1a_Lista_Exercicios_Calculo_2_Turma_07-16_2012-2

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Universidade Federal do Amazonas - UFAM
Instituto de Cieˆncias Exatas - ICE
Departamento de Matema´tica
1a Lista de Exerc´ıcios - Ca´lculo II - Turmas 07 e 16
Questa˜o 1. Determine o domı´nio das func¸o˜es vetoriais:
(a) −→u (t) = (t2,√t− 1,√5− t)
(b) −→v (t) =
(
t− 2
t+ 2
, sen t, ln (9− t2)
)
(c) −→w (t) = t
t3 + t2 + t− 3
−→
i +
√
t2 − 1
t2 + 1
−→
j + e
1
t
−→
k .
Questa˜o 2. Calcule, caso exista, os limites dados:
(a) lim
t→0
(cos t, sen t, t tan t)
(b) lim
t→0
(
et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
1 + t
)
(c) lim
t→1
(√
t+ 3
−→
i +
t− 1
t2 − 1
−→
j +
tan (t− 1)
t− 1
−→
k
)
.
Questa˜o 3. Esboce o gra´fico da curva determinada pela func¸a˜o vetorial dada. Determinar o
vetor posic¸a˜o −→r (0) em cada caso e representa´-lo.
(a) −→r (t) = (t2 + 1, t)
(b) −→r (t) = (t3, t2)
(c) −→r (t) = (t, tan t).
Questa˜o 4. Mostre que a curva com equac¸o˜es parame´tricas x = t cos t, y = t sen t e z = t
esta´ contida no cone de duas folhas z2 = x2 + y2. Use este fato para esboc¸ar a curva.
Questa˜o 5. Determine a func¸a˜o vetorial −→s associada a curva obtida pela intersecc¸a˜o do
parabolo´ide z = 4x2 + y2 e o cilindro parabo´lico y = x2. Esboc¸ar a curva e representar o vetor
posic¸a˜o −→s (0).
Questa˜o 6. Fac¸a o que se pede:
(i) Esboce o gra´fico da curva plana associada a func¸a˜o vetorial dada.
(ii) Determine
d−→r
dt
(t).
(iii) Desenhe o vetor posic¸a˜o −→r (t) e o vetor tangente d
−→r
dt
(t) para o valor dado de t.
(a) −→r (t) = (cos t, sen t), t = pi
4
;
(b) −→r (t) = (1 + t,√t), t = 1;
(c) −→r (t) = et−→i + e−t−→j , t = 0;
(d) −→r (t) = (2 sen t, 3 cos t), t = pi
3
.
Questa˜o 7. Determine os vetores posic¸a˜o −→r (t), velocidade d
−→r
dt
(t) e acelerac¸a˜o
d2−→r
dt2
(t), em
cada caso, para o valor de t dado.
(a) −→r (t) = (t2, 1− t,√t), t = 1;
(b) −→r (t) = (cos 3t, sen 3t, t), t = 0;
(c) −→r (t) = (at, arctan bt, cosh ct), t = 2
Questa˜o 8. Se −→r (t) = (t, t2, t3), encontre o versor tangente −→T (1) e o vetor d
−→r
dt
(1)× d
2−→r
dt2
(1).
Questa˜o 9. Se −→r (t) = (e2t, e−2t, te2t), determine −→T (0)× d
2−→r
dt2
(0) e
〈
d−→r
dt
(0),
d2−→r
dt2
(0)
〉
.
Questa˜o 10. Determine as equac¸o˜es parame´tricas para a reta tangente a` curva dada pelas
equac¸o˜es parame´tricas x = e−t cos t, y = e−t sen t e z = e−t, no ponto (0, 2, 1).
Questa˜o 11. Calcule as integrais dadas.
(a)
∫ 1
0
(16t3
−→
i − 9e3t−→j + cos t−→k )dt;
(b)
∫ 1
0
(
4
1 + t2
−→
j +
2t
1 + t2
−→
k )dt;
(c)
∫
(et sen t
−→
i )dt;
Questa˜o 12. Mostre que se −→r e´ uma func¸a˜o vetorial duas vezes diferencia´vel, enta˜o
d
dt
[−→r (t)× d
−→r
dt
] = −→r (t)× d
2−→r
dt2
.
Questa˜o 13. Determine o comprimento de arco da curva associada a func¸a˜o vetorial dada.
(a) −→r (t) = (2 sen t, 5t, 2cost), −10 ≤ t ≤ 10;
(b) −→r (t) = (t2, sen t− t cos t, cost+ t sen t), 0 ≤ t ≤ pi;
(c) −→r (t) = √2t−→i + et−→j + e−t−→k , 0 ≤ t ≤ 1.
Questa˜o 14. Fac¸a o que se pede:
(i) Determine o versor tangente
−→
T (t) e o vetor normal
−→
N (t).
(ii) Calcular a curvatura no ponto t indicado.
(a) −→r (t) = (2 sen t, 5t, 2cost) no ponto t = 0;
(b) −→r (t) = (√2t, et, e−t) no ponto t = 0.
2
Questa˜o 15. A curvatura de uma curva que representa o gra´fico de uma func¸a˜o f : A ⊂ R→
R duas vezes diferencia´vel e´ dada por
k(x) =
|f ′′(x)|
[1 + (f ′(x))2]
3
2
.
Utilize esta relac¸a˜o para determinar a equac¸a˜o de uma para´bola que tenha curvatura 4 na
origem.
Questa˜o 16. Determine a velocidade −→v , a acelerac¸a˜o −→a e a rapidez (comprimento do vetor
velocidade) da part´ıcula cuja func¸a˜o posic¸a˜o −→r e´ dada. Esquematize o caminho da part´ıcula
e desenhe os vetores velocidade e acelerac¸a˜o para os valores de t especificados.
(a) −→r (t) = (t2 − 1, t), t = 1;
(b) −→r (t) = (2− t, 4√t), t = 1;
(c) −→r (t) = et−→i + e−t−→j , t = 0;
(d) −→r (t) = sen t−→i + 2 cos t−→j , t = pi
6
.
Questa˜o 17. Determine os vetores velocidade e acelerac¸a˜o e a rapidez de uma part´ıcula cuja
func¸a˜o posic¸a˜o e´ dada.
(a) −→r (t) = (t2 + 1, t3, t2 − 1);
(b) −→r (t) = (t sen t, t cos t, t2).
Questa˜o 18. Determine os vetores velocidade e posic¸a˜o de uma part´ıcula, conhecendo a sua
acelerac¸a˜o, velocidade inicial e posic¸a˜o inicial.
(a) −→a (t) = −→i + 2−→j + 2t−→k , −→v (0) = 0 e −→r (0) = −→i +−→k ;
(b) −→a (t) = t−→i + t2−→j + cos 2t−→k , −→v (0) = −→i +−→k e −→r (0) = −→j .
3