Resolucao da Lista - VA Discreta

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Modelos Probabilísticos Aplicados à Engenharia de Produção (UFSCar) 
Resolução dos Exercícios – Variáveis Aleatórias Discretas 
Prof. Filipe Santos Fernandes 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
MODELOS PROBABILÍSTICOS APLICADOS A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Prof. Filipe Santos Fernandes 
 
Resolução da Lista de Exercícios – Variáveis Aleatórias Discretas 
 
 
Questão 01. 
 
a) Seja o número de peças defeituosas. Queremos calcular a probabilidade de uma amostra de 20 
peças conter exatamente 5 defeituosas. Note que segue distribuição binomial, com e 
 . 
 
 
 
 
 
b) Queremos calcular a probabilidade da 10ª peça ser a primeira defeituosa. Note que estamos 
trabalhando com uma variável aleatória , que segue distribuição geométrica com e 
 . 
 
 
Questão 02. 
 
a) Note que queremos que 6 alvos sejam atingidos, sendo esse objetivo alcançado na 10ª tentativa. 
Sendo assim, estamos trabalhando com uma variável que segue distribuição binomial negativa, 
com e e . 
 
 
 
 
 
b) Neste caso, o objetivo – acertar 6 alvos – não precisa ser atingido na 10ª tentativa. Assim, em 10 
tentativas, basta que acerte 6, em qualquer ordem. Temos, pois, uma variável de distribuição 
binomial, com e . 
 
 
 
 
 
Questão 03. 
 
Inicialmente, note que a probabilidade de um peixe ser especial, dado o total de peixes do lago, é igual a 
 
 
 
 . Serão pescados 60 peixes e queremos que 5 deles sejam especiais. 
 
a) Se os peixes são colocados novamente no lado, há reposição e, portanto, estamos trabalhando 
com uma variável aleatória que segue distribuição binomial, com parâmetros e 
 . 
 
 
 
 
 
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b) Se os peixes não são colocados novamente no lado, não há reposição e, portanto, estamos 
trabalhando com uma variável aleatória que segue distribuição hipergeométrica, com 
parâmetros , e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04. 
 
a) A função distribuição de probabilidade será dada pela tabela: 
 5% 10% 20% 30% 
 1/2 1/6 1/6 1/6 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Queremos calcular a probabilidade de, num grupo de 5 clientes, pelo menos um conseguir 
desconto maior que 10%. Assim, temos uma variável aleatória , com distribuição binomial, com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Queremos a probabilidade de o quarto cliente ser o primeiro a conseguir 30% de desconto. 
Assim, temos uma distribuição geométrica, com e 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 05. 
 
Note, inicialmente, que o problema trata de uma distribuição de Poisson, de parâmetro 
acidentes/100 km. 
 
a) Queremos calcular a probabilidade de , isto é, de acontecerem pelo menos 3 acidentes em 250 
km. Como há modificação na quilometragem inicial, devemos recalcular o . 
 acidentes/250 km 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Queremos calcular a probabilidade de , isto é, de acontecerem exatamente 5 acidentes em 300 
km. Recalculando : 
 acidentes/300 km 
Assim, temos: 
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Questão 06. 
 
Se 1 a cada 10 artigos é defeituoso, sabemos que (defeituoso) . Como a amostra de quatro artigos é 
retida com reposição, temos uma distribuição binomial, com e . 
 
a) Queremos que nenhum item seja defeituoso. Assim: 
 
 
 
 
 
b) Queremos que na amostra de quatro peças pelo menos duas sejam defeituosas. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Queremos que na amostra de quatro peças exatamente uma seja defeituosa. Assim: 
 
 
 
 
 
 
Questão 07. 
 
Note que podemos pensar a amostra de 18 peças que entram em uma caixa como uma amostra de uma 
população suficientemente grande, de tal modo que os sorteios das peças que entram numa caixa podem 
ser considerados experimentos independentes de Bernoulli. Assim, se = número de peças defeituosas 
em uma caixa, resulta que pode ser trabalhada como uma distribuição binomial. 
 
Para que a caixa satisfaça a garantia, o número de peças defeituosas deve ser menor ou igual a dois. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 08. 
 
Note que, como não sabemos o número de funcionários, podemos supor que 10 funcionários é um 
número pequeno em relação a um total suficientemente grande. Sendo assim, definimos uma variável 
aleatória número de funcionários que aumentam a produtividade segue distribuição binomial, com 
 e . 
 
 
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a) Queremos a probabilidade de exatamente 7 funcionários aumentarem a produtividade. Temos: 
 
 
 
 
 
b) Queremos a probabilidade de pelo menos 3 funcionários não aumentarem a produtividade. Note 
que isso é o mesmo que dizer que não mais que 7 funcionários (ou, no máximo 7 funcionários) 
aumentaram a produtividade. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Queremos a probabilidade de não mais que 8 funcionários aumentarem a produtividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 09. 
 
Queremos calcular a probabilidade de, em um dia, enviar petroleiros para outro porto. Sabemos que nossa 
variável número de petroleiros diários segue distribuição de Poisson, com . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10. 
 
Note que, para ganhar uma série de 8 partidas, ele terá que vencer pelo menos 5 delas. Temos, assim, 
uma variável que representa o número de vitórias de e que segue uma distribuição binomial, com 
 e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 11. 
 
Note que a ocorrência de 5 sucessos antes de 3 fracassos só é possível se nas 7 primeiras repetições 
tivermos pelo menos 5 sucessos. Assim, definimos uma variável que representa o número de sucessos e 
que segue uma distribuição binomial, com e (é lançada uma moeda!). 
 
 
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Questão 12. 
 
Note que, para que o caçador seja multado, pelo menos uma das aves raras deve ser selecionada pelos 
fiscais. Manoel retira três espécimes da bolsa, sendo a probabilidade calculada segundo uma distribuição 
hipergeométrica (pois não acontece reposição). No caso de Pedro, a probabilidade segue uma distribuição 
binomial (pois há reposição). 
 
Seja a variável o número de animais raros selecionados para Manoel. Temos , e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a variável o número de animais raros selecionados para Manoel. Temos , 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando os resultados, percebemos que a probabilidade do fiscal Pedro selecionar uma ave rara é 
menor que a probabilidade de Manoel selecionar uma ave desse tipo, já que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Portanto, o 
fiscal Pedro é mais favorável ao caçador. 
 
 
Questão 13. 
 
Estamos trabalhando com uma variável que segue distribuição de Poisson, com 
chamadas/minuto. A probabilidade de não receber nenhuma chamada em um minuto é dada por: 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de receber no máximo duas chamadas em dois minutos requer que alteremos o . Assim: 
 chamadas/2 minutos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 14. 
 
Sabemos que a probabilidade com que sua chamada para uma linha de serviço seja respondida em menos 
de 30 segundos é de 0,75. 
 
a) Neste item estamos trabalhando com uma distribuição binomial, com e . 
 
 
 
 
 
 
b) Agora, e . 
 
 
 
 
c) chamadas. 
 
d) Queremos a probabilidade de você ter de chamar quatro vezes para obter a primeira resposta em 
menos de 30 segundos. Note que, agora, temos uma variável com distribuição geométrica. 
 
 
 
e) chamadas. 
 
d) Queremos a probabilidade de você ter de chamar seis vezes de modo que duas de suas chamadas 
sejam respondidas em menos de 30 segundos. Note que estamos com uma variável com 
distribuição binomial negativa, com e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) chamadas. 
 
 
Questão 15. 
 
a) Para um equipamento produzido, a distribuição será: 
 
Nível I – Lucro de R$ 10,00 (as duas peças devem ser de qualidade inferior): 
 
 
 
 
 
 
Nível II – Lucro de R$ 20,00 (apenas uma com qualidade inferior): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nível III – Lucro de R$ 30,00 (as duas peças com qualidade): 
 
 
 
 
 
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Assim, a tabela será: 
 10 20 30 
 0,015 0,22 0,765 
 
b) Para dois equipamentos produzidos, podemos ter uma combinação dos níveis, ou seja: 
 
Combinação Lucro Probabilidade 
I e I 
I e II 
I e III 
II e I 
II e II 
II e III 
III e I 
III e II 
III e III 
 
Como a variável em estudo é o lucro, organizando os valores encontramos a seguinte tabela de 
distribuição: 
 
 20 30 40 50 60 
 0,000225 0,0066 0,02295 0,3366 0,585225 
 
c) Queremos a probabilidade de pelo menos R$ 30,00 de lucro para duas peças produzidas. 
Observando a tabela do item (b), temos: