termodinamica_capitulo1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
 
Curso Técnico do Petróleo 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina de Termodinâmica 
 
Professor Jeferson Avila Souza 
 
 
 
 
 
 
1º semestre de 2004 
 
1. Diagramas de Equilíbrio 
1.1. Os estados de agregação da matéria 
Há três estados de agregação da matéria, classicamente considerados: sólido, líquido e 
gasoso (gás ou vapor). 
O estado sólido é caracterizado por uma elevada força de coesão entre as moléculas, 
garantindo forma e volume bem definidos. 
No estado líquido, a substância apresenta volume definido, mas forma variável (do 
recipiente), em virtude de as forças de coesão entre as moléculas serem menos intensas. 
No estado gasoso, as forças de coesão são praticamente inexistentes, fazendo com que 
em volume nem forma sejam definidos. Nesse estado, a substância se distribui por todo o 
espaço disponível. 
O estado de agregação em que uma substância pura se apresenta depende das 
condições de pressão e de temperatura a que está submetida. Por exemplo, sob pressão normal 
(1 atm), a água está no estado sólido (gelo) em temperaturas inferiores a 0ºC, no estado 
líquido entre 0ºC e 100ºC e no estado gasoso em temperaturas superiores a 100ºC. 
1.2. Diagrama de estado 
Em vista do exposto, concluímos que há vários pares de valores de pressão e 
temperatura em que a substância está no estado sólido, outros pares que correspondem ao 
estado líquido e outros ainda correspondendo ao estado gasoso. 
Assim, se considerarmos um sistema cartesiano, representado a pressão p em 
ordenadas e a temperatura T em abscissa, o plano definido pelos dois eixos ficará dividido em 
três regiões correspondentes aos três estados de agregação (Fig. 1) 
P
0 T
estado gasoso
estado
 líquidoestado
 sólido
2
3
1
 
Fig. 1 – Diagrama de estado 
As três regiões do diagrama (estados sólido, líquido e gasoso) da Fig. 1 são limitadas 
por três curvas: 
curva de fusão: entre as regiões dos estados sólido e líquido; 
curva de vaporização: entre as regiões dos estados líquido e gasoso; 
curva de sublimação: entre as regiões dos estados sólido e gasoso. 
1.3. Mudanças de fase 
Considere, na Fig. 2, a situação da substância caracterizada pela pressão p e pela 
temperatura t. O estado de agregação é sólido. Se alterarmos a temperatura e a pressão isolada 
ou simultaneamente, será possível cruzar uma das curvas limítrofes antes referidas, como 
inçam as setas. Dizemos então que, em cada uma das passagens, a substância sofreu uma 
mudança de estado. 
P
0 T
gasoso
 líquido
sólido
P
T (°C) 
Fig. 2 – Diagrama de estado (mudança de estado) 
Conforme os estados de agregação entre os quais ocorre a transição, podemos 
reconhecer as seguintes mudanças de estado: 
fusão
sublimação (inversa)
solidificação
vaporização
condensação
sublimação (direta)
Líquido GasosoSólido
 
Fig. 3 – Esquema de mudança de estado 
Se mantivermos a pressão constante e variarmos a temperatura, ao ser atingida a 
temperatura de mudança de estado, durante o processo de transição a temperatura 
permanecerá constante, havendo coexistência dos dois estados entre os quais está ocorrendo a 
mudança. 
De modo idêntico, se mantivermos constante a temperatura e variarmos a pressão, ao 
ser alcançada a pressão de mudança de estado, o valor dessa não se modificará durante a 
transição, havendo coexistência dos dois estados entre os quais está ocorrendo a mudança. 
Consideramos, por exemplo, uma substância no estado líqudio sob pressão p’ e 
temperatura T’. Na Fig. 4a, representamos uma vaporização sob pressão constante: Tv é a 
temperatura de vaporização na pressão considerada. Na Fig. 4b está representada uma 
vaporização sob temperatura constante: pv é a pressão de vaporização na temperatura 
considerada. 
A vaporização considerada nos exemplos, que ocorre sob condições bem definidas, é 
denominada vaporização típica, sendo também chamada de ebulição. A vaporização 
espontânea, que acontece sob quaisquer condições, passando a substância do estado líquido 
para o estado gasoso em virtude da agitação molecular, é denominada evaporação. 
Como, durante a mudança de estado, coexistem os dois estados entre os quais há a 
mudança, cada ponto de uma curva é representativo de uma condição em que coexistem dois 
estados da substância. Assim, um ponto da curva de fusão representa uma condição de 
coexistência dos estados sólido e líquido. Cada ponto da curva de vaporização é 
representativo da coexistência dos estados líquido e gasoso. 
P
0 T (°C)
gasoso
líquido
sólido
P
0 T (°C)
gasoso
líquido
sólido
 
Fig. 4 – Exemplos de mudança de estado 
O ponto comum às três curvas é denominado ponto triplo ou tríplice da substância, 
sendo representativo da condição de pressão e temperatura em que coexistem os três estados 
de agregação. 
 
Tabela 1: Ponto triplo de algumas substâncias 
Água 0.006 atm 0.01 ºC 
Dióxido de carbono (CO2) 5.10 atm -56.6 ºC 
Nitrogênio (N2) 0.131 atm -209 ºC 
1.4. Temperatura e pressão de mudança de fase 
Analisando o diagrama de estado da maioria das substâncias Fig. 5, notamos que, 
quanto mais alta é a pressão exercida sobre uma substância, tanto mais elevada torna-se a 
temperatura de mudança de estado, seja a fusão, a vaporização ou a sublimação. 
Por exemplo, como indicado na Fig. 5, quando a pressão atuante é p1, a fusão ocorre 
na temperatura T1; sob pressão p2 a fusão ocorre na temperatura T2. Assim, o enxofre se funde 
a 107 ºC quando sob pressão de 1 atm; se a pressão for aumentada para 519 atm, a 
temperatura de fusão passa a ser 135.2 ºC. 
Faz exceção a essa regra a fusão de algumas substâncias, como a água, o ferro, o 
antimônio e o bismuto. A temperatura de fusão dessas substâncias decresce quando é 
aumentada a pressão. 
A vaporização e a sublimação das substâncias citadas obedecem à regra geral. 
Portanto, para todas as substâncias, a temperatura de vaporização (ebulição) Teb e a 
temperatura de sublimação Tsubl aumentam com o aumento da pressão p. 
Quanto à temperatura de fusão, Tf, ela aumenta quando a pressão p aumenta para a 
maioria das substâncias. Entretanto, para um pequeno grupo de substâncias (água, ferro, 
bismuto, etc.), a temperatura de fusão diminui com o aumento da pressão. 
P
0 T
gasoso
líquido
sólido
P1
T1 T2 
Fig. 5 – Diagrama de mudança de estado da maioria das substâncias 
Na Fig. 6, representamos o diagrama de estado dá água. Note que, sob pressão normal 
(1 atm), a fusão do gelo ocorre a 0ºC. Quando submetido à pressão de 8 atm, o gelo sofre 
fusão a -0.06 ºC. 
P (atm)
0 T (°C)
gasoso
líquido
sólido
1
-0.06
8
0 
Fig. 6 – Diagrama de estado da água 
Essa diferente influência da pressão sobre o ponto de fusão é decorrente de como varia 
o volume da substância durante a mudança de estado. 
A maior parte das substâncias sofre fusão com aumento de volume. A elevação de 
pressão, aproximando as moléculas, dificulta então essa mudança de estado, fazendo com que 
ela ocorra numa temperatura mais alta. 
As exceções (água, ferro, bismuto, etc.) sofrem fusão com diminuição de volume. 
Então, o aumento na pressão, aproximando as moléculas, favorece a mudança de estado, que 
ocorre, por conseguinte, numa temperatura mais baixa. 
Resumindo a influência da pressão na temperatura de fusão, temos: 
 
Substâncias que se dilatam na fusão (maioria) 
P ­ Tf ­ 
Substâncias que se contraem na fusão (exceções) 
P ­ Tf ¯ 
1.5. Temperatura crítica. Gás e vapor 
A vaporização e a condensação não ocorrem acima de certa temperatura característica 
de cada substância, denominada temperaturacrítica (Tc). Isso significa que, em temperatura 
superior à temperatura crítica (T > Tc), a substância está sempre no estado gasoso, qualquer 
que seja a pressão a que esteja submetida. Faz-se então a distinção entre vapor e gás. 
Uma substância no estado gasoso é vapor enquanto sua temperatura for igual ou 
inferior à temperatura crítica. O vapor pode ser condensado por aumento de pressão, mantida 
constante a temperatura (Fig. 7, seta I). 
Uma substância no estado gasoso é gás enquanto sua temperatura for superir à 
temperatura crítica (T < Tc). O gás não pode ser condensado por aumento de pressão, mantida 
constante a temperatura (Fig. 7, seta II). 
P
0 T
gas
líquido
sólido c
Tc
vapor
I II
 
Fig. 7 – Transformação do estado de vapor para o líquido 
Por exemplo, o dióxido de carbono (CO2) tem temperatura crítica igual a 31ºC. Assim, 
o CO2 é vapor em temperatura igual ou inferior a 31ºC. Se a temperatura for maior que 31ºC, 
o CO2 é um gás. 
Resumindo, para cada substância: 
 
T £ Tc – vapor: condensa-se por simples aumento de pressão 
T > Tc gás: Não se condensa pro simples aumento de pressão 
 
O ponto da curva de vaporização que corresponde á temperatura crítica é denominado 
ponto crítico e representado por C na Fig. 7. 
1.1.1 Pressão máxima de vapor 
Consideremos um recipiente cilíndrico provido de um êmbolo que pode movimentar-
se livremente. No interior desse cilindro encontram-se, em equilíbrio, o estado líquido e o 
estado gasoso (vapor) de uma substância pura (Fig. 8). Seja T a temperatura do sistema. 
Essa situação é necessariamente representada, no diagrama de estado da substância, 
por um ponto da curva de vaporização (Fig. 9). Realmente, os pontos dessa curva são 
representativos de condições de pressão e temperatura em que coexistem os estados líquido e 
gasoso. 
A pressão F exercida pelo vapor na referida situação de equilíbrio é denominada 
pressão máxima de vapor da substância à temperatura T. 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Fig. 8 – Recipiente com liquido e gás saturados 
Observe que essa pressão é realmente máxima para o vapor, pois na temperatura T, em 
pressões maiores, só pode existir o estado líquido. O vapor pode exercer pressões menores 
que a máxima, mas, nessas condições, ele não poderá estar em presença do líquido (vapor 
seco). 
P
P
Tc T (°C)
T
C
Gás
Vapor
Líquido
0 T 
Fig. 9 – Curva de vaporização 
O vapor em presença do líquido, exercendo a pressão máxima F, costuma ser 
denominado vapor saturado (Fig. 8). Se o volume oferecido ao vapor saturado for diminuído 
isotermicamente, ele se converterá parcialmente em líquido (condensação) (Fig. 8b), para 
continuar a exercer a mesma pressão: como ainda há coexistência dos dois estados, não 
podem se alterar as condições de pressão e temperatura (Fig. 9). Se o volume oferecido ao 
vapor saturado for aumentado (Fig. 8c), mantendo-se a temperatura, o líquido se converterá 
parcialmente em vapor (vaporização), de modo a manter a pressão no valor F. 
Em conclusão é possível afirmar que: A pressão máxima de vapor não depende do 
volume oferecido ao vapor saturado. 
Observando-se o diagrama de estado da substância na Fig. 10, percebe-se que a cada 
valor de temperatura corresponde um valor diferente para a pressão máxima de vapor. Quanto 
mais elevada a temperatura, tanto mais alto o valor da pressão máxima de vapor. 
Logicamente, o mais elevado valor de pressão máxima é o que corresponde à temperatura 
crítica Tc, sendo denominada pressão crítica. 
Concluí-se que: para cada substância, a pressão máxima de vapor é função exclusiva 
da temperatura. 
P
Pc
P’’
P’
P
T’T’’Tc T (°C)
T
C
Gás
Vapor
Líquido
0 T 
Fig. 10 – Curva de saturação 
1.6. Mudanças de estado em um diagrama P-V 
É necessário sermos capazes de determinas vários tipos de mudança de estado (não 
confundir com mudança de fase) em um diagrama P-V. Abaixo são mostrados quatro 
exemplos: 
P
V
1
2
3
4
 
1. Mudança de Pressão e 
Temperatura a volume 
constante é uma 
transformação isovolumétrica 
2. Mudança de volume e 
temperatura a pressão 
constante é uma 
transformação isobárica; 
3. Mudança de pressão e volume 
a temperatura constante, é 
uma transformação 
isotérmica; 
4. Mudança na pressão e no 
volume em um recipiente 
isolado (sem aquecimento ou 
resfriamento), é uma 
transformação adiabática 
 
1.7. Diagramas de estado de Andrews 
Podemos melhor compreender a dependência entre os estados da matéria e as 
condições de temperatura e pressão, analisando os diagramas de P = f(T) e P = f(V) para uma 
certa substância. 
Temp (°C)
Pr
es
sã
o 
(B
ar
)
Volume 100 120 400-20 37480
1.0
221
0.0603
0.5
374 °C
120 °C
100 °C
400 °C
Ponto
 crítico
 
Fig. 11 – Diagramas de Andrews (água) 
Vamos imaginar um recipiente com água sob pressão igual a 1.0 atm. A 60ºC ela está 
no estado líquido com vapor saturado na superfície. A 120ºC ela será gasosa, ou estado de 
vapor e a –10ºC, na fase sólida, com vapor saturado na superfície. Mas a 400ºC ela será um 
gás pois mesmo sob pressões elevadas se tornará um vapor saturado com fase líquida. 
Podemos então redesenha os diagramas de uma maneira mais límpida, como segue: 
Temp (°C)
Pr
es
sã
o 
(B
ar
)
Volume 3740.01
221
0.0603
374 °C
Ponto
 crítico
gás
vapor
não saturado
líquido
vapor
 saturado
Ponto crítico
líquido
vapor não
saturado
sólido
gás
 
Fig. 12 – Diagrama de Andrews 
Observe bem o ponto T (ponto triplo). Nestas condições a água poderá estar 
solidificando ou fundindo simultaneamente acompanhada de ebulição ou liquefação. Sob 
temperaturas mais baixas (-20ºC, por exemplo) e sob pressões inferiores a 603 Pa a água não 
poderá existir na fase líquida. Qualquer mudança de estado, nestas condições será apenas uma 
sublimação. Dessas afirmações podemos deduzir que: 
Toda substância tem um único ponto tríplice e um único ponto crítico 
Sob temperatura superior á crítica qualquer substância será um gás; 
Para ocorrer sublimação, a temperatura devera ser inferior à temperatura tríplice e sob 
pressão inferior à pressão tríplice. 
 
A Tabela 2 mostra os pontos tríplices e críticos de algumas substâncias. 
 
Tabela 2: Pontos críticos e tríplices 
 Pressão no ponto 
Tríplice (Pa) 
Temperatura no 
ponto Tríplice (ºC) 
Pressão crítica 
(Bar) 
Temperatura 
critica (ºC) 
Água 603 0.01 221 374 
CO2 5.18 x 10
5 -56.6 73.9 31 
O2 150 -218 50.3 -119 
N2 0.14 x 10
5 -210 33.9 -147 
 
1.8. Tabelas de saturação 
Tabelas de saturação são tabelas que listam algumas propriedades físicas para os 
estados de liquido e vapor saturados. Estes valores são denotados pelos sub-índices f e g 
(fluido e gás, respectivamente). Estas tabelas podem ser de dois tipos: 
as que listam a temperatura na primeira coluna e a respectiva pressão de saturação na 
segunda coluna; ou 
a pressão na primeira coluna e a temperatura de saturação na segunda coluna 
Em ambos os casos a terceira e a quarta coluna trazem a o volume específico de 
liquido saturado (vf) e o volume de gás saturado (vg). 
P
re
ss
ão
Volume
Ponto crítico
Vapor saturado
Líquido
 saturado
Líquido
vgvf
v > vgv < vf v < v < vf g
Isoterma
 
Fig. 13 – Representação de vg e vf no diagrama de Andrews 
 
O volume específico de uma mistura de líquido e vapor pode ser determinado com o 
auxilio destas tabelas de saturação. O volume total da mistura é a soma dos volumes das fases 
de liquido e vapor 
[ ]3m vapliq "+"="
 
(1) 
o volume específico pode ser obtido dividindo-se esta equação pelamassa total da 
mistura m 
[ ]
[ ]kg
m
 
mmm
v vapliq
3"
+
"
=
"
=
 
(2) 
Como a fase líquida é na verdade líquido saturado e a fase de vapor é vapor saturado 
ïî
ï
í
ì
="
="
gvaporvapor
fliqliq
vm
vm
 
(3) 
Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), obtemos 
g
vapor
f
liq v
m
m
v
m
m
v ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
 
(4) 
Vamos também definir o titulo da mistura como sendo a razão entre a massa de vapor 
e a massa total do sistema, assim 
vaporliquido
vapor
mm
m
x
+
=
 
(5) 
 O volume específico da mistura pode ser então determinado por 
( ) ( ) [ ][ ]kg
m
 vvxvxvvxv fgfgf
3
1 -+=+-=
 
(6) 
 
Exemplo 1: Considere um sistema de duas fases (líquido-vapor) de água a 100 ºC e 
título de 0.9. Determine o volume específico da mistura 
 
 Das tabelas de saturação para água a 100ºC 
 - vf = 1.0435´ 10 -3 m3/kg 
 - vg = 1.673 m
3/kg 
assim 
 v = vf + x(vg – vf) 
 v = 1.0435´10 -3 m3/kg + 0.9(1.673 m3/kg – 1.0435´10-3 m3/kg) 
 v = 1.506 m3/kg 
 
Exemplo 2: Determine o título e a temperatura de saturação para uma mistura (de 
água) de líquido e vapor. 
 P = 5 bars 
 V = 0.5 m3/kg 
 
Da tabela de saturação para a água com entrada de pressão, determinamos: 
 Tsat = 151.9 ºC 
 vf = 0.3749 m
3/kg 
 vg =1.0926 m
3/kg 
sabendo que ( ) vvxvv fgf -+= 
 ( )fgf vvxvv -=- 
 
( )
( )fg
f
vv
vv
x
-
-
= 
( )
( ) vaporde massa de %7.45457.0103749.00926.1
103749.05.0
x 3
3
==
´-
´-
= -
-
Conceitos Básicos sobre gases 
Para este estudo não vamos fazer distinção entre gás e vapor, desta forma neste 
capítulo, o estado gasoso (gás ou vapor) será sempre referido como gás. 
1.9. Pressão dos gases 
Suponha uma seringa de injeção que contém somente um gás e que a sua 
agulha esteja entupida. As partículas do gás estão em contínuo movimento (agitação 
térmica) e além de colidirem entre si, chocam-se contra as paredes do recipiente. 
Durante as colisões surgem forças (forças de impacto) atuando sobre toda a superfície 
interna da seringa. Ora, tais forças estão associadas a uma pressão de dentro para fora 
tanto maior quanto maior for a temperatura do gás. 
É possível aumentar a pressão sem aumentar a temperatura. Comprimindo o 
gás na seringa, as mesmas partículas estarão colidindo com a mesma intensidade 
contra uma superfície interna menor. Isto equivale a dizer que a pressão estará 
aumentando com a redução de volume (Fig. 1b). 
Como há uma dependência do tipo proporção inversa, podemos linealizar o 
diagrama conforme mostrado na Fig. 1c. 
P
T
P
V
P
1/V(a) (b) (c) 
Fig. 1– Pressão de um gás 
1.10. Gás perfeito 
É uma substância gasosa idealizada onde suas propriedades termodinâmicas 
(pressão, temperatura, etc...) podem ser relacionadas através da seguinte equação 
nRTP =" (1) 
onde p é a pressão, " é o volume, n o número de mols, R a constante universal 
dos gases e T a temperatura na escala absoluta. 
Se um gás estiver sobre pressão não muito alta e temperatura não muito baixa 
(estes valores de pressão e temperatura variam de acordo com o gás) ele terá um 
comportamento de um gás perfeito e será chamado de gás ideal. 
A constante universal dos gases R, é uma constante de proporcionalidade cujo 
valor é dado por 
kmol
latm
Kmol
J
R
´
´
=
´
= 082.0317.8 (2) 
Conceito de mol de um gás ou vapor 
A quantidade de uma substância pode ser dada em função do seu número de 
mols, que é uma unidade do sistema internacional. Um mol, de qualquer substância, é 
a quantidade desta substância que contém tantas entidades elementares (átomos, 
moléculas, íons, elétrons, outras partículas, ou grupos destas partículas) quanto 12 
gramas de carbono-12, o qual contém 6.023´1023 partículas. A massa molecular (M) 
de uma substância é o número de gramas por mol desta substância, assim, a massa 
molecular do carbono-12 é 12 g/mol. 
A massa molecular de uma substância pode ainda ser expressa em kmol, 
kgmol, gmol ou lbmol, as quais são relacionadas entre si de acordo com a tabela 
abaixo. 
1 mol = amostra contendo 6.02253´´1023 entidades elementares 
(ex: moléculas) 
1 mol = 1 gmol 
1 mol = 10-3 kmol 
kmol = Kgmol 
1 mol = 
6.453
1
 lbmol 
 
O número de mols de uma substância, n, é obtido dividindo-se a massa pela 
massa molecular desta substância, assim 
M
m
n = (3) 
onde n é o número de mols, m a massa e M a massa molecular. 
A quantidade de 6.023´1023 entidades é conhecida como número de Avogadro 
e representado pelo símbolo N. Assim, podemos afirmar que 1 mol de uma substância 
corresponde a 6.023´1023 partículas desta substância. 
É bom lembrar que a massa de um mol de substância tem um valor que pode 
ser encontrado a partir da fórmula química e da massa atômica (em gramas) fornecida 
pela tabela periódica. 
Ex: 
H2 Þ 2 ´ (1´10-3) kg 
O2 Þ 2 ´ (16´10-3) kg 
CO2 Þ 1 ´ (12´10-3) + 2 ´ (16´10-3) kg 
Observações: 
na Eq. (1) a temperatura precisa ser sempre em uma escala absoluta; Kelvin 
(K) ou Rankine (R). A relação entre graus Fahrenheit e Rankine é: 
T (R) = T(ºF) + 469.67 
se tivermos uma mistura de substâncias gasosas que não reagem entre si o 
número de mols é dado pela soma dos números de mols de cada componente da 
mistura: 
...321 +++= nnnn (4) 
se houver reação química entre os componentes devemos somar apenas os 
números de mols resultantes da reação, o que pode ser facilmente observado na 
equação da reação química a seguir: 
2222 2
1
OOHOH +=+ (5) 
 
Exemplo 1: Calcule o número de mols contido em 128g de O2 (oxigênio). 
Da tabela periódica determinamos que a massa molecular do O2 é 32 g/mol 
(2´16 g/mol), assim 
mols
molg
g
n 4
32
128
== 
 
Exemplo 2: Qual a massa de uma molécula de O2? 
 Sabendo-se que MO2 = 32 g/mol, e que 1 mol é igual a 6.023´1023 
moléculas, podemos concluir que 
 1 molécula tem 2310023.6
1
´
 mols = n, 
da expressão 
M
m
n = podemos determinar a massa de uma molécula de O2 da 
seguinte forma 
 g10312.5
mol
g
32mol
10023.6
1
nMm 23
Mn
23
-´=´
´
==
32144 344 21
 
1.11. Equação de Clapeyron 
Vimos que a pressão de um gás é diretamente proporcional à temperatura 
absoluta (Fig. 1a) e inversamente proporcional ao volume (Fig. 1c). 
Podemos portanto, traçar um gráfico envolvendo as três grandezas, que são as 
variáveis de estado (p, " e T) – pois a pressão é proporcional diretamente à razão 
T/V. 
Se traçarmos diagramas P-"para quantidades variáveis de um gás, teremos 
uma família de curvas conforme as obtidas na Fig. 2a. 
P
T/V
n1
n2
n3
 
(a) 
P
T/V
E 0
E 1
 
(b) 
Fig. 2– Diagrama P-(T/") 
A equação de cada uma das retas pode ser escrita como sendo 
axy = ou "
=
T
.constP (6) 
O coeficiente angular da reta é obtido experimentalmente, lembrando que 1 
mol de qualquer substância gasosa apresenta nas condições normais de temperatura e 
pressão: 
pressão Þ 1 atm = 105 Pa 
Temperatura absoluta Þ 0 ºC = 273.15 K 
Volume de 1 mol = 22.4 l = 22.4 ´ 10-3 m3 
Portanto, para 1 mol teremos a constante, aqui representada por R e 
denominada de constante dos Gases Perfeitos, que como visto na Eq. (2) é 
aproximadamente 
molK
mPa
×
× 3
13.8 . A equação de Clapeyron, na forma generalizada para 
n mols, é dada então pela equação (1). 
Observando o diagrama da Fig. 2b para um certo número de mols de uma 
substância gasosa pura, vamos nos fixar nos dois pontos assinalados E0 e E1. E0 
corresponde a um estado que chamaremos de inicial e quecorresponde as variáveis de 
estado P0, "0 e T0. Quando a massa gasosa assume o estado E1 dizemos que ocorreu 
uma “transformação” e as variáveis de estado serão P1, "1 e T1. Reescrevendo a Eq. 
(1) da seguinte maneira 
nR
T
P
=
"
 (7) 
podemos escrever para o estado 0 
nR
T
P
=
"
0
00
 (8) 
da mesma forma para o estado 2 
nR
T
P
=
"
1
11
 (9) 
Como R é uma constante e n não varia, pois estamos considerando uma 
substância que não sofre reação química durante a transformação, ou seja o número de 
mols permanece constante podemos escrever 
constante
1
11
0
00 ==
"
=
"
nR
T
P
T
P
 (10) 
 
Exemplo 3: Um pneu de automóvel contém ar sob pressão absoluta igual a 3 
atm e temperatura igual a 27 ºC. Com o movimento do veículo, sua temperatura passa 
para 57 ºC e o volume aumenta em 5%. Qual sua nova pressão? 
P0 = 3 atm 
T0 = (27 + 273.15) K T1 = (57 + 273.15) K 
"0 = " "1 = 1.05" 
sabendo-se que 
1
11
0
00
T
P
T
P "
=
"
 podemos escrever 
 
( )
K15.330
m05.1P
K15.300
matm3 31
3 "´´
=
"´
 
assim temos P1 = 3.143 atm 
 
1.12. Diagrama de Clapeyron 
É muito útil estudar as evoluções gasosas em um diagrama do tipo P-". A Fig. 
3a nos mostra algumas transformações isotérmicas de uma mesma quantidade de gás. 
É relativamente fácil observar que cada uma das isotermas representam evoluções sob 
temperaturas diferentes em que T1 < T2 < T3. 
A Fig. 3b mostra 
a Þ transformação isobárica (pressão constante) 
b Þ transformação isotérmica (temperatura constante) 
c Þ transformação isovolumétrica (volume constante) 
d Þ transformação adiabática (sem troca de calor) 
T T T1P
V
2 3
 
(a) 
T T T1 T4P
a
b
d
c
V V V
P
P3
2
1
P
2 3 V
1
2 3
 
(b) 
Fig. 3– Diagrama de Clapeyron 
Quando a transformação não apresenta nenhuma das características já citadas, 
ela é denominada de transformação geral. 
1.13. Transformação politrópica 
Suponha uma seringa de injeção na qual podemos efetuar uma compressão 
súbita que impeça, dada a rapidez do evento, as trocas de calor. Como é realizado um 
trabalho de compressão, a energia interna da massa de gás aumenta. Tal fato provoca 
então um aumento na temperatura do gás. No caso de uma expansão sem troca de 
calor ocorrerá então uma diminuição na temperatura. Tal transformação é chamada de 
adiabática (sem troca de calor) Esta transformação é regida pela seguinte equação de 
estado. 
aa
1100 "=" PP (11) 
onde a é o coeficiente politrópico da transformação. 
 
Exemplo 4: O pistão de um compressor de ar em volume máximo igual a 0.3 
litros e em funcionamento cíclico é reduzido para 0.03 litros. O ar é admitido no 
processo sob pressão de 1 atm e com uma temperatura igual a 27 ºC. Como o processo 
de compressão é muito rápido, podemos admitir que não há troca de calor entre o 
pistão e o meio, considerando assim a transformação adiabática. O coeficiente 
politrópico vale 1.4. Determine então a pressão do ar comprimido e sua temperatura 
em ºC. 
"0 = 0.3´10-3 m3 "1 = 0.03´10-3 m3 
P0 = 1 atm 
T0 = 300.15 K 
a = 1.4 
sabendo-se que aa 1100 "=" PP , podemos determinar P1 
 
( )
11925
10030
10301
3
3
1
00
1 ..
.P
P =
´
´´
=
"
"
= -
-
a
a
 atm 
sabemos também que 
1
11
0
00
T
P
T
P "
=
"
, assim 
 K.
.
..
T
P
P
T 947753
1030
10030
1
11925
3
3
0
00
11
1 =´
´
=
"
"
= -
-