Mecanismos_04

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MECANISMOS CAPÍTULO 4 
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4. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 
4.1. Introdução a Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Evolventais. Considerando 
duas superfícies curvas em contato direto pode-se mostrar que a razão das velocidades angulares 
é inversamente proporcional aos segmentos em que a linha de centros é cortada pela linha de 
ação ou normal comum às duas superfícies em contato. Se a linha de ação sempre intercepta a 
linha de centros em um ponto fixo, a razão das velocidades angulares permanece constante. Esta 
é a condição desejada quando dois dentes de engrenagens se acoplam: a razão das velocidades 
angulares deve ser constante. É possível supor a forma do dente em uma engrenagem e pela 
aplicação do princípio acima (a normal comum intercepta a linha de centros em um ponto fixo) 
para determinar o contorno dos dentes que se engrenam. Tais dentes são considerados dentes 
conjugados e as possibilidades são limitadas apenas pela habilidade em construí-los. Das muitas 
formas possíveis, só a ciclóide e a evolvente foram padronizadas. Primeiramente utilizava-se a 
ciclóide que, depois, foi substituída pela evolvente em todas as aplicações, exceto em relógios. O 
dente com perfil da evolvente tem diversas vantagens, as mais importantes das quais sua fácil 
fabricação e o fato de que a distância entre centros de duas engrenagens evolventais pode variar 
sem alterar a razão de velocidades. O sistema evolvental de engrenamento é discutido em 
detalhes nos parágrafos seguintes. A Fig. 4.1 mostra um par de engrenagens de dentes retos 
evolventais. 
 
Figura 4.1 Engrenagens de dentes retos evolventais 
Considere duas polias ligadas por um fio cruzado como mostra a Fig. 4.2. É evidente que as 
duas polias giram em direções opostas e que a relação das velocidades angulares é constante, 
desde que o fio não deslize, e depende da razão inversa dos diâmetros. Vê-se também que a 
relação entre as velocidades angulares não muda quando a distância de centros é modificada. Por 
conveniência, suponha que um lado do fio seja removido e um pedaço de cartolina seja fixado na 
polia 1 (Fig. 4.3a). Coloque um lápis no ponto Q, sobre o fio e guie a polia 2 no sentido anti-
horário. Em relação ao papel, o ponto Q descreverá uma linha reta, enquanto que em relação a 
polia 1, Q traçará uma evolvente na cartolina. A mesma evolvente poderia ser gerada cortando-se 
o fio em Q e desenrolando-o da polia 1, mantendo-o tenso. Se uma cartolina for agora fixada na 
polia 2 (Fig. 4.3b) e o processo for repetido, gera-se uma evolvente nesta cartolina. Se as 
cartolinas forem agora cortadas ao longo das evolventes, forma-se um lado de um dente em 
ambas as polias 1 e 2. A evolvente da polia 1 pode ser usada para impelir a evolvente da polia 2. 
A razão das velocidades angulares será constante porque a linha de ação, que pelo processo de 
construção é normal às evolventes no ponto de contato Q, corta a linha de centros em um ponto 
fixo. Como no caso das polias com o fio cruzado, a relação das velocidades angulares será 
inversamente proporcional aos diâmetros das polias. 
 
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 Figura 4.2 Figura 4.3 
Se a distância entre centros for modificada, a evolvente 1 ainda impelirá a evolvente 2, mas 
uma outra parte das duas evolventes estará agora em contato. Enquanto os diâmetros das polias 
não forem modificados, a relação das velocidades será a mesma. 
As circunferências usadas como base para a geração das evolventes são conhecidas como 
circunferências de base, e são o coração do sistema de engrenagens evolventais. Na Fig. 4.4 o 
ângulo definido por uma linha perpendicular à linha de ação tirada pelo centro da circunferência de 
base e uma linha de O1 a Q (ou O2 e Q) é conhecido como ângulo de pressão e é uma indicação 
do ponto da evolvente onde está havendo contato. Se na Fig. 4.4, o ponto de interseção da linha 
de ação e da linha de centros é chamado de P, a relação das velocidades angulares será 
inversamente proporcional aos segmentos em que este ponto dividir a linha de centros. 
 
Figura 4.4 
É possível traçar circunferências passando por P usando primeiro O1 como centro e depois 
O2, como mostra a Fig. 4.5. O ponto P é chamado de ponto primitivo e as circunferências que 
passam por ele são conhecidas como circunferências primitivas. Pode-se provar que quando a 
evolvente 1 impele a evolvente 2, as duas circunferências primitivas movem-se uma em relação à 
outra em rolamento puro. A relação das velocidades angulares é inversamente proporcional aos 
raios das duas circunferências primitivas porque os segmentos em que P divide a linha de centros 
agora são os raios destas circunferências. Se o diâmetro da circunferência primitiva 1 é d1 e o da 
circunferência 2 é d2, ω1/ω2 = d2/d1. Será mostrado em outra seção que o número de dentes em 
uma engrenagem é diretamente proporcional ao diâmetro primitivo. Logo, ω1/ω2 = d2/d1 = z2/z1. 
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Figura 4.5 
4.2. Evolvente. Relações. Se considerarmos o perfil do dente como sendo evolvental, 
devemos saber calcular algumas propriedades da evolvente. 
A Fig. 4.6 mostra uma evolvente que foi gerada a partir de uma circunferência de base de raio 
rb. A evolvente contém dois pontos A e B com raios correspondentes rA e rB e ângulos de 
incidência frontal αA e αB. É fácil obter uma relação para esses raios porque a circunferência de 
base é a mesma para qualquer ponto em consideração. 
 
Figura 4.6 
Então, 
rb = rA cos αA (4.1) 
ou 
 
rb = rB cos αB 
e 
 cos αB = ( rA / rB ) cos αA (4.2) 
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Da equação 4.2 é possível determinar o ângulo de incidência frontal em qualquer ponto de 
raio conhecido sobre a evolvente. 
A Fig. 4.7 mostra a Fig. 4.6 completa para incluir todo o dente da engrenagem. Deste 
diagrama é possível desenvolver uma equação para determinar a espessura do dente em 
qualquer ponto B, dada a espessura no ponto A. 
 
Figura 4.7 
 Do processo de geração de uma evolvente, o arco DG é igual ao comprimento BG. 
 Então 
OGocompriment
BGocompriment
OGocompriment
DGarcoDOGângulo == 
OGocompriment
BGocomprimenttg B =α 
Assim, 
BtgDOGângulo α= 
Também 
BBB tgDOGânguloDOBângulo ααα −=−= 
Pode ser mostrado também que 
BAtgDOAângulo αα −= 
A expressão (tg α - α) é chamada função evolvental e é às vezes escrita Ev α. É fácil calcular 
a função evolvental quando o ângulo é conhecido; α é expresso em radianos. Entretanto, é difícil 
determinar α a partir de Ev α, e por esta razão foram publicadas tabelas de funções evolventais 
(ver Apêndice 1). 
Referindo-se ainda à Fig. 4.7, 
B
B
B
B
B
r
sEv
r
s
DOBânguloDOEângulo
2
2
1
+=+= α 
Também 
A
A
A
A
A
r
sEv
r
s
DOAânguloDOEângulo
2
2
1
+=+= α 
Das relações acima, 
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 

 −+= BA
A
A
BB EvEvr
srs αα
2
2 (4.3) 
Através da equação 4.3 é possível calcular a espessura do dente em qualquer ponto da 
evolvente, dada a espessura em outro ponto. Uma interessante aplicação desta equação é 
determinar o raio em que o dente se torna pontudo. 
4.3. Particularidades de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos. A fim de continuar o 
estudo de engrenagens evolventais é necessário definir os elementos básicos de uma 
engrenagem, como mostram as Figuras 4.8a e b. Deve-se também mencionar que a menor das 
duas engrenagens é chamada de pinhão; o pinhão é, em geral, a engrenagem motora. Se o raio r 
da circunferência primitiva de uma engrenagem se torna infinito, resulta uma cremalheira, 
conforme as Figuras 4.8c e 4.9. O perfil dos dentes de uma cremalheira é uma linha reta, que é a 
forma tomada por uma evolvente quando gerada sobre uma circunferência de base de raio infinito. 
Na Fig. 4.8a o passo base pb é a distância de um ponto sobre um dente ao ponto correspondente 
no próximo dente medida sobre a circunferência de base. O passo frontal pt é definido da mesma 
maneira, exceto que é medido sobre a circunferência primitiva. A altura de cabeça ha e a altura de 
pé hf, são distâncias radiais medidas conforme mostrado. A porção do flanco abaixo da 
circunferência de base é aproximadamente uma linha radial. A curva do dente é a linha de 
interseção da superfície do dente com a superfície primitiva. 
 
Figura 4.8 
Embora seja impossível mostrar na Fig. 4.8, o jogo primitivo é uma consideração importante 
em engrenagens. Jogo primitivo é a quantidade pela qual a dimensão do espaço de um dente 
excede a espessura do dente que se engrena, medidos na circunferência primitiva. Teoricamente, 
o jogo primitivo deveria ser zero, mas na prática alguma tolerância deve ser dada para expansão 
térmica e erros de fabricação. A não ser que seja especificado, supõe-se o jogo primitivo como 
zero neste texto. Em uma seção posterior será abordado o método para calculá-lo em função de 
uma variação na distância entre eixos. 
 
Figura 4.9 Pinhão e cremalheira de dentes retos evolventais 
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4.4. Características da Ação Evolvental. Na discussão da geração da evolvente viu-se que 
a normal comum às duas superfícies evolventais é tangente às duas circunferências de base. Esta 
normal comum é também chamada de linha de ação. O início do contato ocorre quando a linha de 
ação intercepta a circunferência de cabeça da engrenagem movida, e o fim do contato, quando a 
linha de ação intercepta a circunferência de cabeça da engrenagem motora. Isto é evidente na 
Fig. 4.10 que mostra um par de dentes entrando em contato e o mesmo par prestes a separar-se 
(mostrado tracejado). O ponto A é o início do contato e o ponto B, o fim. A trajetória do ponto de 
contato está ao longo da linha reta APB. O perfil do dente (engrenagem 1) corta a circunferência 
primitiva no ponto C no início do contato e no fim corta-a no ponto C’. Os pontos D e D' são os 
correspondentes na engrenagem 2. Os arcos CC' e DD' são chamados arcos frontais de 
transmissão e devem ser iguais para haver rolamento puro das circunferências primitivas, como já 
havia sido mencionado. Os ângulos do movimento são geralmente divididos em duas partes, 
como mostra a Fig. 4.10, onde φF é o ângulo de aproximação e φA o ângulo de afastamento. O 
ângulo de aproximação não é igual, em geral, ao ângulo de afastamento. Para haver transmissão 
contínua, o arco de ação deve ser igual ou maior do que o passo frontal. Sendo isto verdadeiro, 
um novo par de dentes entrará em ação antes que o par precedente desfaça o contato. 
 
Figura 4.10 
A relação entre o arco frontal de transmissão e o passo frontal é conhecida como razão frontal 
de transmissão. A razão frontal de transmissão para engrenagens evolventais é também igual à 
relação entre a linha de movimentação ou comprimento de transmissão (isto é, a distância do 
início ao fim do contato medido sob a linha de ação) e o passo base e geralmente é calculada 
desta maneira, como será mostrado posteriormente. Considerada fisicamente, a razão frontal de 
transmissão é o número médio de dentes em contato. Se, por exemplo, a razão é 1,6, não 
significa que há 1,6 dentes em contato. Significa que há alternadamente um e dois pares de 
dentes em contato e que ao longo do tempo a média é 1,6. O valor teórico mínimo da razão frontal 
de transmissão é 1,0. É claro que este valor deve ser aumentado em condições reais de 
operação. Embora seja difícil especificar valores devido às diversas situações e fatores 
envolvidos, 1,4 tem sido usado como mínimo prático e 1,2 para casos extremos. Deve-se notar, 
entretanto, que quanto menor a razão frontal de transmissão, maior o grau de precisão necessário 
na usinagem dos perfis para assegurar funcionamento silencioso. 
A Fig. 4.10 também mostra um ângulo α, que é formado pela linha de ação e uma linha 
perpendicular à linha de centros no ponto primitivo P. Este ângulo é conhecido como ângulo de 
pressão e deve ser diferenciado do ângulo de incidência frontal em um ponto sobre a evolvente. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
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Quando as duas engrenagens estão em contato no ponto primitivo, o ângulo de pressão e os 
ângulos de incidência frontal das duas evolventes são iguais. Estes ângulos podem ser vistos na 
Fig. 4.11. 
 
Figura 4.11 
Pode ser derivada uma equação para o comprimento de transmissão gα, a partir da Fig. 4.11 
onde 
 A = início do contato 
 B = fim do contato 
 E1 e E2 = pontos de tangência da linha de ação e circunferência de base 
ra = raio de cabeça 
rb = raio base 
α = ângulo de pressão 
C = distância entre eixos 
Da figura, 
2121 EEAEBEBAg −+==α 
Então 
 ( ) ( ) ( ) ( ) αα senCrrrrg baba −−+−= 22222121 (4.4) 
O passo base pb é dado por 
 
z
r
p bb
π2= (4.5) 
onde 
rb = raio base 
z = número de dentes 
A razão frontal de transmissão εα é então 
 
bp
gα
αε = (4.6) 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
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Se parece estranho calcular a razão frontal de transmissão dividindo uma medida em linha 
reta por uma circunferencial, consideremos a Fig. 4.12. Na Fig. 4.12a são mostrados dois dentes 
adjacentes de uma engrenagem pertencente a um par. O passo base pb está assinalado na 
circunferência de base de acordo com sua definição. Um segmento sobre a linha de ação é 
também designado pb. Do modo como duas evolventes adjacentes seriam geradas pode-se ver 
que os dois trechos chamados de pb têm que ser iguais. Então o passo base pode também ser 
considerado como a distância normal entre lados correspondentes de dentes adjacentes. A Fig. 
4.12b ilustra como o passo base é medido em uma cremalheira. 
 
Figura 4.12 
Exemplo 4.1 
 Um pinhão de 24 dentes comanda uma engrenagem de 60 dentes com um ângulo de pressão 
de 20°. O raio primitivo do pinhão é 1,5000 pol e o raio externo 1,6250 pol. O raio primitivo de 
engrenagem é 3,7500 pol e o raio externo 3,8750 pol. Utilizando as Fig. 4.10 e 4.11, calcule o 
comprimento de transmissão, razão frontal de transmissão e ângulos de aproximação e 
afastamento para o pinhãoe a engrenagem. 
SOLUÇÃO. Da Fig. 4.11 
2121 EEAEBEBAg −+==α 
( ) ( ) ( ) ( ) αα senCrrrrg baba −−+−= 22222121 
ra1 = 1,6250 pol 
rb1 = r1 cos α = 1,5000 cos 20° = 1,4095 pol 
ra2 = 3,8750 pol 
rb2 = r2 cos α = 3,7500 cos 20° = 3,5238 pol 
C sen α = (1,5000 + 3,7500) sen 20° = 1,7956 pol 
 7956,15238,38750,34095,16250,1 2222 −−+−=αg 
 7956,14172,120156,159867,16406,2 −−+−= 
 6258,07956,16115,18099,0 =−+= pol 
Então 
gα = BA = 0,6258 
bp
gα
αε = e 3689,024
4095,122
1
1 =×== ππ
z
r
p bb pol 
Então 
 6924,1
3689,0
6258,0 ==αε 
Dos cálculos acima 
 ( ) ( ) 8099,021211 =−= ba rrBE pol 
 1841,06258,08099,011 =−=−= BABEAE pol 
 5130,0205000,111 =°== sensenrPE α pol 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
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 3289,01841,05130,011 =−=−= AEPEPA pol 
 2969,03289,06258,0 =−=−= PABABP pol 
A razão frontal de transmissão εα é também igual ao arco de ação CC’ dividido pelo passo 
frontal pt 
tp
CCarco ′=αε e 3927,024
5000,122
1
1 =×== ππ
z
rp pol 
Então, 
6662,06964,13927,0 =×=×=′ αεtpCCarco pol 
Da Fig. 4.10 sabe-se que o arco DD' deve ser igual ao arco CC’ de modo que arco DP = arco 
CP e arco PD' = arco PC’. O arco de aproximação CP da engrenagem 1 pode ser determinado da 
seguinte relação: 
CCarco
CParco
AB
AP
′= 
Então 
3501,0
6258,0
6662,03289,0 =×=′×=
AB
CCarcoAPCParco pol 
Também 
CCarco
PCarco
AB
PB
′= 
 
assim 
3161,0
6258,0
6662,02969,0 =×=′×=
AB
CCarcoPBPCarco pol 
Então 
°==== 373,132334,0
5000,1
3501,0
1
1 radr
CParco
Fϕ 
°==== 349,50934,0
7500,3
3501,0
2
2 radr
DParco
Fϕ 
°===′= 074,122107,0
500,1
3161,0
1
1 radr
CParco
Aϕ 
°===′= 829,40843,0
7500,3
3161,0
2
2 radr
DParco
Aϕ 
Como conferência, 
°===′=+ 447,254441,0
5000,1
6662,0
1
11 radr
CCarco
AF ϕϕ 
 °===′=+ 179,101777,0
7500,3
6662,0
2
22 radr
DDarco
AF ϕϕ 
Então, 
°=°+°=+ 447,25074,12373,1311 AF ϕϕ 
°=°+°=+ 179,10829,4349,522 AF ϕϕ 
É possível também calcular os ângulos de aproximação e afastamento. A equação para o 
ângulo de aproximação φF2 da engrenagem 2 é deduzida como se segue, usando-se a Fig. 4.13. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
92 
ααθϕ −+= DF 2 
onde 
 ( ) ( )DDAA EvEv ααααθ +−+= 
 ( ) ( )DDDAAA tgtg αααααα −+−−+= 
 DA tgtg αα −= 
fazendo a substituição de θ 
ααααϕ −+−= DDAF tgtg2 
Pelo fato de que D é um ponto sobre a evolvente na circunferência primitiva, 
αα =D 
Então 
ααϕ tgtgF −= 22 
Equações para φF1, φA1 e φA2 podem ser desenvolvidas de modo semelhante utilizando-se 
figuras apropriadas. 
 
Figura 4.13 
4.5. Interferência em Engrenagens Evolventais. Foi mencionado anteriormente que uma 
evolvente se inicia na circunferência de base e é gerada para fora. É então impossível haver uma 
evolvente dentro da circunferência de base. A linha de ação é tangente às duas circunferências de 
base de um par de engrenagens e os pontos de tangência representam os limites extremos do 
comprimento de ação. Estes dois pontos são chamados de pontos de interferência. Se os dentes 
forem de tais proporções que o início do contato ocorra antes do ponto de interferência, o trecho 
evolvental da engrenagem movida encontrará um trecho não evolvental da engrenagem motora e 
diz-se que ocorrerá interferência. Isto está mostrado na Fig. 4.14. E1 e E2 são os pontos de 
interferência que deveriam limitar o comprimento de ação. A indica o início do contato e B o fim. 
Vê-se que o início do contato ocorre antes do ponto de interferência E2; então há interferência. A 
extremidade do dente comandado cortará o flanco do dente que comanda, como mostra a linha 
tracejada. Há muitas maneiras para eliminar interferência, uma das quais é limitar a altura de 
cabeça da engrenagem comandada de modo que a circunferência de cabeça passe pelo ponto de 
interferência E2, proporcionando assim um novo início de contato. Se isto for feito, neste caso, a 
interferência será eliminada. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
93 
A interferência é indesejável por vários motivos. A interferência e o desgaste resultante não só 
enfraquecem os dentes do pinhão como podem também remover um pequeno trecho de 
evolvente junto à circunferência de base, o que pode causar séria redução no comprimento de 
transmissão. 
Agora serão discutidas as condições para interferência entre pinhão e cremalheira. Na Fig. 
4.15 são mostrados um pinhão e uma cremalheira engrenados. O ponto de tangência da linha de 
ação na circunferência de base do pinhão é chamado de ponto de interferência E, como no caso 
do pinhão e engrenagem. O ponto de interferência fixa a altura de cabeça máxima para a 
cremalheira, para o ângulo de pressão mostrado. Com a altura de cabeça da cremalheira, como a 
mostrada na Fig. 4.15, o contato se inicia em A e ocorrerá adelgaçamento conforme a linha 
tracejada. Se a altura de cabeça da cremalheira se estender só até a linha que passa pelo ponto 
de interferência E, este ponto se tornará o início do contato e a interferência será eliminada. 
 
Figura 4.14 
Pode-se ver na Fig. 4.15 que se uma engrenagem de raio finito tendo a mesma altura de 
cabeça da cremalheira (a linha de cabeça da cremalheira agora passando pelo ponto de 
interferência) se engrenasse com o pinhão o início do contato ocorreria sobre a linha de ação em 
algum lugar entre o ponto primitivo P e o ponto de interferência E. Então não haveria possibilidade 
de interferência entre o pinhão e a engrenagem. Pode-se então concluir que se o número de 
dentes no pinhão é tal que ele se engrena com uma cremalheira sem interferência, ele se 
engrenará sem interferência com qualquer outra engrenagem que tenha o mesmo ou maior 
número de dentes. 
 
Figura 4.15 
Embora a interferência evolvental e o adelgaçamento resultante devam ser evitados, uma 
pequena quantidade pode ser tolerada se ela não reduzir a razão frontal de transmissão, para um 
par de engrenagens, abaixo de um valor adequado. Entretanto, o problema de determinar o 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
94 
comprimento de transmissão quando ocorre adelgaçamento é difícil, e ele não pode ser obtido da 
Eq. 4.4. Foi desenvolvido por Sportts um método para esta determinação. Pode-se ver da Fig. 
4.11 e Eq. 4.4 que se o valor de qualquer radical for maior do que C sen α, haverá interferência. 
4.6. Engrenagens Intercambiáveis. Até aqui não foi considerada a questão de 
engrenagens intercambiáveis: a discussão que se segue se aplica a engrenagens cilíndricas de 
dentes retos em geral. Estreitamente ligada com o problema da intercambiabilidade está a 
maneira como as engrenagens são usinadas. Há muitos modos de gerar engrenagens de dentes 
retos e os dois mais comuns são os métodos de fresamento e o de Fellows. 
Estes dois são ilustrados nas Fig. 4.16 e 4.17 respectivamente. Quando estes métodos de 
corte foram desenvolvidos procurou-se um modo de classificar as ferramentas e as engrenagens 
por elas cortadas. A classificação adotada foi a de especificar a relação do número de dentes com 
diâmetro primitivo. A esta relação foi dadoo nome de "diametral pitch frontal". O "diametral pitch" 
pode ser expresso matematicamente do seguinte modo: 
 
d
zp = (4.7) 
 
onde: 
z = número de dentes 
d = diâmetro primitivo 
Nota: O autor refere-se aqui à prática americana. A norma brasileira (ABNT-TB-81) indica o módulo frontal como sendo o quociente do 
diâmetro primitivo pelo número de dentes, m = d / z. sempre expresso em milímetros. O "diametral pitch" não é objeto de padronização 
nas normas brasileiras. 
 
Fig. 4.16 Corte de uma engrenagem de dentes retos evolventais gerando os dentes por fresamento. 
Para o propósito de especificar ferramentas de corte, os valores do "diametral pitch frontal” 
foram tomados como números inteiros, com certas exceções. Os diametrais pitches seguintes são 
usados freqüentemente: 1, 1¼, 1½, 1¾, 2, 2¼. 2½, 2¾, 3, 3½. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 
20, 22, 24, 26, 28, 30, 48, 64, 72, 80, 96, 120. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
95 
Os passos menores podem ser especificados por incrementos pares até 200. Os passos 
comumente usados em engrenagens de precisão para instrumentos são 48, 64, 72, 80, 96 e 120. 
Para economia de ferramentas, as engrenagens geralmente são usinadas usando um dos passos 
comuns relacionados acima. É possível usinar engrenagens que tenham diametrais pitches 
diferentes dos citados. Isto pode requerer uma ferramenta especial, mas geralmente pode ser feito 
com uma das ferramentas acima em uma montagem especial. Isto será discutido no Capitulo 5. 
 
Fig. 4.17 Método Fellows para gerar engrenagens de dentes retos evolventais. 
Quando as ferramentas foram padronizadas, foi adotado um ângulo de pressão de 14,5°. Isto 
foi uma conseqüência do processo de fundição de engrenagens que usava 14,5° porque o seno 
de 14,5° é aproximadamente 1/4, o que era conveniente na fabricação do modelo. Mais tarde foi 
adotado também um ângulo de pressão de 20°. Ambos foram usados durante muitos anos, mas a 
tendência, recentemente, é a de maior utilização do ângulo de 20°. Será mostrado em uma seção 
posterior que é possível ter-se um pinhão com menos dentes e sem adelgaçamento quando se 
usar 20° em lugar de 14,5°. Como resultado da tendência aos ângulos de pressão maiores, a 
AGMA (American Gear Manufacturers Association) adotou 20° e 25° para engrenagens de passo 
frontal grande (1 a 19,99P) e 20° para os de passo frontal pequeno (20 a 200P). 
Tabela 4.1 Proporções dos dentes de engrenagens - Retas evolventais 
 Passo Frontal Grande 
(1 a 19,99 p) 
Agosto de 1968 
20° ou 25° 
Dente Normal 
Passo Frontal Pequeno 
(20 a 200 p) 
AGMA 207.06 
Novembro de 1974 
20 ° Dente Normal 
Saliência (ha) 
p
0000,1 
p
0000,1 
Profundidade (hf) 
p
2500,1 .)(002,02000,1 mín
p
+ 
Folga no fundo do dente (c) 
 (hf – ha) p
2500,0 .)(002,02000,0 mín
p
+ * 
Altura de trabalho do dente (hk) 
 (duas vezes a saliência) p
0000,2 
p
0000,2 
Profundidade total (ht) 
 (ha + hf) p
2500,2 .)(002,02000,2 mín
p
+ 
Raio de arredondamento da cremalheira básica (r) 
p
3000,0 
Não disponível 
Espessura do dente (s) 
p
5708,1 
p
5708,1 
* Para dentes ou retificador, c = 0,350/p + 0,002 (mÍn.). 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
96 
Embora sejam apresentados os últimos padrões da AGMA na Tabela 4.1, ainda há no 
mercado engrenagens e ferramentas de acordo com a antiga (e agora obsoleta) Norma ASA B6-
1932. Por essa razão a Tabela 4.2 apresenta as principais proporções desses sistemas. 
Tabela 4.2 
 14,5° 
Dente Normal 
20° 
Dente Normal 
20° 
Dente Rebaixado 
Saliência (ha) 
p
0000,1 
p
0000,1 
p
8000,0 
Profundidade (hf) 
p
1570,1 
p
1570,1 
p
0000,1 
Folga no fundo do dente (c) 
p
1570,0 
p
1570,0 
p
2000,0 
Raio de arredondamento (r) 
p
2090,0 
p
2390,0 
p
3040,0 
Espessura do dente (s) 
p
5708,1 
p
5708,1 
p
5708,1 
Se usinarmos engrenagens com ferramentas padronizadas é possível fazê-las de modo que 
sejam intercambiáveis. Para isto certas condições devem ser observadas: 
1. Os diametrais pitches devem ser os mesmos. 
2. Os ângulos de pressão devem ser iguais. 
3. As engrenagens devem ter as mesmas alturas de cabeça e alturas de pé. 
4. A espessura dos dentes deve ser a metade do passo frontal. 
O passo frontal foi definido como a distância medida ao longo da circunferência primitiva de 
um ponto sobre um dente ao ponto correspondente no próximo. Isto pode ser escrito 
matematicamente como: 
 
z
dpt
π= e também π=ppt (4.8) 
O termo engrenagem padronizada é usado muitas vezes e significa que a relação entre o 
número de dentes e o diâmetro primitivo é um dos valores padronizados de diametral pitch, e que 
a espessura deve ser igual ao vão dos dentes, que por sua vez é a metade do passo frontal. As 
engrenagens padronizadas são intercambiáveis. Engrenagens intercambiáveis podem ser 
definidas como aquelas que têm o mesmo ângulo de pressão, mesmo passo e mesmas alturas de 
cabeça e de pé, espessura e vão de dentes compatíveis. As engrenagens cilíndricas retas que 
são oferecidas em catálogos de fabricantes são padronizadas. Entretanto, um grande número de 
engrenagens não padronizadas é utilizado, principalmente em automóveis e aviões. As 
proporções de engrenagens cilíndricas evolventais de dentes retos, de mesmas alturas de 
cabeça, padronizadas, estão na Tabela 4.1 (ver Fig. 4.8). 
4.7. Número Mínimo de Dentes para Evitar Interferência. O problema da interferência foi 
considerado previamente para pinhões e engrenagem e pinhões e cremalheira. Da discussão da 
Fig. 4.15 concluiu-se que se não houvesse interferência entre um pinhão e uma cremalheira 
também não haveria interferência entre este mesmo pinhão e uma engrenagem de dimensões 
iguais à sua ou maior. Naturalmente isto acontece supondo as mesmas dimensões de dentes para 
os dois casos. Quando considerada uma engrenagem padronizada em que as dimensões dos 
dentes são as dadas nas tabelas, é possível calcular o número mínimo de dentes em um pinhão 
que se engrene com uma cremalheira sem interferência evolvental. Para solucionar este caso 
limite, a linha de cabeça da cremalheira deve passar pelo ponto de interferência do pinhão. 
Na Fig. 4.18, são mostradas as características essenciais de um pinhão e cremalheira, para 
este caso. O ponto primitivo é P e o ponto de interferência é E. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
97 
 
Figura 4.18 
Então, 
r
EPsen =α 
Também 
EP
pk
EP
h
sen a ==α 
onde k é uma constante que, quando dividida pelo passo diametral resulta no adendo (ha = k/p). 
Para o sistema de dentes normais k = 1,0 e para o sistema de dentes rebaixados k = 0,8. 
Multiplicando as duas equações por sen α membro a membro, 
pr
ksen =α2 
mas 
d
zp = onde z = número de dentes 
Então, 
z
ksen 22 =α 
e 
 α2
2
sen
kz = (4.9) 
Desta equação pode ser calculado, para qualquer sistema padronizado de dentes, o menor 
número de dentes para um pinhão engrenar-se com uma cremalheira, sem interferência. Isto está 
na Tabela 4.3 para os sistemas comuns. 
Tabela 4.3 
 14,5° 
Dente Normal 
20°Dente Normal 
20° 
Dente Rebaixado 
25° 
Dente Normal 
z 32 18 14 12 
Devido a estes valores terem sido calculados para pinhão e cremalheira, eles podem também 
ser usados como mínimos para pinhão e engrenagem sem perigo de interferência. Devido à 
semelhança entre a ação dos dentes de uma ferramenta fresa usinando uma engrenagem de 
dentes retos e a dos dentes de um pinhão em uma cremalheira, os números de dentes tabulados 
acima são também os mínimos que podem ser usinados por uma ferramenta fresa, sem 
adelgaçamento. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
98 
 
Figura 4.19 
Se as engrenagens devem ser fabricadas de outro modo, por exemplo, pelo método de 
Fellows, o número mínimo de dentes que duas engrenagens de igual tamanho podem ter sem que 
haja interferência evolvental pode ser determinado através da Fig. 4.19. Neste caso a 
circunferência de cabeça de cada engrenagem passa pelo ponto de interferência de outra. 
aa hrr += onde p
zr
2
= e 
p
kha = 
Então 
p
kz
p
k
p
zra 2
2
2
+=+= 
p
zrrb 2
coscos αα == 
22
21 ba rrEEg −==α 
 ( ) ( )22 cos2
2
1 αzkz
p
−+= (4.10) 
Também, 
 ααα senp
zsenrg
2
22 == (4.11) 
Igualando as equações 4.10 e 4.11, 
( ) ( )22 cos2
2
1
2
2 αα zkz
p
sen
p
z −+= 
Então, 
 0443 222 =−− kzkzsen α (4.12) 
Desta equação pode ser determinado o menor número de dentes, em qualquer sistema 
padronizado, para duas engrenagens iguais funcionarem sem interferência evolvental. Estes 
valores são mostrados na Tabela 4.4 para os sistemas comuns. São também mostradas as 
razões frontais de transmissão (εα). 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
99 
Quando engrenagens de mesmo tamanho e com número de dentes especificados na Tabela 
4.4 são usinadas com uma ferramenta pinhão, tipo Fellows, funcionam sem interferência 
evolvental. Se o número de dentes em uma das engrenagens é mantido nos valores dados, é 
interessante determinar o número máximo que a segunda pode ter sem causar interferência. É 
obvio, comparando os valores tabulados na Tabela 4.4 com o número de dentes que se 
engrenarem com uma cremalheira sem interferência (Tabela 4.3), que a segunda engrenagem 
não pode tender para uma cremalheira. 
Tabela 4.4 
 14,5° 
Dente Normal 
20° 
Dente Normal 
20° 
Dente Rebaixado 
25° 
Dente Normal 
z 23 13 10 9 
εα 1,84 1,44 1,15 1,26 
Podem ser desenvolvidas relações para este problema com base na Fig. 4.20, onde a 
circunferência de cabeça da engrenagem 2 passa pelo ponto de interferência da engrenagem 1. 
 
Figura 4.20 
α2222 senarr ba += 
Substituindo 
p
kz
p
k
p
zhrr aa 2
2
2
22
22
+=+=−= 
αα cos
2
cos 222 p
zrrb == 
e 
p
zzrra
2
21
21
+=+= 
αα 2
2
212
2
22
2
cos
22
2 sen
p
zz
p
z
p
kz 


 ++


=+ 
( ) ( ) αα 222122222 cos2 senzzzkz ++=+ 
Desenvolvendo e usando a relação 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
100 
1cos22 =+ ααsen 
 
ksenz
senzkz
42
4
2
1
22
1
2
2 −
−= α
α
 ( 4.13) 
Desta equação pode ser determinada a maior engrenagem (z2) que pode ser engrenada com 
uma dada (z1) sem interferência. Estes valores são mostrados na Tabela 4.5, usando como z1 os 
valores encontrados anteriormente para engrenagens iguais. 
Tabela 4.5 
 14,5° 
Dente Normal 
20° 
Dente Normal 
20° 
Dente Rebaixado 
25° 
Dente Normal 
z1 23 13 10 9 
z2 26 16 11 13 
Se a equação 4.13 é reescrita como 
 
2
22
1
2
2
1
442
z
senzkksenz αα −=− (4.13a) 
e z2 tende para uma cremalheira tornando-se infinito, o segundo membro da equação tende para 
zero, obtendo-se a Eq. 4.9 que determina o número de dentes z1 para um pinhão se engrenar com 
uma cremalheira sem interferência. É também interessante observar que, se um valor de z1 maior 
do que os da Tabela 4.3 para engrenamento com uma cremalheira sem interferência é substituído 
na Eq. 4.13, obtém-se um valor negativo impossível para z2. 
4.8. Determinação do Jogo Primitivo. Na Fig. 4.21a é mostrado o perfil de um par de 
engrenagens com distância entre eixos de referência 
p
zza
2
21 += 
com jogo primitivo zero. As circunferências primitivas com que estas duas engrenagens funcionam 
são as mesmas em que foram usinadas e seus raios são dados por r = z/2p. As circunferências 
primitivas de corte são também conhecidas como circunferências primitivas de referência. 
 
Figura 4.21 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
101 
 
Figura 4.22 
O ângulo de pressão a em que as engrenagens operam é o mesmo em que foram usinadas, 
isto é, 14,5°, 20° ou 25°. Em outras palavras, as circunferências primitivas de funcionamento e de 
referência são idênticas bem como os ângulos de pressão. 
A Fig. 4.21b mostra o caso em que as duas engrenagens foram afastadas uma distância ∆a 
para haver uma nova distância de centros a'. A linha de ação agora corta a linha de centros em 
um novo ponto P'. Pode ser observado que as circunferências primitivas de referência ou de corte 
(raios r1 e r2) não são mais tangentes. O ponto primitivo P' divide a distância entre centros a' em 
segmentos que são inversamente proporcionais à relação das velocidades angulares. Estes 
segmentos tornam-se os raios r1’ e r2’ das novas circunferências primitivas que se tangenciam no 
ponto P'. Estas circunferências são conhecidas como circunferências primitivas de funcionamento, 
e as equações para seus raios podem ser determinadas a partir de 
'
'
1
2
1
2
2
1
r
r
z
z ==ω
ω
 
e 
''' 21 arr =+ 
para obter 
''
21
1
1 azz
zr 



+= 
e 
''
21
2
2 azz
zr 



+= 
Além da variação nas circunferências primitivas, o ângulo de pressão também aumenta. O 
ângulo α' é conhecido como o ângulo de pressão de funcionamento e é maior do que o ângulo de 
pressão de corte α. Uma equação para o ângulo de pressão α' pode ser facilmente derivada da 
Fig. 4.21b: 
( )
'cos
cos
'cos
cos
'cos
' 2121 α
α
α
α
α =+=
+= rrrra bb 
ou 
 αα cos
'
'cos
a
a= (4.14) 
também 
aaa −=∆ ' 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
102 
aa −=
'cos
cos
α
α
 
 


 −= 1
'cos
cos
α
αa (4.15) 
Quando as engrenagens são operadas nas condições da Fig: 4.21b, haverá jogo primitivo 
conforme mostra a Fig. 4.22. A relação das velocidades angulares não será afetada enquanto as 
engrenagens permanecerem em contato. Entretanto, se a direção de rotação for invertida, haverá 
perda de movimento. Pode ser derivada uma equação para o jogo primitivo,pelo fato de que a 
soma das espessuras dos dentes mais o jogo primitivo deve ser igual ao passo frontal, todos 
medidos na circunferência primitiva de funcionamento. Da Fig. 4.22, a seguinte equação pode ser 
escrita: 
 
2
2
1
1
21
'2'2''
z
r
z
rjss t
ππ ==++ (4.16) 
onde 
s' = espessura do dente na circunferência primitiva de funcionamento 
jt = jogo primitivo 
r' = raio de circunferência primitiva de funcionamento 
z = número de dentes 
Da Eq. 4.3 desenvolvida na seção sobre evolventemetria, 


 ++= '
2
'2'
1
1
11 αα EvEvr
srs 
 ( )αα EvEvrs
r
r −−= ''2' 11
1
1 ( 4.17) 


 ++= '
2
'2'
2
2
22 αα EvEvr
srs 
 ( )αα EvEvrs
r
r −−= ''2' 22
2
2 ( 4.18) 
onde 
s = espessura do dente na circunferência primitiva de referência (s = pt/2 = π/2p) 
r = raio de circunferência primitiva de referência (r = z/2p) 
α = ângulo de pressão de referência (14,5°, 20° ou 25°) 
α’ = ângulo de pressão de funcionamento 
Também 
 
''' 2
2
1
1
a
a
r
r
r
r == ( 4.19) 
e 
 ''' 21 rra += (4.20) 
Substituindo as Equações 4.17, 4.18, 4.19 e 4.20 na Equação 4.16 e lembrando que 
p
p
z
r
t
ππ ==2 
( ) ( )

 −++−= ααπ EvEvass
pa
ajt '2
'
21 (4.21) 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
103 
Para engrenagens padronizadas, 
p
pss t
2221
π=== 
e a Eq. 4.21 simplifica-se para 
 ( )αα EvEvajt −= ''2 (4.22) 
A Eq. 4.21 deve ser usada se as engrenagens não são padronizadas, isto é, se s1 ≠ s2. As 
engrenagens não padronizadas serão apresentadas no Capítulo 5. Valores recomendados para 
jogo primitivo podem ser encontrados nos manuais de engrenagens. 
4.9. Engrenagens de Dentes Internos. Em muitas aplicações uma engrenagem evolvental 
de dentes internos é engrenada com um pinhão em lugar de duas engrenagens de dentes 
externos, a fim de obter certas vantagens. Talvez a vantagem mais importante seja um conjunto 
mais compacto. Também para as mesmas dimensões dos dentes, as engrenagens de dentes 
internos terão maior comprimento de contato, maior resistência nos dentes e menor deslizamento 
relativo entre dentes em contato do que as de dentes externos. 
Em uma engrenagem de dentes internos, os perfis de dente são côncavos e não convexos 
como em uma engrenagem de dentes externos. Devido a esta forma, pode ocorrer um tipo de 
interferência que não é possível em uma engrenagem de dentes externos ou em uma cremalheira. 
Esta interferência ocorre entre perfis inativos quando os dentes entram e saem de contato e não 
houver suficiente diferença entre os números de dentes da engrenagem de dentes internos e do 
pinhão. A Fig. 4.23 mostra um pinhão engrenado com uma engrenagem de dentes internos. 
 
Figura 4.23 
Eles têm dimensões tão próximas que essa interferência ocorre nos pontos a, b, c, d e e. 
Quando uma engrenagem de dentes internos é usinada, usa-se uma ferramenta pinhão, tipo 
Fellows, com dois dentes a menos do que a engrenagem que está sendo usinada. Isto 
automaticamente reduz as extremidades dos dentes para prevenir interferência nos pontos a, b, c, 
d e e. Pode haver também interferência evolvental entre perfis ativos do mesmo modo que nas 
engrenagens de dentes externos. Isto será discutido no próximo parágrafo. 
A Fig. 4.24 mostra dois dentes da Fig. 4.23 em contato com a linha de ação tangente à 
circunferência de base da engrenagem no ponto f e tangente à circunferência de base do pinhão 
no ponto g. Pode-se iniciar no ponto f, um perfil evolvental para a engrenagem, mas a evolvente 
para o pinhão não pode começar antes do ponto g. O ponto g é, então, o primeiro ponto possível 
de contato sem interferência evolvental e determina a altura de cabeça máxima da engrenagem. 
O ponto h, interseção da circunferência de cabeça do pinhão e a linha de ação, é o fim do contato, 
e o comprimento de ação é gPh. Deve-se mencionar que a relação p = z/d vale tanto para uma 
engrenagem de dentes internos quanto para uma de dentes externos. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
104 
 
Figura 4.24 
4.10. Engrenagens Cicloidais. Embora a engrenagem cicloidal tenha sido grandemente 
substituída pela evolvental, o perfil cicloidal possui certas vantagens dignas de nota. Estas serão 
discutidas brevemente. Para um tratamento detalhado de engrenagens cicloidais o leitor poderá 
procurar uma das muitas referências sobre o assunto. 
As engrenagens cicloidais não têm interferência e um dente cicloidal geralmente é mais forte 
do que um dente evolvental porque tem flancos mais separados em contraste com os flancos 
radiais deste último. Os dentes cicloidais têm também menos deslizamento e, em conseqüência, 
menos desgaste. A Fig. 4.25 mostra um dente de engrenagem cicloidal e para comparação, um 
dente evolvental. Entretanto, uma importante desvantagem do engrenamento cicloidal é o fato de 
que para um par de engrenagens cicloidais há só uma distância entre eixos, teoricamente correta, 
e com a qual elas transmitirão movimento a uma relação constante de velocidades angulares. 
Outra desvantagem é que, embora seja possível o fresamento de uma engrenagem cicloidal, a 
ferramenta não é usinada tão facilmente quanto uma evolvental, porque os dentes das 
cremalheiras cicloidais não têm os lados retos como os das evolventais. Por esta razão as 
engrenagens evolventais podem ser fabricadas com maior precisão e a custo mais baixo do que 
as cicloidais. 
 
 Cicloidal Evolvental 
Figura 4.25 
As engrenagens evolventais substituíram completamente as cicloidais para transmissão de 
potência. Entretanto, as cicloidais são largamente utilizadas em relojoaria e em certos 
instrumentos onde as questões de interferência e resistência são considerações prioritárias. Em 
relojoaria o trem de engrenagens da fonte de potência aumenta sua relação de velocidades 
angulares com a engrenagem impelindo o pinhão. Em um relógio de pulso este aumento pode ser 
tão grande quanto 5000:1. As engrenagens serão então tão pequenas que, a fim de impedir o uso 
de dentes excessivamente pequenos é necessário usar pinhões (engrenagens movidas, neste 
caso) tendo somente 6 ou 7 dentes. O perfil de dente destes pinhões deve também ser capaz de 
atuar em uma rotação de 60°. Para este propósito, as engrenagens cicloidais são preferidas em 
relação às evolventais. O problema da distância entre eixos e relação de velocidades angulares 
não é importante neste caso porque todo o trem, governado pelo escape pára e parte novamente 
várias vezes por segundo. A operação do trem envolve assim tão grandes variações de 
quantidade de movimento que o efeito da forma do dente sobre esta variação é desprezível. O 
efeito da forma do dente na consistência da razão de velocidade não é, assim, intrinsecamente 
importante. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
105 
Para dar corda, acertar e nas reduções minuto-hora, o pinhão impele a engrenagem e ambos 
os engrenamentos,cicloidal ou evolvental, podem ser usados. Entretanto, os relógios americanos 
geralmente usam engrenagens evolventais. 
Problemas 
4.1. Uma evolvente é gerada em uma circunferência de base que tem um raio rb de 4 pol. 
Quando a evolvente é gerada, o ângulo que corresponde a Ev α varia de 0 a 15°. Para 
incrementos de 3° para este ângulo, calcule os ângulos de pressão α correspondentes e raios r 
para pontos na evolvente. Plote esta série de pontos em coordenadas polares e ligue-os com uma 
curva contínua para representar a evolvente. 
4.2. Escreva um programa de computador para o problema 4.1 fazendo r = 3,4 e 5 pol. 
Determine os valores correspondentes de ângulo de pressão α e raio r para cada valor de rb. 
4.3. A espessura de um dente de engrenagem evolvental é 0,314 pol com um raio de 3,5 pol 
e um ângulo de pressão de 14,5°. Calcule a espessura do dente e o raio em um ponto na 
evolvente que tem um ângulo de pressão de 25°. 
4.4. Se as evolventes que formam o contorno de um dente de engrenagem forem 
prolongadas, seus flancos se encontrarão e o dente ficará pontudo. Determine o raio em que isto 
ocorre para um dente que tem uma espessura de 0,262 pol em um raio de 4 pol e um ângulo de 
pressão de 20°. 
4.5. A espessura de um dente de uma engrenagem evolvental é 0,196 pol em um raio de 2,0 
pol e um ângulo de pressão de 20°. Calcule a espessura do dente na circunferência de base. 
4.6. Os raios primitivos de duas engrenagens acopladas são 2,00 e 2,50 pol, e os raios 
externos são 2,25 e 2,75 pol, respectivamente. O ângulo de pressão é 20°. Faça um esquema 
destas engrenagens em escala 1:1 tal como o mostrado na Fig. 4.10, e marque o início e o fim do 
contato. O pinhão é a peça motora e gira no sentido horário. Determine e mostre os ângulos de 
aproximação e afastamento para ambas as engrenagens. Desenhe as evolventes necessárias 
para determinar φF e φA pelo método aproximado do Apêndice. 
4.7. Um pinhão de 2,00 pol de raio primitivo gira no sentido horário e aciona uma 
cremalheira. O ângulo de pressão é 20° e a altura da cabeça do pinhão e da cremalheira é 0,20 
pol. Faça um esquema, em escala 1:1, destas engrenagens, e assinale o início e o fim do contato. 
Determine e indique os ângulos de aproximação e afastamento para o pinhão. Desenhe as 
evolventes necessárias para determinar φF e φA pelo método aproximado do Apêndice. 
4.8. Duas engrenagens de dentes retos, iguais, com 48 dentes, engrenam-se com raios 
primitivos de 4,00 pol e alturas de cabeças de 0,167 pol. Se o ângulo de pressão é 14,5°, calcule 
o comprimento de ação gα e a razão frontal de transmissão εα. 
4.9. A razão frontal de transmissão é definida como o arco frontal de transmissão dividido 
pelo passo frontal ou como a relação do comprimento de transmissão com o passo base. Prove 
que 
basePasso
otransmissãdeoCompriment
frontalPasso
otransmissãdefrontalArco = 
4.10. Descreva uma equação para o comprimento de ação gα para um pinhão que comanda 
uma cremalheira em termos do raio primitivo r, o raio base rb, a altura de cabeça ha e o ângulo de 
pressão α. 
4.11. Um pinhão com um raio primitivo de 1,50 pol impele uma cremalheira. O ângulo de 
pressão é 14,5°. Calcule a máxima altura de cabeça possível para a cremalheira sem haver 
interferência evolvental no pinhão. 
4.12. Um pinhão com 24 dentes, diametral pitch 12, ângulo de pressão 20°, dentes normais, 
impele uma engrenagem de 40 dentes. Calcule os raios primitivos, raios base, saliência, 
profundidade e espessura de dente na circunferência primitiva. 
4.13. Um pinhão com 18 dentes, diametral pitch 8, ângulo de pressão 25°, dentes normais, 
impele uma engrenagem de 45 dentes. Calcule os raios primitivos, raios base, alturas de cabeça e 
de pé e a espessura do dente na circunferência primitiva. 
4.14. Um pinhão de 42 dentes, diametral pitch 120, ângulo de pressão 20°, dentes normais, 
impele uma engrenagem de 90 dentes. Calcule a razão frontal de transmissão. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
106 
4.15. Se os raios de um pinhão e uma engrenagem são aumentados tal que cada um se torne 
uma cremalheira, o comprimento de transmissão, teoricamente, se torna um máximo. Determine a 
equação para o comprimento de transmissão sob estas condições e calcule a razão frontal de 
transmissão máxima para sistemas de dentes normais com ângulos de pressão 14,5°, 20° e 25°. 
4.16. Um pinhão com 20 dentes, diametral pitch 4, ângulo de pressão 20°, dentes rebaixados, 
aciona uma cremalheira. Calcule o raio primitivo, raio base, altura de trabalho, altura total e a 
espessura dos dentes da cremalheira na linha primitiva. 
4.17. Uma cremalheira de dentes normais, ângulo de pressão de 20°, tem uma saliência de 
0,25 pol. Calcule o passo base e mostre-o como uma dimensão da cremalheira, em escala 1:1. 
4.18. Determine o número de dentes em uma engrenagem evolvental de dentes retos, 
normais, ângulo de pressão 14,5°, tal que os diâmetros das circunferências de base e de pé 
sejam iguais. 
4.19. Determine para um par de engrenagens de dentes retos: (a) uma equação para a 
distância entre eixos C como função dos números de dentes e do diametral pitch. (b) as várias 
combinações de engrenagens de dentes normais, ângulo de pressão 20°, que podem ser usadas 
para operar a uma distância entre eixos de 5,00 pol com uma razão de velocidades angulares de 
3:1. O diametral pitch não deve ser superior a 12 e as engrenagens não podem ser adelgaçadas. 
As engrenagens devem ser fresadas. 
4.20. Um pinhão com 30 dentes, normais, ângulo de pressão 25°, diametral pitch 6, impele 
uma cremalheira. Calcule o comprimento de transmissão e a razão frontal de transmissão. 
4.21. Um pinhão com 24 dentes, diametral pitch 2, ângulo de pressão 20°, dentes normais, 
aciona uma cremalheira. Se o pinhão gira no sentido anti-horário, a 360 rpm, determine, 
graficamente, a velocidade de deslizamento entre um dente do pinhão e da cremalheira no início 
do contato, no ponto primitivo e no fim do contato. Use uma escala de 1 pol = 10 pés/seg. 
4.22. Duas árvores, cujos eixos estão afastados de 8,5 pol devem ser acopladas com 
engrenagens de dentes retos com uma razão de velocidades angulares de 15:1. Usando um 
diametral pitch 6, selecione dois pares de engrenagens que melhor se ajustem aos requisitos 
acima. Que modificação teria que ser tolerada nos dados para cada conjunto utilizado? 
4.23. Uma ferramenta fresa, dentes normais, diametral pitch 8, ângulo de pressão 14,5°, é 
usada para usinar uma engrenagem de dentes retos. A ferramenta tem hélice à direita com um 
ângulo de 2°40', um comprimento de 3,00 pol e um diâmetro externo de 3,00 pol. Faça um 
esquema em escala 1:1 da ferramenta, usinando uma engrenagem de dentes retos de 48 dentes. 
O disco da engrenagem tem 1½ pol de espessura. Mostre o cilindro primitivo da ferramenta sobre 
o disco de engrenagem com o passo da hélice da fresa em correta relação com o passo frontal do 
dente da engrenagem. Mostre três dentes da engrenagem e 1½ voltas da hélice da fresa: 
posicione estes elementos por meio do passo frontal. Assinale os eixos da fresa e do disco da 
engrenagem, o ângulo de avanço da ferramenta e a direção de rotação da fresa e do disco de 
engrenagem. 
4.24. Para um ângulo de pressão de 22,5° no sistema de dentes normais, calcule o número 
mínimo de dentes para um pinhão engrenar-se com uma cremalheira sem interferência evolvental. 
Também calcule o número de dentes em um pinhão para engrenar-se com uma engrenagem de 
igual tamanho sem interferência evolvental. 
4.25. Um pinhão com 24 dentes, diametral pitch 8, ângulo de pressão 20°, impele uma 
engrenagem com 56 dentes. Determine o raio de cabeça de modo que a circunferência de cabeça 
de cada engrenagempasse pelo ponto de interferência da outra. Calcule o valor de k para cada 
engrenagem. 
4.26. Duas engrenagens iguais, diametral pitch 5, ângulo de pressão 20°, engrenam-se de 
modo que a circunferência de cabeça de cada uma passa pelo ponto de interferência da outra. Se 
a razão frontal de transmissão é 1,622, calcule o número de dentes e o raio de cabeça para cada 
engrenagem. 
4.27. Duas engrenagens evolventais, ângulo de pressão 20°, são montadas à distância entre 
eixos de referência. A circunferência de cabeça de cada engrenagem passa pelo ponto de 
interferência da outra. Deduza uma equação para k como função de z, onde z é o número de 
dentes e k uma constante que quando dividida pelo diametral pitch é a saliência. 
MECANISMOS CAPÍTULO 4 
107 
4.28. No esquema de uma engrenagem mostrado na Fig. 4.26, os dentes têm ângulo de 
pressão de 20° e são normais. Se o diâmetro primitivo é 4,80 pol e o diametral pitch 5, calcule o 
raio do pino que fica em contato com o perfil no ponto principal. Calcule o diâmetro m medido 
sobre dois pinos opostos. 
 
Figura 4.26 
4.29. Um pinhão com 40 dentes, diametral pitch 10, ângulo de pressão 14,5°, dentes normais, 
é montado com uma cremalheira, sem folga. Se a cremalheira é afastada 0,07 pol calcule o jogo 
primitivo produzido. 
4.30. Um pinhão com 18 dentes, diametral pitch 12, ângulo de pressão 20°, dentes normais, 
impele uma engrenagem de 54 dentes. Se a distância entre eixos com que as engrenagens 
operam é 3,05 pol, calcule o ângulo de pressão de funcionamento. 
4.31. Um pinhão com 36 dentes, normais, diametral pitch 10, ângulo de pressão 14,5°, impele 
uma engrenagem com 60 dentes. Se a distância entre eixos é aumentada em 0,025 pol, calcule 
(a) os raios das circunferências primitivas de funcionamento, (b) o ângulo de pressão de 
funcionamento e (c) o jogo primitivo produzido. 
4.32. Um pinhão com 24 dentes rebaixados, diametral pitch 4, ângulo de pressão 20°, aciona 
uma engrenagem de 40 dentes. Calcule (a) a distância entre eixos máxima teórica com que estas 
engrenagens podem operar separadas para continuar a haver movimento e (b) o jogo primitivo 
nas novas circunferências primitivas quando as engrenagens são separadas da distância 
calculada em (a). 
4.33. Um pinhão com 24 dentes tem uma espessura de dentes de 0,255 pol em um raio 
primitivo de 1,50 pol e um ângulo de pressão de 20°. Uma engrenagem de 40 dentes tem uma 
espessura de dentes de 0,230 pol em um raio primitivo de 2,50 pol e um ângulo de pressão de 
20°. Calcule o ângulo de pressão e a distância entre eixos se estas engrenagens são montadas 
sem jogo primitivo. 
4.34. Um pinhão de 15 dentes, diametral pitch 10, ângulo de pressão 25°, impele uma 
engrenagem de 45 dentes. Usando um computador, calcule o jogo primitivo produzido quando a 
distância entre centros é aumentada de 3,000 para 3,030 poI em incrementos de 0,001 poI. 
4.35. Um pinhão de 34 dentes, diametral pitch 96, impele uma engrenagem de 60 dentes. Se 
a distância entre centros é aumentada de 0,005 pol, compare o jogo primitivo produzido utilizando 
os ângulos de pressão de 14,5°, 20° e 25°.