Lista 1 Algebra Linear

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Curso: Engenharia
Disciplina: A´lgebra Linear
Semestre: 2011.1
Professor: Daniel Branda˜o
Aluno(a):
1a Lista de Exerc´ıcios (Sistemas Lineares e Matrizes)
1. Resolver os sistemas abaixo:
(a)
 x +y +z = 1x −y +2z = 2
x +6y +3z = 3
(b)
 x +y +z = 1x −y +z = −2
2y = −3
2. Determinar os valores de a e b que tornam o sistema:
3x −7y = a
x +y = b
5x +3y = 5a+ 2b
x +2y = a+ b− 1
compat´ıvel determinado. Em seguida resolver o sistema.
3. Discutir o seguinte sistema linear em func¸a˜o de a: x +y −az = 0ax +y −z = 2− a
x +ay −z = −a
4. Determinar o valor de m para os quais o sistema e´ determinado:
x +2y −2z −t = 1
2x −2y −2z −3t = −1
3x −2y −2z −5t = 3
x −y −z +mt = 5
5. Resolver os seguinte sistemas homogeˆneos abaixo:
a)
 3x −y +2z −t = 03x +y +3z +t = 0
x −y −z −5t = 3
b) a)
 3x +2y −12z = 0x −y +z = 0
2x −3y +5z = 0
6. Para cada nu´mero real α a matriz:
Tα =
(
cosα − sinα
sinα cosα
)
a) Mostrar que TαTβ = Tα+β ;
b) Calcular T−α.
7. Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz
A =
(
1 1
0 0
)
ou seja, todas as matrizes X de tipo 2X2 tais que AX = XA.
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8. Considere as seguintes matrizes de M3(R):
A =
 1 0 00 2 0
0 0 4
 e B =
 4 0 00 2 0
0 0 1

mostre que AB = BA. Pode-se concluir da´ı que e´ va´lida a propriedade comutativa da multiplicac¸a˜o em M3(R)?
9. Se A,B ∈Mn(R) e se AB = BA, prove que:
(a) (A−B)2 = A2 − 2AB +B2;
(b) (A−B)(A+B) = A2 −B2;
(c) (A−B)(A2 +AB +B2) = A3 −B3.
10. Seja A uma matriz quadrada invers´ıvel. Mostre que A−1 tambe´m e´ invers´ıvel e que (A−1)−1 = A.
11. Mostrar que a matriz real
A =
 1 0 0a 1 0
b c 1

e´ invers´ıvel ∀a, b, c ∈ R e que
A−1 =
 1 0 0−a 1 0
ac− b −c 1

12. Sejam A,B,C ∈ Mn(R) matrizes invers´ıveis. Se A e´ invers´ıvel, prove que AB = AC ⇒ B = C e que BA =
CA⇒ B = C.
13. Se A,B,C ∈Mn(R), determinar a matriz X de maneira que A(B−1X) = C−1A.
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