CN aula 12

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #12 
 
 
• Interpolação 
 
Considere a seguinte situação: Você está em um laboratório e fez as seguintes medidas: 
 
x f(x) 
10 5 
20 10 
30 15 
40 10 
 
Preciso saber o valor da função f(x) para x = 25. E agora �? 
 
Interpolação é a solução ☺☺☺☺! 
 
Quando uso interpolação? Quando se conhece apenas os valores numéricos da função e 
deseja-se calcular o valor da função em um ponto não tabelado. Graficamente temos 
que: 
 
 
 
xo, x1, x2 e x3 são chamados nós da interpolação; 
n = 3; 
n+1 => pontos 
 
 
 
 
 
2 
 
Interpolar f(x) consiste em se obter uma determinada função g(x) tal que: 
 
g(xo) = f(xo) 
g(x1) = f(x1) 
g(x2) = f(x2) 
g(x3) = f(x3) 
... 
 
• Interpolação Polinomial 
 
Dados os pontos (xo, f(xo)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)),..., (xn, f(xn)), portanto n+1 
pontos, queremos aproximar f(x) por um polinômio Pn(x), onde n é o grau do 
polinômio: 
 
Pn(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn 
 
Objetivo: Encontrar os coeficientes “a” 
 
 
 
• Formas de se Obter Pn(x) 
 
 
Estudaremos os seguintes métodos: 
 
Resolução do Sistema Linear (aula #12); 
Forma de Lagrange (aula #13); 
Forma de Newton (aula #14); 
 
 
 
• Resolução do Sistema Linear 
 
Da condição que Pn(xk) = f(xk) para todo k = 0,1,2,3...,n montamos o seguinte sistema: 
 
��
�a� � a�x� � a	x�	 �
� a�x�� � f�x��a� � a�x� � a	x�	 �
� a�x�� � f�x���a� � a�x� � a	x�	 �
� a�x�� � f�x��
�
 
 
Com n+1 equações e n+1 variáveis: ao, a1, a2, ..., an. 
 
A matriz A dos coeficientes é: 
 
3 
 
A �
�
���
1 x� x�	 … x��1 x� x�	 … x��1 x	 x		 … x	�� � � � �1 x� x�	 … x���
��� 
 
 
que é uma matriz de Vandermonde e portanto, desde que x0, x1, x2,..., xn sejam pontos 
distintos, temos que det(A)≠0 e então o sistema linear admite solução única. 
 
 
Exemplo 1: Encontre o polinômio que interpola os pontos da tabela pela resolução do 
sistema linear: 
 
x f(x) 
-1 4 
0 1 
2 -1 
 
solução no quadro 
 
 
Exemplo 2: Encontre o polinômio que interpola os pontos da tabela pela resolução do 
sistema linear: 
 
 
x f(x) 
0,1 5 
0,2 13 
0,3 -4 
0,4 -8 
 
 
 
Exemplo 3: Considere a tabela abaixo: 
 
Altura(cm) 183 173 188 163 178 
Peso(Kg) 79 69 82 63 73 
 
Usando um polinômio interpolador de GRAU 2, calcule a altura aproximada de uma 
pessoa de 70Kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Exercício 1: Encontre o polinômio que interpola os pontos da tabela pela resolução do 
sistema linear: Para x = 2, qual o valor de f(x)? 
 
 
x f(x) 
1 5 
3 10 
 
 
Resp: P(x) = 5/2 + 5/2x então P(x) = 15/2 e f(x) ≅ 15/2 
 
 
 
Exercício 2: Dada a tabela com os valores de temperatura da água e seu calor 
específico, queremos encontrar o valor o calor específico para T = 22ºC. 
 
 
T oC calor específico 
20 0,99907 
25 0,99852 
30 0,99826 
 
 
Resp: P(x) = 1,00417 – 0,000371 x + 0,0000058x2 então P(22) = 0,99882 e 
f(x) ≅ 0,99882