Bloco 8 - Análise Nodal de Redes RLC

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PSI3211- Prof a Denise Bloco 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
PSI3211 
Circuitos Elétricos I 
Bloco 8 
Análise Nodal de Redes RLC 
Prof a Denise Consonni 
 
 
 PSI3211- Prof a Denise Bloco 8 
 
 
ANÁLISE DE REDES 
 
 
 ANÁLISE NODAL  
1ª Lei de Kirchhoff em NÓS 
 
 ANÁLISE DE MALHAS  
2ª Lei de Kirchhoff MALHAS 
 
 ANÁLISE DE CORTES  
1ª Lei Kirchhoff CORTES 
FUNDAMENTAIS 
 
 ANÁLISE DE LAÇOS  
2ª Lei Kirchhoff LAÇOS 
FUNDAMENTAIS 
 
 
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Etapas da Análise Nodal 
 
1.Definir ramos e nós 
2.Escolher nó de referência (“terra”) 
3.Definir tensões nodais 
4.Aplicar a 1ª Lei de Kirchhoff a cada nó, 
exceto o de referência 
5.Exprimir as correntes de ramo em 
função das tensões nodais 
6.Ordenar as equações em relação às 
tensões nodais 
7.Compor a equação matricial 
relacionando tensões nodais e excitações 
 
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ANÁLISE NODAL 
 
Nó Genérico i: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Lei de Kirchhoff: 
 
– j1 + j2 + ··· – jk = is1 – is2 
 
Relações Constitutivas j / v (Lei de Ohm): 
 
– G1v1 + G2v2 + ··· – Gkvk = is1 – is2 
 
Relações tensões de ramo / tensões nodais: 
 
– G1(e1 – ei) + G2(ei – e2) + ··· – Gk(ek – ei) = is1 – is2 
 
Resultado: 
 
– G1e1 – G2e2 + (G1 + G2 + ··· + Gk)ei + ··· – Gkek = is1 – is2 
 
e1 
j2 
G2 v2 
j1 
G1 
v1 
GK 
vk 
jk 
is1 is2 
ei 
e2 
ek 
. . 
. 
 
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Sentidos de Referências (Flechas) 
de Correntes e Tensões nos Bipolos 
 
 
São regras para Ligar Amperímetros 
e Voltímetros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.Q.O. 
 
 
i 
v 
B 
A B 
V 
+ 
+ - 
- 
v 
i 
 
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Exemplo de Análise Nodal 
 
 
 
 
 
 
1ª Lei de Kirchhoff nos nós: 
Nó 1 : j1 + j2 – is1 = 0 
Nó 2: – j2 + j3 + is2 = 0 
Relações Constitutivas j / v e 
relações tensão de ramo / tensões nodais: 
 
j1 = G1v1 = G1e1 
j2 = G2v2 = G2 (e1 – e2) 
j3 = G3v3 = G3e2 
Resultado: 
 Nó 1 : G1e1 + G2e1 – G2e2 – is1 = 0 
 Nó 2 : – G2e1 + G2e2 + G3e2 + is2 = 0 
Matricialmente: 
 
( )
( )
G G G
G G G
e
e
i
i
s
s
1 2 2
2 2 3
1
2
1
2
 
 
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP 
L
NM
O
QP 
 
G e t in sn. ( )
~ ~

 
is1 
1 j2 
G2 j1 
G1 G3 is2 
j3 
2 
0 
v1 
v2 
v3 
 
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ANÁLISE NODAL DE REDES 
RESISTIVAS LINEARES 
 
 
Equação Geral 
 
 
 
 
 
 
 
 Gn - Matriz das condutâncias 
 nodais 
 
 - vetor das tensões nodais 
 
 
 - vetor das fontes de corrente 
 
 
 
Sistema Algébrico Linear 
G e t i tn sn. ( ) ( )
~ ~
 
e t
~
( ) 
i tsn
~
( ) 
 
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Exemplo de Análise Nodal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação matricial de análise nodal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
is1 is2 
is3 
G1 G2 G6 
G3 
G4 G5 e3 e1 e2 
( )
( )
( )
G G G G G
G G G G G
G G G G G
e
e
e
i i
i i
s s
s s
1 3 4 4 3
4 4 5 6 5
3 5 2 3 5
1
2
3
1 3
2 3
0
   
   
   
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP



L
N
MMM
O
Q
PPP
 
 
 
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ANÁLISE NODAL 
 
 r tensões e r correntes desconhecidas 
 
 
 Expressar r tensões de ramos em função das 
(n-1) tensões nodais  2
a
 Lei de Kirchhoff 
 
 (n-1) tensões e r correntes desconhecidas 
 Expressar r correntes de ramos em função das 
(n-1) tensões nodais  Lei de Ohm 
 
 (n-1) tensões desconhecidas 
 Escrever (n-1) equações independentes e 
resolver  1
a
 Lei de Kirchhoff 
 
Quando 1 ramo = fonte de corrente  
 
 r tensões e (r-1) correntes desconhecidas 
 
 
RESPOSTA 
 
 
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Análise Nodal em 
Redes Não Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diodos k=1,2 
1
a
 Lei de Kirchhoff nos três nós: 
 
iG 
G1 G2 
D1 D2 
e3 e2 
e1 
iD1 iD2 
v2 v1 
i I eDk sk
vk  (  1)
 
G e e G e e i
G e e I e
G e e I e
G
s
e
s
e
1 1 2 2 1 3
1 2 1 1
2 3 1 2
2
3
1 0
1 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
   
   
   
 
 
 

 
 
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GENERALIZAÇÃO DA ANÁLISE NODAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Lei de Kirchhoff : j1(t) – j2(t) + j3(t) = iS(t) 
 
 
Relações j/v e relações tensão de ramo/tensões nodais: 
 
 
 
 
L 
C 
is(t) 
e1 
e2 
e3 
ej 
v1 
v2 
v3 j3 
j2 
j1 
R=1/G 
j Gv G e e
j C
dv
dt
CD e e
j
L
v d j
L
D e e j
j
j
t
j
1 1 1
2
2
2
3 3 3
0
1
3 3
1
0
1
0
  
  
  
  
z

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
 
 
 
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GENERALIZAÇÃO DA ANÁLISE NODAL 
 
 
Operadores: 
 
 
Equação do nó j: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a todos os nós do circuito: 
 
 
 
 
 
 
Sistema de equações íntegro-diferenciais 
 
 
 
  
  
F
HG
I
KJ



G e CDe
L
D e
G CD
L
D e
i j
j
s
.
( )
1 2
1
3
1
3
1
1
0
 =
 
 
 
Y D e t i t jn sn( ) ( ) ( )
~ ~ ~
 .   0
 
D
d
dt
k
k
k


 D
t
  z1 0 
 
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Relações Constitutivas nas Redes R,L,C 
 
 
 
 
Nos resistores: 
 
 
Nos capacitores: 
 
 
 
Nos indutores: 
 
 
 
Gk, Ck D e (1/Lk)D
-1 são 
operadores de admitância 
L.Q.O
 Rk, Lk ou Ck 
ei ef 
jk 
j G e ek k i f  ( )
 
G Rk k1/
 
j C
d
dt
e e C D e ek k i f k i f    ( ) ( ) 
 
1
0 0
0
1 1
 ( ) ( ) 
t
k i f k i f k
k k
j e e dt j D e e j
L L
     
 
 
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ANÁLISE NODAL DE REDES R,L,C 
NO DOMÍNIO DO TEMPO 
 
 
Equação Geral 
 
 
 
 
 
 
 
 Yn(D) - Matriz de operadores de 
 admitâncias nodais 
 
 - vetor das tensões nodais 
 
 - vetor das fontes de corrente 
 nodais 
 
 - vetor das correntes iniciais 
 nos indutores 
 
Sistema de Equações 
 Íntegro-Diferenciais 
L.Q.O 
Y D e t i t jn sn( ). ( ) ( )
~ ~ ~
  0 
e t
~
( ) 
isn
~
 
j0
~
 
 
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Teorema da Derivada 
 
 
 
 
Com operador 
 
 
 
 
 
Teorema da Integral 
 
 
 
 
Com operador 
 ℒ [ f (t) ] = s. F(s) - f (0-) 
 
D
d
dt
k
k
k


 
 ℒ [ Df (t) ] = s. F(s) - f (0-) 
 
ℒ f d F s
s
t
( )
( )  
0
zLNM OQP  
D
t
  z1 0 
ℒ D f t F s
s
 1 ( )
( )
 
 
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Operadores de Admitância 
 
Condutância: 
 
 
Admitância Capacitiva: 
 
 
 
Admitância Indutiva: 
 
G Rk k1/
 
C Dk
 
1 1
L
D
k

 
 
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ANÁLISE NODAL DE REDES R,L,C 
NO DOMÍNIO DE LAPLACE 
 
 Condições Iniciais Nulas 
 
 
 
 Condições Iniciais Arbitrárias 
 
 
 
 
 
- vetor das correntes iniciais 
 nos indutores 
 
- vetor das cargas iniciais 
 nos capacitores 
 
Sistema de Equações 
 Algébricas em s 
 L.Q.O 
Y s E s I sn sn( ). ( ) ( )
~ ~
 
Y s E s I s
j
s
qn sn( ). ( ) ( )
~ ~
~
~
  
0
0 
j0
~
 
q0
~
 
 
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ELEMENTOS DA MATRIZ DE 
ADMITÂNCIAS NO DOMÍNIO DE 
LAPLACE 
 
 
Condutância: 
 
 
Admitância Capacitiva: 
 
 
 
Admitância Indutiva: 
G Rk k1/
 
s Ck 
1
s Lk 
 
C Dk 
1 1
L
D
k

 
 
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Condições Iniciais na Análise Nodal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j0.H(t) 
v L 
j 
jL 
V(s) 1/sL 
J(s) 
j0 /s 
JL(s) j0 
v L 
j 
ℒ ℒ-1 
j
L
v d j
t
 

z 1 0 0( ) 
 
jL 
J s
sL
V s
j
s
( ) ( ) 
1 0 
 JL(s) 
 
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Condições Iniciais na Análise Nodal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cv0(t) Cv0 V(s) 
sC 
J(s) 
JC(s) 
 
dv
j C
dt
 
J s sC V s Cv( ) ( )  0 
 JC (s) 
v0 v 
j 
C v C 
j 
jC 
Cv0 (t) 
ℒ ℒ-1 
 
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Exemplo de Análise Nodal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
is(t) = H(t) c.i.q. 
1 2F 
1F 
is(t) 2 
e1 e2 
e t e et t2
0 157 1 5930 3482( ) , ( ), ,   . H (t) 
 
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ANÁLISE NODAL EM REGIME 
PERMANENTE SENOIDAL 
 
Domínio do Tempo: 
 
 
 
Excitações: 
 
 
 
 
Soluções: 
 
 
Condições: 
 
 Circuito linear fixo 
 Fontes senoidais de mesma frequência 
(sincronizadas) 
 Transitórios decaem a zero (circuito 
assintoticamente estável) 
 Desprezar condições iniciais 
Y D e t i tn sn( ). ( ) ( )
~ ~
 
i t I esn sn
j t
~ ~
^
( ) Re .
L
NM
O
QP

 
Re .
~
^
E e j t
L
NM
O
QP
 
 
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ANÁLISE NODAL EM REGIME 
PERMANENTE SENOIDAL 
 
 
 
 
 
 
- Matriz de admitâncias nodais 
 
 
- vetor dos fasores das tensões 
 nodais 
 
 
- vetor dos fasores das fontes de 
 corrente nodais 
 
 
 
Sistema de Equações 
 Algébricas Complexas 
Y j E In sn( ).
 
~ ~
  

~
E
 

~
I sn 
( )
n
Y j 
 
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ANÁLISE NODAL EM REGIME 
PERMANENTE SENOIDAL 
 
 
A partir do domínio do tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de Laplace: 
 
 
 
 
 
 
 
CD j C
G G
L
D
j L
j
L
 
 
 
 


 


 
1 11
 
s C j C
G G
s L j L
j
L
 
 
 
 
 


 


 
1 1
 
 
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I = GV Resistor V = RI 
Capacitor I = jCV V = – j 
 1 
C 
I 
I = – j 
 1 
L 
V Indutor V = jLI 
Impedância: Z = V / I 
Admitância: Y = I / V 
Resistor Z = R Y = G 
Capacitor Z = 
 1 
jC 
Y = jC 
Indutor Y = 
 1 
jL 
V – I 
Z = jL 
 
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Exemplo de Análise Nodal em RPS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i t t
I
s
o
s
o
( ) cos ( )

 
 
10 2 45
10 45
 
 
1 2 2
2 0 5 2 0 25 0
1
2
 
  
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP
j j
j j j
E
E
Is
, ,



 
 ,
 ,
E
E
o
o
1
2
6 22 49
6 83 65
 
 
 
 
 
 
 
 
 
is(t) 
 
1 
1S 
 
2 
0,5S 
 
1F j2 
 
2H 
1/j4 
 
E1
^
 
E2
^ 
 
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Filtro T-Paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
com C = C1 = C2 = C3/2 
 R = R1 = R2 = 2R3 
2 2 2
2 2 2
1
( )
1 4 
C R
G j
C R j CR
  


 
 
 F r e q u ê n c i a a n g u l a r - 
1 0 0 m r d / s 3 0 0 m r d / s 1 . 0 r d / s 3 . 0 r d / s 1 0 r d / s 
1 V ( V s ) 2 V P ( V s ) 
0 
0 . 5 
1 . 0 
M 
ó 
d 
u 
l 
o 
- 5 0 
0 
5 0 
- 9 0 
9 0 
D 
e 
f 
a 
s 
a 
g 
e 
m 
( º ) 
 
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Filtro de Rejeição Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1 
( )
1 
L C
G j
L C j G L
  


 
 
 F r e q u ê n c ia a n g u la r - 
1 0 0 m r d / s 3 0 0 m r d / s 1 . 0 r d / s 3 . 0 r d / s 1 0 r d / s 
1 V ( V s ) 
/ V 1 ( V 1 ) 2 V P ( V s ) 
0 
0 . 5 
1 . 0 
M 
ó 
d 
u 
l 
o 
- 5 0 
0 
5 0 
- 9 0 
9 0 
D 
e 
f 
a 
s 
a 
g 
e 
m 
( º ) 
 
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Exemplo de Resposta de Circuito 
Instável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não existe o RPS ! 
 
V.H.N 
 Time 
0s 10s 20s 30s 40s 50s 60s 
1 V(e2) 2 V1(e1) 
-200V 
0V 
200V 
400V 
r 
e 
s 
p 
o 
s 
t 
a 
 >> 
-20V 
0V 
20V 
-30V 
30V 
e 
x 
c 
i 
t 
a 
ç 
ã 
o