Aula 3 - Controle e Automação I

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MODELAGEM MATEMÁTICA DE 
SISTEMA DINÂMICOS (PARTE I) 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
Prof: Almir Kimura Junior 
EST – Escola Superior de Tecnologia 
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
 
 
 
 
 
Manaus, Brasil 
 
 
MODELAGEM MATEMÁTICA (DEFINIÇÕES) 
 Modelos Matemáticos 
 Função de Transferência:Resposta Transitória ou em 
Frequência de um sistema linear, invariante no tempo, de 
entrada e saídas únicas. 
 Modelo de Estado: Modelos Ótimos 
 
 Sistemas Lineares 
 Dito Limiar se o princípio de superposição se aplicar sobre o 
sistema. 
 Se em um sistema dinâmico a causa e o efeito forem 
proporcionais o sistema e linear 
 
 
 
MODELAGEM MATEMÁTICA (DEFINIÇÕES) 
 Sistemas lineares invariante no tempo 
 Descritos por equações diferencias lineares invariantes no 
tempo (de coeficientes constantes). 
 Sistemas lineares variantes no tempo 
 Os coeficientes são em função de tempo 
 Ex: A massa de um veículo espacial muda devido ao consumo 
de combustível. 
 Simplicidade versus precisão 
 Atenção na frequência: 
 Exemplo Massa de uma Mola 
 Baixa Frequência (desprezível) 
 Alta Frequência (Necessário) 
 
 
 
 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 FT: Razão entre a transforma de Laplace da variável de 
saída (função resposta) pela a transforma de Laplace da 
variável de entrada (função excitação), considerando todas 
as condições iniciais nulas. 
 
 Seja o sistema linear invariante no tempo definido pela 
seguinte equação diferencial 
 
 
 Onde y é o sinal de saída e x é o sinal de entrada do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
mn x,bxb... xb xb y aya... ya ya m1-m
1-m
l
m
on1-n
1-n
l
n
o  
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 A função de transferência é obtida por: 
 
 
 
 Portanto 
 
 
 
 
 Define-se Equação Característica do sistema o G(s). 
 
 
 
 
 
 
nulas iniciais
Condições 
 L[entrada]
] L[saída
 G(s) 
 mn ,
asa... sa sa
bsb... sb sb
 
X(s)
Y(s)
G(s)
n1-n
1-n
l
n
o
m1-m
1-m
l
m
o 



FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 Comentários: 
 A função de transferência é um modelo matemático. 
 Independe do sinal de entrada e de saída. 
 Inclui unidades necessárias para relacionar entrada e 
saída. 
 Sistemas físicos diferentes podem ter a mesma função 
de transferência. 
 Se a função de transferência é conhecida, a saída pode 
ser analisada para várias formas de entradas. 
 Se a função de transferência é desconhecida, através da 
análise entrada e saída, ela pode ser obtida 
experimentalmente. 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO DE RESPOSTA IMPULSIVA 
 Para um sistema linear, invariante no tempo a função 
de transferência G(s) é: 
 
 
 Então 
 
 
 Sendo a transformada de Laplace da função impulso 
unitário é igual à unidade, a transformada da saída 
do sistema é: 
 
 
 
FUNÇÃO DE RESPOSTA IMPULSIVA 
 Resposta Impulsiva do sistema 
 
 
 Essa função g(t) é também chamada de função 
característica do sistema. 
 
 Importante: A função de transferência e a função de 
resposta impulsiva de um sistema linear invariante 
no tempo contêm as mesmas informações sobre a 
dinâmica do sistema. 
 (Na prática, um pulso de entrada de duração muito 
pequena, comparando com constante de tempo dominantes 
do sistema, pode ser considerado um impulso) 
 
 
SISTEMAS DE CONTROLE AUTOMÁTICO 
 Um sistema de controle, em geral, tem vários 
componentes: 
 Diagrama de blocos: Tem como função mostrar as funções que 
são executadas por cada um dos componentes do sistema. 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE CONTROLE AUTOMÁTICO 
 Diagrama de blocos: É uma representação gráfica das 
funções desempenhadas por cada componente e o fluxo de 
sinal entre eles. 
 Descrevem o inter-relacionamento que existe entre os 
vários componentes. 
 Representação mais realística o fluxo de sinais do 
sistema. 
 Possui propriedades unilaterais 
 As setas são designadas como sinais. 
 Dimensões do sinal de saída= sinal de entrada X 
dimensão da função de transferência do bloco 
 
 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
 Vantagens: 
 Fácil a construção de um diagrama de blocos para todo o 
sistema pela simples interligação dos blocos componentes, de 
acordo com o fluxo de sinais. 
 Possibilidade de avaliar a contribuição de cada componente 
para o desempenho global do sistema. 
 Contém informações relativas ao comportamento dinâmico 
 Desvantagens: 
 Não contém informações sobre a construção física do 
sistema. 
 A fonte de principal de energia não é mostrada 
explicitamente na utilização de diagramas de bloco 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
 Somador:Um círculo com uma cruz é o símbolo que indica 
a operação de soma. O sinal de mais ou menos na 
extremidade de cada seta indica se o sinal deve ser somado 
ou subtraído 
 IMPORTANTE: As quantidades a serem somadas ou 
subtraídas devem ter as mesmas dimensões e as mesmas 
unidades. 
 
 
 
 
 
 DIAGRAMA DE BLOCO 
 Ponto de ramificação: Um ponto de ramificação é um ponto 
em que vem de um bloco avanço simultaneamente em 
direção a outros blocos ou somadores. 
 
 
 
 
 
 A saída do bloco, C(s)=G(s) x E(s) 
 
 
 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
 Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada: 
 
 
 
 
 
 H(s) [ Função de Transferência ] : converter a 
forma do sinal de saída à sinal de entrada 
 Ex: Sistema de Controle de Temperatura. 
 Saída: Tem a dimensão de temperatura 
 Entrada: Força, Posição ou tensão 
 Sinal de Realimentação: 
 B(s)=H(s)C(s) 
 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
Função de transferência de malha aberta 
e função de transferência de malha direta: 
 
 
 
 
 
 
 
 IMPORTANTE: se a função de transferência de 
realimentação H(s) for unitária, então a FTMA e 
FTMD serão iguais 
 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
Função de transferência de malha 
fechada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DIAGRAMA DE BLOCO 
 Obtendo funções de transferência em cascata, em paralelo e 
com realimentação (de malha fechada) com o MATLAB. 
 
 
 [num,den]=series(num1,den1,num2,den2) 
 
 
 [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2) 
 
 
 
 
 
 
 DIAGRAMA DE BLOCO 
 
 [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2) 
 
 
 
 Como exemplo, temos: 
 
 
 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE 
BLOCOS 
 REGRA 1 – Eliminação de uma malha fechada com 
realimentação negativa 
 
 
 
 
 
 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE 
BLOCOS 
 REGRA 2 – Eliminação de uma malha fechada com 
realimentação positiva 
 
 
 
 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE 
BLOCOS 
 REGRA 3 – Passagem de um ponto de ramificação para 
trás de um bloco 
 
 
 
 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE 
BLOCOS 
 REGRA 4 – Passagem de um ponto de ramificação para 
frente de um bloco 
 
 
 
 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE 
BLOCOS 
 REGRA 5 – Inversão do sinal 
 
 
 
 
 
 REGRA 6 – Combinação de blocos em série ou em cascata 
 
 
 
 
 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE 
BLOCOS 
 REGRA 7 – Movimentação de um ponto de soma para 
frente de um bloco 
 
 
 
 
 
 REGRA 8 – Movimentação de um ponto de soma para trás 
de um bloco 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: 
EXEMPLO 3: FEEDFORWARD 
EXEMPLO 3: FEEDFORWARD 
SISTEMA DE MALHA FECHADA SUBMETIDA A UM 
DISTÚRBIO 
 
 Considerando somente o 
distúrbio. 
 
 
 
 O novo sinal de 
realimentação é: 
 
 
 
 Sendo a fórmula de 
realimentação 
positiva dada por: 
 
 
 
 Temos que: 
 
 
SISTEMA DE MALHA FECHADA SUBMETIDA A UM 
DISTÚRBIO 
 
 As entradas são tratadas independentemente. 
 
 
MUITO OBRIGADO