CN aula 16

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #16 
 
 
 
• Mínimos Quadrados – Caso Discreto 
 
Considere que em um ensaio de laboratório você obteve os seguintes pontos: 
 
 
 
Qual a função que mais se ajusta no diagrama de dispersão? Resp: Uma parábola! 
 
Equação da parábola: y = ax2 + bx + c. Precisamos encontrar “a” , “b” e “c” 
 
Lembre da aula 15 que: 
 
q ���y� � ax�
 � bx� � c
�
���
 
 
Fazendo a derivada parcial de q em relação as variáveis a, b e c encontramos o seguinte 
sistema: 
 ∂q∂a ��x�
�y� � ax�
 � bx� � c
 � 0
�
���
 
 ∂q∂b ��x� �y� � ax�
 � bx� � c
 � 0
�
���
 
 ∂q∂c ���y� � ax�
 � bx� � c
 � 0
�
���
 
 
 
 
2 
 
Temos o seguinte sistema de equações cujas incógnitas são os parâmetros “a” , “b” e “c” da 
equação da parábola y = ax2 + bx + c: 
 
 
��
��
��
��
��
� a�x��
�
���
� b�x�� � c�x�
�
���
��x�
y�
�
���
�
���
a�x��
�
���
� b�x�
 � c�x�
�
���
��x� y�
�
���
�
���
a�x�
�
���
� b�x� � nc ��y�
�
���
�
���
�
 
 
 
 
Exemplo 1: Dada a tabela de pontos a seguir, determine pelo método dos Mínimos 
Quadrados a equação da parábola y = ax2+bx+c que melhor se ajusta a esses pontos. 
 
 
y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
 
solução no quadro 
 
 
Exemplo 2: Agora refaça o Exemplo 1 no EXCEL, encontre o diagrama de dispersão e a 
função de aproximação quadrática. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
y = 0,015x2 + 0,077x + 0,407
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10
3 
 
Exemplo 3: Agora refaça o Exemplo 1 no MATLAB, encontre os coeficientes da parábola 
y = ax2+bx+c. 
 
 
Solução: 
 
clc; 
 
clear all; 
 
format long; 
 
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 ]; 
 
y=[0.5 0.6 0.9 0.8 1.2 1.5 1.7 2]; 
 
polyfit(x,y,2) 
 
ans = 
 
 0.01547619047619 0.07738095238095 0.40714285714286 
 
 
Exercício 1: A tabela abaixo fornece o número de habitantes do Brasil (em milhões) desde 
1972. Verifique qual foi aproximadamente a população brasileira no ano 2000. Ajuste os 
dados da tabela por uma parábola. 
 
 
 
 
Exercício 2: O gráfico abaixo mostra o consumo de energia elétrica no Brasil desde 1970 
até 2005. Utilizando o EXCEL ou o MATLAB encontre o modelo matemático quadrático 
que melhor se ajusta a esses dados e compare o resultado com o obtido na aula 15. 
 
Utilizando o modelo verifique qual a previsão da geração para 2020, saiba que as pesquisas 
na área indicam que em 2020 o consumo de energia estará em torno de 730x103 GWh. 
 
 
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