CN aula 6

Prévia do material em texto

1 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #06 
 
 
 Fatoração LU 
 
Saiba que um sistema linear do tipo: 
 
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 
 
Pode ser escrito no formato matricial da seguinte forma: 
 
൥
aଵଵ aଵଶ aଵଷaଶଵ aଶଶ aଶଷaଷଵ aଷଶ aଷଷ൩ ൥xଵxଶxଷ൩ = ൥bଵbଶbଷ൩  Ax = b 
 
 
O objetivo da Fatoração LU é decompor a matriz A em duas matrizes chamadas L e U. 
 
A x = b 
 
(L U) x = b 
 
L (U x) = b 
 
onde U x = y. 
 
Seja U x = y, a solução do sistema linear A x = b pode ser obtida por meio da resolução 
dos seguintes sistemas lineares triangulares: 
 
a) L y = b 
 
b) U x = y 
 
L é uma matriz triangular inferior com diagonal unitária; 
 
U é uma matriz triangular superior. 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Exemplo 1: Resolva o seguinte sistema de equações lineares pelo método da Fatoração 
LU: 
 
൝
xଵ + xଶ + 2xଷ = 92xଵ + 4xଶ − 3xଷ = 13xଵ + 6xଶ − 5xଷ = 0 
 
 
solução no quadro 
 
 
Exercício 1: Resolva os sistemas pelo método da Fatoração LU. 
 
 
a) ൜3xଵ + 12xଶ = 92xଵ + 6xଶ = 10 Resp: x1 = 11; x2 = -2; 
 
 
 
b) ൝
xଵ + xଶ + 2xଷ = 8
−xଵ − 2xଶ + 3xଷ = 13xଵ − 7xଶ + 4xଷ = 10 Resp: x1 = 3; x2 = 1; x3 = 2