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Pontifícia Universidade Católica de Campinas
Engenharia Civil
Cálculo B - 04379
Volumes, Trabalho, Valor Médio, Integrais Impróprias e Integração Numérica
1
(ATENÇÃO: os exercícios marcados com �*� deverão ser entregues!)
1) Mostre que o volume de uma esfera de raio r é 43pir
3
.
2*) Calcule o volume de um cone reto de altura h e base circular de raio r.
3) A região limitada pelas curvas y = x e y = x2 é mostrada na figura abaixo. Calcule o volume do sólido formado
pela rotação da área sombreada:
a*) em torno do eixo x b) em torno da reta y = 2 c) em torno da reta x = −1
4) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos
especificados. Esboce a região, o sólido e um disco típico ou arruela da área transversal.
a) y = x2, x = 1, y = 0; ao redor do eixo x b) y = ex, y = 0, x = 0; ao redor do eixo x
c) y = x, x = 2y; ao redor do eixo y d) y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 3; ao redor de y = −1
5) Encontre o volume do sólido S descrito:
a) um tronco de cone circular reto de altura h,
raio da base inferior R e raio da base superior r
b*) uma calota de uma esfera de raio r e altura h
c) um tronco de pirâmide com base quadrada de
lado b, topo quadrado de lado a e altura h
d) uma pirâmide com altura h e base triangular
equilátera com lado a (um tetraedro)
6) Encontre o volume de um sólido S cuja base é um disco circular com raio r e as seções transversais paralelas,
perpendiculares à base, são triângulos isósceles com altura h e lados desiguais na base.
1
Exercícios retirados/adaptados de Stewart, J., Cálculo, v. 1, 5
a
ed.; e Anton, H., Cálculo: um novo horizonte, v. 1, 6
a
ed..
1
7) Seja S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura abaixo ao redor do eixo y. Esboce uma casca
cilíndrica típica, e encontre sua circunferência e altura. Calcule o volume de S.
8) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x − x2 e y = 0 ao redor da reta
x = 2.
9) Seja V o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada por y =
√
x e y = x2.
Encontre V pelos métodos de fatiamento e cascas cilíndricas. Em ambos os casos desenhe um diagrama para
explicar seu método.
10) Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região das curvas
dadas ao redor do eixo x. Esboce a região e a casca típica.
a) x = 1 + y2, x = 0, y = 1, y = 2 b*) x =
√
y, x = 0, y = 1 c) y = 4x2, 2x+ y = 6
11*) Suponha que você faça anéis para guardanapos perfurando buracos com diferentes diâmetros através de duas
bolas de madeira (as quais também têm diferentes diâmetros). Você descobre que ambos os anéis de guardanapo
têm a mesma altura h, como mostrado na figura.
a)
b)
Qual anel tem mais madeira?
Verifique o item (a). Use cascas cilíndricas para calcular o
volume de um anel de guardanapo criado pela perfuração
de um buraco com raio r através do centro de uma esfera
de raio R e expresse a resposta em termos de h.
12) Uma mola exerce uma força de 5N quando esticada 1m além do seu comprimento natural.
a) Ache a constante k da mola.
b) Quanto trabalho é necessário para esticar a mola 1,8m além do seu comprimento natural?
13*) A figura a seguir mostra o gráfico de uma função força (em newtons) que cresce até seu máximo valor e depois
permanece constante. Quanto trabalho é realizado pela força ao mover um objeto a uma distância de 8m?
2
14) Uma sonda espacial com massa m = 5,0×104 kg viaja no espaço exterior, sujeita somente à força de seu próprio
mecanismo. Começando pelo instante no qual a velocidade da sonda é v = 1,10 × 104m/s, o mecanismo é
acionado continuamente por uma distância de 2,50 × 106m, com uma força constante de 4,00 × 105N na
direção do movimento. Qual é a velocidade final da sonda? (Dica: use que W = ∆K, onde W é o trabalho e
∆K é a variação da energia cinética)
15) Um tanque está cheio de água. Encontre o trabalho necessário para bombear a água pela saída:
a) b)
16*) Uma represa tem o formato do trapézio mostrado na figura abaixo. A altura é de 20m, e a largura é de 50m
no topo e 30m no fundo. Calcule a força na represa devido à pressão hidrostática da água se o nível de água
está a 4m do topo da represa.
17) Encontre o valor médio da função no intervalo dado:
a) f(x) = x2, [−1, 1] b) g(x) = cosx, [0, pi/2]
c) f(t) = te−t
2
, [0, 5] d) f(θ) = sen2θ, [0, 2pi]
18*) Se uma xícara de café tem uma temperatura de 95 oC em uma sala cuja temperatura ambiente é de 20 oC, de
acordo com a Lei do Resfriamento de Newton, a temperatura do café após t minutos será T (t) = 20+75e−t/50.
Qual é a temperatura média do café durante a primeira meia hora?
19) A densidade linear de um bastão de 8m de comprimento é 12/
√
x+ 1 kg/m, onde x é medido em metros da
ponta do bastão. Encontre a densidade média do bastão.
20) Avalie as seguintes integrais impróprias:
a)
´ 0
−∞ xe
xdx b)
´∞
−∞
1
1+x2 dx
21*) Use a Regra do Ponto Médio com n = 10 para aproximar a integral
´ 1
0
ex
2
dx e dê um limite superior para o
erro envolvido nessa aproximação.
22) Encontre um valor aproximado para a integral
´ 1/2
0
sen
(
x2
)
dx com n = 4 usando:
a) a Regra do Trapézio b) a Regra do Ponto Médio c) a Regra de Simpson
3
Respostas
2) V = 13pir
2h
3) a) V = 2pi15 b) V =
8pi
15 c) V =
pi
2
4) a) V = pi5 b) V =
pi
2
(
e2 − 1)
c) V = 64pi15 d) V = 2pi
(
ln 3 + 13
)
5) a) V = 13pih
(
R2 +Rr + r2
)
b) V = 13pih
2 (3r − h)
c) V = 13
(
a2 + ab+ b2
)
h d) V =
√
3
12 a
2h
6) Observe que a integral representa um quarto da área de um círculo de raio r, portanto
V = 2h 14pir
2 = 12pihr
2
.
7) V = 2pi
8) V = pi2
9) V = 3pi10
10) a) V = 21pi2 b) V =
4pi
5 c) V =
27pi
2
11) a) a quantidade de madeira para anéis de mesma
altura h é a mesma independentemente do
tamanho da esfera (não depende dos raios R e r)
b) V
anel
= V
esfera
− V
cilindro
− 2V
calota
= 16pih
3
12) a) k = 5N/m b) W = 8,1 J
13) 180 J
14) vf ≈ 1,27× 104m/s
15) a) W ≈ 1,06× 106 J b) W ≈ 1,04× 106 J
16) F ≈ 4,43× 107N
17) a)
1
3 b)
2
pi
c)
1
10
(
1− e−25) d) 12
18) T
média
≈ 76,4 oC
19) ρ
médio
= 6 kg/m
20) a) −1 b) pi
21) aproximação: 1,460393; limite superior para o erro: 0,007
22) a) T4 ≈ 0,042743 b) M4 ≈ 0,040850 c) S4 ≈ 0,041478
4