Aula 13 - Controle e Automação I

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ANÁLISE DE RESPOSTA EM 
FREQUÊNCIA 
Prof: Almir Kimura Junior 
EST – Escola Superior de Tecnologia 
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
 
 
 
 
 
Manaus, Brasil 
 
INTRODUÇÃO 
 A resposta em frequência é a resposta em regime estacionário 
de um sistema de controle submetido a um sinal de entrada 
senoidal. 
 Os métodos de resposta em frequência estão entre as técnicas 
mais comuns disponíveis para o projeto e análise de sistemas 
de controle. As várias técnicas de análise e projeto se 
complementam. 
 Nos métodos de resposta em frequência, varia-se a freqüência 
do sinal de entrada e a resposta resultante é analisada. 
 A resposta em frequência apresenta uma imagem qualitativa 
da resposta transitória. 
 Os diagramas de Bode constituem uma das ferramentas 
gráficas mais potentes para analisar e projetar sistemas de 
controle. 
 
 
 
 
 
VANTAGENS DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
 Facilidade com que a resposta em frequência de um sistema 
pode ser obtida; 
 
 Possibilidade de determinar a função de transferência de 
determinados sistemas; 
 
 Possibilidade de analisar a estabilidade absoluta e relativa de 
um sistema, mesmo quando se desconhece a sua função de 
transferência em malha fechada; 
 
 Possibilidade de projetar um sistema de controle, ainda que se 
desconheça a função de transferência. 
 
 Podem-se projetar sistemas de modo que os sinais de ruídos e 
perturbações indesejáveis sejam desprezíveis. 
 
 
 
 
 
RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE 
 Considere o sistema linear invariante no tempo 
indicado pela figura abaixo. 
 
 
 
Sistema linear e invariante no tempo 
 Para este sistema tem-se que, 
 
 
 O sinal de entrada x(t) é senoidal e é dado por, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G(s) 
)sX(
Y(s)

t)( sen X x(t) 
VANTAGENS DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
 Portanto, o sinal de saída y(t), em regime 
estacionário, será dado por, 
 
 
 Onde, 
 
 
 E, 
 
 
 
 
 
)t( sen Y y(t) 
)(j G X Y 








 
)G(j de real parte
)G(j de imag parte
tan)G(j 1
COMENTÁRIOS 
 Um sistema linear e invariante no tempo, 
submetido a uma excitação senoidal, terá como 
resposta, em regime estacionário, um sinal também 
senoidal de mesma frequência do sinal de entrada. 
Mas, a amplitude e o ângulo de fase do sinal de 
saída serão, em geral, diferentes da amplitude e do 
ângulo de fase do sinal de entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMENTÁRIOS 
 Um exemplo de sinais senoidais de entrada e de saída é 
mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 Observe que, para sinais senoidais de entrada, 
 Que é a relação entre a amplitude do sinal de entrada e do 
sinal de saída. 
 
 Que é a defasagem do sinal em relação ao sinal de entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais senoidais de entrada e de saída. 
)X(j
)Y(j
 )(jG 



)X(j
)Y(j
 )(jG 



COMENTÁRIOS 
 
 Em consequência, a resposta em regime permanente de um 
sistema a uma entrada senoidal pode ser obtida diretamente a 
partir de: 
 
 
 A função é chamada função de transferência senoidal. 
É a relação entre e , trata-se de uma grandeza 
complexa e pode ser representada pelo módulo e pelo ângulo 
de fase, tendo a frequência como parâmetro. 
 A função de transferência senoidal de qualquer sistema linear 
é obtida pela substituição de s por jw na função de 
transferência do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Determinar a saída em regime permanente do sistema linear e 
invariante no tempo da figura abaixo quando é aplicada a 
entrada u(t)=2sen(3t). 
 
 
 
 Solução: O sinal de entrada u(t) é uma senoide com frequência 
w= 3 rad/s e amplitude A=2. Logo a saída em regime 
permanente também é uma senoide com a mesma frequência 
de entrada. Obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 Substituindo s por jw no sistema, obtém-se 
 
 
 Para 
 
 
 A fase de G(j3) vale 
 
 
 Portanto, a saída em regime permanente é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE BODE 
 Uma função de transferência senoidal pode ser 
representada por meio de dois gráficos separados, 
um representando o valor do módulo (magnitude) 
versus frequência; o outro, o valor do ângulo de fase 
(em graus) versus frequência. 
 
 O diagrama de Bode consiste em dois gráficos. Um é 
o gráfico logarítmico do módulo da função de 
transferência senoidal; o outro é um gráfico do 
ângulo de fase; ambos são construídos em função da 
frequência numa escala logarítmica. 
 
 
 
 
 
COMENTÁRIOS 
 Representação Padrão 
 Módulo logarítmico G(j) é 
 Unidade: decibel (dB) 
 Desenhado em papel semilog 
 
 A principal vantagem de se usar um gráfico 
logarítmico é que a multiplicação dos módulos é 
convertida em adição. 
 
 Método simples para esboçar uma curva 
aproximada do logarítmico do módulo (método das 
aproximações assintóticas). 
 
 
 
 
 
 
)G(j20log 
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Os fatores básicos que constituem uma função de 
transferência são 
1. Constantes K 
2. Fatores Integrativos e Derivativos 
3. Fatores de Primeira Ordem 
4. Fatores de Segunda Ordem 
 Uma vez conhecidos os diagramas de Bode de cada um destes 
fatores básicos, e tendo em conta que uma função de 
transferência resulta do seu produto, podemos construir o 
diagrama de Bode de qualquer função de transferência 
adicionando as curvas correspondentes aos vários fatores que 
a constituem. 
 Vamos agora obter o diagrama de Bode de cada um destes 
fatores básicos, o que irá permitir construir o diagrama de 
qualquer função de transferência. 
 
 
 
 
1)(j 
12
nn ))/j()/j(2(1

FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Ganho K 
 A curva do logarítmico do módulo para um ganho 
constante é uma reta horizontal de valor 20log(K) dB. O 
ângulo de fase do ganho K é nulo. 
 
 
 
 
 
FATORES INTEGRAL E DERIVATIVO 
 O módulo do logarítmico de em dB é: 
 
 
 
 
 E o ângulo de fase de é uma constante igual a -900 
 
 
 A curva de módulo em dB é uma reta com inclinação –
20 dB/década. 
 O módulo logarítmico de em dB é: 
 
 E o ângulo de fase de é constante e igual a +900. 
 
 
 
 
1)(j 
j
1
dB )log(20 
j
1
20log 

j
1
j dB )log(20 j20log 
j
1
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 As figuras (a) e (b) mostram as curvas da resposta 
da resposta em freqüência para e , 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
j
1 j
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Fatores de Primeira ordem 
 O módulo em dB dos fatores de primeira ordem é, 
 
 
 
 Para baixas freqüências, tais que , o módulo em dB 
pode ser aproximado por, 
 
 Portanto, a curva do módulo em dB nas baixas freqüências é a 
reta constante de 0 dB. 
 Para altas freqüências, tais que  >> 1/T, 
 
 
 
 
T
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Fatores de Primeira ordem 
 Para altas frequências, tais que  >> 1/T, 
 
 Esta é uma expressão aproximada para a faixa de altas 
frequências. 
 Em  = 1/T, o módulo em dB é igual a 0 dB; em =10/T, o módulo 
em dB é –20 dB. 
 
 A análise mostra que a representação logarítmica da curva de 
resposta em frequência pode ser aproximada por duas retas 
assintóticas: 
 Uma em 0 dB para a faixa de freqüências 1/T<<. 
 E uma outra com inclinação de –20 dB/dec para a faixa de 
frequência 1/T<<. 
 
 
 
 
1)j(1 
dB )Tlog(20 T120log - 22 
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Fatores de Primeira ordem 
 O ângulo de fase  exato do fator é: 
 
 
 Na freqüência zero, o ângulo de fase é 00. Na freqüência de 
corte, o ângulo de fase é, 
 
 
 No infinito, o ângulo de fase se torna igual a -900. O ângulo de 
faseé anti-simétrico em relação ao ponto de inflexão em  = -450. 
 O erro na curva de módulo cometido quando se usam as 
assíntotas pode ser calculada. 
 
 
 
1)j(1 






 Tj1
1
)T(tan 1  
01 45)
T
T
(tan  
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Fatores de Primeira ordem 
 A curva exata do módulo em dB, as assíntotas e a curva 
exata do ângulo de fase são mostradas na figura abaixo. 
 A frequência nas quais as duas assíntotas se 
interceptam é denominada frequência de corte ou 
frequência de mudança de inclinação. 
 
 
 
 
1)j(1 
Curva de módulo em db 
com as assíntotas e a 
curva de ângulo de fase 
1/(1+jωt) 
 
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Fatores de Primeira ordem 
 O erro máximo ocorre na freqüência de corte e é 
aproximadamente igual a –3 dB uma vez que, 
 
 
 O erro na freqüência uma oitava abaixo da freqüência 
de corte, ou seja, em  = 1/2T é, 
 
 
 
 O erro na freqüência uma oitava acima da freqüência de 
corte, ou seja, em  = 2/T é, 
 
 
 
 
 
1)j(1 
01,32log101log20 1120log- 
97,0
2
5
log201log20 1
4
1
20log- 






97,0
2
5
log202log20 )12(20log- 2 
FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J) 
 Fatores de Primeira ordem 
 Portanto, o erro no valor do módulo em dB, na 
frequência uma oitava abaixo ou uma oitava acima da 
frequência de corte é aproximadamente igual a –1 dB. 
 
 
 
 
1)j(1 
FATORES QUADRÁTICOS 
 Os sistemas de controle muitas vezes possuem fatores 
quadráticos da forma: 
 
 
 Se  >1, este fator quadrático pode ser expresso como o 
produto de dois fatores de primeira ordem com pólos reais. 
 Se 0 <  < 1, este fator quadrático é o produto de dois 
fatores complexos conjugados. 
 
 As aproximações assintóticas para as curvas de resposta 
em freqüência, não são precisas para um fator com 
baixos valores de , pois para o fator quadrático as 
curvas dependem da freqüência de corte e do coeficiente 
de amortecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

2
nn )/j()/j(21
1

FATORES QUADRÁTICOS 
 A curva de resposta em frequência assintótica pode 
ser obtida como se segue, uma vez que, 
 
 
 Nas baixas frequências tais que <<n, o módulo 
em dB resulta em, 
 
 A assíntota em baixas frequências é, portanto, uma 
reta horizontal em 0 dB. 
 Nas altas frequências tais que  >> n, módulo em 
dB se torna, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

2
n
2
2
n
22
nn )2()1(
1
log20
)/j()/j(21
1
log20








db01log20 
dB log40log20
n
2
n
2






FATORES QUADRÁTICOS 
 A equação para a assíntota nas altas frequências é 
uma reta que possui a inclinação –40dB/dec, uma 
vez que, 
 
 A assíntota de alta freqüência intercepta a de baixa 
freqüência em =n, pois nesta freqüência, 
 
 
 As assíntotas independem do coeficiente de 
amortecimento . Nas proximidades da freqüência =n 
ocorre um pico de ressonância. 
 O coeficiente amortecimento  determina a amplitude 
deste pico de ressonância. 
 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

dB log4040
10
log40
nn 





dB 01log40log40
n
n 



FATORES QUADRÁTICOS 
 Portanto, existem erros na 
aproximação pelas assíntotas. O 
valor do erro depende de do valor 
de . 
 
 No caso de se desejar corrigir as 
curvas assintóticas para certo 
número de valores de freqüência, 
tais correções podem ser obtidas 
da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

Curvas de módulo e ângulo 
FATORES QUADRÁTICOS 
 O ângulo de fase do fator quadrático é, 
 
 
 
 Nota-se que o ângulo de fase é uma função de  e de . 
Em  = 0, o ângulo de fase é igual a 00. 
 Na freqüência de corte =n, o ângulo de fase é –90
0 
independentemente do valor de , uma vez que, 
 
 
 Em = resulta o ângulo de fase é igual a -1800. A 
curva do ângulo de fase é anti-simétrica em relação ao 
ponto de inflexão, o ponto onde =–900. 
 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1


































 
2
n
n1
2
nn
1
2
tan
)/j()/j(21
1
011 90- tan 
0
2
tan 


 
 
FATORES QUADRÁTICOS 
Comentários 
 Para se obter as curvas de resposta em 
frequência de uma dada função de 
transferência quadrática deve-se 
determinar o valor da frequência de corte 
n e do coeficiente de amortecimento . 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

FATORES QUADRÁTICOS 
 Procedimento Geral para Construção dos 
Diagramas de Bode 
 Reescrever a função de transferência senoidal G(j)H(j) sob 
a forma de produto dos fatores básicos. 
 Identificar as frequências de corte associadas a estes fatores 
básicos. 
 Desenhar as curvas assintóticas do módulo em dB, com 
inclinações apropriadas entre as frequências de corte. 
 A curva exata é obtida fazendo-se as devidas correções. 
 A curva do ângulo de fase de G(j)H(j) pode ser traçada 
adicionando-se as curvas dos ângulos de fase dos fatores 
individuais. 
 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

FATORES QUADRÁTICOS 
 EXEMPLO 
 Esboçar os diagramas de Bode para a função de transferência 
abaixo e efetue as correções de modo que a curva do módulo 
em diagrama de blocos seja precisa. 
 
 
 Solução: A fim de evitar possíveis erros na construção da curva do 
módulo em diagrama de blocos, é desejável colocar G(j) na forma 
normalizada, onde as assíntotas de baixa freqüência para os fatores 
de primeira ordem e para o fator de segunda ordem correspondem à 
reta de 0 dB. 
 
 
 
 Esta função é composta dos seguintes fatores básicos: 
 
 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

]2j)j)[(2j)(j(
)3j(10
G(s)
2 


]1
2
j
2
)j(
)[1
2
j
)(j(
)1
3
j
(5,7
G(s)
2










FATORES QUADRÁTICOS 
 EXEMPLO (CONTINUAÇÃO) 
 As freqüências de corte do terceiro, quarto e quinto termos 
são, respectivamente, =3, =2, = . Note-se que o 
último termo tem o coeficiente de amortecimento de 
0,3536. 
 
 Para construir o diagrama de bode, as curvas assintóticas 
de cada um dos fatores são mostradas separadamente. A 
curva composta é então obtida adicionando-se 
algebricamente as curvas individuais. 
 
 Para a construção da curva completa de ângulo de fase, 
devem ser esboçadas as curvas de ângulo de fase de todos 
os fatores. A soma algébrica de todas as curvas de ângulo 
de fase fornece a curva completa de ângulo de fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
nn ))/j()/j(2(1

FATORES QUADRÁTICOS 
12
nn ))/j()/j(2(1

EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O 
MATLAB 
 1- CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO DE 
TRANSFERÊNCIA: 
 
 
 Construa o diagrama de Bode para essa função de 
transferência. 
 
 num=[25]; 
 den=[1 4 25]; 
 bode(num,den) 
 title(‘Diagrama de bode de G(s)=25/(s^2+4s+25)`) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O 
MATLAB 
EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O 
MATLAB 
 2- CONSIDERE O SISTEMA INDICADO NA FIGURA ABAIXO. 
A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA É: 
 
 
 
 
 Trace o diagrama de bode. 
 
 num=[9 1.8 9]; 
 den=[1 1.2 9 0]; 
 bode(num,den) 
 title(‘Diagrama de bode`) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O 
MATLAB 
EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O 
MATLAB 
 3- CONSIDERE O SEGUINTE SISTEMA: 
 
 
 
 
 Esse sistema tem uma entrada u e uma saída y. Trace o 
diagrama de bode 
 A=[0 1; -25 -4]; 
 B=[0; 25]; 
 C=[1; 0]; 
 D=[0]; 
 Bode(A,B,C,D) 
 title(‘Diagrama de bode`) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O 
MATLAB