Aula10 - Controle e Automação I

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AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 
ANÁLISE DE ERRO EM REGIME 
ESTACIONÁRIO 
Prof. Almir Kimura Junior 
EST – Escola Superior de Tecnologia 
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
 
 
 
 
 
Manaus, Brasil 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS - 
INTRODUÇÃO 
 Um controlador automático compara o valor real do sinal 
de saída com o valor do sinal de entrada de referência 
(valor desejado), determinando o desvio (erro) e 
produzindo um sinal de controle que reduzirá o erro. 
 A forma pela qual o controlador automático produz o 
sinal de controle é chamada de ação de controle. 
 A classificação dos controladores clássicos é feita de 
acordo com a sua ação de controle. 
 Controlador proporcional (P). 
 Controlador integral (I). 
 Controlador proporcional-integral (PI). 
 Controlador proporcional-derivativo (PD). 
 Controlador proporcional-integral-derivativo (PID). 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS - 
COMENTÁRIOS 
 A escolha adequada do tipo de controlador a ser utilizado deve 
ser baseada no tipo de processo a controlar e nas condições de 
operação, incluindo condições como segurança, custo, 
disponibilidade, precisão, confiabilidade, peso e dimensão. 
 A figura abaixo mostra um diagrama de blocos de um sistema 
de controle industrial, que consiste de um controlador 
automático, um atuador, uma planta e um sensor, que é o 
elemento de realimentação responsável pela medição. 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE 
 É necessário um bom entendimento das características 
básicas das várias ações de controle para que se possa 
selecionar a mais conveniente, em sua particular 
aplicação. 
 A seguir são apresentadas as características e leis de 
controle dos controladores clássicos. 
 
 Controlador proporcional (P). 
 Controlador integral (I). 
 Controlador proporcional-integral (PI). 
 Controlador proporcional-derivativo (PD). 
 Controlador proporcional-integral-derivativo (PID). 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL 
 A relação entre a saída do controlador u(t) e o sinal de erro e(t) 
é dada pela seguinte equação: 
 
 
 Ou seja, 
 
 Onde Kp é chamado de sensibilidade ou ganho proporcional. 
 O controlador proporcional é, essencialmente, um amplificador 
com o ganho ajustável. A figura abaixo mostra o diagrama de 
blocos deste controlador. 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE INTEGRAL 
 Para o controlador integral, o valor da saída do controlador u(t) 
é variado em uma taxa proporcional ao sinal de erro e(t) então, 
 
 
 A função de transferência do controlador integral é: 
 
 
 
 Onde Ki é chamado de ganho integral. Deve-se observar que um 
erro nulo leva a um valor estacionário da saída do controlador. 
 A figura abaixo mostra o diagrama de blocos deste controlador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-
INTEGRAL 
 Esta ação é definida como sendo, 
 
 
 
 A função de transferência é 
 
 Onde Kp é o ganho proporcional e Ti é chamado de tempo 
integral. 
 A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um controlador 
proporcional-integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-
INTEGRAL (OBSERVAÇÃO) 
 O tempo integral ajusta a ação de controle integral, enquanto 
uma mudança no valor de Kp afeta tanto a parte proporcional 
como a parte integral da ação de controle. 
 Se o sinal de erro e(t) é uma função degrau unitário, como 
mostra a figura (a), então a saída do controlador u(t) é indicada 
na figura (b). 
 
 
 
 
 
 
 Figura (a) e (b) – Diagramas indicando a entrada e a saída do 
controlador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-
DERIVATIVO 
 Esta ação do controle proporcional-derivativo é definida como 
sendo: 
 
 
 A função de transferência é 
 
 Onde Kp é o ganho proporcional e Td é a constante de tempo 
derivativo. Tanto Kp como Td são ajustáveis. 
 A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um controlador 
proporcional-derivatico 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-
DERIVATIVO (OBSERVAÇÃO) 
 A ação de controle derivativa, algumas vezes denominada 
controle de taxa, é onde a magnitude da saída do controlador é 
proporcional à taxa de variação do erro atuante. 
 O tempo derivativo (Td) é o intervalo de tempo pelo qual a ação 
de taxa avança o efeito da ação de controle proporcional. 
 Se o sinal de erro e(t) é uma função rampa unitária, como 
mostra a figura (a), então a saída do controlador u(t) é indicada 
na figura (b). 
 
 
 
 
 
 
 Figura (a) e (b) – Diagramas indicando a entrada e a saída do 
controlador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-
DERIVATIVO (COMENTÁRIOS) 
 A ação de controle derivativa tem um caráter 
antecipatório. De fato, a ação de controle nunca pode 
antecipar uma ação que nunca ocorreu. 
 O controlador proporcional-derivativo tem a 
vantagem de ser antecipatório, mas, tem como 
desvantagem a ação de amplificar os sinais de ruído 
e de causar a saturação do atuador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-
INTEGRAL-DERIVATIVO 
 Esta ação do controle proporcional-integrativo-derivativo é 
definida como sendo: 
 
 
 Neste caso, a função de transferência é: 
 
 
 Onde Kp é o ganho proporcional, Ti é o tempo integral e Td é a 
constante de tempo derivativo. O diagrama de blocos para esse 
controlador é mostrado abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÇÕES DE CONTROLE PROPORCIONAL-
INTEGRAL-DERIVATIVO (OBSERVAÇÃO) 
 Se o sinal de erro e(t) é uma função rampa unitária, como 
mostra a figura (a), então a saída do controlador u(t) é 
como indicada na figura (b). 
 
 
 
 
 
 Figura (a) e (b) diagramas indicando a entrada e a saída do 
controlador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EFEITOS DAS AÇÕES INTEGRAL E 
DERIVATIVA 
 AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL 
 No controle proporcional de um processo cuja função 
de transferência não possui um integrador, há um 
erro em regime estacionário na resposta à entrada. 
 Esse erro pode ser eliminado se for incluída no 
controlador uma ação de controle integral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO 
 A figura abaixo mostra um sistema de nível de 
líquido. 
 
 
 
 
 Figura – Sistema de nível de líquido com ação de 
controle. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO 
 O diagrama de blocos mostra o sistema de controle 
utilizando-se um controlador proporcional. 
 
 
 
 Figura – Sistema de nível de líquido com controlador 
proporcional 
 E a função de transferência do sistema é, 
 
 
 
 A resposta ao degrau unitário é mostrada na figura a 
seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta ao Degrau unitário: controlador proporcional. 
EXEMPLO: SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO 
 O diagrama de blocos mostra o sistema de controle 
agora utilizando um controlador integral. 
 
 
 
 Figura – Sistema de nível de líquido com controlador integral 
 E a função de transferência do sistema é, 
 
 
 
 A resposta ao degrau unitário é mostrada na figura a 
seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta ao Degrau unitário: controlador integral 
EFEITOS DAS AÇÕES INTEGRAL E 
DERIVATIVA 
 AÇÃO DE CONTROLE DERIVATIVA 
 A ação de controle derivativa, quando adicionada a um 
controlador proporcional, possibilitaum meio de obter um 
controlador com alta sensibilidade. 
 O controle derivativo, portanto, antecipa o erro e inicia uma 
ação corretiva mais cedo, antes do valor de erro tornar-se 
demasiadamente grande, tendendo a aumentar a estabilidade 
do sistema. 
 Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro em 
regime estacionário, ele introduz um amortecimento no sistema 
e, portanto, permite o uso de um valor maior do ganho K, o que 
resulta na melhoria da precisão. 
 Devido ao fato do controle derivativo operar sobre a taxa de 
variação do erro e não sobre o próprio erro, este modo nunca é 
usado sozinho. É sempre utilizado em combinação com ação 
proporcional ou proporcional-integral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: SISTEMA MECÂNICO 
 Considere o sistema representado pelo seu diagrama 
de blocos com ação de controle proporcional, como 
mostra 
 
 
 
 A função de transferência deste sistema é, 
 
 A equação característica do sistema é então, 
 Nota-se que as raízes são imaginárias puras, fazendo 
com que a resposta do sistema seja oscilatória para 
todo t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO SISTEMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta ao Degrau unitário: ação proporcional 
EXEMPLO: SISTEMA MECÂNICO 
 Considere que o sistema tenha agora uma ação de 
controle proporcional-derivativa como mostrado: 
 
 
 A função de transferência deste sistema é, 
 
 
 
 Agora a equação característica possui duas raízes com 
parte real negativa para valores positivos de J, Kp e 
Kd. Portanto, o controle derivativo introduz um efeito 
de amortecimento no sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO SISTEMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta ao Degrau unitário: ação proporcional-derivativa 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 O problema mais importante em sistemas de 
controle é o da estabilidade. 
 A função de transferência de um sistema de controle 
é do tipo, 
 
 
 
 Onde os a’s e b’s são constantes e m  n. 
 
 
)s(A
)s(B
asasasa
bsbsbsb
 
)s(R
)s(C
n1n
1n
1
n
0
m1m
1m
1
m
0 









CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Para se obter os pólos desta equação pode-se fazer a 
fatoração da equação característica ou, então, pode-
se utilizar um procedimento simplificado que é o 
critério de estabilidade de Routh. 
 
 Através deste critério a informação sobre a 
estabilidade absoluta do sistema é obtida 
diretamente a partir dos coeficientes da equação 
característica, conforme o procedimento a seguir. 
 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Escrever a equação característica. 
 
 Onde os coeficientes são reais e an  0. 
 Se houver um coeficiente nulo ou negativo 
implica que podem existir raízes imaginárias ou 
raízes com partes reais positivas e, portanto, o 
sistema é instável. 
 A condição necessária para que o sistema seja 
estável é que todos os coeficientes existam e 
sejam positivos. 
 
 
0asasasa
n1n
1n
1
n
0


 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Se os coeficientes são positivos, então: 
 
 
 
1
0
1
1
21
2
321
2n
531
1n
420
n
e s
d s
c c s
 b b b s
 a a a s
 a a a s






CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Os coeficientes b1, b2, b3, etc. são calculados como 
segue, 
 
 
 O cálculo dos b’s continua até que os restantes 
dos coeficientes sejam todos nulos. Para os c’s, 
tem-se que, 
 
 
 Este processo continua até que a n-ésima linha 
tenha sido completada. 
 A tabela completa de coeficientes é triangular. 
 
 
 
1
3021
1
a
aaaa
 b


1
5041
2
a
aaaa
 b



1
7061
3
a
aaaa
 b


1
2131
1
b
baab
 c



1
3151
2
b
baab
 c


1
2121
1
c
cbbc
 d



1
3131
2
c
cbbc
 d


CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 COMENTÁRIOS 
 Deve-se observar que, uma linha inteira pode ser 
dividida ou multiplicada sem alterar a conclusão 
sobre a estabilidade do sistema. 
 O critério de estabilidade de Routh diz que o 
número de raízes da equação com partes reais 
positivas é igual ao número de mudanças de sinal 
dos coeficientes da primeira coluna da tabela. 
 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Deve-se notar que o valor exato dos termos da 
primeira coluna não é de importância; apenas os 
sinais são necessários. 
 O sistema é estável se todos os termos da 
primeira coluna são positivos. 
 A condição necessária para que todas as raízes da 
equação característica estejam no semiplano 
esquerdo, do plano complexo s, é que todos os 
coeficientes existam e sejam positivos. 
 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Exemplos 
 1- 
 2- 
 
0asasasa
32
2
1
3
0

05s4s3s2s 234 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 CASOS ESPECIAIS 
 Se um termo da primeira coluna é nulo, mas os 
termos restantes não são nulos ou não há termo 
restante, então o termo nulo é substituído por um 
número positivo muito pequeno () e o resto da 
tabela é calculado. Por exemplo, 
 
 
 
02ss2s 23 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Assim, a tabela pode ser calculada como, 
 
 
 
 
 
 
 Se o sinal de  é igual ao sinal do coeficiente de 
baixo, então há um parâmetro de raízes 
imaginárias (pólos) . 
 
 
 
2 s
 0 s
2 2 s
1 1 s
0
1
2
3

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Mas, se os sinais são diferentes, há uma mudança 
de sinal e, portanto, o sistema é instável. 
 Por exemplo, 
 
 E a tabela de coeficientes é, 
 
 
 
0)2s()1s(2s3s 23 
2 s
2
-3- s
2 0 s
3- 1 s
0
1
2
3


Há duas mudanças de sinal, isto 
implica que existem dois pólos 
localizados no semiplano direito, ou 
seja, dois pólos com partes reais 
positivas. 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Se todos os coeficientes de uma linha são nulos, 
significa que há raízes de igual módulo, mas 
radialmente opostas no plano complexo s, isto é, 
duas raízes com módulo igual, mas com sinal 
posto e/ou duas raízes puramente imaginárias. 
 Um outro caso especial é mostrado a seguir. Por 
exemplo, 
 
 050s25s48s24s2s
2345 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
ROUTH 
 Para esta equação a tabela de coeficientes é, 
 
 
 
 
 
 
 
 Polinômio Auxiliar: 
 
 
 
50- s
112,5 s
50- 24 s
 Aux.) (Polinômio 69 8 s
50- 84 2 s
25- 24 1 s
0
1
2
3
4
5
s96s8
ds
)s(dP
50s48s2)s(P
3
24


Coeficientes de 
ds
dP(s) : 8 e 96 
Há uma mudança de sinal, 
portanto, existe uma raiz com parte 
real positiva. 
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
PARA A ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMA DE 
CONTROLE 
 O critério de Routh é limitado na análise de 
sistemas de controle lineares, não sugerindo como 
melhorar a estabilidade relativa ou como 
estabilizar um sistema instável. 
 Contudo, é possível determinar a região de 
estabilidade para um valor de um parâmetro. 
 
 
 
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
PARA A ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMA DE 
CONTROLE (EXEMPLO 1) 
 Considere o sistema da figura abaixo, determinar 
para que valores de K para que o sistema 
permanece estável. 
 
 
 
 
 A função de transferência é: 
 
 
 A equação característica é: 
 
 
 
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
PARA A ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMA DE 
CONTROLE (EXEMPLO 1) 
 Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo 
 
 
 
 Esta é a faixa em que o valor do 
ganho K pode variar sem que o 
sistema perca a estabilidadee 
quando o sistema apresenta 
raízes imaginárias, fazendo com 
que a resposta temporal do 
sistema seja oscilatória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
PARA A ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMA DE 
CONTROLE (EXEMPLO 2) 
 Considere o sistema da figura abaixo, determinar 
para que valores de Kp e Ki de forma que o 
sistema permaneça estável. 
 
 
 
 A equação característica do sistema em malha 
fechada é, 
 
 Que pode ser escrita como : 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
PARA A ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMA DE 
CONTROLE (EXEMPLO 2) 
 Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então, a faixa de valores de 
ganho é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE ERRO EM REGIME 
ESTACIONÁRIO 
 Sistema físico  erro estacionário em resposta a certos 
tipos de entradas. Por exemplo: 
 Entrada em degrau unitário  erro nulo, mas entrada em 
rampa  erro não-nulo. 
 Erro estacionário: depende da função de transferência em 
malha aberta. 
 Os sistemas de controle são classificados de acordo com as 
suas habilidades de seguir entradas. 
 Valores dos erros estacionários: qualidade do sistema. 
 Classificação: número de integradores. 
 Aumentando-se o número de integradores, melhora-se a 
precisão, mas piora-se o problema da estabilidade. 
 
 
 
 
 
ERROS ESTACIONÁRIOS 
 Para o sistema de controle da figura abaixo, 
 
 
 
 
 A função de transferência deste sistema é dada por, 
 
 
 E a expressão para o erro é então 
 
 
 
 
 
ERROS ESTACIONÁRIOS 
 Assim, 
 
 
 Pelo teorema do valor final o erro estacionário pode 
ser obtido como segue, 
 
 
 
 O coeficiente de erro estático: qualidade do sistema. 
 Quanto maior o coeficiente, menor é o erro 
estacionário. 
 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE ERRO DE POSIÇÃO ESTÁTICO (KP) 
 O erro atuante estacionário do sistema para uma 
entrada de degrau unitário é, 
 
 
 
 Define-se Kp como coeficiente de erro de posição 
estático e é calculado como, 
 
 
 Assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE ERRO DE POSIÇÃO ESTÁTICO (KP) 
 Para um sistema do tipo 0, tem-se que, 
 
 
 Para um sistema do tipo 1 ou maior, tem-se que, 
 
 
 A resposta de um sistema de controle com 
realimentação unitária para uma entrada em degrau 
unitário, envolve em erro estacionário se não houver 
integração no ramo direto. 
 Erro pequeno é admissível  Ganho deve ser grande 
 problemas de estabilidade relativa. 
 Erro estacionário nulo para entrada em degrau 
unitário  sistema tipo 1 ou superior. 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE ERRO DE VELOCIDADE ESTÁTICO (KV) 
 O erro estacionário do sistema para uma entrada em 
rampa calculado pelo teorema do valor final é, 
 
 
 Define-se Kv como coeficiente de erro de velocidade 
estático e é calculado como, 
 
 Assim, 
 
 
 O termo "erro de velocidade" é usado para definir o 
erro a uma entrada em rampa. Isto é, o erro de 
velocidade não é um erro de velocidade, mas um erro 
na posição devido a uma entrada do tipo rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE ERRO DE VELOCIDADE ESTÁTICO (KV) 
 Para um sistema do tipo 0, tem-se que, 
 
 
 
 Para um sistema do tipo 1, tem-se que, 
 
 
 
 Para um sistema do tipo 2 ou maior, tem-se que, 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE ERRO DE ACELERAÇÃO ESTÁTICO (KA) 
 O erro atuante estacionário do sistema para uma 
entrada do tipo parábola (entrada de aceleração) é 
calculado como segue, 
 
 
 Define-se Ka como coeficiente de erro de aceleração 
estático e é calculado como, 
 
 Assim, 
 
 
 O termo “erro de aceleração" é usado para definir o 
erro estacionário de posição devido a uma entrada do 
tipo parábola. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE ERRO DE ACELERAÇÃO ESTÁTICO (KA) 
 Para um sistema do tipo 0, tem-se que, 
 
 
 Para um sistema do tipo 1, tem-se que, 
 
 
 Para um sistema do tipo 2, tem-se que, 
 
 
 Para um sistema do tipo 3 ou maior, tem-se que, 
 
 
 
 
 
 
 
ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO EM TERMOS DO 
GANHO K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO SOBRE ERROS ESTACIONÁRIOS 
 Os coeficientes de erro Kp, Kv e Ka descrevem a 
habilidade de um sistema de controle em reduzir ou 
eliminar erros estacionários. Portanto, eles são 
indicativos de desempenho em regime estacionário. 
 Em geral, é desejável aumentar os coeficientes de 
erro, enquanto se mantém a resposta transitória 
dentro de limites aceitáveis. 
 Nota-se que para melhorar o desempenho do sistema 
em regime estacionário, pode-se aumentar o tipo do 
sistema de controle, adicionando-se um integrador 
ou integradores no ramo direto.