CalculoI-Unificado-lista1-pre-calculo

Prévia do material em texto

Cálculo I (2015/1) � IM � UFRJ
Lista 1: Pré-Cálculo
Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral
Versão 17.03.2015
Para o Aluno
O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chama-
remos de pré-cálculo. Quanto antes foram revistos e dominados melhor. Recomendamos que o aluno,
além de fazer esta lista, estude e revise estes tópicos utilizando livros do ensino médio ou Cálculo e a
Internet.
Recomendamos o uso de softwares: (a) para visualização de gráficos (uma sugestão é fooplot, que
é um site que plota gráficos sem precisar instalar programa). (b) CAS (computer algebra system) que
faz manipulações algébricas (sugerimos maxima, que tem versão para Linux e Windows).
Tópicos do Pré-Cálculo
1. Aritmética e Álgebra.
(a) Propriedades de potências de mesma base e de raízes. Potências fracionárias e negativas.
(b) Racionalizar expressões algébricas envolvendo raízes.
(c) Divisão de polinômios.
(d) Teorema de D'Alambert: Se a é raiz de um polinômio, então ele é divisível por x− a.
(e) Significado de somatórios, como por exemplo
3∑
i=1
(i2−5i) = (12−5·1)+(22−5·2)+(32−5·3).
(f) Produtos notáveis: (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 e (a+ b)(a− b) = a2 − b2.
2. Funções.
(a) Domínio e imagem de função.
(b) Funções definidas por palavras, por gráficos, por tabelas e por fórmulas explícitas. Função
definida por partes.
(c) Composição de funções.
(d) Função injetiva, sobrejetiva, crescente/decrescente.
(e) Gráficos de funções. Translação de gráfico de funções (horizontal e vertical).
(f) Quando uma curva no plano é o gráfico de uma função? Teste da reta vertical. Dado o
gráfico de uma função, quando (e onde) ela possui inversa? Teste da reta horizontal.
(g) Função par/impar: definição e simetrias no gráfico.
(h) Função inversa e seu gráfico, obtido por reflexão em torno da reta y = x. Exemplos impor-
tantes: arcsen, arctan, log x e
√
x (não é verdade que arsen x é igual a
1
senx
!).
(i) Sinal de funções racionais, função da forma f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q são polinômios. Técnica:
Quadro de sinais.
(j) Máximo e mínimo de função do segundo grau em intervalos fechados (pode estar nos extre-
mos).
(k) Funções logaritmo e exponencial. Propriedades básicas (soma/produto). Uma inversa da
outra. Observação: loge = ln. Em cálculo log = ln, embora para alguns autores log = log10.
Ao longo do Cálculo será explicado porque utilizamos e como base do logaritmo.
1
(l) Funções Trigonométricas. Ângulo medido em radianos (em Cálculo esta é a unidade con-
veniente). Comprimento do arco de círculo. Determinar quadrante de ângulo no círculo
trigonométrico. Saber determinar sinal e/ou valor de seno, cosseno e tangente de ângulo
qualquer. Saber localizar no círculo trigonométrico seno, cosseno, tangente. Proprieda-
des básicas: sen(−x) = − senx, cos(−x) = cosx. sen(a ± b) = . . ., cos(a ± b) = . . . etc.
sen2(x) + cos2(x) = 1.
3. Geometria Analítica no Plano Básica.
(a) Equação da reta no plano: significado geométrico do coeficiente angular (incluindo como
determinar que 2 retas são perpendiculares entre si pelo coeficiente angular), saber calcular
equação da reta que passa em dois pontos no plano, e que passa em um ponto com certo
coeficiente angular
(b) Saber calcular interseção entre: duas retas (= resolver sistema linear); reta e equação do 2o
grau; duas equações do 2o grau.
(c) Distância entre dois pontos no plano e Pitágoras. Função módulo e distância.
√
x2 = |x|
(não é x).
Exercícios
• Aritmética e Álgebra.
1. Determine k e m se 27 · 322 = 3−k e 25 · 5
2m+1
5−3
= 5−2.
2. Escreva 27
4
√
413915 na forma 2x3y.
3. Determine p, q inteiros tais que
811/4
9−1/2
× 3
−3
30
=
p
q
.
4. Escreva expressão equivalente a
3
√
x+ 1
1 +
√
x
sem raiz no denominador (racionalize).
5. Determine o quociente e o resto da divisão de x4 − 3x2 + x+ 1 por x2 − 1.
6. (Verifique o Teorema de D'Alambert.) Verifique que −2 é raiz de x3 + 4x2 − 11x − 30.
Aplique o teorema de D'Alambert para dividir o polinômio e obter TODAS raizes.
7. Determine o valor de
5∑
i=2
(2i+ 1).
8. Calcule (a+ b)2 − (a− b)2.
• Funções.
1. Determine imagem da função g(x) = (3− x)2 − 5.
2. Determine o domínio da função g(x) =
log(1− x)
1−√x+ 2 .
3. Dado x ∈ R, defina f(x) como o maior inteiro menor que x. Determine: f(pi) e f(−pi).
Esta função é injetiva? É sobrejetiva? Qual sua imagem?
4. Esboce o gráfico de f(x) =
{
x2, se x < 1,
4− 3x, se x ≥ 1.
5. Se f(x) = 3x− 1 e g(x) = 5x2 − 4, determine: g(f(x)) e f(g(x)).
6. Determine o maior intervalo contendo −10 onde f(x) = (x+1)2+1 é injetiva. Esta função
é sobrejetiva?
7. Determine, caso seja possível, TODOS intervalos onde é crescente: (a) f(x) = 9 − x2.
(b) f(x) = 6− 2x. (c) f(x) = log(x)− 4. (d) f(x) = 3x− 7. (e) f(x) = sen(x)− 4.
(f) f(x) = e−x.
2
8. Baseado no gráfico de f(x) = x2, esboce o gráfico de g(x) = (x+ 2)2 − 3.
9. Esboce os gráficos de f(x) =
1
x
e f(x) =
1
x2
. Elas são funções par ou impar?
10. Esboce o gráfico de f(x) =
√
x e, fazendo translações, de g(x) = 3 +
√
x+ 4.
11. Determine intervalos onde a curva abaixo pode representar o gráfico de uma função.
2
x
y
12. Considere o gráfico de g da figura abaixo.
(a) Determine intervalos onde g é injetiva.
(b) Nestes intervalos pode-se defina uma função inversa g−1. Determine o domínio de g−1
associado a estes intervalos.
2
g(x)
−1 2 x
y
13. Esboce o gráfico de f(x) = x3 e f(x) = x4 (são semelhantes ao de x e x2 respectivamente).
Baseado nestes gráficos, esboce o gráfico das inversas
3
√
x, 4
√
x (reflexão em torno da reta
y = x).
14. Baseado no gráfico de f(x) = ex, esboce o gráfico da sua inversa log x (reflexão em torno
da reta y = x).
15. Determine intervalos onde é positiva e onde é negativa cada função abaixo.
(a) f(x) =
x2 + 5x+ 6
1− x2 . (b) g(x) =
x(x+ 2)
1− x2 .
16. Determine o máximo e mínimo de f(x) = (x− 1)2+2 nos intervalos: (a) [0, 3]. (b) [2, 3].
17. Determine a ∈ R se log10(1003a · 10) = 9.
18. Determine o valor de: (a) e0. (b) log 0. (c) ln 1. (d) ln e. (e) eln 3. (f) ln(e5).
19. Determine o valor de: (a) sen(3pi/2). (b) cos(3pi). (c) tan(3pi/4). (d) cos(5pi/4).
20. Expresse log5 30 utilizando ln.
21. Determine em qual quadrante do círculo trigonométrico fica o ângulo (em radianos):
(a) 32pi/3. (b) 13pi/4. (c) −21pi/5.
22. Determine o sinal de seno e cosseno de β = pi − 1 e θ = 1 + 3pi/2.
23. Sabendo que senβ = −2/3, determine valores possíveis para cosβ.
24. Sabendo que tan γ = −5 e que cos γ > 0, determine sen γ.
25. Determine em termos de sen a e cos a (utilizando fórmulas de sen(a+b) e cos(a+b)): cos(3a)
e sen(−4a).
• Geometria Analítica no Plano Básica.
1. Ordene as retas de acordo com seu coeficiente angular:
3y − 2x+ 4 = 0, 3x+ 2y = 4, 5x+ 3y = 0.
2. Determine a equação da reta que passa em (1, 2):
(a) e em (−2, 3). (b) com coeficiente angular 2. (c) perpendicular à reta 3y + 2x = 1.
3. Determine a interseção (todos os pontos) entre o gráfico de y = x2 + x − 2 e o gráfico de:
(a) 2y − x+ 1 = 0. (b) y + x2 − x = 0.
4. Determine a distância entre os pontos do plano (−2, 1) e (4,−1).
5. Determine todo a, x ∈ R tal que: (a) |a+ 2| = 4. (b) |x− 2| < |x+ 1|.
6. Verifique se
√
x4 + x2 = x
√
x2 + 1 para todo x ∈ R.
3
Respostas dos Exercícios
• Aritmética e Álgebra.
1. k = −25, m = −4.
2. x = 13/2, y = 21/2.
3. p = 1, q = 3.
4.
−3x+ 2√x+ 1
1− x , obtida multiplicando numerador e denominador por 1−
√
x.
Com maxima: expand((3*sqrt(x)+1)*(1-sqrt(x)));
5. Quociente: x2 − 2, resto: x− 1. Com maxima: divide(x^4 - 3*x^2 +x + 1, x^2-1);
6. Raizes: −2,−5, 3. Como −2 é raiz, divida polinômio por (x − (−2)) = x + 2. Obtenha polinômio
do 2o grau e determine suas raizes.
7. 32. Com maxima: sum(2*i+1, i, 2, 5);
8. 4ab.
• Funções.1. (−5,∞) pois g(x) ≥ −5 para todo x (note que (3− x)2 é sempre não-negativo).
2. Resposta: os intervalos [−2, −1) e (−1, 1). Como existe logaritmo somente de números positivos,
1−x deve ser positivo, ou seja, 1−x > 0, logo 1 > x. Por outro lado, x+2 ≥ 0, logo x ≥ −2. Além
disso o denominador não pode se anular: 1−√x+ 2 6= 0, o que implica x 6= −1. Assim 1 > x > −1
ou −1 > x ≥ −2.
3. f(pi) = 3 e f(−pi) = −4. Não é injetiva pois f(pi) = f(3, 5). Não é sobrejetiva pois a imagem é
somente os inteiros: Imagem de f : Z.
4.
1−1 x
y
5. g(f(x)) = 45x2 − 30x+ 1 e f(g(x)) = 15x2 − 13.
Com maxima: f(x) := 3*x-1; g(x) := 5*x^2-4;expand(f(g(x)));
6. (−∞, −1), pois a função é decrescente (e portanto injetiva) para x < −1. Basta ver que seu vértice
é em x = −1. Não é sobrejetiva pois sua imagem é somente o intervalo (1, ∞).
7. (a) (−∞, 0). (b) Sempre decrescente. (c) (0, ∞). (d) (−∞, ∞) = R. (e) Em (−pi/2, pi/2) é
crescente. De forma geral em (2kpi − pi/2, 2kpi + pi/2) para todo k ∈ Z. (f) Sempre decrescente.
8. Basta transladar em 3 unidades verticalmente �para baixo� e 2 unidades para �esquerda�. Veja
gráficos utilizando algum software (como o fooplot). Experimente modificar o 2 e 3 para ver efeito
no programa.
9. Faça um tabela de valores e verifique o que ocorre quando x fica próximo de 0 (por exemplo
1/100, 1/103, 1/105 e −1/100, −1/103, −1/105,−1/1000) e também muito grande em módulo
� �próximo� de ±∞ (por exemplo 102, 103, 105 e −102, −103, −105). Depois (somente após tentar
pela tabela) veja os gráficos utilizando algum software (como o fooplot). A função 1/x é impar e
1/x2 é par. Veja que são similares 1/x3, 1/x4, . . ..
10. Partindo do gráfico de x2, reflita o gráfico na reta y = x para obter gráfico de
√
x. Depois faça
translações para obter o gráfico de g(x) = 3 +
√
x+ 4. Veja os gráficos de y = x2, y =
√
x e y = x
utilizando algum software (como o fooplot) para ver a reflexão.
11. (−∞, 2) ou (0, 2) ou (0, ∞) dependendo de qual parte do gráfico será utilizada.
12. (a) (−∞, −1), (−1, 2) e (2, ∞). (b) Pelo gráfico pode-se ver que a imagem destes intervalos são,
respectivamente, os intervalos: (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Logo domínios possíveis para g−1 (não
será a mesma função!): (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Comprove a existência de mais de uma inversa
observando que existem três possibilidades para g−1(1): aproximadamente −2, 1 e 3 pelo gráfico.
13. Faça um tabela de valores positivos e negativos. Depois (somente após tentar pela tabela) veja os
gráficos com algum software (como o fooplot). Obtenha inversas por reflexão. Veja os gráficos de
y = x3, y = x1/3 = 3
√
x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a reflexão.
4
14. Verifique com algum software (como o fooplot) plotando y = exp(x) = ex, y = log(x) e y = x.
15. (a) Positiva nos intervalos (−3, −2) e (−1, 1). Negativa em x < −3 ou −2 < x < −1 ou x > 1.
(b) Positiva nos intervalos (−2, −1) e (0, 1). Negativa em x < −2 ou −1 < x < 0 ou x > 1. Com
maxima: load("solve_rat_ineq"); solve_rat_ineq((x*(x+2))/(1-x^2)<0);
16. O vértice da parábola tem coordenada x = 1. (a) Mínimo em x = 1, com f(1) = 2, máximo em
x = 3 com f(3) = 6 (veja que f(0) = 3 < f(3) = 6). (b) Comparando valor de f nos extremos (o
vértice não pertence ao intervalo): Mínimo em x = 2, f(2) = 3, máximo em x = 3, f(3) = 6.
17. a = 4/3.
18. (a) e0 = 1. (b) log 0 não existe. Mas quando x se aproxima de 0 pela direita (isto é x > 0), log x se
aproxima de −∞. Veja gráfico de log próximo do 0. (c) ln 1 = 0. (d) ln e = 1.
(e) eln 3 = 3. (f) ln(e5) = 5.
19. (a) sen(3pi/2) = −1. (b) cos(3pi) = −1. (c) tan(3pi/4) = −1. (d) cos(5pi/4) = −√2/2.
20. Por propriedade do logaritmo, log5 30 =
ln 30
ln 5
.
21. (a) 2o quadrante pois 32pi/3 = 2pi/3 + 5 · 2pi e 2pi/3 está no 2o quadrante. (b) 3o quadrante pois
13pi/4 = pi + pi/4 + 2pi. (c) 4o quadrante −21pi/5 = −2 · 2pi − pi/5.
22. Como β está no 2o quadrante e θ no 4o, senβ > 0, cosβ < 0, sen θ < 0, cos θ > 0.
23. cosβ = −√5/3 ou cosβ = √5/3. No maxima: solve(x^2 + (-2/3)^2=1);.
24. sen γ = −5/√26. Dica: utilizar 1 + tan2 x = sec2 x = 1/ cos2 x.
25. cos(3a) = cos3 a− 3 cos a sin2 a e sen(−4a) = 4 cos a sin3 a− 4 cos3 a sin a.
No maxima: trigexpand(cos(3*a)).
• Geometria Analítica Básica.
1. Maior coeficiente para menor: 3y − 2x+ 4 = 0 (2/3), 3x+ 2y = 4 (−3/2) e 5x+ 3y = 0 (−5/3).
2. (a) y = 7/3− x/3. (b) y = 2x. (c) y = (3x+ 1)/2.
3. (a) x = 1, y = 0 e x = −3/2, y = −5/4. (b) x = −1, y = −2 e x = 1, y = 0. No maxima:
algsys([y=x^2 + x-2, x^2 + y -x=0], [x,y]);.
4. 2
√
10.
5. (a) R: a = −6 ou a = 2. Dica: distância de a até −2 deve ser 4.
(b) R: x > 1/2.
Dica 1: Separe em casos: se x − 2 > 0 . . . e se x − 2 < 0. Em cada um destes casos existem 2
subcasos: x+ 1 > 0 ou x+ 1 < 0. Alguns destes casos não tem solução alguma.
Dica 2: Em termos de distância, x deve estar mais perto de 2 do que de −1. Faça uma figura.
6. Errado. O correto é
√
x4 + x2 = |x|√x2 + 1 pois
√
x2 = |x|. Para x > 0 é correto, mas para x < 0
não (verifique!).
5