc¸a˜o : A integral definida dada representa a a´rea l´ıquida com sinal sob o
gra´fico de y = f(x) e o intervalo [−1, 3], ou ainda,
A = Al´ıquida = Aamarelo − Averde = 1 · 2
2
− (3 + 2) · 2
2
= 1− 5 = −4