Mecanismos_05

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MECANISMOS CAPÍTULO 5 
111 
5. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS CORRIGIDOS 
5.1. Teoria das Engrenagens de Dentes Retos Corrigidos. O defeito mais grave do sistema 
de engrenamento evolvental é a possibilidade de interferência entre a extremidade dos dentes da 
engrenagem com os flancos do pinhão, quando o número de dentes deste último é menor do que o 
mínimo para o sistema pinhão-engrenagem. 
Quando ocorre interferência, o metal em excesso é removido do flanco do pinhão pela 
ferramenta que gera os dentes. Esta remoção de metal pela ferramenta é conhecida como 
adelgaçamento e normalmente ocorre, a menos que sejam tomadas providências para preveni-la. Se 
a ferramenta não removesse este metal, as duas engrenagens não girariam quando montadas 
porque a engrenagem, devido à interferência, tenderia a penetrar no flanco do pinhão. Na realidade, 
entretanto, as engrenagens poderão girar livremente porque o flanco do pinhão foi adelgaçado. 
Mas isto não só enfraquece o dente do pinhão como também pode remover uma pequena parte 
da evolvente adjacente à circunferência de base, o que pode causar séria redução no comprimento 
de transmissão. 
A tentativa para eliminar a interferência e seu conseqüente adelgaçamento levou ao 
desenvolvimento de vários sistemas não padronizados de engrenamento, alguns dos quais requerem 
ferramentas especiais. Dois desses sistemas tiveram êxito e têm larga aplicação porque podem ser 
usadas ferramentas normalizadas para gerar os dentes. No primeiro método, quando o pinhão está 
sendo cortado, a ferramenta é afastada de uma certa distância da peça, de modo que a linha de 
cabeça da cremalheira básica passe pelo ponto de interferência do pinhão. Isto elimina o 
adelgaçamento, mas a espessura do dente ficará aumentada com o correspondente decréscimo no 
vão. Isto está ilustrado na Fig. 5.1, onde (a) mostra os dentes adelgaçados e (b) os dentes 
resultantes quando a ferramenta foi afastada. Montando-se este pinhão (Fig. 5.1b) com sua 
engrenagem, nota-se que a distância entre eixos aumenta devido ao decréscimo do vão do dente. 
Ela não pode mais ser calculada diretamente do diametral pitch e do número de dentes e então é 
considerada não normalizada. O ângulo de pressão em que as engrenagens operam também 
aumenta. Este processo de eliminar a interferência é conhecido como o sistema de distância entre 
eixos aumentada. 
 
Figura 5.1 
O afastamento da ferramenta não precisa limitar-se ao pinhão, mas pode ser aplicado a ambos, 
pinhão e engrenagem, se as condições permitirem. 
Uma variação desse sistema é a prática de avançar a ferramenta na engrenagem a mesma 
quantidade que será afastada no pinhão. Isto resultará em uma saliência aumentada para o pinhão e 
em uma profundidade diminuída para a engrenagem; o acréscimo na saliência do pinhão igualará o 
decréscimo na profundidade da engrenagem. As saliências também se modificarão em ambos de 
maneira que a altura de trabalho será a mesma de uma engrenagem sem correção. A distância entre 
eixos permanece a de referência, bem como o ângulo de pressão. Este sistema é conhecido como o 
sistema de saliências diferentes. 
Em função da modificação nas proporções do dente, a espessura do dente da engrenagem da 
circunferência primitiva é reduzida e a do pinhão aumentada. Devido ao fato de que os dentes do 
pinhão são mais fracos do que os dentes da engrenagem, quando ambos são feitos do mesmo 
material, o sistema de saliências diferentes tende a igualar a resistência dos dentes. O sistema de 
saliências diferentes só pode ser aplicado quando a interferência ocorre em uma engrenagem de um 
par. Este sistema não pode ser aplicado quando as engrenagens são iguais ou aproximadamente 
iguais em tamanho, porque a interferência seria eliminada em uma engrenagem e aumentada na 
outra. 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
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Estes dois métodos foram desenvolvidos inicialmente para eliminar a interferência, entretanto, 
são usados também largamente para melhorar a razão frontal de transmissão, para modificar a forma 
do dente, a fim de aumentar a sua resistência, mesmo se não houver interferência, e para montar 
engrenagens em distâncias entre eixos diferentes da de referência. 
Os dois sistemas podem ser aplicados a engrenagens de dentes retos, helicoidais e cônicas. De 
fato, o sistema para engrenagens cônicas é um sistema de saliências diferentes. 
Agora serão desenvolvidas fórmulas para a aplicação destes dois sistemas a engrenagens de 
dentes retos usinadas com ferramenta fresa. 
5.2. Sistema de Distância Entre Eixos Aumentada. A Fig. 5.2a mostra em linha cheia uma 
cremalheira cortando um pinhão que tem menos dentes do que o mínimo permitido para evitar a 
interferência. A cremalheira e o pinhão estão montados à distância entre eixos de referência, com a 
linha primitiva da cremalheira tangenciando a circunferência primitiva de referência do pinhão. A linha 
de cabeça da cremalheira passa acima do ponto de interferência E do pinhão de modo que os 
flancos dos dentes do pinhão ficam adelgaçados conforme mostrado. Para o dente da cremalheira 
eliminar a folga necessária na raiz do dente do pinhão, sua altura teria que ser aumentada. Para 
simplificar o esquema, esta altura adicional é mostrada tracejada em um só dente. A mesma 
disposição pode ser usada para ilustrar a ação de uma ferramenta fresa cortando o pinhão, porque 
cinematicamente os dentes de uma cremalheira e de uma fresa são idênticos. 
 
Figura 5.2 
Para evitar o adelgaçamento afasta-se a cremalheira de uma distância xm de modo que sua linha 
de cabeça passe pelo ponto de interferência E. Esta situação é mostrada pontilhada na Fig. 5.2a, e 
resulta no corte de um pinhão com dentes mais largos do que antes. Quando a cremalheira é 
afastada, o raio de cabeça do pinhão também deve ser aumentado (usinando-se um disco maior), 
para permitir a manutenção da folga entre as extremidades dos dentes do pinhão e as raízes dos 
dentes da cremalheira. A mesma folga é usada tratando-se de engrenagem normalizada ou não. 
Para mostrar mais claramente a modificação nos dentes do pinhão, a cremalheira da Fig. 5.2a foi 
afastada para baixo e para a direita objetivando manter o mesmo perfil esquerdo do dente em ambos 
os casos. Quando duas engrenagens, em que uma ou ambas forem geradas com a ferramenta 
afastada, forem montadas, a distância entre eixos será maior do que a de referência. Além disso, o 
ângulo de pressão em que operarão será maior do que o ângulo de pressão da ferramenta. 
Como foi mencionado previamente, quando um pinhão normalizado é gerado pela cremalheira, a 
linha primitiva de referência da cremalheira tangencia a circunferência primitiva de corte do pinhão. 
Neste caso, a linha primitiva de referência é também a linha primitiva de corte. Quando a cremalheira 
é afastada uma distância xm, chamada de correção, a linha primitiva de referência não será mais 
tangente à circunferência primitiva de corte do pinhão, portanto não será mais a linha primitiva de 
corte. Uma nova linha na cremalheira atuará como tal. A Fig. 5.2b mostra mais claramente as duas 
linhas primitivas na cremalheira quando ela está cortando um dente não normalizado. Da Fig. 5.2a 
pode ser visto que a circunferência primitiva de corte no pinhão permanece a mesma, 
independentemente do pinhão ser normalizado ou não. 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
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A espessurado dente do pinhão, aumentada em sua circunferência primitiva de corte, pode ser 
determinada a partir do vão do dente da cremalheira em sua linha primitiva de corte. Da Fig. 5.2b, 
esta espessura pode ser expressa pela seguinte equação: 
 2/2 tptgxms += α (5.1) 
A Eq. 5.1 pode então ser usada para calcular a espessura do dente na circunferência primitiva 
de referência ou de corte de uma engrenagem gerada por uma ferramenta afastada de uma distância 
xm: xm será negativa se a ferramenta avançar sobre o disco da engrenagem. 
Esta equação pode também ser usada para determinar quanto uma ferramenta deve avançar em 
um disco de engrenagem para resultar um jogo primitivo especificado. 
Na Fig. 5.2 a cremalheira foi afastada de uma distância suficiente para que a linha de cabeça 
passasse pelo ponto da interferência do pinhão. É possível desenvolver uma equação tal que a 
correção xm possa ser determinada para satisfazer esta condição. 
OPOAABxm −+= 
rr
p
k
b −+= αcos 
 
Então, 
 )cos1( 2α−−= r
p
kxm 
 

 −= α2
2
1 senzk
p
 (5.2) 
Há duas equações que foram desenvolvidas na seção 4.2 (Capítulo 4) que encontram aplicação 
particular no estudo de engrenagens não normalizadas. 
 A
B
A
B r
r αα coscos = (5.3) 
 

 −+= BA
A
A
BB EvEvr
srs αα
2
2 (5.4) 
Através destas equações é possível determinar o ângulo de incidência frontal e a espessura de 
dente em qualquer raio rB se ambos são conhecidos em outro raio rA. Para engrenagens não 
normalizadas, a espessura de referência que corresponde à espessura sA na Eq. 5.4 é a espessura 
de dente na circunferência primitiva de corte, que pode ser calculada para qualquer afastamento da 
ferramenta pela Eq. 5.1. O ângulo de incidência frontal de referência que corresponde a αA é o 
ângulo de pressão da ferramenta. O raio neste ângulo de pressão é o raio da circunferência primitiva 
de corte. 
Quando duas engrenagens, engrenagem 1 e engrenagem 2, que foram usinadas com correções 
xm1 e xm2 respectivamente, forem montadas, operarão em novas circunferências primitivas de raios 
r’1 e r’2; e com um novo ângulo de pressão α'. As espessuras dos dentes nas circunferências 
primitivas de funcionamento podem ser expressas como s’1 e s’2 e podem ser facilmente calculadas 
com a Eq. 5.4. Estas dimensões são mostradas na Fig. 5.3 juntamente com a espessura dos dentes 
s1 e s2 nas circunferências primitivas de raios r1 e r2. 
Agora será desenvolvida uma equação para determinar o ângulo de pressão α em que estas 
duas engrenagens operarão. 
 
2
1
2
1
1
2
'
'
r
r
z
z ==ω
ω
 (5.5) 
e 
 
2
2
1
1
21
'2'2''
z
r
z
rss ππ ==+ (5.6) 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
114 
 
Figura 5.3 
Substituindo s’1 e s’2 pela Eq. 5.4, 
( ) ( )
1
1
2
2
2
1
1
1
'2
'
2
'2'
2
'2
z
rEvEv
r
srEvEv
r
sr παααα =

 −−−

 −+= 
Dividindo por 2r’2, 
( ) ( )
12
2
1
2
1
1 '
2'
'
'
2 z
EvEv
r
s
r
rEvEv
r
s παααα =

 −++

 −+ 
( )ααπ EvEv
r
r
zr
s
r
r
r
s −


 ++=+ '
'
'
1
2'
'
2 1
2
12
2
1
2
1
1 
Usando a Eq. 5.5 e fazendo 2r = z/p, 
( )ααπ EvEv
z
zz
zz
ps
z
z
z
ps −++=+ '
1
21
12
2
1
2
1
1 
Multiplicando por 
( )ααπ EvEv
p
zz
p
ss −++=+ '2121 
Usando a equação 5.1 para s1 e s2, 
( )ααπαα EvEv
p
zz
p
ptgxmptgxm tt −++=+++ '
2
2
2
2 2121 
( ) ( )ααπα EvEv
p
zz
p
pxmxmtg t −++=++ '2 2121 
Substituindo pt = π/p e resolvendo para Ev α'. 
 
( )
21
212'
zz
tgxmxmpEvEv +
++= ααα (5.7) 
ou 
 
( ) ( )
α
αα
tgp
EvEvzzxmxm
2
'21
21
−+=+ (5.7a) 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
115 
Usando a Eq. 5.7 é possível determinar o ângulo de pressão α’ em que as duas engrenagens 
operarão depois de terem sido cortadas por uma fresa afastada de xm1 e xm2, respectivamente. Para 
calcular o acréscimo na distância entre eixos (sobre a distância de referência a) devido ao ângulo de 
pressão aumentado, a Eq. 4.15 pode ser usada e é repetida aqui: 
 

 −=∆ 1
'cos
cos
α
αaa (5.8) 
Freqüentemente é necessário projetar engrenagens para serem montadas com uma distância 
entre eixos predeterminada. Neste caso, o ângulo de pressão é fixado pelas condições do problema 
e é necessário determinar as correções xm1 e xm2 da ferramenta. A soma (xm1 + xm2) pode ser 
determinada pela Eq. 5.7a. Entretanto, deve ser observado que a soma de xm1 e xm2 não é igual ao 
acréscimo na distância entre eixos em relação à distância entre eixos de referência. Infelizmente não 
há maneira de determinar racionalmente xm1 e xm2 independentemente. Por isto, os valores são 
usualmente selecionados supondo um deles através de alguma relação empírica tal como variá-los 
inversamente (ou diretamente se xm1 + xm2 é negativo) com o número de dentes nas engrenagens, 
em uma tentativa de reforçar os dentes do pinhão. Entretanto, este método de selecionar xm1 e xm2 
geralmente não leva os dentes do pinhão e engrenagem a terem resistências próximas. Em uma 
tentativa para corrigir esta situação, Walsh e Mabie desenvolveram um método para determinar a 
correção xm1 da ferramenta a partir do valor de xm1 + xm2 para um par de engrenagens de dentes 
retos projetado para operar a uma distância entre eixos diferente da de referência. Usando um 
computador digital, foi possível ajustar xm1 e xm2 para várias relações de velocidades e variações na 
distância entre eixos de modo que a tensão nos dentes do pinhão fosse aproximadamente igual a 
nos dentes da engrenagem. 
Devido à complexidade do problema, os resultados tiveram que ser apresentados em forma de 
gráficos. Estes mostram curvas de xm1/(xm1 + xm2) versus z2/(z1 + z2) para várias alterações na 
distância entre eixos. Estes gráficos foram desenvolvidos para um ângulo de pressão da ferramenta 
α de 20°, dentes normais (k = 1) e passo frontal grande. Embora as curvas tenham sido plotadas 
para dados baseados em um diametral pitch igual a um, elas podem ser usadas para qualquer 
diametral pitch até 19,99 (limite do passo frontal grande). As curvas foram também plotadas para z1 = 
18 e z2 de 18 a 130 dentes. Quando z1 toma outros valores, introduz-se um erro muito pequeno 
(menos de 4%). Um exemplo está apresentado na Fig. 5.4 para alterações na distância entre eixos 
de AC = 1,175 a 1,275 pol, para p = 1. 
 
Figura 5.4 
MECANISMOSCAPÍTULO 5 
116 
Exemplo 5.1 
Um pinhão e uma engrenagem de 20 e 30 dentes, respectivamente, devem ser cortados por um 
fresa de ângulo de pressão 20°, diametral pitch 5, para operar em uma distância entre eixos de 5,25 
pol., sem jogo primitivo. Determine os valores de xm1 e xm2 de modo que sejam obtidos dentes com 
espessura adequada para que a resistência dos dentes do pinhão seja aproximadamente igual à dos 
dentes da engrenagem. A distância entre eixos de referência é dada por: 
00,5
52
3020
2
21 =×
+=+=
p
zza pol 
Ângulo de pressão de funcionamento: 
°== 20cos
25,5
00,5cos
'
'cos αα
a
a
 
°= 50,26'α 
Alteração na distância entre eixos: 
25,000,525,5' +=−=−=∇ aaa pol 
O valor de ∇a deve ser multiplicado pelo diametral pitch porque as curvas são baseadas em p = 1. 
25,1525,0 =×=×∇=∆ paa 
Também 
60,0
3020
30
21
2 =+=+ zz
z
 
Então da Fig. 5.4, 
543,0
21
1 =+ xmxm
xm
 
Calculando o valor de xm1 + xm2 da Eq. 5.7a, 
( ) ( )
α
αα
tgp
EvEvzzxmxm
2
'21
21
−+=+ 
( )( )
°×
°−°+=
2052
205,263020
tg
EvEv
 
29073,0= pol 
Combinando estes resultados, 
( )211 543,0 xmxmxm += 
 ( )29073,0543,0= 
 15787,0= pol 
 13286,02 =xm pol 
Embora não seja prático acompanhar todos os cálculos necessários para encontrar as tensões 
nos dentes do pinhão e da engrenagem, é interessante observar que 
F
F
s n
959,9
1 = 
F
F
s n
991,9
2 = 
onde 
Fn = carga normal na extremidade do dente 
F = espessura da face do dente 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
117 
Além dos gráficos para alterações positivas na distância entre eixos, como ilustrado na Fig. 5.4, o 
trabalho contém também uma série de gráficos par alterações negativas na distância entre eixos. 
Outro método para solução do problema da determinação de xm1 e xm2 foi desenvolvido por 
Siegel e Mabie. Por este método, xm1 e xm2 são selecionados para uma aplicação particular a fim de 
serem obtidas proporções de dentes que levem a uma relação máxima entre comprimentos de 
afastamento e de aproximação e, ao mesmo tempo, a uma razão frontal de transmissão εα de 1,20 
ou maior. Este sistema é baseado no fato de que um par de engrenagens funciona mais suavemente 
saindo de contato do que entrando em contato. Então é mais vantajoso ter uma relação entre 
comprimentos de afastamento e de aproximação tão alta quanto possível, especialmente para 
engrenagens para aplicação em instrumentos. 
Não é possível calcular saliência e profundidade de uma engrenagem com a distância entre 
eixos aumentada a menos que estejam disponíveis informações sobre a engrenagem com que ela 
deve se engrenar. A Fig. 5.5 mostra duas engrenagens que devem se acoplar a uma dada distância 
entre eixos α'. As engrenagens devem ser cortadas com uma fresa que é afastada xm1 no pinhão e 
xm2 na engrenagem. É necessário calcular o diâmetro de cabeça de cada engrenagem e a 
profundidade de corte. A linha central da engrenagem 2 foi deslocada para a direita de forma que um 
dente da ferramenta possa ser mostrado acoplado com cada disco. Sabendo-se a distância entre 
eixos, os raios das circunferências primitivas, as correções, a forma do dente e o diametral pitch da 
ferramenta, é possível escrever as equações para os raios de cabeça, como se segue: 
p
kxmrra +−−= 221 'α 
 
p
kxmrra +−−= 112 'α (5.9) 
 Deve ser notado na figura que as alturas de cabeça das duas engrenagens não são iguais entre 
si, nem são iguais ao k/p da ferramenta. 
 
Figura 5.5 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
118 
Uma equação para a profundidade de corte pode também ser facilmente desenvolvida a partir da Fig. 
5.5. 
 carrh aa +−+= '21 (5.10) 
onde c é obtido nas Tabelas 4.1 ou 4.2. 
5.3. Sistema de Saliências Diferentes. Se a ferramenta avança no disco da engrenagem a 
mesma distância que é afastada do pinhão, xm2 = -xm1 e, da Eq. 5.7, α' = α. Assim o ângulo de 
pressão em que as engrenagens operarão é o mesmo em que foram usinadas. Como não há 
alteração no ângulo de pressão, r’1 = r1 e r’2 = r2, e as engrenagens operarão na distância entre eixos 
de referência. 
A saliência do pinhão é aumentada para k/p + xm e a saliência da engrenagem é reduzida para 
k/p - xm. A espessura de dente na circunferência primitiva de corte pode ser prontamente calculada 
pela Eq. 5.1, mantendo-se em mente que a espessura de dente da engrenagem diminui da mesma 
quantidade de que aumenta a do dente do pinhão. Como foi mencionado previamente, há condições 
em que este sistema não funciona adequadamente. A fim de que este sistema tivesse sucesso, o 
professor M. F. Spotts, da Northwestern University, determinou que, para engrenagens com ângulo 
de pressão de 14,5°, a soma dos números de dentes deve ser pelo menos 34. Para ângulo de 
pressão de 25° o valor mínimo da soma é 24. 
As proporções das engrenagens usinadas por uma ferramenta pinhão para quaisquer destes 
dois sistemas não serão as mesmas que quando cortadas por uma ferramenta fresa. As fórmulas 
precedentes aplicam-se só a engrenagens cortadas por uma ferramenta fresa ou por uma ferramenta 
cremalheira. Entretanto, podem ser desenvolvidas fórmulas para engrenagens cortadas por 
ferramentas pinhão usando os princípios acima. 
Exemplo 5.2 
Duas engrenagens de dentes retos de 12 e 15 dentes, respectivamente, devem ser cortadas por 
uma fresa com ângulo de pressão 20°, dentes normais, diametral pitch 6 e não devem apresentar 
adelgaçamento. Determine a distância entre eixos em que devem operar as engrenagens. 


 −= α211 2
1 senzk
p
xm 
 

 °−= 20
2
1200,1
6
1 2sen 
 04968,0= pol 
 

 °−= 20
2
1500,1
6
1 2
2 senxm 
 02045,0= pol 
 
( )
21
212'
zz
tgxmxmpEvEv +
++= ααα 
 
( )
1512
2002045,004968,06201490,0 +
°+×+= tg 
 01134,001490,0 += 
 02624,0= 
Da tabela de funções evolventais, 
°= 97,23'α 
0286,1
9135,0
9397,000,1
'cos
cos' 11 =×== α
αrr pol 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
119 
2858,1
9135,0
9397,025,1
'cos
cos' 21 =×== α
αrr pol 
e 
3144,2''' 21 =+= rrα pol 
Exemplo 5.3 
Duas engrenagens de 32 e 48 dentes normais, ângulo de pressão de 14,5°, diametral pitch 8, 
operam à distância entre eixos de 5 poI. A fim de alterar a relação de velocidades, deseja-se 
substituir a engrenagens de 32 dentes por uma de 31. Deve-se manter a espessura de dente na 
circunferência primitiva de corte da engrenagem de 48 dentes, assim como a distância entre centros 
de eixos de 5 pol. Determine o valor de xm1 que dará a espessura adequada de dente para 
engrenamento com engrenagem de 48 dentes. 
9375,1
82
31
2
2
1 =×== p
zr pol 
32 =r pol 
''
21
1
1 azz
zr += 
9621,15
79
31'1 =×=r pol 
''
21
2
2 azz
zr += 
0379,35
79
48'2 =×=r pol 
'cos
cos
' 11 α
αrr = 
9621,1
5,14cos9375,1
'
cos
'cos
1
1 °×==
r
r αα 
°= 06,17'α 
 
( ) ( )
α
αα
tgp
EvEvzzxmxm
2
'21
21
−+=+ 
 
( ) ( )
25862,082
0055448,0009120,01831
21 ××
−+=+ xmxm 
 
13792,4
282425,025862,016
003575,079
21 =×
×=+ xmxm 
 02 =xm 
 06825,01 =xm pol 
5.4. Engrenagens de Ação de Afastamento. Outro tipo interessante de engrenagens não 
padronizadas é o de engrenagens de ação de afastamento, assim chamadas porque a maior parte 
ou toda a ação entre os dentes acontece durante a fase de afastamento do contato. O sistema de 
saliências diferentes é uma forma de engrenagens de ação de afastamento. Sabe-se que a região de 
afastamento no contato de um par de engrenagens é muito mais suave que a região da 
aproximação. Foi baseado nisto que foram desenvolvidas as engrenagens de ação de afastamento e 
foi constatado que estas engrenagens duram mais e operam com menos atrito, vibração e barulho do 
que as engrenagens com dentes de proporções normalizadas. 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
120 
Engrenagens de ação de afastamento podem ser usinadas usando ferramentas fresa e pinhão 
normalizadas e sua forma de dente é igual à dos dentes de engrenagens padronizadas e são 
montadas na mesma distância entre eixos. Então, um par de engrenagens de ação de afastamento 
pode ser usado para substituir um par de engrenagens de dentes retos padronizados sem alterar a 
distância entre eixos. 
A resistência das engrenagens de ação de afastamento é aproximadamente a mesma que para 
as engrenagens normalizadas. Entretanto, uma engrenagem deste tipo deve ser projetada para 
operar ou como motora ou como movida; ela não pode ser projetada para operar como ambas. 
Entretanto, um pinhão de ação de afastamento pode impelir uma engrenagem em qualquer direção, 
isto é, ele pode mudar a direção de rotação durante um ciclo de operação. As engrenagens podem 
ser usadas para uma caixa de multiplicação ou redução, mas a potência deve fluir sempre na mesma 
direção. Se o fluxo de potência muda de direção durante a operação, ocorre um escoamento, na 
área de contato dos dentes, que resulta em atrito e desgaste. Devido a estas limitações, 
engrenagens de ação no afastamento não podem ser usadas como intermediárias operando em 
distâncias padronizadas. 
Há dois tipos de engrenagens de ação de afastamento: (a) ação de afastamento completa, onde 
todo o contato é realizado no afastamento (b) ação de semi-afastamento. A fim de que um par de 
engrenagens de ação de afastamento tenha uma razão frontal de transmissão adequada, e pouco ou 
nenhum adelgaçamento, e os dentes não sejam pontudos, os de afastamento completo têm que ter 
no mínimo 20 dentes na engrenagem motora e 27 na movida. Para engrenagens de semi-
afastamento, entretanto, o número mínimo de dentes na motora é reduzido para 10 e na movida para 
20. As de ação de afastamento completo devem ser preferidas porque toda a ação é realizada na 
região de afastamento. Entretanto, o grande número de dentes necessários muitas vezes limita seu 
emprego e devem então ser usadas as de ação de semi-afastamento. 
A Tabela 5.1 mostra as proporções para os dois sistemas de engrenagens de ação de 
afastamento. Para possibilitar uma comparação entre estas e as engrenagens padronizadas, são 
mostrados na Fig. 5.6 a altura de cabeça, o passo, a circunferência de base e o comprimento de 
transmissão para (a) engrenagens padronizadas (b) engrenagens de ação de afastamento completo 
(c) engrenagens de ação de semi-afastamento. Na Fig. 5.6b para o sistema (b) a circunferência 
primitiva da engrenagem movida (engrenagem 2) torna-se a circunferência de cabeça porque a 
saliência é zero. Então, o comprimento de aproximação é zero, e todo o comprimento de transmissão 
está na região de afastamento. A Fig. 5.6c para o sistema (c) mostra a região de afastamento 
consideravelmente maior do que a região de aproximação para este sistema. 
Tabela 5.1 Proporções dos dentes de engrenagens de ação de afastamento 
(Ângulo de pressão α = 20°) 
 Ação de Semi-afastamento Ação de Afastamento completo 
 Motora Movida Motora Movida 
Saliência (ha) p
500,1 
p
500,0 
p
000,2 0 
Profundidade (hf) p
796,0 
p
796,1 
p
296,0 
p
296,2 
Diâmetro primitivo (d) p
z 
p
z 
p
z 
p
z 
Raio de cabeça (ra) p
z
2
3+ 
p
z
2
1+ 
p
z
2
4+ 
p
z
2
 
Espessura do dente (s) p
9348,1 
p
2068,1 
p
2987,2 
p
8429,0 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
121 
 
Figura 5.6a 
 
Figura 5.6b 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
122 
 
Figura 5.6c 
Problemas 
5.1. Um pinhão com 11 dentes deve ser usinado por uma fresa de dentes normais, ângulo de 
pressão 20°, diametral pitch 2. Faça um esquema teórico dos dentes do pinhão e da cremalheira em 
montagem padronizada, como mostra a Fig. 5.2a. Desenhe a evolvente do pinhão pelo método 
aproximado, mas não trace os flancos do dente do pinhão. Mostre o efeito, no dente do pinhão, de 
afastar a cremalheira básica até que sua linha de cabeça passe pelo ponto de interferência. Esta 
disposição deve ser mostrada tracejada e sobreposta ao primeiro esquema com o lado do dente da 
cremalheira passando pelo ponto primitivo. Indique a circunferência de base, a circunferência 
primitiva de corte, afastamento da ferramenta, ângulo de pressão e linhas primitivas (de corte e 
padronizada) da cremalheira. 
5.2. Um pinhão de 14 dentes deve ser usinado por uma fresa de dentes normais, ângulo de 
pressão 14,5", diametral pitch 10. Calcule a distância mínima que a ferramenta terá que ser afastada 
para evitar o adelgaçamento. Calcule o raio da circunferência primitiva de corte e a espessura do 
dente nesta circunferência. 
5.3. Uma engrenagem de 26 dentes deve ser usinada por uma fresa de dentes normais, ângulo 
de pressão 20°, diametral pitch 7. Calcule a distância máxima que a ferramenta deve avançar no 
disco da engrenagem sem causar adelgaçamento. Calcule o raio da circunferência primitiva de corte 
e a espessura de dente nesta circunferência. 
5.4. Uma engrenagem de 20 dentes é cortada por uma fresa de dentes normais, ângulo de 
pressão 14,5°, diametral pitch 4, que foi afastado de 0,10 pol. Determine se este afastamento é 
suficiente para eliminar o adelgaçamento. Se assim for, calcule a espessura do dente na 
circunferência primitiva de corte e na circunferência de base. 
5.5. Uma engrenagem de 35 dentes deve ser cortada com uma fresa de dentes normais, ângulo 
de pressão 14,5°, diametral pitch 4. Calcule a alteração da ferramenta a partir da posição de 
referência para ser obtida uma espessura de dente de 0,400 pol em uma circunferência para a qual o 
ângulo de incidência frontal é 20°. 
5.6. Um pinhão de 20 dentes deve ser cortado por uma fresa de dentes normais, ângulo de 
pressão 20°, diametral pitch 6. Qual será a alteração na posição da ferramenta para ser obtida uma 
espessura de dente de 0,274 pol em uma circunferência para a qual o ângulo de incidência frontal é 
de 14,5°? 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
123 
5.7. Um pinhão de 20 dentes deve ser cortado por uma fresa de dentes normais, ângulo de 
pressão 20°, diametral pitch 6. Calcule a espessura mínima de dente que pode ser obtida sobre uma 
circunferência para a qual o ângulo de incidência frontal é de 14,5°. O dente não deve ser 
adelgaçado. 
5.8. Um pinhão com 11 e uma engrenagem com 14 dentes foram cortados poruma fresa de 
dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 8. Para evitar adelgaçamento, a fresa foi 
afastada de 0,0446 pol no pinhão e 0,0227 pol na engrenagem. Calcule o ângulo de pressão e a 
distância entre eixos que estas engrenagens operarão. Determine a diferença entre a distância entre 
eixos calculada acima e a distância de referência, comparando-a com xm1 + xm2. 
5.9. Prove que (xm1 + xm2) > ∆a para α’ > α e que (xm1 + xm2) < ∆a para α’ < α. 
5.10. Um pinhão de 15 e uma engrenagem de 21 dentes devem ser cortados com uma fresa de 
dentes normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 6, para operar em uma distância entre 
eixos de 3,20 pol. Determine se estas engrenagens podem ser cortadas sem adelgaçamento para 
operar nesta distância entre eixos. 
5.11. Usando os dados do exemplo 5.2, calcule os raios de cabeça dos discos das engrenagens, 
a profundidade de corte e a razão frontal de transmissão. 
5.12. Um pinhão e uma engrenagem de 13 e 24 dentes, respectivamente, devem ser cortados 
por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 4, para operar a uma 
distância entre eixos de 4,83 pol. Calcule o ângulo de pressão em que as engrenagens operarão e os 
valores de xm1 e xm2. Faça xm1 e xm2 inversamente proporcionais ao número de dentes. Verifique se 
xm1 é grande o suficiente para evitar o adelgaçamento. Determine os raios de cabeça dos discos das 
engrenagens, a profundidade de corte e a razão frontal de transmissão. 
5.13. Usando os dados do exemplo 5.3 verifique se o valor de xm1 é suficiente para evitar o 
adelgaçamento. Calcule os raios de cabeça dos discos das engrenagens, a profundidade de corte e 
a razão frontal de transmissão. 
5.14. Um pinhão de 12 dentes tem uma espessura de dente de 0,2608 pol em sua circunferência 
primitiva de corte. Uma engrenagem de 32 dentes que se engrena com ele tem espessura de dente 
de 0,1888 pol em sua circunferência primitiva de corte. Se ambas as engrenagens foram cortadas 
por uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 7, calcule a correção xm 
usada para usinar cada engrenagem e o ângulo de pressão de funcionamento. 
5.15. Um pinhão com 35 dentes, não padronizado, tem uma espessura de dente de 0,188 pol, 
em um raio de 2,50 pol e um ângulo de incidência frontal de 20°. O pinhão se engrena com uma 
cremalheira no raio de 2,50 pol com jogo primitivo zero. Se a cremalheira tem ângulo de pressão de 
20°, dentes normais, diametral pitch 7, calcule a distância do centro do pinhão à linha primitiva de 
referência da cremalheira. 
5.16. Um pinhão de 11 dentes deve acionar uma engrenagem de 23 dentes com uma distância 
entre eixos de 2,00 pol. Se as engrenagens são cortadas por uma fresa de dentes normais, ângulo 
de pressão 20°, diametral pitch 9, calcule o valor de xm1 e xm2 de modo que o inicio do contato 
durante o corte do pinhão ocorra no ponto de interferência do pinhão. 
5.17. Um pinhão com 20 dentes, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 10, aciona uma 
engrenagem com 30 dentes com uma distância entre eixos de 2,50 pol. É necessário substituir estas 
engrenagens por um par que tenha uma relação de velocidades 1 ⅓ : 1 e ainda mantenha a mesma 
distância entre eixos. Usando a mesma ferramenta que usinou as engrenagens originais, selecione 
um par de engrenagens que se afastem o menos possível das engrenagens padronizadas. 
Determine as correções das engrenagens, os raios de cabeça e a profundidade de corte. 
5.18. É necessário conectar dois eixos cuja distância entre centros é 3,90 pol com um par de 
engrenagens de dentes retos tendo uma relação de velocidade de 1,25 : 1. Usando uma fresa de 
dentes normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 10, recomende um par de engrenagens 
cuja relação de velocidades angulares se aproxime tanto quanto possível de 1,25 : 1 sem 
apresentarem adelgaçamento. Calcule as correções das engrenagens, os diâmetros externos, 
profundidade de corte e a razão frontal de transmissão. 
5.19. Um pinhão e engrenagem de 27 e 39 dentes, respectivamente, devem ser cortados por 
uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 6, para serem obtidos dentes 
com saliências diferentes. A fresa é afastada de 0,03 pol. Determine, para cada engrenagem, o 
diâmetro primitivo, o diâmetro de cabeça, a profundidade de corte e a espessura de dente na 
circunferência primitiva. 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
124 
5.20. Um par de engrenagens de saliências diferentes de 18 e 28 dentes é cortado por uma fresa 
de dentes normais, ângulo de pressão 20", diametral pitch 4, com correção 0,06 pol. Compare a 
razão frontal de transmissão destas engrenagens com a de um par de engrenagens padronizadas de 
mesmos passo e números de dentes. 
5.21. Um pinhão de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 20, com 30 dentes, 
deve engrenar-se com uma engrenagem de 40 dentes, à distância entre eixos de referência. Sendo 
necessário um jogo primitivo de 0,004 pol, calcule quanto a ferramenta deve avançar no pinhão e na 
engrenagem para ser obtido este jogo. Suponha que os dentes de ambas as engrenagens devam ter 
suas espessuras diminuídas da mesma quantidade. 
5.22. Um pinhão com 20 dentes, ângulo de pressão 25°, diametral pitch 8, deve se engrenar com 
uma engrenagem de 40 dentes em uma distância entre eixos de 3,80 pol. Se a ferramenta é recuada 
de 0,0352 pol quando cortando o pinhão e 0,0165 pol quando cortando a engrenagem, calcule o jogo 
primitivo produzido. 
5.23. Duas engrenagens de saliências diferentes de 18 e 30 dentes, respectivamente, cortadas 
com uma fresa, ângulo de pressão 25°, diametral pitch 6, são projetadas para ter jogo primitivo zero 
quando a ferramenta é afastada de 0,05 pol. Calcule os valores de xm1 e xm2 se estas engrenagens 
forem modificadas para terem jogo de 0,005 pol, supondo que os dentes sejam estreitados da 
mesma quantidade. 
5.24. Um pinhão de 18 dentes, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 12, aciona uma 
engrenagem de 42 dentes. Sendo de ação de semi-afastamento, calcule a relação entre os 
comprimentos de afastamento e de aproximação. 
5.25. Duas engrenagens de ação de semi-afastamento se engrenam sem jogo primitivo. O 
pinhão tem 20 e a engrenagem 48 dentes. Se as engrenagens são cortadas com uma fresa, ângulo 
de pressão 20°, diametral pitch 10, calcule a razão frontal de transmissão. 
5.26. Um par de engrenagens de ação de afastamento deve ser projetado para funcionar sem 
jogo primitivo. O pinhão deve ter 20 e a engrenagem 44 dentes e devem ser cortados com uma fresa, 
ângulo de pressão 20°, diametral pitch 8. Calcule se pode ser obtida uma razão frontal de 
transmissão de 1,40, usando engrenagens de ação de afastamento completo ou semi-afastamento, 
ou ambos. 
5.27. Um pinhão de 24 dentes, ângulo de pressão de 20°, diametral pitch 10, impele uma 
engrenagem de 40 dentes. As engrenagens tem ação de semi-afastamento e o comprimento de 
transmissão gα = 0,468 pol. Calcule a relação entre os comprimentos de afastamento e de 
aproximação.