Aula 3 2015

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Experiência 3 TT608 
 
O Matlab utiliza a Transformada Rápida de Fourier (FFT) para expressar a Transformada 
de Fourier. 
 
Com Fk sendo a Transformada Discreta de Fourier de fn, com índices n = 1, 2, 3, ..., N. A 
transformada inversa é dada por 
 
Como a FFT é um algoritmo para calcular a transformada discreta, esta transformada é 
definida no intervalo [0, 1) e seu resultado é automaticamente transformado em uma função 
periódica neste intervalo. A Transformada de Fourier pode ser calculada de acordo com o 
seguinte código: 
 
Fk = fft(fn)/N; % A FFT do sinal fn 
fn = ifft(Fk)*N; % A FFT Inversa 
ifft(fft(fn)); % result = fn de acordo com a precisão da máquina) 
 
Devemos dividir pelo número de pontos N se queremos utilizar os resultados da FFT, pois o 
Matlab introduz uma normalização apenas na transformada inversa. Como resultado, 
devemos depois multiplicar a IFFT por N para levar em conta a divisão por N feita pelo 
Matlab. 
Para a FFT, o Matlab retorna um vetor contendo os coeficientes da FFT. O resultado da 
FFT está no intervalo [-N/2, N/2]. Contudo, devemos estar atentos ao modo como o Matlab 
armazena os resultados da FFT. As frequências são armazenadas em um vetor como 
[0, 1, 2, ..., (N/2-1),-(N/2), -(N/2)+1, ..., -2, -1]. Assim a segunda metade do vetor contém os 
coeficientes das frequências negativas. As frequências da FFT computada são: 
 
% frequencias para plotar a Tranformada de Fourier (FFT) 
k = [1:N/2-1]; 
k = [0 k -N/2 -fliplr(k)]; 
delta = 1/N; % L/N, mas o comprimento do intervalo é L = 1 
fk = k/N/delta; % frequencias reais 
% note que o intervalo de tempo aqui é [0,1)! 
 
 
Por causa da FFT ser discreta, as frequências resultantes são também discretas. A 
amostragem do sinal no tempo terá o limite do intervalo dos coeficientes da FFT (máxima 
frequência). Se a amostragem do sinal for Δx, então a máxima frequência será 1/(2Δx). O 
fator 2 vem do critério de Nyquist e por isso os resultados estão no intervalo [-N/2, N/2]. 
Similarmente, o comprimento do intevalo do sinal no tempo determinará a resolução 
(intervalo de amostragem) da FFT. Se o vetor tiver máximo igual a L, então a resolução da 
Transformada de Fourier será Δk = 1/L. Assim a discretização do sinal e seu comprimento 
finito estão relacionados no tempo e na frequência. A diferença entre a tranformada discreta 
e a transformada contínua deve ser notada, pois a transformada discreta inerentemente 
mapeia o resultado dentro de um intervalo finito, baseado na resolução da amostragem. A 
transformada de um sinal num intervalo finito mapeia o resultado num intervalo discreto. 
 
Estudo das Propriedades da Transformada de Fourier 
 
Considere os sinais x1 = sin(2*pi*1500*t), x2 = cos(2*pi*4000*t), x3 = sawtooth(t,0.5), 
x4 = sinc(200*t). Adote um t variando de 0 a 0,1 s, com frequência de amostragem de 10 
kHz, como mostrado abaixo. 
 
fs = 10000; 
L = 0.1; 
t = 0:1/fs:L; 
x1 = sin(2*pi*1500*t); 
 
 
Para o sinal abaixo, veja como é o comportamento no tempo. Para que serve e como é 
usada a função zeros? Estude teoricamente qual deveria ser sua Transformada de 
Fourier (TF) e extraia-a com o auxílio do Matlab. Compare os resultados obtidos com o 
que deveria ser obtido teoricamente. 
 
x5 = zeros(1,length(t)); 
x5(1:10) = 20; 
 
 
Para esses sinais, extraia a TF com o auxílio do Matlab e faça uma análise dos resultados, 
com relação ao que deveria ser esperado. 
Teste a propriedade da Linearidade e da Simetria da TF com relação aos cinco sinais 
indicados. 
A partir das TFs desses cinco sinais, aplique a TF inversa com o auxílio da função ifft e 
veja quais os resultados. Compare com os sinais originais e discuta os resultados. 
 
Efeitos de Translações e Dilatações no Tempo e na Frequência 
 
Frequentemente mudaremos entre a análise de um sinal no tempo e na frequência. Assim, 
devemos ter em mente os efeitos das translações e dilatações de um sinal tanto no tempo 
como na frequência. As dilatações de um sinal produzem o seguinte efeito: 
 
 
Assim, as dilatações no tempo correspondem a contrações na frequência e vice-versa. 
Translações de um sinal no tempo produzem um deslocamento de fase em frequência. 
 
A partir dos resultados obtidos, faça testes com relação aos sinais originais, transladando-os 
e dilatando-os no tempo e observe quais os efeitos que se observam no domínio da 
frequência. Compare com os resultados teóricos que deveriam ser obtidos.