PF - Cálculo 1

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias - CCA
Terceira Prova de Vetores e GA - 3 de maio de 2013
Nome Leg´ıvel:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule:
(a) lim
x→∞
(ln(x))2
x
= 1 pt
(b) dydx , onde y = xa
sen(x2+1), com a > 1. 1 pt
(c) dydx , onde y =
√√
x+ 1. 1 pt
2. Seja a func¸a˜o f dada por f(x) = ln(4− x2).
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f . 0.75 pt
(b) Determine os intervalos em que f tem concavidade para cima e que f tem concavidade 0.75 pt
para baixo.
(c) Determine as ass´ıntotas de f . 0.5 pt
(d) Esboce o gra´fico de f . 0.5 pt
2 pt
3. Um acidente em uma plataforma de perfurac¸a˜o de petro´leo produziu uma mancha circular
de petro´leo na a´gua. A mancha tem 2,4 cm de espessura e quando o raio e´ de 225 m, o
raio da mancha esta´ aumentando a` taxa de 15 cm/min. Qual e´ a taxa (em metros cu´bicos
por minutos) com a qual o petro´leo esta´ vazando da plataforma?
4. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x+ 2√
x2 + 4x
dx = 1 pt
(b)
∫ pi/3
pi/6
tg(x) dx = 1 pt
5. Encontre o volume da regia˜o limitada pelas curvas y = x e y = x2 rotacionada em torno
da reta y = 2. 1 pt