Aula 7 2015

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Aula 07 – Experimentos com Modulação em Frequência 
 
1. Conceitos Fundamentais de Modulação em Frequência 
 
O sinal modulado em frequência é uma função não-linear do sinal modulante em(t), o que 
torna a modulação em frequência um processo de modulação não-linear. Em consequência, 
diferentemente da modulação em amplitude, o espectro de um sinal FM não está 
relacionado de uma maneira simples com o do sinal modulante. 
 
em(t) = Em cos(ωm t) (1) 
 
Como na modulação em amplitude, utiliza-se uma frequência portadora para o transporte 
do sinal de informação. 
ep(t) = Ep cos(ωp t) (2) 
 
em que ωm = 2πfm e ωp = 2πfp e geralmente fp >> fm. Com isso, a frequência instantânea 
do sinal modulado pode ser dada por 
 
fi(t) = fp + k f Em cos(ωm t) (3) 
 
onde kf é a sensibilidade em frequência do modulador. A expressão k f Em pode ser 
representada por Δf, sendo chamada de desvio de frequência. Além disso, o índice de 
modulação β pode ser dado pela razão entre o desvio de frequência Δf e a frequência 
modulante fm. 
β = Δf / fm (4) 
 
Assim, o sinal modulado em frequência e(t) pode ser escrito como: 
 
e(t) = Ep cos[ωp t + β sen(ωm t)] (5) 
 
Dependendo do valor do índice de modulação β, podem-se distinguir dois casos de 
modulação em frequência: 
 
• FM de banda estreita: para o qual β é pequeno com relação a um radiano. 
• FM de banda larga: para o qual β é grande com relação a um radiano. 
 
Para o caso de banda estreita, podem-se fazer algumas aproximações e deduzir que 
 
e(t) = Ep cos(ωp t) – β Ep sen(ωp t) sen(ωm t) 
 
A partir dessa representação pode-se deduzir um modulador que implica na divisão da 
onda portadora em dois caminhos distintos. Um caminho é direto e o outro contém um 
desvio de fase de – 90º e um modulador multiplicador, cuja combinação gera um sinal 
modulado AM-DSB/SC. A diferença entre esses sinais produz um sinal FM de banda 
estreita, mas com algumas distorções. 
 
Para o sinal FM de banda larga, pode-se escrever a representação matemática do sinal e(t) 
em série de Fourier, como 
 
 (6) 
onde Jn(β) é a função de Bessel de primeira espécie e n-ésima ordem, definida como 
 
 
 
O espectro discreto de e(t) é obtido tomando-se a transformada de Fourier deste sinal, o 
que resulta em 
 
 (7) 
 
Nesse sinal pode-se perceber que há infinitas frequências laterais localizadas 
simetricamente em qualquer um dos lados da portadora com separação de frequência n fm. 
Para o caso especial de β pequeno em comparação com a unidade (banda estreita), somente 
os coeficientes de Bessel de ordem 0 e 1 têm valores significativos, de forma que o sinal 
FM é composto efetivamente de uma portadora e de um único par de frequências laterais. A 
amplitude da componente portadora varia com β de acordo com J0(β), ou seja, 
diferentemente de um sinal AM, a amplitude da componente portadora de um sinal FM 
depende do índice de modulação β. A explicação física para esta propriedade é que a 
envoltória de um sinal FM é constante e, de forma que a potência média desse sinal, 
desenvolvida através de um resistor de 1 Ω, também é constante e dada por 
 
 
 
Quando a portadora é modulada para gerar o sinal FM, a potência nas frequências laterais 
pode aparecer somente devido à potência que havia originalmente na portadora, tornando 
assim a amplitude da componente portadora dependente de β. Como caso geral, a potência 
média de um sinal FM é obtida por meio de: 
 
 
 
A largura de banda do sinal FM pode ser definida de várias formas. Uma delas é a 
conhecida como regra de Carson: 
 
B = 2(β + 1)fm (8) 
 
Uma outra define a largura de banda como o intervalo entre as duas raias espectrais para 
além das quais a amplitude das raias é sempre inferior a 1% da amplitude da portadora não 
modulada, isto é, as raias para as quais |Jn(β)| > 0,01. Essa regra é chamada de regra dos 
99% e a largura de banda vale, portanto, 
 
B = 2nmaxfm (9) 
 
 
 
 
 
2. Atividades Práticas 
 
Com o auxílio do Matlab, crie um sinal modulado em FM a partir de um sinal modulante 
com frequência de 5 kHz e uma portadora de 25 kHz, usando (5). Considere que a 
amplitude da onda portadora e do sinal modulante seja de 1 V e faça testes, com a variação 
do índice de modulação β, para sinais FM de faixa estreita e de faixa larga. Para os 
primeiros testes, use o código a seguir em um script chamado modfm.m. 
 
clear all; 
fm = 5e3; % frequência do sinal modulante 
fp = 25e3; % frequência da portadora 
beta = 1; % índice de modulação 
df = beta*fm; % desvio de frequência 
Em = 1; % Amplitude do sinal modulante 
Ep = 1; % Amplitude da portadora 
N = 100000; % Número de amostras 
Fs = 1e7; 
T = 1/Fs; 
t = (0:N-1)*T; 
em = Em*cos(2*pi*fm*t); % sinal modulante 
fi = fp + df*cos(2*pi*fm*t); % frequência instantânea 
e = Ep*cos(2*pi*fp*t + beta*sin(2*pi*fm*t)); % sinal modulado 
 
figure(1) 
plot(1e3*t,em,'b'); 
xlabel('Tempo (ms)'); ylabel('Amplitude (V)'); 
grid on; hold on; 
plot(1e3*t,e,'r'); 
legend('Sinal Modulante','Sinal Modulado'); 
axis([0 0.5 -3 3]); 
 
figure(2) 
plot(1e3*t,fi/1e3,'b'); 
xlabel('Tempo (ms)'); ylabel('Frequência (kHz)'); 
grid on; hold on; 
legend('Frequência Instantanea'); 
axis([0 1 (fp-2*df)/1e3 (fp+2*df)/1e3]); 
 
Comente os resultados obtidos para a forma de onda do sinal modulante e do sinal 
modulado em FM no tempo, bem como a variação da frequência instantânea do sinal FM, 
lembrando que esta deve variar entre fp + Δf e fp – Δf. Analise os valores de desvio de 
frequência e relacione-os com os resultados obtidos. Não se esqueça de fazer testes para o 
caso do sinal FM de faixa estreita e de faixa larga. 
Para a análise espectral, proceda com testes do sinal modulado em FM de faixa estreita e de 
faixa larga. Pode-se usar o trecho de código a seguir no mesmo script anterior. 
 
% Analise Espectral 
yem = fft(em,N)/N; 
ye = fft(e,N)/N; 
% frequência parametrizada 
f = ([-N/2:N/2-1]/N)*Fs/1e3; 
yem_mod = fftshift(abs(yem)); 
ye_mod = fftshift(abs(ye)); 
 
figure(3) 
plot(f,yem_mod,'r'); 
ylabel('Amplitude'), grid on; 
xlabel('Frequência [kHz]'); hold on; 
plot(f,ye_mod,'b'); 
legend('Sinal Modulante','Sinal Modulado'); 
axis([-3*fp/1e3 3*fp/1e3 0 0.8]); 
Faça comentários com relação aos resultados encontrados para o FM de faixa estreita e o de 
faixa larga, relacionando-os com os critérios de determinação de largura de banda. Use 
tabelas e gráficos para auxiliar a análise, além dos gráficos da função de Bessel que pode 
ser obtido por meio do trecho abaixo. 
 
figure(4) 
bet = 0:0.01:16; 
bj0=besselj(0, bet'); 
bj1=besselj(1, bet'); 
bj2=besselj(2, bet'); 
bj3=besselj(3, bet'); 
bj4=besselj(4, bet'); 
plot(bet,bj0,'b'); 
grid on; hold on; 
xlabel('Índice de modulação (\beta)'); 
ylabel('\itJ_{n}(\beta)'); 
plot(bet,bj1,'r'); 
plot(bet,bj2,'g'); 
plot(bet,bj3,'c'); 
plot(bet,bj4,'k'); 
legend('\itJ_{0}(\beta)','\itJ_{1}(\beta)','\itJ_{2}(\beta)',... 
'\itJ_{3}(\beta)','\itJ_{4}(\beta)'); 
 
Repare que para alguns valores de β nem sequer existem raias espectrais referentes à 
frequência portadora. Faça comentários, exemplificando com alguns valores de β para os 
quais isso ocorre. 
Finalmente, faça comparações para largura de banda do sinal FM de faixa estreita e de faixa 
larga para os dois critérios apresentados. Para tanto, use o trecho de código a seguir. 
 
% Largura de banda 
Bcarson = 2*(beta+1)*fm; 
B_99 = 2*sum(abs(besselj(1:99,beta')'>=0.01))*fm; 
 
Para β variando de 0,1 a 30, determine, com o auxílio de um gráfico, como se comportaa 
largura de banda medida por meio dos dois critérios e faça os comentários pertinentes.