Apostila_Engenharia_2013

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTÁBEIS, ECONOMICAS E DA COMUNICAÇÃO
 
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
SUBSÍDIOS PARA A DISCIPLINA DE 
ENGENHARIA ECONÔMICA
Prof. DILSON TRENNEPOHL
Ijuí (RS), agosto de 2013.
SUMÁRIO 
1 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA	3
1.1 Porcentagem	4
1.2 Diagrama De Fluxo De Caixa	6
1.3 Apresentação Das Taxas	7
1.4 Regimes De Capitalização	7
2 JUROS SIMPLES	9
2.1 Valor dos juros (J)	9
2.2 Valor Presente	(PV)	10
2.3 Cálculo da Taxa (i)	10
2.4 Calculo do tempo (n)	10
2.5 Valor Futuro (FV)	11
2.6 Juro Exato E Juro Comercial	11
2.7 Taxas Proporcionais e Equivalentes	11
3 JUROS COMPOSTOS	14
3.1 Valor Futuro (FV) Ou Montante (M)	14
3.2 Diferença Entre Juros Simples E Juros Compostos	15
3.3 Valor Presente (PV) Ou Capital (C)	15
3.4 Prazo (n)	16
3.5 Cálculo Da Taxa (i)	16
3.6 Cálculo Dos Juros (J)	17
3.7 Juros Compostos Para Períodos Não Inteiros	17
4 OPERAÇÕES COM TAXA DE JUROS	19
4.1 taxa de juros nominal e efetiva	20
4.2 Taxas Equivalentes a Juros Compostos	22
4.3 Taxa Acumulada De Juros Com Taxas Variáveis	23
4.4 Taxa Média De Juros	23
4.5 Taxa Real De Juros	24
5 DESCONTOS	25
5.1 Desconto Simples	25
5.1.1 desconto bancário ou comercial (“por fora”)	25
5.1.2 desconto racional (“por dentro”)	27
5.1.3 operações com um conjunto de títulos	28
5.2 Desconto Composto	29
5.2.1 desconto racional (“por dentro”) composto	29
5.2.2 desconto bancário ou comercial (“por fora”) composto	30
5.3 Comparação Dos Sistemas De Descontos	31
6 SÉRIES DE PAGAMENTOS	33
6.1 Série uniforme de pagamentos postecipados	34
6.2 Série uniforme de pagamento antecipado	38
6.3 Série uniforme de pagamentos diferida	41
7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO	42
7.1 Empréstimos e financiamentos	42
7.2 Sistema Francês De Amortização (Prestações Constantes) - SAF	43
7.3 Sistema De Amortização Constante (SAC)	45
7.4 Sistema De Amortização Misto (SAM)	46
7.5 Sistema De Amortização Crescente (Sacre)	47
8 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA	50
1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
	A Matemática Financeira compreende um conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro no tempo. Assim:
	O DINHEIRO TEM UM CUSTO ASSOCIADO AO TEMPO
	Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se à idéia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se a oportunidade de aplicá-lo, obtendo-se, assim, uma remuneração (juros) sobre a quantia envolvida, quer em função de sua desvalorização por causa da inflação. Dessa forma, alguns princípios básicos sempre deverão ser respeitados:
Só podem ser comparados valores (R$) se estes estiverem referenciados na mesma data.
Somente podem ser efetuadas operações algébricas com valores referenciados na mesma data.
NUNCA SOME VALORES EM DATAS DIFERENTES.
	O tempo é uma das variáveis chaves para a Matemática Financeira. Existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo: o regime de capitalização simples (RCS) e o regime de capitalização composta (RCC).
	Independentemente da forma de capitalização dos juros, sempre existirão em problemas da Matemática Financeira alguns elementos básicos, tais como:
Capital Inicial (C) ou Valor Presente (PV): quantia de moeda (dinheiro) que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outro, temporariamente, mediante determinada remuneração.
Juros (J): equivalem ao aluguel do dinheiro e são genericamente representados por taxa expressa em forma percentual ao período, simbolizada pela letra “i”. Embora seu valor seja comumente representado em forma de taxa percentual ao período, matematicamente, a taxa de juros deve ser operada em sua forma unitária.
Montante (M) ou Valor Futuro (FV): É o resultado da aplicação do capital inicial. Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o período. 
Tempo (n): ou período de capitalização, corresponde à duração (em dias, semanas, meses, bimestres, trimestres, semestres, anos) da operação financeira.
Pagamento ou prestação (PMT ou PGTO): prestações (recebimentos ou pagamentos) com valores constantes e distribuídos periodicamente no tempo. 
Prazo comercial: consideram-se os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano com 360 dias (ano comercial)
Prazo civil: consideram-se os dias efetivamente transcorridos no período. O número de dias em cada mês pode ser: 28 (fevereiro), 29(fevereiro em ano bissexto), 30 (abril, junho, setembro e novembro) ou 31 (demais meses do ano). O ano terá um total de 365 dias (366 se for bissexto). 
Risco: quando é analisado o crédito de um consumidor, na realidade está sendo analisado o risco contido na operação. Os conceitos da matemática financeira são importantes para medir o risco envolvido em várias operações de crédito.
Prejuízo ou despesa: em qualquer operação financeira, normalmente ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos, etc... caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de despesas ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira
Lucro ou receita: da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-os como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita, ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.
1.1 Porcentagem
Este cálculo é uma das operações mais antigas, em termos de cálculos comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada por meio do sinal %. Quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um simples cálculo de proporção.
Ex.: Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00 
	Se 800 = 100% e
	 X = 10% então
 X = 80,00 ou 	800 x 0,10 = 80,00	ou 	800 x 1,10 = 880,00
Com base nos conceitos de porcentagem, é possível resolver várias situações que envolvem negociações com mercadorias, tais como cálculo do lucro, preço de venda, custo, etc...
Cálculo do preço de venda, com base na taxa e no lucro
	Para achar a soma de um número qualquer e sua porcentagem, calcula-se primeiro a porcentagem e, em seguida, adiciona-se esta ao número dado. 
ex.: Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma rentabilidade (lucro) de 6%
		4.126,75		100%
		 X 			6% 
	Onde: 
Lucro = 247,60	ou 	4.126,75 x 0,06 = 247,60 	ou 
				4.126,75 x 1,06 = 4.374,35
	Então teremos o preço de venda = 4.126,75 + 247,60 = 4.374,35
	 Preço de venda = preço de custo x (1 + % lucro em valor unitário)
Cálculo do custo, com base no lucro e na taxa
	
	O custo inicial, isto é, o valor base de cálculo para encontrarmos o lucro e o preço de venda, pode ser encontrado por meio de uma fórmula: 
	
		Custo = (Taxa de lucro em valor unitário)
Ex.: um comerciante ganha R$ 892,14 sobre o custo de certa mercadoria. A taxa de lucro é de 5%. Qual é o custo em reais
	Custo = 	892,14 = R$ 17.842,80
			 0,05
Cálculo da taxa, com base no lucro/abatimento e no preço de venda
	Sendo conhecido o lucro ou abatimento, e o preço total ou de venda de uma mercadoria, produto ou serviço, é possível encontrar a taxa referente ao lucro ou abatimento a partir da seguinte fórmula:
	Taxa percentual = (lucro ou abatimento) x 100
				Preço de venda 
Ex.: Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede o abatimento de R$ 93,91. De quantos por cento é este abatimento
	Taxa percentual = (93,91 / 3.679,49) x 100 = 2,55% 
	
	Obs.: o desconto de R$ 93,91 do exemplo acima poderia também ser entendido com o lucro: neste caso o lucro seria de 2,55%
Cálculo da taxa, com base no lucro/abatimento e no preço de custo
	Sendo conhecido o lucro ou abatimento, e o preço totalou de venda de uma mercadoria, produto ou serviço, é possível encontrar o preço de custo e a taxa referente ao lucro ou abatimento a partir da seguinte fórmula:
	Taxa percentual = (lucro ou abatimento) x 100
				Preço de custo 
	
Ex.: Uma mercadoria é vendida por R$ 3.679,49 tendo o comerciante lucrado R$ 93,91. De quantos por cento é este lucro em relação ao preço de custo
	Custo = Preço de venda – lucro (3.679,49 – 93,91 = 3.585,58)
	Taxa percentual = (93,91 / 3.585,58) x 100 = 2,62% 
	
Cálculo do lucro, com base no preço de venda e na taxa
	Sendo informado o preço de venda de um produto ou serviço e a taxa de lucro, é possível calcular o lucro partindo da seguinte fórmula:
	Lucro = preço de venda x taxa de lucro (em unidades)
		 1 + taxa de lucro (em unidades)
Ex.: Um comerciante vendeu certas mercadorias com o lucro de 8% sobre o custo. Tendo vendido-as pelo preço de R$ 12.393,00. Qual é o valor do seu lucro
	Lucro = 12.393,00 x 0,08
		 1 + 0,08
	
	Lucro = 918,00
1.2. Diagrama de Fluxo de Caixa
Definimos Fluxo de Caixa como sendo a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo. O conceito caixa (financeiro) não pode ser confundido com o conceito de competência (contábil).
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.
a) Modelo simplificado
(+) entradas
								tempo (n) 
(-) saídas 
b) modelo detalhado
entradas ( ) saídas ( ) 
c) Valor presente e valor futuro 
Valor Presente (PV)				 Valor Futuro (FV) 	
 
							 0			 n
 0	n
				Valor Futuro	 Valor Presente (PV)
	(FV)
O valor presente será o capital inicial que o indivíduo possui, enquanto que o valor futuro é o capital inicial acrescido dos juros que incidirão nesta movimentação (rendimento ou financiamento).
1.3. Apresentação das Taxas 
As taxas podem ser apresentadas como:
Percentuais: são aquelas representadas com a simbologia “%”.
Unitárias: equivale ao número percentual (%) dividido por 100. 
Para transformar uma taxa de forma percentual em forma unitária ou decimal, basta dividir por 100. Para realizar o processo contrário, transformando de forma unitária para percentual, deve-se multiplicar por 100.
Exemplo:
Observem no quadro abaixo algumas taxas apresentadas de forma percentual e unitária. 
	 
	Taxa decimal ou unitária (divisão da taxa percentual por 100).
	Retorno a taxa percentual (multiplicação da taxa decimal por 100) 
	25%
	0,25
	25%
	5%
	0,05
	5%
	1,5%
	0,015
	1,5%
	0,5%
	0,005
	0,5%
	2,5%
	0,025
	2,5%
	2%
	0,02
	2%
	0,18%
			0,0018
	0,18%
	1.500%
	15
	1.500%
1.4. Regimes De Capitalização
São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes de capitalização que normalmente são utilizados em matemática financeira são SIMPLES e COMPOSTO ou linear e exponencial, respectivamente. 
Ex.: seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante três meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta
Regime de capitalização simples
	N
	Capital aplicado
	Juros de cada período
	Valor acumulado ou montante 
	1
	R$$ 1.000,00
	R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00
	R$ 1.100,00
	2
	R$$ 1.000,00
	R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00
	R$ 1.200,00
	3
	R$$ 1.000,00
	R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00
	R$ 1.300,00
Regime de capitalização composta 
	N
	Capital aplicado
	Juros de cada período
	Valor acumulado ou montante 
	1
	R$ 1.000,00
	R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00
	R$ 1.100,00
	2
	R$ 1.100,00
	R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00
	R$ 1.210,00
	3
	R$ 1.210,00
	R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00
	R$ 1.331,00
No regime de capitalização simples o montante será menor do que no regime de capitalização composta, pois neste existe a incidência de juros sobre o capital imediatamente anterior (“juros sobre juros”), enquanto no simples o juro incide sempre sobre o capital inicial. 
EXERCÍCIOS SOBRE PORCENTAGEM
Achar 0,5% de R$ 1.346,50 R.: R$ 6,73
Achar 108% de R$ 1.250,25 R.: R$ 1.350,27
Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 60.De quanto por cento foi o prejuízo, sobre o custo e sobre o valor da venda R.: 25% ou 33,33%
Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro de quanto por cento foi o seu lucro R.: R$ 30.000,00 e 33,33% 
Um negociante ganhou sobre o custo de 32 metros de mercadorias 16% ou R$ 6,40. Qual o custo de cada metro R.R$ 1,25
Um produto é vendido por R$ 1.850,00 com 15% de lucro. Se o preço de venda fosse R$ 2.210,00 qual seria o percentual de lucro R.: 37,38% 
Certas mercadorias custaram R$ 7.200,00 e foram vendidas com o lucro de 3,5%. Qual o preço de venda R.: R$ 7.452,00
Um objeto foi vendido por R$ 574,00 e deu 2,5% de lucro. Qual o custo R.: R$ 560,00
Quanto deve receber um vendedor, tendo ele vendido uma mercadoria por R$ 180,00, sendo 4% a sua comissão, e uma outra por R$ 119,00 sendo 3% a sua comissão R.: R$ 10,77
Um objeto vale R$ 190,00. O seguro desse objeto é pago na razão de 5% sobre o seu valor. Que valor se deve atribuir a esse objeto de modo que a pessoa que paga o seguro, em caso de sinistro, recebe não só o valor do objeto segurado, mas também a porcentagem ou prêmio do seguro pago à companhia R.: R$ 200,00
2 – JUROS SIMPLES
	Juro é a remuneração do capital aplicado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um montante ou valor futuro (FV) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação.
	A diferença entre este valor futuro (FV) e a aplicação ou valor presente (PV) denomina-se remuneração, rendimento ou juros ganhos. Assim: 
	
Juros ganhos = montante – aplicação 
Ou 
J = FV – PV 
	Os juros ganhos em uma aplicação financeira são: o produto da taxa de juros vezes o valor aplicado (PV):
	i = J (juros ganhos ) 		J = PV x i
		PV (aplicação)
	O Mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessário coloca-la na forma unitária para realizar os cálculos financeiros. O quadro a seguir apresenta alguns juros na forma de porcentagem com seu equivalente unitário: 
	Forma percentual
	Forma unitária (/ 100)
	20%
	0,20
	10%
	0,10
	1%
	0,01
	0,3%
	0,003
	Juros simples podem ser entendidos como sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.
	A taxa e o tempo devem sempre estar na mesma unidade. Isto é, se a taxa estiver em meses o tempo também deverá estar em meses, se a taxa estiver em anos, também o tempo deverá estar em anos, e assim por diante. Quando a capitalização for simples basta efetuar as divisões ou multiplicações da taxa ou do tempo. No entanto, quando tratar-se de capitalização composta será necessário cuidado, pois as taxas não poderão ser convertidas de maneira simples. 
2.1 – Valor dos Juros (J) 
	Os juros correspondem ao rendimento financeiro obtido a partir de um capital inicial aplicado. Para obter estes valores pode-se utilizar as fórmulas abaixo:
		J = 	PV x i x n 		ou 	J = PV x i x n 
							 100
	
Juros a taxas variáveis repetitivas: 
Ex.1: determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês.
Ex.2: Qual o valor dos juros do capital de R$ 1.200,00, aplicado a juros simples à taxa de 3% ao mês, durante 8 meses e 20 dias
2.2 – Valor Presente ou PresenteValor (PV)
	Valor presente corresponde ao capital inicial aplicado. Também pode ser encontrada a sigla C, abreviatura de Capital. Nas calculadoras financeiras e eletrônicas é utilizada a sigla PV. 
		PV = J__ 		ou 	PV = 	 FV___ 
 		i x n 				 (1+ i x n)
Ex.1: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês
Ex.2: Que valor, aplicado durante 8 meses e 20 dias, à taxa de 3% ao mês, rendeu de juros o valor de R$ 312,00
2.3 – Cálculo da Taxa de Juros (i)	
	Esta taxa corresponde ao percentual que remunera o capital aplicado. A taxa de juros pode ser apresentada de forma percentual ou unitária. 
				ou 		
Ex.1: Pedro pagou ao Banco da Praça S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual foi a taxa mensal de juros aplicados pelo banco
Ex.2: O valor de R$ 1.200 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 20 dias, rendendo de juros R$ 312,00. Calcule a taxa de juros. 
2.4 – Cálculo do Tempo ou Número de Períodos (n)		
	Toda remuneração de capital depende de fatores como o capital inicial e o tempo em que este capital ficou empregado. Este tempo pode ser apresentado em dias, meses, bimestres, trimestres, semestres, anos, e outros tempos. 
	Para calcular o tempo de uma aplicação podem ser utilizadas as fórmulas abaixo: 
				n = J _	 ou n = (FV/PV -1) 
 			Pv x i 			 i 
Ex.1: Por quantos períodos deve-se manter uma aplicação no valor de R$ 1.363,40 à taxa de 1,5% ao trimestre, para gerar um montante de R$ 3.000,00 
Ex.2: O valor de R$ 1.200,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 3% ao mês, rendendo de juros R$ 312,00. Quanto tempo ficou aplicado:
2.5 – Valor Futuro ou Futuro Valor (FV)			
	O valor futuro corresponde ao capital aplicado mais os rendimentos. Também pode receber a denominação de Montante, por esta razão também é utilizada a sigla M ao invés de FV. 
Para calcular o valor futuro utiliza-se a fórmula abaixo: 
	
			 
Juros a taxas variáveis: 
Ex.1: Calcular o montante da aplicação de um capital de R$ 4.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês.
Ex. 2: Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres, a partir de um capital de R$ 15.000,00 com uma taxa de 1% ao mês. 
2.6 – Juro Exato e Juro Comercial
São muito comuns as operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas convenções: 
1) considerando-se o ano civil, que tem 365 ( ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias; ou 
2) considerando-se o ano comercial com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias. 
Os juros obtidos segundo a primeira convenção são chamados juros exatos, e aqueles obtidos pela segunda convenção, juros comerciais. Em geral, a convenção adotada é a de juros comerciais. 
Ex. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% ao ano no regime de juros simples.
Obter os juros exatos.
Obter os juros comerciais.
2.7 – Taxas Proporcionais e Equivalentes
	Na fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um período para outro.
Taxas Equivalentes 
Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo prazo, renderem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser qualquer um, habitualmente é utilizado o prazo de um ano.
Quando duas taxas produzem juros iguais ao serem aplicadas a capitais iguais e por períodos de tempo também iguais dizemos que são taxas equivalentes. No regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais. 
Taxas proporcionais
	
Duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos períodos de tempo a que se referem. A taxa proporcional é determinada pela relação simples entre a taxa considerada na operação (taxa nominal) e o número de vezes em que ocorrem juros (quantidade de períodos de capitalização).
A taxa proporcional não é um tipo de taxa de juros, é apenas uma característica do regime de juros simples. A taxa nominal pode ser proporcionalizada de modo que apenas possa ser expressa em diferentes períodos de tempo. Entretanto, o conceito de taxa proporcional é somente utilizado para capitalização simples, no sentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao tempo. Sua aplicação ocorre em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária.
Como exemplo tome-se as taxas de 3% a.m. e 18% a.s. Essas taxas são proporcionais, pois 3 é a sexta parte de 18 da mesma forma que o mês é a sexta parte do semestre. 
Toda operação envolve dois prazos: 
(1) o prazo a que se refere à taxa de juros (prazo temporal da taxa) e
(2) o prazo de capitalização dos juros (período de capitalização). 
Em inúmeras operações os prazos não são coincidentes. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período da capitalização.
 Fórmula: 
Onde: taxa de juro proporcional a i
	i = taxa de juro que temos (dada).
	k = quantos períodos da taxa existente dentro do período da taxa i.
Exemplos: 
Qual o rendimento de R$ 10.000,00 aplicados por um mês à taxa simples de 36% a.a. 
Calcular a taxa anual proporcional a) 6% ao mês, b) 10% ao bimestre
Calcular a taxa de juros semestral proporcional a a)60% ao ano, b) 9% ao trimestre
EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES
Qual o valor dos juros, correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês R.: 875,00
Uma aplicação de R$13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação R.: 17,65% ao ano 
Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R.: 16 trimestres
Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R.: 5,73% ao mês
Calcular o valor dos juros e do valor futuro de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita à taxa de juros de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. R.: J = 821,18 e FV = 21.971,18
Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 56.737,59, sabendo-se que a taxa de juros é 2,8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu vencimento. R.: PV 52.340,95
Em que tempo um capital qualquer, aplicado a 15% ao ano, poderá triplicar seu valor R.: n = 13,33 ou 13 anos e 4 meses
A que taxa um capital de R$ 175,00 durante 3 anos, 7 meses e 6 dias produz um montante de R$ 508,25 R.: 0,1469% ao dia, 4,40% ao mês, 52,88% ao ano. 
Um investidor possui certa quantia depositada no Banco “A”. Este investidor efetuou um saque equivalente a um terço dessa importância e aplicou em um investimento empresarial a juros de 6% ao mês durante 8 meses, recebendo ao final deste período o valor acumulado de R$ 1.850,00. Qual foi o valor aplicado no investimento empresarial qual era o valor aplicado no Banco “A” antes do saque de um terço R.: 3.750,00
Um consumidor financiou um eletrodoméstico em 24 pagamentos de R$ 28,42 (parcelas fixas), vencendo a primeira parcela de hoje a 30 dias. Logo na primeira prestação houve um atraso de 11 dias para pagamento. Sabe-se que o valor pago de juros foi de R$ 1,56. Qual foi a taxa mensal de juros praticada pelo estabelecimento comercial R.: 0,499% ao dia e 14,97% a.m.
3 – JUROS COMPOSTOS
Juros compostos são os que popularmente chamamos de “juros sobre juros”. Mas correto é, afirmar que os juros incidem sobre o montante anterior. O regime de juros compostos é o mais comumno sistema financeiro e, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.
	O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. Em juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. No regime de juros simples o montante cresce linearmente, pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para cálculo dos juros do período seguinte (não há capitalização de juros nesse regime).
3.1 – Valor Futuro (FV) Ou Montante (M)
	Os conceitos são os mesmos da capitalização simples, porém o cálculo se altera. Desta forma, para calcular o Valor Futuro, a juros compostos, é utilizada a fórmula:
	FV = PV x (1 + i)n
	
Valor Futuro a taxas variáveis: 
Valor Futuro a taxas variáveis e repetitivas: 
Ex.: 
1) Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00 aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. 
A Calculadora HP 12 C é um instrumento para efetuar cálculos financeiros, tais como aqueles ligados a juros compostos, séries de pagamentos, sistemas de amortização. 
Na calculadora HP é possível calcular diretamente qualquer das variáveis da fórmula. Para calcular o valor futuro na HP, pode-se proceder da seqüência seguir (considerando o exemplo 1)
 	f Reg	 (limpa a memória)
				5000 CHS PV
				4 i 
				5 n 
				FV 
A sigla CHS significa a mudança de sinal para os valores financeiros. Quando dois valores são utilizados no cálculo, é necessário informar sinais diferentes para ambos, pois a calculadora raciocina por fluxo de caixa. Quando o cálculo envolve dois valores financeiros e não for utilizado CHS, a calculadora não conseguirá efetuar o cálculo. Já quando houver apenas um valor e não utilizar o CHS, o sinal do resultado será negativo. As demais siglas equivalem aos seus conceitos já mencionados anteriormente. 		
2) Determinar o montante ao final de 5 bimestres, resultante de uma aplicação de R$ 2.300,00 à taxa de 2,9% ao mês. 
		
3.2 – Diferença entre Juros Simples e Juros Compostos
Ex.: calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos.
 Juros Simples				Juros Compostos 
	29
	
	
	30
	
	
	31
	
	
OBSERVAÇÕES:
Algumas observações e conclusões podem ser feitas sobre os regimes de capitalização
Quando o período de tempo (prazo) for inferior ao tempo da taxa, será mais vantajoso utilizar o regime de capitalização simples.
Quando o período de tempo (prazo) for superior ao tempo da taxa, será mais vantajoso utilizar o regime de capitalização composto.
Quando o período de tempo (prazo) for igual ao tempo da taxa, os dois regimes de capitalização apresentarão o mesmo resultado. 
3.3 – Valor Presente (PV) Ou Capital (C)
A fórmula do valor presente (PV) pode ser facilmente obtida a partir da fórmula do valor futuro (FV), basta isolar a variável PV e dividir o valor futuro FV pelo coeficiente do PV, ou seja, (1+ i)n
PV = FV
(1 + i)n
	ou 	 Valor Presente Para Período Não Inteiro. 
Valor Presente a taxas variáveis: ou 
Ex.:
1) No final de dois anos o Sr. Misterioso da Silva deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: qual o valor emprestado
Cálculo de Valor Presente na HP:	
2000 CHS FV
				4 i 
				24 n 
				PV
2) Por quanto deve ser adquirido um título de R$ 10.000,00 disponível no final de 2 bimestres por uma taxa de 3,5% ao mês. 
3.4 – Prazo ou Numero de Períodos (n)
O cálculo do prazo pelo regime de Capitalização Composta não é possível por meio de uma fórmula simples como vimos do regime de capitalização simples, neste caso é necessário calcular através de logaritmo. Na Hp 12 C há uma função Ln em azul que significa logaritmo neperiano. Nas calculadoras científicas a tecla utilizada deve ser Log. 
Para calcular o prazo (n) utilizamos as seguintes fórmulas:
n = Ln (FV) – Ln (PV)
Ln (1 + i)
Ou
n = Ln (FV/PV)
Ln (1 + i)
Obs.: a tecla Ln consta apenas na HP12C, enquanto que nas calculadoras científicas deve-se utilizar a tecla Log. 
Ex.: 
1) em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês
Na HP:	41524,33 CHS FV
			24278,43 PV		
3 i 	
n 
Obs.: a HP 12 C calcula o tempo por meio de arredondamento então o resultado calculado é 19.
2) Em quanto tempo um capital aplicado a 2% ao mês poderá ser resgatado pelo dobro do seu valor 
3.5 – Cálculo da Taxa de Juros (i)
Para calcular a taxa de juros em uma operação de juros compostos é necessário conhecer o valor futuro (FV), o valor presente (PV) e o período de tempo da operação financeira. 
Mas para que não haja dúvidas no cálculo da taxa, quando o prazo da operação não coincidir com o prazo da taxa solicitada, aconselha-se a usar sempre o prazo em dias, em todas as situações. Para tanto, apresentamos a fórmula da taxa de juros composta: 
i = {(FV/PV)qq/qt –1 } x 100
Onde: 
QQ = quanto eu quero (o prazo da taxa a ser calculada)
QT = quanto eu tenho (o prazo da operação que foi informado)
Exemplo:
1) A loja X financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja. 
Na HP:	10210,72 CHS PV
		14520,68 FV
		276 Enter 
30 n
		i 
obs: Para o cálculo da taxa na HP12 período não inteiro, o tempo é invertido: 
2) O capital de R$ 1000,00 produziu juros de R$ 695,88 em 1080 dias. Qual a taxa trimestral de juros. 
3.6 – Cálculo dos Juros (J)
No caso dos juros compostos, a fórmula que calcula os juros é a seguinte:
J = PV [(1 + i)n – 1]
Cálculo dos Juros a taxas variáveis: 
Exemplo: 
1) Calcular os juros de capital de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês. 
2) O capital de R$ 9200,00 foi colocado em regime de capitalização composta trimestral, durante 21 meses, à taxa de 7,99% ao trimestre. Qual o montante e os juros obtidos após este período. 
3.7 – Juros Compostos para Períodos Não Inteiros
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se for adotada a convenção do prazo para dias, veja a seguir:
Um ano exato = 		365 ou 366 dias
Um ano comercial = 		360 dias
Um semestre = 		180 dias
Um trimestre = 		90 dias
um mês comercial = 		30 dias
um mês exato = 		29 ou 31 dias
uma quinzena = 		15 dias
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo com a seguinte denotação: n = qq/qt. Sempre considerando o prazo em dias. Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do valor futuro (FV):
FV = PV (1 + i) qq/qt
Verifique que a fórmula acima é a mesma que já foi apresentada no cálculo do montante em juros compostos. A diferença consiste no fato de que o n (prazo) tomou agora oura forma: uma fração onde o numerador é o tempo que quero calcular e o denominador o tempo que tenho na informação fornecida. 
Exemplo: 
1) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00 negociada a uma taxa de 25% ao ano, por um período de 92 dias pelo regime de juros compostos:
Obs.: Temos a taxa ao ano e o período em dias, assim o quanto eu quero será os 92 dias e o que eu tenho são os 360 dias. 
EXERCÍCIOS: JUROS COMPOSTOS
Determinar o valor de resgate de um investimento de R$ 20.000,00 aplicados a uma taxa de juros de 3,2% ao mês, por um prazo de 4 semestres. R. R$ 42.593,44
Calcular o investimento necessário para se produzir um montante de R$ 43.000,00 a uma taxa de juros de 16,5% ao ano, daqui a 187 dias. Fazer os cálculos considerando o ano comercial e o ano civil. R. Ano comercial:R$ 39.720,60; Ano civil: R$ 39.763,79
Determinar o prazo necessário para um capital triplicar, a uma taxa de25% ao ano. R.: 4,92 anos
Qual é a taxa semestral de juros que produz um montante de R$ 79.000,00 a partir de um investimento de R$ 50.000,00 no fim de 10 anos? R.: 2,31% ao semestre
Determinar o valor hoje das seguintes obrigações: R$ 3.000,00 devidos hoje, R$ 5.000,00 devidos em 5 meses e R$ 9.000,00 devidos em 7 meses, com juros de 3,5% ao mês. R.: 14.283,78
Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar R$ 50.000,00 no final de 12 meses e R$ 75.000,00 no final de 24 meses. Determinar o valor do investimento, sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% ao trimestre. R.: R$ 86.660,60
Um banco vendeu títulos de sua emissão por R$ 98.500,00. O título vence em 100 dias, com valor de resgate de R$ 100.000,00. Determinar a taxa anual da operação, considerando o ano civil. R.: 5,67% ao ano
Uma pequena empresa deseja reestruturar suas dívidas. Atualmente, ela tem três obrigações, nos valores de R$ 30.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 80.000,00, com vencimentos em 50, 70 e 90 dias, respectivamente. Ela deseja trocar os três pagamentos por um único daqui a 120 dias. Determinar o valor desse pagamento sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 30% ao ano (ano comercial). R.: R$ 165.194,10
Um empresário comprou um veículo no valor de R$ 30.000,00, dando uma entrada de R$ 5.000,00, ficando com uma prestação de R$ 15.000,00 para 3 meses e outra para 6 meses. Determinar o valor da última prestação, sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao bimestre. R.: R$ 11.638,13
Um aposentado comprou um certificado de depósito bancário (CDB) que paga R$ 100.000,00 daqui a 182 dias. Determinar o valor de emissão, para que a taxa de juros na operação seja 17% ao ano (ano comercial). R.: R$ 92.369,42 
4 – OPERAÇÕES COM TAXA DE JUROS
Segundo o Banco Central do Brasil S.A., as taxas de juros de cada instituição financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito (Castelo Branco, 2002, pg. 49). A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais. 
As taxas podem ser maiores ou menores, dependendo do tempo e principalmente do risco em que são negociadas. A seguir são listados alguns exemplos de riscos:
Do ponto de vista de quem possui recursos financeiros:
	Taxa (ao mês)
	Aplicação
	Considerações
	0,5%
	Poupança
	Por ser considerado um investimento dos mais seguros, tende a oferecer o menor risco e, conseqüentemente, uma menor taxa de remuneração 
	4%
	Amigo
	Emprestar dinheiro a um amigo pode representar um risco maior para receber os recursos
	20%
	Bolsa de valores
	No caso das bolsas de valores este risco é mais iminente, pois o mercado financeiro constantemente sofre de ataques especulativos que podem aumentar ou diminuir a remuneração
	150%
	Contravenção
	Tudo aquilo que estiver relacionado com a ilegalidade tende a remunerar melhor o capital, porém o risco é muito alto, ou seja, aquilo que parecia ser um ótimo negócio pode virar um enorme prejuízo em todos os aspectos 
Conforme pode ser verificado acima: quanto maior o risco existirá a tendência de se obter uma maior taxa de remuneração.
Do ponto de vista de quem não possui recursos financeiros
	Taxa (ao mês)
	Aplicação
	Considerações 
	20%
	Agiota
	Uma das opções para a pessoa que não possui recursos financeiros é tomar dinheiro emprestado com um agiota, o que, normalmente, é um péssimo negócio, além de ser uma operação considerada ilegal
	12%
	Cartão de crédito
	Quem recorrer ao crédito oferecido pelas instituições financeiras que administram cartões de crédito, normalmente pagará taxas altas de juros, tendo em vista que para estas instituições o consumidor oferece um risco elevado 
	4%
	Amigo
	Tomar empréstimo de recursos financeiros de amigo seria uma opção melhor do que recorrer às instituições financeiras. Mais uma vez é analisado o risco do crédito.
	1%
	Banco comercial
	Taxas consideradas baixas somente serão oferecidas se o grau de risco for diminuído. Normalmente estas operações possuem o que o mercado bancário denomina de garantias reais. 
Partindo dos quadros acima, é possível concluir que a menor remuneração para quem possui recursos financeiros é obtida ao aplicar na poupança. E para quem não possui recursos financeiros o maior custo é tomar dinheiro emprestado com um agiota. E para quem se encontra em situação de devedor a melhor aplicação será sempre quitar suas dívidas. 
Nesta parte do conteúdo veremos os conceitos de taxa nominal, taxa proporcional, taxas efetivas, equivalência de taxas, taxa aparente e taxa real.
4.1 – Taxa de Juros Nominal e Efetiva
	
Uma taxa de juros é efetiva quando sua unidade temporal coincide com os períodos de capitalização. A seguir podem ser visualizados alguns exemplos:
	17% ao ano, capitalizados anualmente
	
12% ao semestre, capitalizados semestralmente
	
5% ao trimestre, capitalizados trimestralmente
	
3% ao bimestre, capitalizados bimestralmente
	
1,5% ao mês, capitalizados mensalmente
	Nos enunciados de problemas de juros compostos onde se dá a taxa efetiva, freqüentemente se omite o período de capitalização, ficando subentendido que este é o mesmo indicado pela taxa. Como por exemplo: a) taxa de 2% ao mês (significando 2% ao mês com capitalização mensal); b) juros de 6% ao trimestre (significando 6% ao trimestre, capitalizados trimestralmente). Entretanto, é comum encontrarmos também em problemas de juros compostos expressões como: a) juros de 72% ao ano, capitalizados mensalmente; b) taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral. 
	Em tais expressões, observamos o que se convencionou chamar de taxa nominal que é aquela cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. Podemos entender a taxa nominal como uma “taxa falsa”, geralmente dada com período em anos, que não devemos utilizar diretamente nos cálculos de juros compostos, pois não produzem resultados corretos. Em seu lugar, devemos usar uma taxa efetiva. São exemplos de taxas nominais:
17% ao ano, capitalizados semestralmente 
12% ao semestre, capitalizados trimestralmente
	5% ao trimestre, capitalizados mensalmente
	3% ao bimestre, capitalizados mensalmente
	1,5% ao mês, capitalizados diariamente
As taxas nominais devem trazer em seu enunciado a unidade temporal da taxa e da capitalização. Embora sejam bastante utilizadas no mercado, as taxas nominais não são taxas efetivas, razão pela qual não devem ser utilizadas diretamente nos cálculos financeiros. As taxas nominais devem ser convertidas em taxas efetivas e posteriormente operadas. 
A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. Isto pode ser feito com uma regra de três simples e direta. 
Para calcular a taxa efetiva a partir de uma taxa nominal, devemos fazer a transformação no regime de juros simples. As taxas nominais anteriores seriam transformadas em taxas efetivas da seguinte forma:
1) 17% ao ano capitalizados semestralmente 
i = 	17% a.a. 	= 8,5% ao semestre
	2 semestres 
2) 12% ao semestre, capitalizados trimestralmente
i = 	12% a.s.	= 6% ao trimestre
	2 trimestres 
3) 5% ao trimestre, capitalizados mensalmente
	i = 	5% ao trimestre 	= 1,67% ao mês
		3 meses
4) 3% ao bimestre, capitalizados mensalmente
	i = 	3% ao bimestre	= 1,5% ao mês
		2 meses	
5) 1,5% ao mês, capitalizados diariamente
	i = 	1,5% ao mês		= 0,05% ao dia
		30 dias 
Portanto, devemos sempre transformar, pelo regime de juros simples, as taxas nominais em taxas efetivas nos cálculos financeiros. Somente taxas efetivas podem ser usadas nas calculadoras financeiras e nas planilhas eletrônicas. 
Para transformar uma taxa nominal em taxa efetiva, basta dividir a taxa pela unidade de capitalização, pois a transformação é no regime simples.Para calcular uma taxa efetiva na mesma unidade da taxa nominal é preciso usar equivalência de taxas no mecanismo de juros compostos. 
A seguir são fornecidas taxas nominais que devem ser transformadas em efetivas e posteriormente em equivalentes no mesmo período da taxa nominal. 
1) 17% ao ano capitalizados semestralmente – taxa nominal anual 
a) i = 	17% a.a. 	= 8,5% ao semestre (taxa efetiva semestral)
	2 semestres 
b) [(1 + 0,085)2 – 1] x 100 = 17,72% ao ano (taxa efetiva anual)
2) 12% ao semestre, capitalizados trimestralmente – taxa nominal semestral 
a) i = 	12% a.s.	= 6% ao trimestral ( taxa efetiva trimestral)
	2 trimestres 
b) [(1 + 0,06)2 –1] x100 = 12,36% ao semestre (taxa efetiva semestral) 
3) 5% ao trimestre, capitalizados mensalmente – taxa nominal trimestral 
	a) i = 	5% ao trimestre 	= 1,67% ao mês (taxa efetiva mensal)
		3 meses
b) [(1+ 0,0167)3 –1]x100 = 5,09% ao trimestre (taxa efetiva trimestral)
4) 3% ao bimestre, capitalizados mensalmente – taxa nominal bimestral 
	a) i = 	3% ao bimestre	= 1,5% ao mês (taxa efetiva mensal)
		2 meses	
b) [(1+ 0,015)2 –1] x100 = 3,02% ao bimestre (taxa efetiva bimestral) 
5) 1,5% ao mês, capitalizados diariamente – taxa nominal mensal 
	a) i = 	1,5% ao mês		= 0,05% ao dia (taxa efetiva diária) 
		30 dias 
	b) [(1+0,0005)30 –1]x 100 = 1,51% ao mês ( taxa efetiva mensal)
	Assim, a taxa efetiva é obtida pela seguinte expressão:
	Taxa efetiva (i) = {[(1 + i)q -1] x 100} 
4.2 – Taxas Equivalentes a Juros Compostos
	
São consideradas equivalentes a juros compostos, duas taxas, quando aplicadas a um mesmo capital por um período de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento:
ieq = {[(1 + ic) qq/qt – 1] x 100}
Onde:
ieq = taxa equivalente ou taxa para o prazo que eu quero 
ic = taxa conhecida ou taxa para o prazo que eu tenho
QQ = prazo que eu quero encontrar 
QT = prazo que eu tenho na informação 
Exemplo: 
Calcular a equivalência entre as taxas:
	Taxa conhecida
	Taxa equivalente para: 
	Solução 
	a) 79,5856% ao ano
	1 mês
	[(1 + 0,795856)30/360 –1]x100 = 5%
	b) 28,59% ao trimestre
	1 semestre
	[(1 + 0,2859)180/90 –1] x 100 = 65,35%
	c) 2,5% ao mês
	105 dias 
	[( 1+ 0,025)105/30 – 1] x 100 = 9,027%
	d) 0,5% ao dia
	1 ano
	[(1 + 0,005)360/1 –1] x 100 = 502,26%
	e) 25% (ano comercial)
	1 ano exato (365 dias)
	[(1 + 0,25)365/360 –1] x 100 = 25,39%
4.3 – Taxa Acumulada de Juros com Taxas Variáveis
A taxa acumulada de juros, com taxas variáveis, é normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas, nesse caso podemos exemplificar as taxas positivas como do tipo 5%; 2% e 1,5% e as taxas negativas como do tipo –2%. –3,5% e –1,7%, etc...
Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representado (1+ i) e a taxa negativa (1 – i). Assim teremos a seguinte fórmula genérica.
i(ac) = {[(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) x...x (1 + in) – 1] x 100}
Exemplo:
1) A seguir são listados índices de variação do IGP-M (FGV) dos meses de janeiro de 2001 a maio de 2001. Calcular a variação acumulada no período: 
	Mês
	Índice de inflação 
	Jan/2001
	0,62%
	Fev/2001
	0,23%
	Mar/2001
	0,56%
	Abr/2001
	1,00%
	Mai/2001
	0,86%
2) Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte seqüência de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%.
4.4 – Taxa Média de Juros
A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica.
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas.
Imagine o conjunto de taxas (5%, 7% e 2%); neste exemplo, 3 é a quantidade de termos deste conjunto de taxas.
A definição da fórmula da taxa média segue basicamente o conceito da taxa acumulada de juros com taxas variáveis. Na verdade, devemos em primeiro lugar calcular a taxa acumulada e, na seqüência a taxa média. Observe o exemplo a seguir:
i(média) = {[(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) x...x (1 + in)]1/n –1}x 100
Exemplo: 
Com base na tabela abaixo calcular a taxa média de inflação
	Mês
	Índice de inflação 
	Jan/2001
	0,62%
	Fev/2001
	0,23%
	Mar/2001
	0,56%
	Abr/2001
	1,00%
	Mai/2001
	0,86%
4.5 – Taxa Real de Juros
A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. 
Se considerarmos que determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, significa dizer que os 10% são uma taxa aparente, e não a taxa real de rendimento. Desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.
			
Onde: 
i= representa a taxa de juros
iinf = a taxa de inflação ou custo de oportunidade
ir = taxa real de juros 
Exemplo: 
1) Uma aplicação durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.
EXERCÍCIOS: Taxas de Juros
Determinar as taxas mensal e trimestral proporcionais a 24% ao ano. R. 2% ao mês e 6% a.t. 
Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes a 18% ao ano.R.:1,39% a.m. e 4,22% a.t.
Determinar a taxa anual equivalente a 48% ao ano, capitalizados bimestralmente. R.58,69% a.a.
Determinar a taxa bimestral equivalente a 12% ao semestre. R.: 3,85% a.b.
Determinar as taxas mensal, bimestral e trimestral equivalentes a 12% ao ano, capitalizados semestralmente. R.: 0,98% a.m., 1,96% a.b. e 2,96% a.t.
Determinar a taxa anual (comercial) equivalente à taxa de 32% ao ano (civil). R.: 31,50% a.a. 
Determinar o montante acumulado por um investidor que aplicou R$ 80.000,00 por cinco trimestres a 21% ao ano, capitalizados trimestralmente. R.: R$ 103.323,83
Um investidor aplicou R$ 130.000,00 por dois anos a uma taxa de 18% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual é o montante esperado ao final da aplicação? R.: R$ 184.873,08
Determinar o investimento necessário para produzir um montante de R$ 75.000,00 ao final de 9 bimestres à taxa de 24% ao ano, capitalizados semestralmente. R.: R$ 53.383,51
Um investidor quer resgatar R$ 75.000,00 daqui a 8 meses. Qual deve ser o valor de sua aplicação hoje, sabendo-se que a taxa de juros é 18% ao ano, capitalizados bimestralmente? R.: R$ 66.636,53
Um empresário, necessitando de capital de giro, resolve captar recursos. O banco “A” cobra em seus financiamentos uma taxa de 35% ao ano, capitalizados anualmente, enquanto a taxa do banco “B” é 32% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o empresário? R.: 35% a.a. (Banco A) e 37,14% a.a. (Banco B)
Um investidor decide realizar uma aplicação financeira. O banco “A” oferece uma taxa de 23% ao ano, capitalizados anualmente, enquanto a taxa do banco “B” é 20% ao ano, capitalizados mensalmente. Em que banco o investidor deve aplicar seus recursos? R.: 23% a.a (Banco A) e 21,94% a.a. (Banco B). 
5 – DESCONTOS
A operação de desconto pode ser descrita como o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso. Ou seja, desconto é o abatimento feito no valor nominal de uma dívida, quando ela é negociada antes do seu vencimento. É normalmente utilizado para descontar duplicatas, letras de câmbio, promissórias e cheques pré-datados. 
Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial)
A operação de desconto pode ser resumida através do seguinte esquema:
 Vencimento 		prazo de antecipação de recursos		antes do vencimento
Valor nominal (-) 		desconto			=	 valor líquido/atual 
 (FV)								 ou presente 
										(PV)
Quando um título de crédito (letra de câmbio, promissória, duplicata ou cheques pré-datados) ou uma aplicaçãofinanceira, é resgatado antes de seu vencimento, o título sofre um abatimento, que é chamado de desconto.
5.1 – Desconto Simples 
Se o desconto for calculado sobre um único valor do título (nominal ou atual), o desconto será denominado de desconto simples. Se o desconto for calculado sobre o valor futuro, é chamado de desconto comercial, bancário ou “por fora” e, se for calculado sobre o valor presente, é chamado de desconto racional ou “por dentro”. 
Para resolver um problema de desconto simples temos de: 
identificar qual o tipo de desconto no problema
preencher o “esquema” correspondente de acordo com os dados do problema
calcular o valor que precisamos, no esquema, usando regra de três. 
 
5.1.1 – desconto bancário ou comercial (“por fora”)
Este desconto pode ser definido como o valor obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor futuro de um determinado compromisso antes do seu vencimento. Proporciona maior volume de encargos financeiros efetivo nas operações. No desconto bancário ou comercial o desconto será menor do que o total de juros, visto que aquele incide sobre o FV e este sobre PV. 
Neste tipo de desconto a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor nominal ou futuro. 
Valor líquido/			desconto			valor nominal	
atual ou presente
 
(100 – d)%			+ d%				 100 %
Esta modalidade de desconto é muito usada nas operações comerciais e principalmente nas operações bancárias, tendo em vista que para as instituições financeiras este tipo de operação é muito mais interessante do ponto de vista financeiro que a operação de desconto racional simples.
Esta situação pode ser expressa pela seguinte fórmula:
DBS = FV x id x nd
Desconto Bancário Simples a taxas variáveis: 
PV = FV – DBS
					PV = FV x (1 – id x nd)
Presente Valor do DBS a taxas variáveis: 
Taxa efetiva do desconto: 
Onde:
DBS 	= desconto bancário simples
FV 	= valor nominal
id 	= taxa de desconto
nd	= prazo de desconto
PV 	= valor líquido
	i 	= taxa efetiva do desconto
Obs: Na capitalização simples, ao se fazer um desconto ¨por fora¨, não é possível reproduzir o valor nominal aplicado ao valor atual (PV) ¨por fora¨ pela mesma taxa e mesmo prazo do desconto
Exemplos:
1) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário
2) uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção
3) Considerando o título de R$ 10.500,00 descontado 5 meses antes do vencimento, a taxa de juros de 30% ao ano, qual será o desconto comercial simples? 
5.1.2 – desconto racional (“por dentro”) 
É aquele desconto onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido ou PV. Nestas operações o valor do desconto é igual ao juro, pois os mesmos incidem sobre o valor presente. 
Valor líquido/			desconto			valor nominal	
Atual ou presente
 
100%			+ d%				 (100 + d)%
Obs.: a taxa de desconto d% é sempre proporcional ao prazo de antecipação do título 
O desconto racional é obtido pela multiplicação do valor atual do título pela taxa de desconto, e este produto, pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. O valor atual é sempre a incógnita, sendo conhecidos seu valor nominal, o prazo e a taxa de desconto. 
No Brasil o desconto racional simples não é muito praticado, por um motivo muito simples: esta modalidade é desfavorável para aquele que possui os recursos financeiros e terá de conceder um desconto em função de uma negociação.
Esta modalidade será sempre mais interessante para quem solicita o desconto, mas como na maioria dos casos quem tem a posse dos recursos financeiros normalmente determina a metodologia de cálculo da operação, portanto, torna-se uma prática pouco usada.
A fórmula para o cálculo deste tipo de desconto é:
DRS = FV – PV
Onde:
DRS 			= desconto racional simples
Valor Futuro (FV) 	= é também chamado de valor nominal ou de face. É o valor do 
título apontado na data do vencimento
Valor presente (PV) 	= é o valor que foi negociado antes do vencimento ou 
simplesmente o valor recebido após a operação de desconto ou valor líquido. 
O Valor futuro (FV) também pode ser encontrado através da seguinte fórmula:
PV = FV_______
 (1 + id x nd)
Valor Presente (PV) do DRS a taxas variáveis: 
Onde: 
id = taxa de desconto
nd = prazo de desconto
O desconto Racional Simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula:
DRS = FV x id x nd
 (1 + id x nd)
Desconto Racional Simples a taxas variáveis: 
Obs: Na capitalização simples, o valor atual (PV) ¨por dentro¨ de um determinado valor nominal (FV) descontado no prazo ¨n¨, é aquele que, aplicado a mesma taxa de desconto, no mesmo prazo ¨n¨, produz como montante o mesmo valor nominal.
Exemplo:
1)Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional
2) Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 10.500,00, 5 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% ao ano, qual o desconto racional simples?
5.1.3 – operações com um conjunto de títulos
É mais comum serem adotadas operações de desconto com conjuntos de títulos, principalmente em operações com bancos comerciais. Estes títulos, com prazos e valores nominais geralmente diferentes, são descontados numa mesma data, produzindo um valor descontado representativo da soma do valor descontado de cada título. 
O problema maior desta operação restringe-se à obtenção da taxa efetiva de juros representativa de um conjunto de títulos com prazos desiguais. Uma maneira simples e bastante empregada na prática de solucionar essa questão é definir o prazo de antecipação dos títulos pelo seu valor médio ponderado. 
A identidade de cálculo da taxa racional de juros passa a ter a seguinte expressão:
i = D __
 C x n¯		
Onde n¯ = prazo médio ponderado de desconto dos títulos
Exemplo:
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3%¨ a.m.. Qual o valor líquido recebido pela empresa
Borderô de cobrança
	Duplicata
	Valor (R$)
	Prazo (vencto)
	A
	2.500,00
	25 dias
	B
	3.500,00
	57 dias
	C
	6.500,00
	72 dias
	Total
	12.500,00
	
Fórmula do Prazo Médio: 
Para calcular o desconto unitário de cada título deveremos proceder da seguinte maneira:
DBS = 2500 x 0,001 x 25 = 62,5 
DBS = 3500 x 0,001 x 57 = 199,4
DBS = 6500 x 0,001 x 72 = 468
PV = 12500 – 729,9 = 11770,10
5.2 – Desconto Composto
O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por fora” (comercial).
O desconto composto comercial é raramente empregado no Brasil, não apresentando uso prático. O desconto composto racional envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo o regime de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática.
5.2.1 – desconto racional (“por dentro”) composto
O desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), valor futuro (VF) ou valor nominal (VN).
Considere um título de valor nominal (VN), com vencimento em um período (n) e um valor líquido (VL) que produz um Valor Futuro (VF) igual a VN quando aplicado por (n) períodos a uma taxa de desconto composto (id) por período.
Foi visto nos itens anteriores que, conceitualmente, o Desconto (D) é igual ao valor nominal (FV) menos o valor líquido (PV), ou seja, D = FV – PV. Este mesmo conceito também será aplicado a todas as metodologias de cálculos de desconto compostoDRC = FV – PV 
Onde DRC = desconto racional composto
PV = 	FV___
(1+id)nd
Valor Presente (PV) do DRC a taxas variáveis: 
FV = PV x (1 + id)nd
 
DRC = FVx (1+ id)nd – 1
 (1 + id)nd
DRC a taxas variáveis: 
Obs: O valor atual (PV) de um título de valor nominal (FV) descontado no prazo ¨n¨ a taxa de desconto ïd¨, é aquele que aplicado a mesma taxa de desconto (taxa de juro i), no mesmo prazo ¨n¨, produz como montante o mesmo valor nominal (FV) do título. 
Exemplo: 
1) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00, considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento.
2) Calcular o valor do Desconto Racional Composto de um título de valor nominal de R$ 1.200,00 descontado 4 meses antes do vencimento à taxa de 2,5% ao mês. 
5.2.2 desconto bancário ou comercial (“por fora”) composto
Considere um título de valor nominal (FV), com vencimento em um período (n), e um valor líquido (PV), que produz um Valor Futuro (VF) igual a VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de desconto (d) por período. Vamos verificar.
A partir do valor nominal, poderemos determinar o valor líquido, com base no conceito do cálculo por fora. Vejamos a aplicação desta metodologia de cálculo:
DBC = FV – PV
PV = FV (1-id)nd
Valor Presente (PV) do DBC a taxas variáveis: 
				 DBC = FVx[1– (1-id)nd] 
	
DBC a taxas variáveis: 
Obs: Na capitalização composta ao se fazer um desconto ¨por fora¨ (comercial ou bancário), não é possível reproduzir o valor nominal (FV) aplicando o valor atual (PV) ¨por fora¨ pela mesma taxa e mesmo prazo do desconto.
Taxa efetiva do DBC: 
Exemplo:
1) Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 faltando 60 dias para seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido. 
2) Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes do vencimento. A taxa de desconto adotada foi de 5% ao mês. Determine o valor descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva da operação. 
5.3 – Comparação dos Sistemas de Descontos
Vamos admitir que um valor nominal (FV) de R$ 25.000,00 com uma taxa de desconto (i) de 2,5% foi descontado 2 meses antes do seu vencimento. Determinaremos, para efeito de comparação, o desconto e valor líquido por todos os sistemas estudados.
	Sistema de desconto
	Valor do desconto
	Valor líquido
	Desconto racional simples (DRS)
	R$ 1.190,48
	R$ 23.809,52
	Desconto bancário simples (DBS)
	R$ 1.250,00
	R$ 23.750,00
	Desconto Racional composto (DRC)
	R$ 1.204,64
	R$ 23.795,36
	Desconto Bancário composto (DBC)
	R$ 1.234,38
	R$ 23.765,62
Analisando a tabela acima, é possível perceber que, para quem vai liberar os recursos financeiros, como por exemplo, uma instituição financeira, a melhor opção será aplicar a metodologia de cálculo do Desconto Bancário Simples (DBS). Porém, se você vai receber a liberação de recursos financeiros através de uma operação de desconto, a melhor opção seria aplicar a metodologia de cálculo do Desconto Racional Simples (DRS). 
Na verdade, esta relação de descontos será sempre uma questão de negociação, o que quase sempre favorece as instituições financeiras ou de crédito, por terem a posse do capital ou recursos financeiros, por isso quanto maior for o domínio das técnicas e metodologia de cálculos nas operações de desconto, melhor serão suas chances nessas negociações.
EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO
Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês R.: R$ 225,00 
Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$ 1.000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 R.: 3% a.m.
Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir: R.: R$ 11.768,00
6.000 em 15 dias
3.500 em 25 dias		
2.500 em 45 dias
Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00 que sofreu um desconto de R$ 448,50 á taxa de 18% ao ano. R. 92 dias
(CEB/94) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título R.: R$ 2.740,00 
(TTN/94) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 635,50. Qual o valor do título R.: R$ 6510,00 
 (AFTN/96) você possui uma duplicata cujo valor de face é de R$ 150,00. Essa duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora), também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco, receberá líquidos, hoje, R$ 105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: R.: 5% a.m. 
(ISS/SP – 98) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada deve ser de 18%. SE o desconto comercial simples excede o racional simples em R$ 18,00, o valor nominal do título é: R.: R$ 5.300,00 
(AFTN/98) O desconto comercial simples de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. R.: R$ 500,00 
(CESPE/UNB-TCDF/AFCE-95) Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00 é resgatada 2 meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e os valores do desconto são, respectivamente. R.: R$ 1620,00 e R$ 380,00 
(ISS/SP-98) Um título de valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era de 10% o valor líquido desse título era: R.: R$ 45.000,00 
6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS
	Em geral, uma série ou uma anuidade corresponde a toda e qualquer seqüência de entradas ou saídas de caixa com um dos seguintes objetivos: (1) amortização de uma dívida ou (2) capitalização de um montante. As séries podem ser classificadas de diferentes formas:
	
Quanto ao número de prestações
	Finitas: quando ocorrem durante um período predeterminado de tempo.
Infinitas: ou perpetuidades, quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente.
	
Quanto à periodicidade dos pagamentos
	Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem a intervalos constantes.
Não Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo.
	
Quanto ao valor das prestações
	Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são iguais.
Não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.
	
Quanto ao prazo dos pagamentos
	Postecipadas: quando os pagamentos ou recebimentos iniciam após o final do primeiro período.
Antecipadas: quando o primeiro pagamento ou recebimento ocorre na entrada, do inicio da série.
	
Quanto ao primeiro pagamento:
	Diferida: ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestação.
Não diferida: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento.
Graficamente podemos representar as séries uniformes de pagamentos da seguinte forma:
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
PMT
							+ + + 
		
		0 	1	2	3	4			n
do ponto de vistade quem vai fazer os pagamentos 
0	1	2	3	4			n
			PMT
Teclas e funções financeiras na calculadora HP-12C, que serão utilizadas nos próximos exemplos:
n		(calcula o prazo)
i 		(calcula a taxa)
PV 		(calcula o valor presente)
PMT 		(calcula a prestação)
FV 		(calcula o valor futuro)
CHS 		(troca um sinal de um número de positivo para negativo ou o contrário, 
ou seja, de negativo para positivo)
G END 	(para cálculos de séries uniformes de pagamentos postecipados)
G BEG 	(para cálculos de séries de pagamentos antecipadas)
F FIN 		(limpa as funções financeiras)
F REG 	(limpa todas as funções)
6.1 – Série uniforme de pagamentos postecipados 
As séries uniformes de pagamentos postecipados são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no período um; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n). Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representada pela sigla “PMT” que vem do inglês “Payment” e significa pagamento ou recebimento.
dada a prestação (PMT) achar o valor presente (PV)
O conceito de valor presente (PV), em uma série de pagamento uniforme postecipada, consiste em trazer cada um dos termos para a data focal “zero” e, na seqüência, somá-los, obtendo o valor presente (PV) da série uniforme de pagamento. 
Sendo informados uma taxa (i),um prazo (n), e o valor de um pagamento ou prestação (PMT) será possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipados através da seguinte fórmula:
					PV = PMT 
Exemplo:
1) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.
Na HP = 		f reg g end 
				1500 CHS PMT
				6 n 	3,5 i 	PV 
2) Um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de R$ 2.500,00 cada uma, a uma taxa de 4,75% ao mês. Determine o valor líquido creditado ao financiamento, considerando tratar-se de séries postecipadas. 
b) Dado o valor presente (PV), achar a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula:
				PMT = PV x 
Exemplo:
1) Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês
			Na HP = 		f reg g end 
						500 CHS PV
						5 n 	5 i 	PMT
2) Um tapete é vendido por R$ 550,00 à vista. Pode ser adquirido também em 24 prestações mensais a juros de 3% ao mês. Sabendo-se que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao da compra, qual o valor de cada prestação? 
c) dado o valor futuro (FV), achar a prestação (PMT) 
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor futuro (FV) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula.
			PMT = FV 
Exemplo:
1) Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00 pelo regime de juros compostos.
			Na HP = 	f reg g end 
					5000 CHS FV 
					4 i 	7 n 	PMT 
2) para obter um montante de R$ 150.000,00 qual o valor que deve ser aplicado mensalmente durante 15 meses, sabendo-se que a taxa mensal é de 3,25% ao mês? 
d) dada a prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV) através da seguinte fórmula:
				FV = PMT 		
Exemplo:
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período
				na HP = 	f reg g end 
						100 CHS PMT
					 	0,8 i 	360 n 	FV 
Calcule o montante obtido no final de 60 meses pela aplicação de 60 parcelas iguais de R$ 200,00 de acordo com o conceito de séries postecipadas, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês. 
e) dado o valor presente (PV), calcular o prazo (n)
n = 
	Exemplo: Um produto é comercializado á vista por R$ 1.750,00. Outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% a.m. gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determine quantas prestações dará este financiamento.
dado o valor futuro (FV) calcular o prazo (n)
n = 
Exemplo: Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considere uma taxa média de poupança de 0,8% a,m.. Determine a quantidade de depósitos efetuados por este poupador.
EXERCÍCIOS: SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS
Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00, durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. (série postecipada). R.: R$ 5.525,63
Determinar o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R.: R$ 53.349,26
Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00 e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações. R.: R$ 453,07
Paulo deseja presentear seu filho Marcos com um carro que hoje custa aproximadamente R$ 13.000,00, desde que Marcos consiga aprovação no vestibular. Sabemos que a idade de Marcos hoje é de 12 anos, e, se tudo correr bem, com 18 anos ele estará ingressando na faculdade. Quanto Paulo deverá economizar por mês, considerando uma previsão de inflação de 7% ao ano. R.: R$ 220,30
No exercício 3, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor da prestação. R.: R$ 340,28
Marcelo paga uma prestação de R$ 375,25 por mês por conta do financiamento de seu apartamento, sabendo-se que a taxa do financiamento é de 6,1678% ao ano e que o valor do imóvel foi estimado pelo Agente Financeiro em R$ 50.000,00 pergunta-se: em quantos meses foi financiado o apartamento de Marcelo R.: 220 meses
(ACE-TCU/98) Um indivíduo deseja obter R$ 100.000,00 para comprar um apartamento ao fim de um ano e, para isso, faz um contrato com um banco em que se compromete a depositar mensalmente, durante um ano, a quantia de R$ 3.523,10, com rendimento acertado de 3% ao mês, iniciando o primeiro depósito ao fim do primeiro mês. Transcorrido um ano, o banco se compromete a financiar o saldo restante dos R$ 100.000,00 à taxa de 4% ao mês, em 12 parcelas mensais iguais, vencendo a primeira a fim de 30 dias. Calcular a prestação mensal desse financiamento. R.: R$ 5.327,61
(AFTN-98) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou rendas certas, em que o valor da anuidade corresponde ao saldo devedor, e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal. R.: R$ 852,42
(AFTN-96) Uma pessoa paga uma entrada no valor de R$ 23,60 na compra de um equipamento e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de R$ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações, podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é. R.: R$ 70,00
(AFTN-96) um empréstimo de R$ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguaise consecutivas (primeira com vencimento ao final do primeiro trimestre, e segundo vencimento ao final do segundo trimestre). Qual o valor de cada prestação. R.: R$ 11.881,00
6.2 – Série uniforme de pagamento antecipado
As séries uniformes de pagamentos antecipados são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal zero (0). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada. (1 + n).
dada a prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)
Sendo informada uma taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) é possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
	PV = PMT x x 
Exemplo:
1) Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos iguais de R$ 185,00. Sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada determine o preço à vista desta mercadoria.
Na HP G Beg	185 CHS PMT 	4 n	5 i 	PV 
dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informada uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) é possível calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
				PMT = PV x x
Exemplo 1:
1) Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento:
		Na HP: G BEG 	17800 CHS PV 	36 n	1,99 i		PMT
Dada a prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
			
			FV = PMT xx (1 + i )	
Exemplo:
1) Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S.A, com depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em média, em torno de 0,8% ao mês, pergunta-se: o nosso amigo poupador vai conseguir acumular o valor de que precisa?
		Na HP g beg 
			500 CHS PMT 	0,8 i 	60 n	FV 
dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular o valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
		PMT = FV x x
Exemplo: 
1) Considerando o exemplo anterior, verificamos que o poupador resgatará um pouco mais do que desejava. Agora, considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada depósito para que o nosso poupador consiga resgatar exatamente o valor de R$ 37.500,00
		Na HP g beg 
		37.500 CHS FV 8 i 	60 n PMT
e) dado o valor presente (PV), calcular o prazo (n)
n = 
Exemplo: Um produto custa à vista R$ 1.500,00 e foi adquirido a prazo, com prestação mensal de R$ 170,72, sendo a primeira a ser paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% a.m. determine a quantidade de prestações deste financiamento.
EXERCÍCIOS: SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS
Uma loja “A” oferece uma televisão por R$ 630,00 em 3 vezes iguais (1+2) ou com 5% de desconto para pagamento à vista. Na loja “B”, considerando o mesmo preço à vista, a mesma televisão é comercializada em 24 pagamentos iguais de R$ 47,69, sem entrada. Determine a taxa de juros praticados pelas lojas “A” e “B”. R.: a) 5,36%; b) 6% 
Quanto se deve depositar no início de cada mês para que, ao fim de 24 meses, se tenha R$ 25.000,00 à taxa de 1,25% ao mês? R.: R$ 888,56
Uma loja vende um computador em 8 prestações de R$ 321,00 sem entrada, enquanto sua concorrente vende o mesmo computador em 10 prestações de R$ 250,00, com entrada. Se a taxa de ambas as lojas é de 3,5% ao mês, qual é a melhor proposta? R.: a segunda
Uma cadeia de lojas vende determinado tipo de aparelho de som nas seguintes condições: R$ 400,00 de entrada, mais duas parcelas mensais de R$ 400,00 no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor a vista do aparelho se a taxa de juros mensal é de 5%? R.: R$ 1.143,76
Um carro é vendido à vista por R$ 50.000,00 ou a prazo mediante o pagamento de vinte e quatro prestações iguais, uma delas no ato da compra e as outras nos meses seguintes. Qual deve ser o valor de cada prestação se a taxa de juros é de 5% ao mês? Resposta: R$ 3.451,00
Um financiamento de R$ 1.000,00 de principal deve ser amortizado em cinco prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira prestação no ato da liberação dos recursos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 1% ao mês, determinar o valor da prestação mensal desse financiamento. R.: R$ 204,00 
6.3 – Série uniforme de pagamentos diferida
Como já estudado no início deste capítulo, as séries uniformes de pagamento diferidas são aquelas em que os períodos ou intervalos de tempo entre as prestações (PMT) ocorrem pelo menos a partir do 2º período, ou seja, se considerarmos um período qualquer como sendo (n), o período seguinte será (n + 1), o próximo será (n + 2) e assim sucessivamente.
Usar as fórmulas de capitalização e descapitalização no período de carência e depois escolher entre séries uniformes postecipadas ou antecipadas
cálculo do valor presente (PV)
Sendo informados uma taxa (i), uma prestação (PMT), um prazo (n) e um período de carência (c), será possível calcular o valor presente (PV) em uma série uniforme de pagamento diferida através da seguinte fórmula:
PV = x PMT x 
Exemplo:
1) Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 (cinco) prestações iguais de R$ 150,00. A loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento. Determine o valor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% ao mês. 
cálculo da prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um valor presente (PV), um prazo (n) e período de carência (c), será possível calcular o valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento diferida através da seguinte fórmula:
PMT = x PV x
Exemplo:
1) A loja Barrabás vende um determinado produto à vista por R$ 850,00 em 24 parcelas mensais, sendo que a primeira prestação somente será paga após 4 (quatro) meses do fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada prestação.
cálculo do valor futuro (FV)
Para efetuar o cálculo do valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamentos diferidos, será necessário efetuar dois cálculos independentes, primeiro achar o valor futuro da série uniforme de pagamento diferido, e, depois se pode calcular o novo valor futuro. 
Sendo informados uma taxa (i), uma prestação (PMT) e um prazo (n), será possível calcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento diferida através da seguinte fórmula:
	FV = (1 + i)c x PMT x 
Exemplo:
1) Um poupador efetuava regularmente depósitos em uma conta de poupança. Após 12 meses este poupador teve de interromper os depósitos, mas não efetuou nenhum saque, e gostaria de saber quanto terá após 6 (seis) meses, considerando-se que os valores dos depósitos eram de R$ 200,00 e que a taxa média de juros para os primeiros 12 meses era de 1% e que para os próximos 6 meses estimou-se uma taxa de 0,8% ao mês. Pergunta-se: quanto o nosso amigo poupador terá após todo o período?
 
EXERCÍCIOS: SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS DIFERIDAS
(FTE-RS-91) Calcular o preço a vista de uma mercadoria que é vendida a prazo em 10 prestações mensais, pagáveis nos dias primeiro de cada mês, de R$ 10.000,00 cada uma, considerando juros compostos capitalizados mensalmente à taxa de 9% ao mês e sabendo que a primeira prestação será paga 3 meses após a compra. Desprezar os centavos da resposta. R.: R$ 54016,14
(Analista de orçamento – 98) uma dívida, no valor de R$ 9.159,40, vai ser paga em 5 prestações mensais iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 3 meses da