calculo diferencial e integral

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1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. 
Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que 
introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por 
nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos 
anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o 
que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o 
conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de 
zero. 
 
1.1) Sistematização dos Conjuntos Numéricos 
Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o 
processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido 
de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se 
depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o 
estudo dos números naturais demonstrando as propriedades. 
 
- Conjunto dos Números Naturais (N) 
Propriedades: 
1) 1 ∈ N. 
2) ∀ n ∈ N, ∃! n+1 ∈N e n+1 é o sucessor de n. 
3) ∀ m, n ∈ N se m+1 = n+1 → m = n. 
4) Seja S ⊂ N com as propriedades: 
a) 1 ∈ S. 
b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S. 
Logo, S = N (Princípio da Indução) 
Assim tem-se: 
N = {1,2,3,...} 
A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado 
em relação a adição e a multiplicação. 
Exemplo: Sejam a, b ∈ N 
 x = a + b e x = a.b 
 São equações que têm solução em N. 
 Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N. 
 
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Cálculo Diferencial e Integral 
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01
 
- Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as 
equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número 
natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero. 
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e 
multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem 
solução em Z. 
Exemplo: Z∉=→=
2
5
x52x 
 
- Conjunto dos Números Racionais (Q) 
Q é um conjunto numérico formado por números da forma qp , onde p e q ∈ Z e q ≠ 0. Esses 
números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos. 
Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323... 
O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é 
possível resolver a equação x2 = a 
Exemplo: Q∉=→= 2x22x . 
Demonstração que Q∉2 : 
• O quadrado de um número par é par: 
2.n onde n é inteiro. 
321
N
222 )(2.n2.4.n(2.n) == é PAR. 
• O quadrado de um número ímpar é ímpar: 
12n + 
1
N
2n)2(2n2.14n24n21)(2n ++=++=+
43421
 é ÍMPAR. 
Demonstração por contradição: 
Suponha que 22aQaQ2 =∈∃∴∈ 
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02
 
.
22n2m2
2
n
m
22a
n
m
a parém⇒==== 





 
• m, n ≠ 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares 
Se m é par m = 2.k, então: 
.
2
n
22k22n24k22.n2(2.k) parén⇒=== 
O que contradiz a hipótese logo Q∉2 . 
Exemplos de números não racionais: 2,3791...; 2 ;pi;e. 
 
- Conjunto dos Números Reais (R) 
É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais. 
 
- Conjunto dos Números Irracionais (Q’) 
É o conjunto dos números tais que a equação ax 2 = tem sempre solução quando a é um número 
racional positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não 
periódicos. 
Exemplos: 2,37951..., pi, e. 
• }{ouφ=∩ Q'Q 
• RQ'Q =∪ 
 
Propriedades dos Números Reais: 
1) Lei comutativa da adição 
∀ x, y ∈ R → x + y = y + x 
 
2) Lei comutativa da multiplicação 
∀ x, y ∈ R → x . y = y . x 
 
3) Lei associativa da adição 
∀ x, y, z ∈ R → (x + y) + z = x + (y + z) 
 
4) Lei associativa da multiplicação 
∀ x, y, z ∈ R → (x . y) . z = x . (y . z) 
 
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03
5) Lei da existência do elemento neutro da adição 
∃ o 0 ∈ R / x + 0 = x : ∀ x ∈ R 
 
6) Lei da existência do elemento neutro da multiplicação 
∃ 1 ∈ R / 1 . x = x : ∀ x ∈ R 
 
7) Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição 
∀ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R / x + (-x) = 0 
 
8) Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação 
∀ x ∈ R , x ≠ 0, ∃ x-1 ∈ R / x . x-1 = 1 
 
9) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição 
∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z 
 
10) Lei do fechamento da adição 
∀ x, y ∈ R → x + y ∈ R 
 
11) Lei do fechamento da multiplicação 
∀ x, y ∈ R → x . y ∈ R 
 
12) Lei do cancelamento em relação a adição 
∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z ⇒ x = y 
 
13) Lei do cancelamento em relação a multiplicação 
∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x . z = y . z ⇒ x = y 
 
14) Lei da tricotomia 
∀ x, y ∈ R, vale uma e somente uma das afirmações: 
x > y ou x < y ou x = y 
Obs.: fazendo y = 0, temos: 
x > 0 ou x < 0 ou x = 0 
 
15) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição 
∀ x, y, z ∈ R se x + z > y + z ⇒ x > y 
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04
 
16) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação 
∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y ⇒ x . z > y . z 
Obs.: se z < 0 : x > y ⇒ x . z < y . z 
 
17) Lei da transitividade 
∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z ⇒ x > z 
 
Exercícios: 
1) Responda (V) ou (F) e justifique. 
a) Se x é um número positivo ⇒ 5x é um número positivo 
b) Se x < 3 e y > 3 ⇒ x < y 
c) Se x ≤ y ⇒ -5x ≤ -5y 
d) Se x2 ≤ 9 ⇒ x ≤ 3 
e) Se x ≥ 2 e y > x ⇒ y > 0 
 
Respostas: 
 (V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como 
resultado um número positivo.] 
 (V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer 
número maior que 3. Assim x < y. 
 (V) Podemos simplificar a equação: -5x ≤ -5y em x ≤ y. 
 (F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2 ≤ 9 
x
2
 = 9 x = ± 3 x ≤ 3 x ≥ -3 
 (V) x ≥ 2 y > x y > 2 
 x 
 
 
1.2) Representação Geométrica dos Números Reais 
Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de 
tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está 
associado a um único ponto da reta 
 
negativos 0 positivos 
 
2 
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05
 
1.3) Espaço Real Unidimensional 
Definições 
1) Conjunto linear 
Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos 
representativos. 
 
2) Intervalos 
São subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes casos: (sejam a e b números 
reais tais que a < b)a) Intervalo fechado de extremos a e b. [ 
 [ ] {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} 
 a b [a, b] 
b) Intervalo aberto de extremos a e b. ( ou ] 
 [ ] {x ∈ R / a < x < b} 
 a b (a, b) ou ]a, b[ 
c) Intervalos reais semi-abertos: 
 c.1) à esquerda 
 ( ] {x ∈ R / a < x ≤ b} 
 a b (a, b] ou ]a, b] 
c.2) à direita 
 [ ) {x ∈ R / a ≤ x < b} 
 a b [a, b) ou [a, b[ 
d) Intervalos reais ilimitados 
d.1) (-∞, b] ⇒ {x ∈ R / x ≤ b} 
 ] 
 b 
d.2) (-∞, b) ⇒ {x ∈ R / x < b} 
 ) 
 b 
d.3) [a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x ≥ a} 
 [ 
 a 
d.4) (a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x > a} 
 ( 
 a 
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Intervalo degenerado 
 
 a {x ∈ R / x = a} = [a, a] 
 
3) Supremo (limite superior) 
Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se (↔) são verificadas 
as seguintes condições: 
• L ≥ x, ∀ x ∈ A 
• Dado L1 < L, então (→) ∃ x ∈ A / L1 < x < L. 
 
4) Ínfimo (limite inferior) 
Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a ↔ são verificadas as seguintes 
condições: 
• l ≤ x, ∀ x ∈ A 
• Dado l1 > l → ∃ x ∈ A / l < x < l1. 
 
5) Máximo de um conjunto 
Um número real L é máximo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes 
condições: 
• L é supremo de A 
• L ∈ A. 
 
6) Mínimo de um conjunto 
Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes 
condições: 
• l é ínfimo de A 
• l ∈ A. 
 
Exercício: 
A = (2, 5] 
B = { x ∈ R / x > 2} 
C = { x ∈ R / x ≤ 3} 
Determinar: 
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07
 
 Superior (A) : 5 Superior (B) : ∃ Superior (C) : 3 
 Ínfimo (A) : 2 Ínfimo (B) : 2 Ínfimo (C) : ∃ 
 Máximo (A) : 5 Máximo (B) : ∃ Máximo (C) : 3 
 Mínimo (A) : ∃ Mínimo (B) : ∃ Mínimo (C) : ∃ 
 
7) Distância em R (unidimensional) 
Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente e a < b. 
A distância de P até Q indicada por d (P, Q) é dada por |b – a| 
 P Q 
 a |b – a| b 
• |b – a| = 2a)(b − 
 d (P, Q) = |b – a| ou d (P, Q) = 2a)(b − 
 
8) Vizinhança em R (unidimensional) 
Denomina-se vizinhança unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio δ (delta) δ ∈ R a 
todo conjunto de pontos P (x) ∈ R / d (P, P0) < δ. 
V (P0, δ) = {x ∈ R / 0 ≤ d (P, P0) < δ}, onde x é a abscissa do ponto P 
 P0 
 ( ) 
 x0-δ X0 x0+δ 0 ≤ |x – x0| < δ 
δ δ 
 
9) Vizinhança perfurada em R 
Denomina-se vizinhança perfurada unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio δ ∈ R a 
todo o conjunto de pontos P (x) ∈ R / 0 < d (P, P0) < δ 
V (P0, δ) = {x ∈ R / 0 < d (P, P0) < δ} 
V (P0, δ) = 0 < |x - x0| < δ 
 
10) Ponto de acumulação 
Um ponto P0 (X0) é A se e somente se ∀ V (P0) existir pelo menos um ponto P ∈ R / P ∈ A 
e P ∈ V (P0). 
 a P0 b 
 ( ( ) ( | ) ( ] ) 
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OBS.: Um ponto de acumulação pode não pertencer a um conjunto (sendo o supremo do 
conjunto ou ínfimo). 
 
11) Valor absoluto ou módulo de um número real 
Denomina-se módulo ou valor absoluto de um número x ∈ R, o número definido por 
|x| = x se x ≥ 0 → |x| = 0 ↔ x = 0 
|x| = -x se x < 0 
Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é ele mesmo caso esse 
número seja positivo e será o oposto dele caso ele seja negativo. 
Geometricamente o módulo de um número real x (|x|) representa a distância que um ponto P 
(x) se encontra da origem. 
 0 x 
 | | 
 |x| P 
 -3 0 5 
 | | | 
 Q P 
 |-3| |5| 
Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica, então a distância de P até 
Q poderá ser calculada por: d (P, Q) = |b – a| 
2xx =
 
|b – a| = 2a)(b − 
d (P, Q) = 2a)(b − 
 
Propriedades decorrentes da definição: 
1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0 
 
2) |x|2 = x2 
 
3) |x| = 2x 
 
4) |x . y| = |x| . |y| 
 
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5) 
y
x
y
x
= se y ≠ 0 
 
6) |x + y| ≤ |x| + |y| → desigualdade triangular 
 
7) |x| = |y| → x = ± y 
Seja a ≥ 0 |x| = a → x = ± a 
 
8) |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a 
 
9) |x| ≥ a → x ≤ -a ou x ≥ a 
 
Demonstrações das propriedades acima 
P1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0 x ∈ R 
Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0. 
• Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ∴ |x| > 0 
• Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ∴ -x > 0 ∴ |x| > 0 
• Se x = 0: |x| = 0 
 
P2) |x|2 = x2 
• Se x > 0: |x| = x → |x|2 = x2 
• Se x < 0: |x| = -x → |x|2 = (-x)2 = x2 
• Se x = 0: |x| = x → |x|2 = x2 
 
P3) |x| = 2x 
a indica a raiz quadrada positiva de um número a ≥ 0. 
22 xx = → pela propriedade 2 
2
xx = 
 
 
 
 
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10
 
 
P4) |x . y| = |x| . |y| 
|x . y|2 = (x . y)2 
|x . y| = 2y) .(x 
|x . y| = 2y.2x 
|x . y| = 2y.2x 
|x . y| = |x| . |y| 
 
 P5) ( )0y
y
x
y
x
≠= 
 
 P6) |x + y| ≤ |x| + |y| 
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 
(x + y)2 = |x|2 + 2xy + |y|2 
Obs.: x ≤ |x| 
 2xy ≤ |2xy| 
 2xy ≤ 2 |x| |y| 
(x + y)2 ≤ |x|2 + 2 |x| |y| + |y|2 
|x + y|2 ≤ ( |x| + |y| )2 
|x + y| ≤ |x| + |y| 
 
 P7) |x| = |y| → x = ± y 
|x|2 = |y|2 
x
2
 = y2 
x = ± y 
 
 P8) |x| ≤ a 
• x ≥ 0 → |x| = x ⇒ x ≤ a 0 [ ] a 
• x < 0 → |x| = -x ⇒ -x ≤ a → x ≥ -a -a [ 
 
-a [ ] a 
-a ≤ x ≤ a 
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P9) |x| ≥ a → x ≥ a ou x ≤ -a 
• x ≥ 0 → |x| = x 
x ≥ a a [ 
• x < 0 → |x| = -x 
-x ≥ a → x ≤ -a ] –a 
]–a a[ 
 x ≥ a ou x ≤ -a 
Exemplos: 
Resolver as equações e inequações: 
a) |x – 3| = 2 
|x| = a → x = ± a 
|x – 3| = 2 • |x – 3| = -2 
x – 3 = 2 x – 3 = -2 
x = 5 x = 1 
 Resposta: x = 5 ou x = 1. 
 
b) |x – 5| = |3x – 1| 
|x| = |y| → x = ± y 
x – 5 = 3x - 1 • x – 5 = -3x + 1 
2x = -4 4x = 6 
x = -2 x =
2
3
 
 Resposta: x = -2 ou x =
2
3
. 
 
c) |4x – 6| ≤ 3 
|x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a-3 ≤ 4x - 6 ≤ 3 
4
63
x
4
63 +
≤≤
+−
 
Resposta: 
4
9
x
4
3
≤≤ . 
 
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d) |3x + 5| > 2 
|x| > a → x > a ou x < -a 
3x + 5 > 2 • 3x + 5 < -2 
x > -1 x <
3
7
− 
 Resposta: x > -1 ou x <
3
7
− . 
 
 
2) Sistema de Coordenadas Cartesianas 
2.1) Par Ordenado 
É um conjunto de 2 elementos x, y indicado por (x, y) em que a ordem dos elementos deve ser 
respeitada. 
(x, y) = (y, x) ↔ x = y 
(x1, y1) = (x2, y2) ↔ x1 = x2 e y1 = y2 
No par ordenado (x, y) o elemento x é chamado primeiro elemento, primeira projeção ou abscissa; o 
elemento y é chamado segundo elemento, segunda projeção ou ordenada. 
 
 
2.2) Produto Cartesiano 
Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se produto cartesiano de A por B e 
se indica por A x B. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y)/ x ∈ A e y ∈ B. 
A x B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B} 
 
 
2.3) Plano Cartesiano 
Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representado 
pelo seguinte conjunto: R x R = R2. 
No plano cartesiano os pares ordenados (x, y) são referidos como pontos e o elemento x é chamado 
abscissa e o elemento y ordenada do ponto. 
 
 
 
 
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2.4) Representação do Plano Cartesiano 
Existe uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um plano e os infinitos pares 
ordenados, desta maneira podemos representar estes pontos através de duas retas perpendiculares. 
 
 y (eixo das ordenadas) 
 P (x, y) 
 
 
 0 x (eixo das abscissas) 
 
 
 
 
2.5) Distância Bidimensional (R2) 
 y 
 
 y2 Q (x2, y2) 
 |y2 – y1| d 
 y1 
 P (x1, y1) 
 
x1 x2 x 
 |x2 – x1| 
 [d(P, Q)] = |x2 – x1|2 + |y2 – y1|2 
 [d(P, Q)]2 = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2 
 
2)1y2y(2)1x2x( Q) (P, d −−−−++++−−−−==== 
 
 
 
 
 
 
 
IV III 
I 
II 
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14
 
 
2.6) Vizinhança Bidimensional (R2) 
Denomina-se vizinhança bidimensional de um ponto P0 (x0,y0) e raio δ > 0 ao conjunto de todos os 
pontos P (x, y) / 0 ≤ d (P, P0) < δ. 
{ }δ<≤∈=δ )0P,P(d0/2R)y,x(P)),0y,0x(0P(2V 





 δ<+−+−≤∈=δ 2)0yy(2)0xx(0/2R)y,x(P)),0y,0x(0P(
2V 
{ }22)0yy(2)0xx(0/2R)y,x(P)),0y,0x(0P(2V δ<+−+−≤∈=δ 
 
 y 
 
 y0 
 
 
 
x0 x 
 
 
 
 
2.7) Vizinhança Perfurada em R2 
Denomina-se vizinhança perfurada bidimensional de um ponto P0 (x0, y0) e raio δ > 0 o conjunto de 
todos os pontos P (x, y) ∈ R2 / 0 < d (P, P0) < δ. 
 
{ }δ<<∈=δ )0P,P(d0/2R)y,x(P),0P(2V 
 
 
2.8) Ponto de Acumulação em R2 
Dizemos que sem um ponto P0 (x0, y0) é ponto de um conjunto A ⊂ R2 se para toda a V2 (P0) existir 
pelo menos um ponto P (x, y) ∈ R2 / P (x, y) ∈ A e P (x, y) ∈ V(P0). 
 
 
 
 
δδδδ 
 P0 
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3) Relações Binárias e Funções Reais 
3.1) Relações Binárias 
Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer 
subconjunto de pares ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B. 
 
3.2) Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações 
a) Domínio de relações: 
Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica por DS o conjunto linear: 
DS = { } AS)y,x(eRy/Ax ⊂∈∈∃∈ 
b) Contradomínio: 
Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica por CdS é o conjunto B. 
CdS = B 
c) Imagem: 
Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por ImS é o conjunto linear: 
ImS = { } BS)y,x(eRx/By ⊂∈∈∃∈ 
d) Gráfico: 
Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto: 
GS = { }S)y,x(/2R)y,x( ∈∈ 
e) Gráficos das principais relações: 
1) { }xy/2R)y,x( =∈ 
y = x → é função 
 y ≥ x → não é função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45o 
y 
x 
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2) { } Rbeabaxy/R)y,x( 2 ∈+=∈ 
a → coeficiente angular 
b → coeficiente linear 
a = tan α 
Se: 
• a > 0 → tan α > 0 → 
→ α < 90o : agudo 
• a < 0 → tan α < 0 → 
→ α > 90o : obtuso 
 
3) ( )










++=∈
44 344 21
parábola
cbx2axy/2Ry,x 
Se: 
• a > 0 → 
• a < 0 → “1” 
y = 0 
ax2 + bx + c = 0 
c.a.42b
a.2
b
x
−=∆
∆±−
=
 ”3” 
• ∆ > 0 → 2 raízes “1” 
• ∆ < 0 → não existe → 




 ∆−−
a4
,
a2
bV 
• ∆ = 0 → 1 única raiz “3” 
→→→→ x = 4y2 – 9 → também é uma parábola 
• a > 0 → 
 
• a < 0 → 
 
 
 
b 
a<0 
a>0 
α 
y 
x 
α 
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17
 
-3 
4) ( ){ }42y2x/2Ry,x =+∈ 
Pode ser circunferência, elipse ou hipérbole (quando o sinal entre x e y é de subtração) 
Equação geral da circunferência 
 ( ) ( ) 2r2y2x =β−+α− ( )
rraio
,C
=
βα
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Dados ( ){ } ( )








≥∈=≤+∈=
9
x.4y/Ry,xRe25yx/Ry,xR
2
2
2
222
1 , determine: 
1) Gráfico de R1∩R2 
2) Domínio de R1∩R2 
3) Imagem de R1∩R2 
 
1) 
 • 
2
x
9
4y = 
 Para y = 0 
 
0x
9
2x40
=
=
 
 
 
2) Pontos de interseção → Sistema 
252y
4
y9
4
y92x
9
2
x4y
252y2x
=+






=→=
=+
 
 
-2 
-2 
2 
2 
252y2x ≤+ 
252y2x =+ 
3 
9
2x4y = 
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18
 
3x
9
4
4.92x
4
y92
x
4
25
'y
4y
8
419y
)4.(2
)100).(4.(4819
y
0100y92y4
01002y4y9
±=
==
=





−=
=
±−
=
−−±−
=
=−+
=−+
 
 D = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3} 
 
3) {y ∈ R} = Im 
Im = {y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 5} 
 
 
3.3) Função Real de Variável Real 
Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A 
corresponder um único y ∈ B, então esta relação denomina-se função. 
Notação: 
 F: A → B 
 y = F (x) 
Domínio: 
 Se F: A → B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ∈ A deve figurar em um único par 
ordenado (x, y) de F. 
 DF = A 
Contradomínio: 
 Se F: A → B, o contradomínio de F é o conjunto B. 
 CF = B 
Imagem: 
 A imagem de F é o conjunto dos y ∈ B que estão relacionados por F, isto é, o conjunto dos y ∈ B 
que são obtidos a partir de x pela lei F, já que y = F (x). 
 ImF ⊂ B 
 
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19
 
Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de Variáveis Reais 
 Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y = f (x), estamos 
admitindo que o domínio ou campo de existência da função é o conjunto detodo x ∈ R que seja possível 
determinar y ∈ R e y = F (x). 
 
Exemplos: 
1) Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções: 
 
a) 
1x
x3)x(f
−
= 
{ }
{ }1x/RxDf
01x/RxDf
≠∈=
≠−∈=
 
 -∞ 1 +∞ 
 Ponto de acumulação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) 12x2xxg ++= 
 
 
1x
012x2x
RD
−=
=++
=
 
 
 
 
 
 
y 
x 
assíntota 
1 
-1 
y 
x 
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20
 
 
 
c) ( ) ( )( )3x.4xxf +−= 
( )( ){ }
( )( ) 03x.4x
03x.4xR/xfD
≥+−
≥+−∈=
 
 4 
 x-4 - - - - - - - - - - - + + + + + + + + 
 -3 
 x+3 - - - - - + + + + + + + + + + + + + 
 + - + 
 -3 4 
 4x3x ≥−≤ { }4xou3x/RxD f ≥−≤∈= 
 
 
 
d) 
9x
x2)x(f 2
−
= 
0
9x
x2
0
9x
x2/RxD
2
2f
≥
−





 ≥
−
∈=
 
 0 
 2x - - - - - - - - - - - + + + + + + + + 
 -3 3 
 x
2
-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + + 
 - + - + 
 -3 0 3 
 { }3xou0x3/RxD f >≤<−∈= 
 
 
 
 
 
 
4 -3 
y 
x 
3 -3 0 x 
y 
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21
 
 
 
e) 
9x
x2)x(f
2
−
= 
{ }
09xe0x2
09xe0x2/RxD
2
2
f
>−≥
>−≥∈=
 
 0 
 2x 
 -3 3 
 x
2
-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + + 
 - + - + 
 -3 0 3 
 { }3x/RxD f >∈= 
 
 
 
f) 






+
+−
=
1x
2x3xlog)x(f
2
 
0
1x
2x3x
0
1x
2x3x/RxD
2
2
f
>
+
+−








>
+
+−
∈=
 
 1 2 
 x
2
-3x+2 + + + + + + + - - - - - - - + + + + 
 -1 
 x+1 - - - - + + + + + + + + + + + + + + 
 - + - + 
 -1 1 2 
{ }2xou1x1/RxD f ><<−∈= 
 
 
 
 
 
3 0 x 
y 
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22
 
 
g) ( )1xlog
2
x
arcsen
)x(f
−
= 






≠−>−≤≤−∈= 11xe01xe1
2
x1/RxD f 
 
 2x212/x1 ≤≤−⇒≤≤− 
 -2 2 
 1x01x >⇒>− 
 1 2 
 2x11x ≠⇒≠− 
 1 2 
 
{ }2x1/RxD f <<∈= 
 
 
3.4) Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras 
a) Função Injetora: 
Uma função y = F (x) de A em B é injetora se os elementos y ∈ B são imagens de um único 
x ∈ A. 
b) Função Sobrejetora: 
Uma função y = F (x) de A em B é sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomínio 
de F, isto é, todo y ∈ B deve ser imagem de pelo menos um x ∈ A. 
c) Função Bijetora: 
Uma função y = F (x) é bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora. 
 
 
3.5) Classificação das Funções 
As funções são classificadas em dois grandes grupos: 
I) Funções Algébricas Elementares 
a) Funções Algébricas Racionais 
a.1) Inteiras 
a.2) Fracionárias 
b) Funções Algébricas Irracionais 
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II) Funções Transcendentais 
a) Trigonométricas 
b) Exponenciais 
c) Logarítmicas 
 
I) Funções Algébricas Elementares 
São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares (adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação). E são classificadas como segue: 
a) Funções Algébricas Racionais: 
As funções algébricas racionais são aquelas em que as variáveis não se encontram 
abaixo de radicais ou não estão elevadas a expoentes fracionários e se classificam em: 
a.1) Racionais Inteiras: 
São aquelas em que suas variáveis não se encontram em denominador ou 
não estão elevadas a expoentes negativos. São as funções conhecidas como 
POLINOMIAIS. Ex.: f(x) = a0.xn+a1.xn-1+...+an 
a.2) Racionais Fracionárias: 
São funções da forma )x(g
)x(f)x(Q = , onde f(x) e g(x) são funções 
racionais inteiras. Ex.: 
n
1-n
1
n
0
n
1-n
1
n
0
b....xb.xb
a....xa.xa)x(f
+++
+++
= 
b) Funções Algébricas Irracionais: 
São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais ou elevadas a expoentes 
fracionários positivos ou negativos. 
 
II) Funções Transcendentais: 
São funções cujas variáveis estão sujeitas as operações da trigonometria, da exponenciação 
e da logaritmização. 
 
 Exemplos: 
 Classificar as seguintes funções: 
1) 
1x
x3)x(f
−
= →função algébrica elementar racional 
2) 
3 2 5x2
1x)x(g
+
+
= →função algébrica irracional 
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24
 
3) 1x2x)x(f 2 ++= →função algébrica elementar racional inteira 
4) 
5t2
t)t(f 3
2
+
= →função algébrica racional fracionária 
5) 
1x2
4xsen)x(g
+
+
= →função transcendental 
6) )1xlog()x(h += → função transcendental 
7) x4x.3)x(f 2 += → função algébrica racional inteira 
8) 
5x2
xx)x(F
33
2
−
+
= → função algébrica irracional 
 
Ainda com referência a classificação as funções algébricas e as funções transcendentais podem ser 
classificadas em: 
a) Funções Explícitas: 
São aquelas em que uma das variáveis é resolvida em função da outra, isto é, isola-se uma 
variável em função da outra. ( y = f(x) ) 
Ex.: y = x2+3x 
b) Funções Implícitas: 
São aquelas em que não é possível resolver uma das variáveis em relação a outra. (F(x, 
y)=0) 
Ex.: y2+2.x5.y3+x2.seny=0 
 
 
3.6) Composição de Funções 
Se f e g são funções tais que pelo menos um elemento pertencente a imagem de g pertencer ao 
domínio de f, então a composição de f por g, indicada por fog é definida por: 
fog = f ( g (x) ) 
 
Exemplo: 
1) Determinar fog e gof, sendo f (x) = 3x e g (x) = x + 4 
→ fog = f ( g (x) ) = 3 (x+4) = 34 . 3x 
→ gof = g ( f (x) ) = 3x + 4 
 
 
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25
 
 
 
3.7) Função Inversa 
Duas funções f e g são inversas se e somente se: 
a) A imagem de g está contida no domínio de f; 
b) Para todo x ∈ ao domínio de f, fog = x; 
c) A imagem de f deve estar contida no domínio de g; 
d) Para todo x do domínio de f, gof = x. 
Nestas condições f é dita invertível. 
Para que estas condições sejam satisfeitas é necessário que f seja bijetora. 
Notação: 
Se y = f (x) é invertível, a inversa de f é indicada por x = f -1 (y) ou x = g (y). 
Gráfico: 
O gráfico de funções inversas são simétricos em relação a reta y = x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO 
1) Isola-se x na equação original . 
2) Troca-se x por y para respeitar a convenção de representação de função no plano cartesiano 
que usualmente a variável independenteé x e a variável dependente é y. 
 
Exemplos: 
 Determinar as inversas das seguintes funções: 
1) f (x) = x + 4 
y = x + 4 
x = y – 4 
y = x – 4 → Função inversa 
 
 
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2) 
2x
3xy
+
−
= 
1y
y23
x
y23x)1y(
y23xyx
3xy2yx
3xy)2x(
−
−−
=
−−=−
−−=−
−=+
−=+
 
1x
y23y
+
−−
=
 → Função inversa 
 
3) x8arctany = 
8
ytan
x
ytanx8
=
=
 
8
xtany =
 → Função inversa 
 
4) x4ey = 
4 ylnx
yln
4
1
x
ylnx4
=
=
=
 
4 xlny =
 → Função inversa 
 
5) 
3
xlogy = 
y
y
10.3x
3
x10
=
=
 
x10.3y =
 → Função inversa 
 
 
 
 
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3.8) Funções Pares e Funções Ímpares 
Função Par: 
 Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é par, se e somente se para todo x ∈ D, 
-x ∈ D e f (-x) = f (x) . 
 Observe que o gráfico de funções pares são simétricos ao eixo dos y. 
 
 
 
 
 
 
 
Função Ímpar: 
 Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é ímpar, se e somente se para todo 
x ∈ D, -x ∈ D e f (-x) = - f (x) . 
 Observe que o gráfico de funções ímpares é simétrico em relação a origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
 Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar: 
1) 4x)x(f 2 += 
parFunção)x(f)x(f
4x)x(f
4)x()x(f
2
2
⇒−=
+=−
+−=−
 
 
 
 
f(-x) 
f(x) 
x -x 
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2) x2x)x(f 2 += 
ímparnemparéNão)x2x()x(f
x2x)x(f
)x(2)x()x(f
2
2
2
⇒+−−=−
−=−
−+−=−
 
 
3) x4x)x(f 3 += 
ìmparFunção)x(f)x(f
)x4x()x(f
x4x)x(f
)x(4)x()x(f
3
3
3
⇒−=−
+−=−
−−=−
−+−=−
 
 
4) xcos)x(f = 
ParFunção)x(f)x(f
xcos)x(f
)xcos()x(f
⇒=−
=−
−=−
 
 
5) xsen)x(f = 
ímparFunção)x(f)x(f
xsen)x(f
)xsen()x(f
⇒−=−
−=−
−=−
 
 
6) 
2
ee)x(f
xx −+
= 
parFunção)x(f)x(f
2
ee)x(f
xx
⇒−=
+
=−
−
 
 
7) 
2
ee)x(f
xx −
−
= 
ímparFunção)x(f)x(f
2
ee)x(f
2
ee)x(f
xx
xx
⇒−=−







 +−
−=−
−
=−
−
−
 
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4) Limite e Continuidade de Funções 
4.1) Noção Intuitiva 
Seja }.2x/Rx{Df,
2x
4x)x(f
2
≠∈=
−
−
= 
Se 2x)2x(
)2x)(2x(
2x
4x)x(f2x
2
+=
−
+−
=
−
−
=→≠ 
2x)x(f2xSe +=→≠∴ 
x f(x) x f(x) 
1 3 3 5 
1,5 3,5 2,5 4,5 
1,9 3,9 2,1 4,1 
1,99 3,99 2,01 4,01 
 
Note que para todo x ∈ V (2, δ)→ f(x) ∈ V (4, ε) podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende 
para 2 é igual a 4 e podemos escrever: 
4
2x
4xlim
2
2x
=
−
−
→
 
De modo geral se y = f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
L)x(flim
ax
=
→
 
 
 
4.2) Definição Formal de Limite 
Sendo f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação dizemos que f (x) tem limite 
L quando x tende para a, e se indica por: 
L)x(flim
ax
=
→
 se e somente se para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que 0 < |x – a| < δ 
 
L+ε 
 
 
L-ε 
a -δ a a +δ 
( ) 
4 
2 
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30
 
Exemplos: 
Usando a definição de limite, mostre que: 
1) 9)4x5(lim
1x
=+
→
 
 
5
1x
5
1x
1x.5
)1x(.5
)1x.(5
5x5
9)4x5(
ε
=δ
δ<−
ε
<−
ε<−
ε<−
ε<−
ε<−
ε<−+
 
 
2) 5)1x3(lim
2x
−=+
−→
 
3
2x
)2(x
3
2x
)2x(.3
)2x.(3
51x3
)5(1x3
ε
=δ
δ<+
δ<−−
ε
<+
ε<+
ε<+
ε<++
ε<−−+
 
 
 ⇒ Se f (x) = x → y = x (Função Identidade) 
 
axlim
ax
=
→
 P1 
 | x-a | < ε → | x-a | < δ 
 ε = δ 
 
 ⇒ Se f (x) = k → y = k 
 
kklim
ax
=
→
 P2 
 
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31
 
 
4.3) Propriedades Operatórias do Limite 
1) axlim
ax
=
→
 
 
2) kklim
ax
=
→
 
 
3) [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flim
axaxax →→→
±=± 
 
4) )x(glim).x(flim)x(g).x(flim
axaxax →→→
= 
 
5) )x(flim.c)x(f.clim
axax →→
=
 
 
6) 



 ≠=
→
→
→
→
0)x(glim)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(flim
ax
ax
ax
ax
 
 
7) [ ] n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim




=
→→
 
 
8) n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim
→→
= 
 
9) ( ) )x(glim
ax
)x(g
ax
ax)x(flim)x(flim →




=
→→
 
 
10) 




=
→→
)x(flimlog)x(floglim
ax
bb
ax
 
 
11) ( )




=
→→
)x(flimsen)x(fsenlim
axax
 
 
 
 
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Exemplo: 
1) 
1x5
x2xlim
2
2x
−
+
→
 
9
8
110
44
12.5
2.22
1xlim5
x2limxlim
1limx5lim
x2xlim
1x5lim
x2xlim 2
2x
2x
2
2x
2x2x
2
2x
2x
2
2x
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
→
→→
→→
→
→
→
 
 
 
4.4) Limites Unilaterais 
 { } →≥∈=
−=
4x/RxDf
4x)x(f
 
 existenão)x(flim
4x
=
→
 
 



<+−
≥+
=
1x2x3
1x4x2)x(f 
 
 
 




−=
=
=
−
+
→
→
→ 1)x(flim
6)x(flim
existenão)x(flim
1x
1x
1x
 
 
Limite à direita: 
 Seja f uma função definida em um intervalo (a, c) e L um 
número real, a afirmação L)x(flim
ax
=
+→
 , significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε 
sempre que 0 < x – a < δ → a < x < a + δ → 
 
Limite à esquerda: 
 Seja f uma função definida no intervalo (c, a) e L um número real, a afirmação L)x(flim
ax
=
−→
 , 
significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que -δ < x – a < 0 → a-δ < x < a 
 
 
 
 
 
 ( ) 
4 
( ) 
1 
( ) 
a c 
( ) 
a a+δ 
( ) 
a-δ a 
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33
 
 
4.5) Teorema 
1) L)x(flim)x(flimL)x(flim
axaxax
==⇔=
−+ →→→
 
 
Exemplos: 
1) 




<
≥−
=
1xsex
1xse1x2)x(f 2 
1)x(flimiguaissão
1)1()x(flim
1)11.2()x(flim
?)x(flim
1x2
1x
1x
1x
=∴→





==
=−=
→=
→
→
→
→
−
+
 
 
2) 



≤+−
>+
=
2xse4x2
2xse1x3)x(f 
existenão)x(flimdiferentessão
0)x(flim
7)x(flim
?)x(flim
2x
2x
2x
2x
=∴→




=
=
→=
→
→
→
→
−
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.6) Continuidade das Funções)a(f∃ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∴≠




=
=
→∃=
∃
−
+
→
→
→ c)x(flim
b)x(flim
)x(flim
!OK)a(f
ax
ax
ax
 
)x(flim)a(f
!OK)x(flim
!OK)a(f
ax
ax
→
→
≠
∃
 
 
Condições: 
1) ∃ f (a) 
2) ∃ )x(flim
ax→
 
3) )x(flim)a(f
ax→
= 
 
 
 
 
 
a 
y 
x a 
y 
x 
 
b = f (a) 
c 
a 
y 
x 
y 
x a 
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Exemplos: 
1) Verificar se 




>+
≤−
=
1xsex1
1xsex3)x(f
2
2
 é contínua para x = 1 : 
i) !OK2)1(f = 
ii) ?)x(flim
1x
=
→
 
!OK2)x(flimiguaisSão
211)x(flim
213)x(flim
1x
1x
1x
=∴




=+=
=−=
→
→
→
−
+
 
iii) !OK)x(flim)1(f
1x→
= 
Resposta: É contínua 
 
 
2) Verificar se 




=
≠−−
=
3xse7
3xse3
x
9
x)x(f
2
 é contínua para x = 3 : 
i) !OK7)3(f = 
ii) 
0
0)x(flim
3x
=
→
indeterminação 
!OK6)3x(
)3x)(3x(lim
3xcomo
3x
=
−
+−
≠
→
4434421
 
iii) )x(flim)3(f
3x→
≠ 
Resposta: Não é contínua 
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4.7) Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais) 
)a(F)x(Flim
a...x.ax.a)x(F
ax
n
1n
1
n
0
=
+++=
→
−
 
 
 
4.8) Limite das Funções Racionais Fracionárias 
0
ºn
0)a(ge0)a(QSe
0
ºn
0
0)a(ge0)a(QSe
)a(g
)a(Q
)x(g
)x(Qlim
b...x.bx.b)x(g
a...x.ax.a)x(Q
)x(g
)x(Q)x(F
ax
m
1m
1
m
0
n
1n
1
n
0
=≠∗
=
≠=∗
=
+++=
+++=
=
→
−
−
 
a função não está definida para x = a 
existenão)x(g
)x(Qlimdiferentessão
)x(g
)x(Qlim
)x(g
)x(Qlim
)x(g
)x(Qlimiguaissão
)x(g
)x(Qlim
)x(g
)x(Qlim
:Calcule
0
ºn
existenão
0
ºn
ax
ax
ax
ax
ax
ax
=∴→







∞=
±∞=
±∞=∴→







±∞=
±∞=
→





∞−
∞+
=
→
→
→
→
→
→
−
+
−
+
m
 
 
 
 
a 
( ) 
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Exemplos: 
1) 
5
7
5
7
9x4
2x5lim
21x
−=
−
=
−
+
→
 
 
2) 0
12
0
2x5
4xlim
2
2x
==
+
−
→
 
 
3) ?
0
10
2x
x5lim
2x
==
−
→
 
existenão
0
10
2x
x5lim
0
10
2x
x5lim
2x
2x
∴≠→






−∞==
−
+∞==
−
−→
+→
−
+
 
 
4) ?
0
10
)2x(
x5lim
22x
==
−
→
 
+∞=
−
∴=→







+∞==
−
+∞==
−
→
+→
+→
−
+
22x
22x
22x
)2x(
x5lim
0
10
)2x(
x5lim
0
10
)2x(
x5lim
 
 
 
0)x(g)x(QSe ==∗ 
→=
→ 0
0
)x(g
)x(Qlim
ax
indeterminação .etc,
∞
∞
= 
 
Exemplos: 
1) 
0
0
2x
4xlim
2
2x
=
−
−
→
 
4
22
2xlim
)2x(
)2x)(2x(lim
2x
2x
=
+=
+=
−
+−
→
→
 
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38
 
 
2) 
0
0
)2x3x(
)4x(lim 2
2
2x
=
+−
−
→
 
4
)12(
)22(
)1x(
)2x(lim
)1x)(2x(
)2x)(2x(lim
2x
2x
=
−
+
=
−
+
=
−−
+−
→
→
 
 
3) 
0
0
4z4z
z4z3zlim 2
34
2z
=
++
−+
−→
 
 
 
 
 
 
6
)2).(12(
)2z(
z).1z.()2z(lim 2
2
2z
=
−−−=
+
−+
−→
 
 
4) 
0
0
1t
1tlim
3
1x
=
+
+
−→
 
 
 
 
3
)1)1()1((
)1t(
)1tt)(1t(lim
2
2
1x
=
+−−−=
+
+−+
−→
 
 
 
 
 
(z+2) -2 1 3 0 -4 0 
(z-1) 1 1 1 -2 0 
 1 2 0 
 z
2
 + 2z = 0 
 



+→−=
→=
)2z(2z
z0z
 
(t+1) 1 1 0 0 1 0 
 1 -1 1 0 
 ( t + 1 ) . ( t2 - t + 1 ) 
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39
 
 
4.9) Limite das Funções Irracionais 
( ) ( )( ) ( ) ( )
4
2
2
2
22
1
22
1
22x
1lim
22x
1
22x.x
x
22x.x
22x
22x
22x
x
22x
0
0
x
22xlim
0x
0x
=
⋅=
+
=
++
++
=
++
=
++
−+
=
++
++
⋅
−+
=
−+
→
→
 
 
 Outra maneira: 
 Substituição de Variável 
 
( )( )
4
2
22
1
2t
1lim
2t2t
2tlim
2t
2tlim
2t0x
2tx
t2x
0
0
x
22xlim
2t
2t
22t
2
2
0x
=
+
=
+
=
−+
−
=
−
−






→∴→
−=
=+
=
−+
→
→
→
→
 
 
 
 
 
 
 
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40
 
4.10) Limites Envolvendo Infinito 
Definições: 
1) Dizemos que um elemento c é finito quando c ∈ R e dizemos que c é infinito quando c é um dos 
símbolos +∞ ou -∞. 
Obs.: quando valer a frase do limite para b finito ou infinito, diremos que existe o limite e 
indicaremos por 



∞+
=∃
→
c)x(flim
bx
. Em caso contrário diremos que não existe o limite e 
escreveremos ≠




=∃
−→
+→
→ )x(flim
)x(flim
)x(flim
bx
bx
bx
. 
 
2) Seja f definida em um intervalo (c, +∞). A afirmação L)x(flim
x
=
∞→
, significa que a todo ε > 0 
corresponde um número positivo N, tal que | f (x) – L | < ε ∀ x > N. 
 
3) Seja f definida em uma vizinhança perfurada de a, a afirmação f (x) se torna infinita quando x 
tende para a que se escreve: ∞=
→
)x(flim
0x
, significa que para todo número positivo N, 
corresponde um δ > 0 / f (x) > N sempre que 0 < | x – a | < δ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.11) Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais) 





∞−
∞+
=










+++
∞→
−
∞→
ouxalim
a...xaxalim
n
0
x
n
1n
1
altomaisgrau
n
0
x 321
 
 
(a+δ) (a-δ) 
y 
x a 
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41
 
 Exemplos: 
1) ( )1x2x4x5lim 23
x
−−+
−∞→
 
−∞=
−∞→
3
x
x5lim 
 
2) ( )2x3x5lim 2
x
−+
−∞→
 
+∞=
−∞→
2
x
x5lim 
 
 
4.12) Limite das Funções Racionais Fracionárias 
0
0
m
0
n
0
x
m
1m
1
m
0
n
1n
1
n
0
x
b
a
mn
0mn
oumn
:Se
x.b
x.a
lim
b...x.bx.b
a...x.ax.a
lim
⇒=∗
⇒<∗
∞−+∞⇒>∗
+++
+++
∞→
−
−
∞→
 
 
Exemplos: 
1) 
1x6x2
2x4x5lim 2
3
x
−+
−+
−∞→
 
−∞=
−∞→ 2
3
x x2
x5lim 
 
2) 
2x5x
4x3x2lim 3
2
x ++
−+
∞→
 
02
x
x2lim 3
2
x
=
∞
=
∞→
 
 
3) 
4xx2x4x4
4x2x6lim 345
35
x
−−++
−+
−∞→
 
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42
 
2
3
x4
x6lim 5
5
x
=
−∞→
 
 
 
4.13) Limite das Funções Transcendentais 
Exemplos: 
1) ( ) →∞−∞=−−+
∞→
)1x2ln()4xln(lim 2
x
indeterminação 
∞=
=
−
+
=








−
+
∞→
∞→
∞→
x2
xlimln
1x2
4xlimln
1x2
4xlnlim
2
x
2
x
2
x
 
 
2) →=
→ 0
0
x
xsenlim0x
indeterminação 
==
→=
→
x
xsen)x(f
notável.lim1
x
xsenlim
0x
 
 
 
4.14) Limites Notáveis 
1) 1
u
usenlim
0u
=
→
 (1o Limite Fundamental) 
Demonstração: 





 pi
∈
=
→
2
,0t
t
tsen)t(f
t
tsenlim
0t
 
2
tSOQP = 
2
tsenS OQP =∆ tcos.2
tsenS
´OQQ =∆ 
0 
( ) 
O 
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43
 
 
tcos
t
tsen1
)sinaisossetrocaeseinverte(1
tsen
t
tcos
1
)t(sentsent
tcos
tsen
)2(x
2
tsen
2
t
tcos
tsen
2
1
>>
−−>>
÷>>
>>∗
 
 
1
t
tsenlim1
tcoslim
t
tsenlim1lim
t
tsenlim
0t
0t0t0t
0t
>>
>>
∗
→
→→→
→
 
 
1
t
tsenlim
0t
=
→
 
 Exemplo: 
1) 
x5
x5sen.5lim
0x→
 
 
51.5
x5
x5senlim.5
1
0x
==
=
=
→ 43421
 
 
2) e)u1(lim u
1
0u
=+
→
 (2o Limite Fundamental) 
Exemplos: 
1) e)x1(lim x1
0x
=+
→
 
2) e)xtan1(lim xtan1
0x
=+
→
 
3) 
x
2)x1(lim
0x
+
→
 
2
2
x
1
0x
e
)x1(lim
=




+=
→ 
 
xx
k
0x
e)x1(lim =+
→
 
 
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44
 
4) 2
1
x
2
1
0x
e)x1(lim =+
→
 
5) ( )
x
1
x21lim
0x
+
→
 
( ) 2y2
0y
ey1lim
2
y
x
0y0xyx2
=+=
=
→⇒→⇒=
→
 
( ) kx1
0x
ekx1lim =+
→
 
 
 
3) 1
u
utanlim
0u
=
→
 
1
ucos
1lim
u
usenlim
u
1
ucos
usenlim
1
0u
1
0u
0u
=⋅
=⋅
=
→
=
→
→
321321
 
 
4) e
u
11lim
u
u
=





+
∞→
 
* Substituir: 0yuy
u
1
→⇒∞→⇒= 
( ) ky1
0x
ey1lim =+
→
 
Exemplos: 
1) k
ku
u
e
u
11lim =





+
∞→
 
2) k
u
u
e
u
k1lim =





+
∞→
 
3) 5
x5
x
e
x
11lim =





+
∞→
 
4) 3
x
x
e
x
31lim =





+
∞→
 
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45
 
5) 15
x5
x
e
x
31lim =





+
∞→
 
 
5) aln
u
1alim
u
0u
=
−
=
→
 
* Substituir: 1yay1a uu +=∴=− 
( )1ylogu0y0u a +=→⇒→ 
[ ]
aln
alog
alog
1
1
alog
elog
1
elog
1
elog)y1(limlog)y1(loglim
)y1(log
y
1lim
y
)y1(log
lim)y1(log
ylim*
e
ee
ea
1
a
1
e
y
1
0ya
1
y
1
a0y
a0y
1
a
0y
a
0y
=
=
===
=










+=








+=






+⋅=




 +
=
+
−
−
=
→
−
→
→
−
→→
43421
 
 
6) 1
u
1elim
u
0u
=
−
→
 
 
7) ( ) elog
u
u1loglim a0u
=
+
→
 
( ) ( ) elog
u
1
u1limlogu1loglim* a0uau
1
a0u
=+=+
→→
 
 
8) ( ) 1
u
u1lnlim
0u
=
+
→
 
 
 
 
 
 
 
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Limites Notáveis 
1) 1
u
usenlim
0u
=
→
 
2) e)u1(lim u1
0u
=+
→
 
3) 1
u
utanlim
0u
=
→
 
4) e
u
11lim
u
u
=





+
∞→
 
5) aln
u
1alim
u
0u
=
−
=
→
 
6) 1
u
1elim
u
0u
=
−
→
 
7) ( ) elog
u
u1loglim a0u
=
+
→
 
8) ( ) 1
u
u1lnlim
0u
=
+
→
 
 
 
4.15) Assíntotas Horizontais e Verticais 
Assíntota Vertical 
 Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se for verificada uma das 
seguintes condições: 
1) +∞=
+→
)x(flim
ax
 
2) −∞=
+→
)x(flim
ax
 
3) +∞=
−→
)x(flim
ax
 
4) −∞=
−→
)x(flim
ax
 
 
 
 
 
 
 
Assíntota 
Vertical 
x 
y 
a 
y = f (x) 
x = a (A.V.) 
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47
 
Assíntota Horizontal 
 Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f se uma das condições 
abaixo for verificada: 
1) b)x(flim
x
=
∞→
 
2) b)x(flim
x
=
−∞→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
1) Determinar as assíntotas e fazer um gráfico de 
2x
1)x(f
−
= . 
{ }2x/RxDf ≠∈= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = f (x) 
−∞=
+∞=
≠∈=
−
+
→
→
)x(flim
)x(flim
}0x/R{xDf
ax
ax
 
 
x = a (A.V.) 
b)x(flim
x
=
−∞→
 
y = b (A.H.) 
b)x(flim
x
=
+∞→
 
y = c (A.H.) 
Assíntota 
Horizontal 
x 
y 
 
-∞ 
-1/2 
Assíntota 
Vertical 
x 
y 
2 
Assíntota 
Horizontal 
.H.A0y
0
2x
1lim
0
2x
1lim
.V.A2x
0
1
2x
1lim
0
1
2x
1lim
x
x
2x
2x
→=
=
−
=
−
→=
+∞==
−
−∞==
−
−∞→
+∞→
+→
−→
+
−
 
Para x=0 → y = -1/2 
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2) 
2x
x4)x(f
−
= 
2xou0x/Rx{Df
0
2x
x4/Rx{Df
>≤∈=
≥
−
∈=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Derivada das Funções 
 
5.1) Incrementos e Razão Incremental 
 Seja y = f (x) uma função real de variável real, contínua em um dado intervalo do qual fazem parte os 
números reais x1 e x2 e esses números são muito próximos entre si, isto é, |x2 – x1| < δ ou x2 – x1 tende a 
zero. 
 Nestas condições são aceitas as seguintes definições: 
1) Incremento da variável independente x: 
A variável independente x pode variar, aumentar ou diminuir de x1 até x2, variação esta, 
denominada incremento ou acréscimo da variável x, indicada por: ∆x = x2 – x1. 
 
2) Incremento da função y = f (x) 
A função ou variável dependente y pode variar de f (x1) até f (x2), variação esta denominada 
aumento ou acréscimo da função y = f (x), o qual é indicado por: ∆y = f (x2) – f (x1). 
 
 
 
2 
x 
y 
2 
2
2x
x4lim
.H.A2y
24
2x
x4lim
2x
x4lim
0
8
2x
x4lim
2x
x4lim
2x
x4y
0y 0 xPara
x
xx
2x2x
=
−
→=
==
−
=
−
+∞==
−
=
−
−
=
=→=
+∞→
−∞→−∞→
+→→ ++
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3) Razão Incremental da y = f (x) 
Denomina-se razão incremental da função y = f (x) a razão entre os incrementos 
∆y e ∆x → 





∆
∆
x
y
. 
 
( ) ( )
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
xxx
x
xfxf
x
y
11
12
12
∆
−∆+
=
∆
∆
∆+=
∆
−
=
∆
∆
 
 
4) Derivada de uma Função y = f (x) 
Seja y = f (x) definida e contínua em um dado intervalo real, denomina-se função derivada 
ou derivada de y = f (x) a função que se obtém através do limite da razão incremental de y = f 
(x) quando o incremento da variável independente x tende a zero. Tal função é indicada por: y’; 
f ’ (x); 
dx
dy
; 
dx
df
; 
( )
dx
)x(fd
. 
( )
x
)x(fxxflim
x
ylim)x('f
0x0x ∆
−∆−
⇒
∆
∆
=
→∆→∆
 
Se este limite existir e for finito. 
 
 Exemplos: 
1) Seja f (x) = x2 determine f ’(x). 
( )
0
0
x
)x(fxxflim)x('f
0x
=
∆
−∆+
=
→∆
 indeterminação 
( ) ( )( )
( )
x2
0x2
xx2lim
x
xx2.xlim
x
xxxx2xlim
x
xxxlim)x('f
xxxxf
x)x(f
0x
0x
222
0x
22
0x
2
2
=
+=
∆+=
∆
∆+∆
=
∆
−∆+∆+
=
∆
−∆+
=
∆+=∆+
=
→∆
→∆
→∆
→∆
 
( ) ( ) x2x'fxxf 2 =→=
 
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2) ( ) xaxf = 
( ) ( ) ( )
( )
aln.a
aln
u
1alim:Lembrar
x
1alim.a
x
aa.alim)x('f
a.aa)xx(f
a)x(f
x
xfxxflimx'f
x
u
0u
x
0x
x
xxx
0x
xxxx
x
0x
=
=
−
∆
−
=
∆
−
=
==∆+
=
∆
−∆+
=
→
∆
→∆
∆
→∆
∆∆+
→∆
 
aln.a)x('f x=
 
 
3) xlog)x(f a= 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
elog
x
1
elog
eu1lim:Lembrar
1
x
x1limlog
x
x1loglim
x
xxlog
x
1lim
x
xlogxxlog
lim)x('f
xxlogxxf
xlog)x(f
x
)x(fxxflim)x('f
a
x
1
a
u
1
0u
x
1
0xa
x
1
a0x
a0x
aa
0x
a
a
0x
=
=+
→=















 ∆
+=















 ∆
+=





 ∆+
∆
=
∆
−∆+
=
∆+=∆+
=
∆
−∆+
=
→
∞
∆
→∆
∆
→∆
→∆
→∆
→∆
 
 
 
 
Indeterminação 
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51
 
 
Derivada de uma função y = f (x) em um ponto x = x0 
Seja y = f (x) contínua em um domínio D e x0 um ponto de acumulação de D. Denomina-se derivada 
de f (x) no ponto x0 ao limite: 
0
0
xx xx
)x(f)x(f
lim
0 −
−
→
. 
 Notação: 
 ( )
0xx
0 dx
dy
x'f
=
= 
 
 Exemplos: 
1) Seja f(x) = x3, determinar a derivada de f no ponto que x0 =1. 
 
( )
31xxlim
1x
1xlim1'f
2
1x
3
1x
=++=
−
−
=
→
→
 
 
( ) 31'f =
 
 
 
 
2) Seja f (x) = sen x, determinar a derivada de f no ponto que x0 = 0. 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
x
xsenlim
0x
0xsenlim0'f
00sen0f
xx
xfxf
limx'f
0x
0x
0
0
0x0
==
−
−
=
==
−
−
=
→
→
→
 
 
( ) 10'f =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
3
 - 1 x-1 
-x
3
 + x2 x2 +x +1 
x
2
 - 1 
-x
2
 + x 
x - 1 
-x + 1 
0 
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3) ( ) 3 xxf = para x0 = 0. 
 
( )
+∞==
=
=
=
=
=
−
−
=
+
→
−
→
−
→
→
→
→
0
1
x
1lim
xlim
x.xlim
x
xlim
x
xlim
0x
0xlim0'f
3 20x
3
2
0x
13
1
0x
3
1
0x
3
0x
3
0x
 
 
( ) ∃=0'f
 
 
 
Teorema da Existência da Derivada em um Ponto 
Existirá a derivada de uma função y = f (x) definida e contínua em um ponto x0 se e somente se as 
derivadas laterais no ponto de abcissa x0 forem iguais, isto é: 
 
Derivadas Laterais 
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
0
xx0
0
xx0
0
xx
000
0
0
xx
0
0
0
xx
0
xx
)x(f)x(f
lim
xx
)x(f)x(f
lim
xx
)x(f)x(f
lim
.x'fx'fsesomenteeseexistiráx'f
xx
)x(f)x(f
limx'f
xx
)x(f)x(f
limx'f
000
0
0
−
−
=
−
−∃⇔
−
−∃
=
−
−
=∗
−
−
=∗
−+
+
−
→→→
+−
→
+
→
−
. 
 
 
 
 
 
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53
 
 
 Exemplo: 
 1) Verificar se existe a derivada de f (x) = |x| em x0 = 0. 
 
( )
( )
∃==
−
−
=
−
−
=



<−
≥
=∗
→
→
→
x
x
lim
0x
0x
lim
0x
)x(f)x(f
lim0'f
0xsex
0xsex
xf
0x
0x
0
0x
 
 diferentessão
11lim
x
xlim
x
x
lim
11lim
x
xlim
x
x
lim
0x0x0x
0x0x0x
−=−=
−
=∗
===∗
−−−
+++
→→→
→→→
 
 
( ) ∃=0'f
 
 
Interpretação Geométrica da Derivada 
 
Seja y = f (x) uma função contínua e derivável em um domínio D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
α=
∆
−∆+
•
β=
∆
−∆+
•
∆
−∆+
=
→∆
→∆
tan
x
xfxxf
lim
tan
x
xfxxf
x
xfxxf
limx'f
00
0x
00
00
0x0
 
tangente 
α 
x 
y 
∆x 
x0+∆x x0 
f (x0) 
f (x0+∆x) 
β 
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Equação da Reta Tangente à curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0) 
 
 
( )
( )0
000
x'fm
y,xP
=
 
 
( )00 xx.myy −=− 
 
 Exemplo: 
1) Determinar a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto onde x0 = 2. 
 ( )4,2P
)y,x(P
0
000
 
( )
( )
( )
4m
42.22'f
x2x'f
2'fm
=
==
=
=
 
 
 
Observação: 
 A derivada de uma função y = f (x) em um ponto é um número que corresponde ao coeficiente 
angular da reta tangente à curva y = f (x) no ponto x = x0. 
 
 
Equação da Reta Normal a uma curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0) 
 
 
( )00 xx.
m
1yy −−=−
 onde, m = f ’(x0) 
 
 Exemplo: 
1) Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida pela equação y = x3 onde 
x0 = 1. 
 
( )
3m
3
1x
1xlim
dx
dy
m
1,1P
1y1x
3
1x1x
0
00
0
=∴
=
−
−
⇒=
∴
=→=
→
=
 
 
 
 
Equação da reta normal 
( )
1x3y3
3
1
x
3
11y
xx
m
1yy 00
+−=−
+−=−
−−=−
 
04xy3 =−+
 
Equação da reta tangente 
( )
( )
3x31y
1x31y
xxmyy 00
−=−
−=−
−=−
 
02x3y =+−
 
( )
( )
8x44y
2x44y
xxmyy 00
−=−
−=−
−=−
 
04x4y =+−
 → Equação da reta tangente 
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55
 
 
Álgebra das Derivadas 
 
Suponha que u = h (x) , y = f (x) e z = g (x) em que: 
 
 
{ { {
zyu
(x) g (x) f (x)h += (Derivada da Soma) 
 
( )
( )
( )



∆+=∆+
∆+=∆+
∆+=∆+
xxgzz
xxfyy
xxhuu
 
 
Demonstração: 
 
zyu +=
 
 ( )
zyuse
dx
dz
dx
dy
dx
du
x
zlim
x
ylim
x
ulim
x
z
x
y
x
u
xzyu
zyzzyyu
zyu:doSubstituin
uzzyyu
zzyyuu
0x0x0x
+=∗
+=
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
∆÷∆+∆=∆
−−∆++∆+=∆
−−=−∗
−∆++∆+=∆
∆++∆+=∆+
→∆→∆→∆
 
'z'y'u +=
 
 
 
Exemplo: 
1) y = x2 + ax 
y’ = 2x + ax. ln a 
 
 
 
 
 
� A derivada da soma ou da diferença é 
a soma ou a diferença das derivadas. 
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Derivada do Produto 
 
 
( )
( )
zyuse
dx
dz0
dx
dy
z
dx
dzy
dx
du
0y0xquandoxxfyy
x
zlimy
x
ylimz
x
zlimy
x
ulim
x
zy
x
yz
x
zy
x
u
xzyyzzyu
yzzyyzzyyzu
yz)zz()yy(u
zyu:doSubstituin
u)zz()yy(u
)zz()yy(uu
zyu
0x0x0x0x
⋅=∗
++=
→∆→∆∆+=∆+∗
∆
∆∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
∆
∆∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
∆÷∆∆+∆+∆=∆
−∆∆+∆+∆+=∆
−∆+⋅∆+=∆
⋅−=−∗
−∆+⋅∆+=∆
∆+⋅∆+=∆+
⋅=
→∆→∆→∆→∆
 
'yz'zy'u ⋅+⋅=
 
 
 
Exemplo: 
1) y = x2 . ax 
y’ = x2.ax.lna + ax.2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Derivada do Quociente 
 
 
 
z
y
use
dx
dzy
dx
dy
z
z
1
dx
du
x
zlimy
x
ylimz
z
1
x
ulim
0z0xquando0zz
)zzz(x
zyyz
x
u
)x()zz(z
zyyz
u
)zz(z
zyyzyzzy
u
)zz(z
)zz(y)yy(z
u
z
y
zz
yy
u
u
zz
yy
u
zz
yy
uu
z
y
u
2
0x0x20x
2
=∗






−=






∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆=∆∗
∆+∆
∆+∆
=
∆
∆
∆÷
∆+
∆+∆
=∆
∆+
∆+−∆+
=∆
∆+
∆+−∆+
=∆
−
∆+
∆+
=∆
−
∆+
∆+
=∆
∆+
∆+
=∆+
=
→∆→∆→∆
 
 2z
'zy'yz
'u
⋅−⋅
=
 
 
 
Exemplo: 
1) 
x
2
a
xy = 
( )2x
x2x
a
aln.a.xx2.a
'y −= 
 
 
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Derivada das Funções Elementares 
 
0
x
kk
x
)x(f)xx(flim)x('f
k)x(f
0x
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
=∗
→∆
 
 
0)x('f =
 
 
 
( ) ( )
( )
1
x
xxxlim)x('f
xxxxf
x)x(f
x
xfxxflim)x('f
0)x(f
0x
0x
=
∆
−∆+
=
∆+=∆+•
=•
∆
−∆+
=
=∗
→∆
→∆
 
 
( ) 1x'f =
 
 
 
( )
( )
( )
1n
n
n
n
0x
n
n
0x
n
n
n
n
0x
n
n
n
n
n
n
nn
0x
n
x.nn
x
x
n
x
1
x
x
x
1
1
x
x1
lim
x
1
x
x
1
x
xx
limx
x
x
x
xx
x
limx'f
x
xx
x
x
xxx)xx(
)xx()xx(f
x)x(f
x
xxxlim)x('f
x)x(f
−
→∆
→∆
→∆
→∆
===
∆
−




 ∆
+
=
∆
−




 ∆+
=
∆
−




 ∆+
=





 ∆+
=




 ∆+
=∆+
∆+=∆+•
=•
∆
−∆+
=
=∗
 
 
( ) 1nx.nx'f −=
 
 
( )
( )
a.k
u
1u.k1lim
a
u
1u1lim
Lembrar
a
0u
a
0u
=
−+
•
=
−+
•
→
→
 
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Exemplos: 
1) f (x) = x5 
f ’(x)= 5 . x4 
 
2) f (x) = x –3 
f ’(x)= -3 . x -4 
 
3) 55 xx
1)x(f −== 
f ’(x) = -5 . x –6 
 
 
Formulário de Derivadas 
 
1) y = k → y’ = 0 
2) y = x → y’ = 1 
3) y = xn → y’ = n.x n-1 
4) y = ax → y’ = ax.lna 
5) 
aln.x
1
'yalogy x =→= 
6) y = ln x → y’ = 
x
1
 
7) y = sen x → y’ = cos x 
8) y = cos x → y’ = - sen x 
9) y = tan x → y’ = sec2 x 
10) y = cot x → y’ = - cossec2 x 
11) y = sec x → y’ = sec x . tan x 
12) y = cossec x → y’ = - cossec x . cot x 
 
 
 
 
 
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Demonstrações 
 Fórmula 5: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
alog
1
x
1
x'f
elog
x
1
x'f
elogx'f
x
x1loglimx'f
x
xxlog
x
1limx'f
x
xlogxxlog
limx'f
xxlogxxf
xlogxf
e
a
x
1
a
e
x
1
a0x
a0x
aa
0x
a
a
x
1
=
=
=





 ∆
+=





 ∆+
∆
=
∆
−∆+
=
∆+=∆+
=
∆
→∆
→∆
→∆
44 344 21
 
 
( )
aln.x
1
x'f =
 
 
 Fórmula 7: 
 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) xcos0xsenx'f
xcos
x
1xcoslimxsenx'f
x
xcos.xsen
x
1xcosxsenlimx'f
x
xsenxcos.xsenxcos.xsenlimx'f
xxsenxxf
xsenxf
0x
xcos
0x
0x
+⋅=
+
∆
−∆
⋅=










∆
∆
+
∆
−∆
=
∆
−∆+∆
=
∆+=∆+
=
→∆
=
→∆
→∆
4434421
 
 
( ) xcosx'f =
 
 
 
 
 
 
( ) ku1
0u
eku1lim
Lembrar
=+
→
 
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 Fórmula 9: 
 
( )
( ) ( )
( )
( )
xcos
1
x'f
xcos
xsenxcos
x'f
xcos
xsen.xsenxcos.xcos
x'f
v
'uv'vu
'y
v
uySe
xcos
xsen
xtanxf
2
2
1
22
2
2
=
+
=
−−
=
−
=→=∗
==
= 44 844 76
 
 
( ) xsecx'f 2=
 
 
 Fórmula 11: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
xcos.xcos
xsen
x'f
xcos
xsen
x'f
xcos
xsen0
x'f
xcos
xsen10.xcos
x'f
xcos
1
xf
xsecxf
2
2
2
=
=
+
=
−−
=
=
=
 
 
( ) xsec.xtanx'f =
 
 
 
Propriedades 
1) y = k . v → y’ = k . v’ 
2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’ 
3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’ 
4) y = 2v
'vu'uv
'y
v
u ⋅−⋅
=→ 
 
 
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��
 
Derivada das Funções Compostas 
 Seja a função composta y = h (x) = fog = f (g(x)) sendo g derivável em relação a x e f derivável em 
relação a g (x). Nessas condições demostra-se que a derivada dessa função ( ) ( ) )x('g)x(g'fx'h = . 
 Sendo u = g (x) e y = f (u), 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=
 → Regra da Cadeia 
 
Generalização da Regra da Cadeia para Derivada das Funções Compostas 
 ( )
( )
( )
( )
( )




=
=
=
=
=
xfv
vfw
wfu
ufy
xfy
4
3
2
1
 
 
dx
dv
dv
dw
dw
du
du
dy
dx
dy
⋅⋅⋅=
 → Regra da Cadeia 
 
Exemplos: 
1) 1x2ey += 
 
x2e
dx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
x2
dx
du1xu
e
du
dy
ey
1x
2
uu
2
⋅=
⋅=






=→+=
=→=
+
 
 
2) ( )x5xseny 3 += 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
5x3
dx
du
x5xu
ucos
du
dy
useny
3
⋅=






+=→+=
=→=
 
 ( ) ( )5x3x5xcos
dx
dy 3 +⋅+= 
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3) x3seny = 
 
( ) 3x3cos
dx
dy
3.ucos
dx
dy
3
dx
du
x3u
ucos
du
dy
useny
⋅=
=






=→=
=→=
 
 
4) ( )7x10xseny 2 −+= 
)10x2).(7x10xcos('y 2 +−+= 
 
5) ( )4x5x 23ey ++= 
( ) ( )x10x3.e'y 24x5x 23 += ++ 
 
Regras da Derivada das Funções Compostas 
 Sejam u e v funções em x, e k, a e n constantes. 
1) y = k → y’ = 0 
2) y = x → y’ = 1 
3) y = un → y’ = n.u n-1.u’ 
4) y = au → y’ = au.lna.u’ 
5) y = eu → y’ = eu . u’ 
6) 'u
bln.u
1
'yulogy b ⋅=→= 
7) y = ln u → y’ = 
u
'u
 
8) y = sen u → y’ = cos u . u’ 
9) y = cos u → y’ = - sen u . u’ 
10) y = tan u → y’ = sec2 u . u’ 
11) y = cot u → y’ = - cossec2 u . u’ 
12) y = sec u → y’ = sec u . tan u . u’ 
13) y = cossec u → y’ = - cossec u . cot u . u’ 
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Propriedades 
1) y = k . v → y’ = k . v’ 
2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’ 
3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’ 
4) y = 2v
'vu'uv
'y
v
u ⋅−⋅
=→ 
 
 
Derivada das Funções Implícitas 
 F (x, y) = 0 mas y = f (x) 
 
Exemplos: 
Determinar y’ = 
dx
dy
: 
1) 04y2x5yx 32 =−+−+ 
 ( )
2y3
5x2
'y
5x22y3'y
0'y25'y.y3x2
2
2
2
+
+−
=
+−=+
=+−+
 
 
2) 0u5vsenvu 332 =+++ 
 
( )
vcosv3
u2u15
'v
u2u15vcosv3'v
0u15'v.vcos'vv3u2
2
2
22
22
+
−−
=
−−=+
=+++
 
 
3) 05yyx 323 =+− 
 ( )
( )23
22
2223
2223
y3yx2
yx3
'y
yx3y3yx2'y
0'y.y3x3.y'y.y2.x
−
−
=
−=−
=−+
 
 
 
 
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4) 0y2xyxxy 2222 =−+− 
 
( )
( )
y4xxy2
yx2xy2
'y
yx2xy2y4xxy2'y
0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x
0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x
2
2
22
22
22
−−
−−
=
−−=−−
=−+−−+
=−++−+
 
 
Derivada das Funções Inversas Trigonométricas 
 y = arcsen x → x = sen y 
 Determinar y’: 
 x = sen y sen2 y + cos2 y = 1 
 1 = cos y . y’ cos y = ysen1 2− 
2x1
1
'y
−
= 
 y’ = 
ycos
1
 * sen2 y = x2 
 cos y = 2x1− 
 
 14) 
 
 
 y = arccos x 
 x = cos y 
 Derivando implicitamente: 
 1 = - sen y . y’ → y’ = 
ysen
1
− 
 sen2 y = 1 – cos2 y 
 sen y = ycos1 2− * x = cos y 
 sen y = 2x1− x2 = cos2 y 
 y’ = 
2
x1
1
−
− 
 
 15) 
 
y = arcsen u →→→→ y’ = 
2u1
u'
−
 
y = arccos u →→→→ y’ = 
2u1
u'
−
− 
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66
 
 y = arctan x 
 x = tan y 
 Derivando implicitamente: 
 1 = sec2 y . y’ → y’ = 
ysec
1
2
 
 1 + tan2 y = sec2 y 
 
ytan1
1
'y 2+
= * x = tan y 
 
2x1
1
'y
+
= x
2
 = tan2 y 
 
 
 16) 
 
 
 
 17) 
 
 
 
 18) 
 
 
 
 19) 
 
 
 Exemplos: 
1) y = arcsen ( 3x-5 ) 
 
( )25x31
3
'y
−−
= 
 
 
 
 
y = arctan u →→→→ y’ = 
2u1
u'
+
 
y = arccot u →→→→ y’ = 2u1
u'
+
− 
y = arcsec u →→→→ y’ = 
1uu
u'
2
−
 
y = arccosec u →→→→ y’ = 
1uu
u'
2
−
− 
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2) y = arctan (x2 – 5) 
 y ’ = ( )22 5x1
x2
−+
 
 
3) xarcseny = 
 
1xx2
1
'y
1x.x
x
2
1
'y
2
1
2
1
−
=
−
⋅
=
−
 
 
4) arcsen (cos x) 
 1
xcos1
xsen
'y
2
=
−
−
= 
 
5) y = arccos (ln x) 
 
xln1
x
1
'y
2
−
−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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68
 
 
Derivada da Função Inversa 
 Seja y = f (x) derivável e inversível em um dado intervalo real. Se y = f (x) admite sua 
inversa que indicamos por (y) f x -1= , então para determinar a derivada 
dy
dx
 toma-se simplesmente a 
expressão :
dx
dy
1
dy
dx
=
 
 
 Exemplos: 
1) Se y = 2x + 1, determinar
dy
dx
: 
 
2
1
dy
dx
dx
dy
1
dy
dx
2
dx
dy
=
=
=∗
 
 
2) Se x2 – y2 = 4xy, determinar
dy
dx
 ou x’: 
 x
2
 – y2 - 4xy = 0 
 Determinar y’: 
 2x – 2yy’ – 4(xy’ + y) = 0 
 2x – 2yy’ – 4xy’ – 4y = 0 
 y’ (-2y – 4x) = 4y – 2x 
 y’ = 
x4y2
x2y4
−−
−
 → x’ = 
x2y4
x4y2
−
−−
 
 ou 
 Determinar x’: 
 2xx’-2y-4(x+yx’)=0 
 2xx’-2y-4x-4yx’=0 
 x’ (2x – 4y) = 2y + 4x 
 x’ = 
y4x2
y2x4
−
+
 
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Derivada da Função na Forma Paramétrica 
 
( )
( )

=
=
tfy
tfx
2
1
 
 
Exemplos: 
1) 




−=
−=
t4ty
1t2x
2 
 
( )
( )
2
4t2
dx
dy
dt
dx
dt
dy
dx
dy
dt
dx
1
dt
dy
dx
dy
então,
dt
dx
1
dx
dt
mas,
dx
dt
dt
dy
dx
dy
xft
tfy
2
1x
t
−
=
=∴⋅=
=⋅=
=
=+
=
 
 
2) 




−=
−=
t3ty
1ex
2
t2
 , determinar 
dx
dy
: 
2.e
3t2
dx
dy
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t2
−
=
=
 
 
3) 




−=
+−=
t5ty
4t2tx
2
3
 
 
2t3
5t2
dx
dy
2
−
−
= 
 
 
 
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Derivadas Sucessivas ou Derivadas de Ordem Superior (ordem n ou enésimas). 
 Seja y = f (x) definida contínua e derivável em um intervalo real. Nessas condições a derivada de y = 
f (x), indicada por y’; 
dx
dy
; f ’(x) é definida por ( ) ( )
x
xfxxflim)x('f
0x ∆
−∆+
=
→∆
. 
 Se este limite existir e for finito teremos então a f ’(x), se esta função f ’(x) for derivável a sua 
derivada de acordo com a definição poderá ser calculada por ( ) ( )
x
x'fxx'flim
0x ∆
−∆+
→∆
, se este limite 
existir e for finito teremos uma função indicada por f ’’(x) ou y’’ ou 2
2
dx
yd
;sucessivamente teríamos 
y’’’ ou f ’’’(x) ou 3
3
dx
yd
; e y iv ou f iv (x) ou 
4
4
dx
yd
; e y v ou f v (x) ou 5
5
dx
yd
. 
→ y n ou f n (x) ou 
n
n
dx
yd
. 
 
 Exemplos: 
1) Determine a derivada de 5a ordem de f (x) = 5.x5 – 3.x3. 
 f ’(x) = 25x4 – 9x2 
 f ’’(x) = 100x3 – 18x 
 f ’’’(x) = 300x2 - 18 
 f iv (x) = 600x 
 f v (x) = 600 
 
2) Dada f (x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, calcular f ’’(-1) e f vi(15): 
 f ’(x) = 4x3 – 6x2 + 8x 
 f ’’(x) = 12x2 – 12x + 8 
 f ’’(-1) = 12(-1)2 – 12(-1) + 8 = 32 → f ’’(-1) = 32 
 f ’’’(x) = 24x - 12 
 f iv (x) = 24 
 f v (x) = 0 
 f vi (x) =0 → f vi (15) = 0 
 
 
 
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Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial 
 Os teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy e a regra de L’Hospital são os quatro teoremas 
fundamentais do cálculo diferencial e são úteis no estudo das funções reais de variável real. 
 
 Definições: 
1) Seja y = f (x) definida em um intervalo I, então: 
i) f é crescente em I se f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2 
 
 
 
 
 
 
 
ii) f é decrescente em I se f (x1) ≥ f (x2) sempre que x1 < x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo I e seja c ∈ I, então: 
i) f (c) é Máximo de f se f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ I 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
y 
f (x2) 
 
f (x1) 
x1 x2 x 
y 
f (x1) 
 
f (x2) 
x1 x2 x 
 c
 
 
 
x 
y 
f (c) 
 
 
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72
 
 
 
ii) f (c) é Mínimo de f se f (c) ≤ f (x) ∀ x ∈ I 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 Teoremas: 
1) Seja y = f (x) uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume o seu máximo 
e o seu mínimo ao menos uma vez em [a, b]. 
 
2) Seja y = f (x) uma função que tem um extremo (máximo ou mínimo) para um valor c, então 
f ’(c) = 0 ou f ’(c) = ∃. 
 Hipótese: c é abcissa de máximo (mínimo) Tese: f ’(c) = 0 
 ∃ f ’(c) 
 
 Demonstração: 
 Se c é máximo → f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ I 
 ∃ f ’(c) = ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )






−+∃
−+∃
⇒
−+
−→
+→
→
h
cfhcflim
h
cfhcflim
h
cfhcflim
0h
0h
0h
 
 
( ) ( )
( ) ( ) 0
h
cfhcflim
0
h
cfhcflim
0h
0h
≥
−+
∗
≤
−+
∗
−→
+→
 f ’(c) = 0 
 
 
 
 
 
 c
 
 
 
x 
y 
f (c) 
 
 
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