Álgebra Linear Conteúdo para as aulas

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Álgebra Linear
 Matriz da transformação linear
Dada T: IRIR tal que T(x, y, z) = ( x – 2y + z, 2x + y – 3z) , determine a sua matriz ( T ) em relação às bases:
B = { ( 1, 1, 0 ), ( –1, 0, 2 ), (0, 0, 1 ) } e C = {( 1,–1 ), ( 0, 1 ) }
RESP: ( T ) = 
 
Dada T: IRIR tal que T(x, y, z) = ( x +6y –3 z, x +4 y – 2z) , determine a sua matriz ( T ) em relação às bases:
B = { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 0 ), (1, 0, 0 ) } e C = {( 1,1 ), ( 1, 0 ) }
RESP: ( T ) = 
 
Sendo T: IR IR e T ( x, y, z) = ( x , x+y ), determinar (T)sendo B = { (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) } base do IR e 
C é a base canônica do IR
RESP: ( T ) = 
 
 Núcleo e Imagem da transformação linear
Seja a transformação linear .
Determine: a) o núcleo, a base e a dimensão do núcleo. T é injetora? Justifique a resposta.
b) a imagem, a base e a dimensão da imagem. T é sobrejetora? Justifique a resposta.
 
Enunciado igual do exercício 1) , sendo 
 
 
Enunciado igual do exercício 1), sendo T : IR IR, T (x,y) = (x, x+y,y )
 Operadores Inversíveis
Sendo T : V→ V um operador linear. Se T é bijetora, T é inversível.
Obs : T é bijetora, quando T é injetora e sobrejetora. Para resolver os exercícios será usado o Teorema:
T : V→ V é inversível se N(T) for o vetor nulo.
Exemplo ( será resolvido em sala ) 
Seja T o operador em IRdefinido por T ( x , y ) = ( x + 3y , x ). Mostre que T é inversível e determine T 
 Exercícios: 1) Considere os operadores T:R2  R2 . Verifique se são inversíveis e em caso positivo, determine T 
T ( x , y ) = ( 3x – 4y , – x + 2y )
T ( x , y ) = ( x – 2y , –2x + 3y) 
 2) Considere os operadores T : IR→ IR. Verifique se são
Inversíveis e em caso positivo, determine T 
T(x, y, z) = (x - y + 2z, y - z, -2x + y - 3z)
T(x, y, z) = (x + y - z, x + 2y, z)    
 
 Autovalor e autovetor ( ou valores próprios e vetores próprios)
Definição: Seja T : V V um operador linear. O vetor v V ( v 0) é chamado autovetor de T se existir um número real tal que T ( v ) = . v
O número real é chamado autovalor de T associado ao autovetor v.
 Cálculo dos autovetores e autovalores de um operador linear qualquer
Seja T : V V um operador linear e M uma matriz (canônica ou não) associada a T.
O operador T na forma matricial é dado por: T(v) = M .v
Se v V ( v 0) é autovetor de T, T ( v ) = . v
Então, T(v) = M .v = . v → M .v – . v = 0. 
Sendo . v = .I.v ( I é a matriz identidade), temos: M .v – .I. v = 0, ou seja:
 (**) ( M – .I ). v = 0 que é chamada equação característica de T.
Ela representa um sistema homogêneo. Para que v 0, devemos ter: 
 ( * ) det ( M – .I ) = 0 . Resolvendo a equação (*) são obtidos os autovalores , se existirem. Substituindo em (**) e resolvendo o sistema são obtidos os autovetores.
Exemplo: (será resolvido em sala).
Sejam : T: e C a base canônica do . Calcule os autovetores e os autovalores do operador T ( x,y ) = ( –x–y, –3x + y )
Exercícios
 Determinar , se existirem, os autovalores e os autovetores associados 
a T: IR IR em relação à base canônica do IR sendo dada a matriz
a) M = b) M = c) M = 
d) M = e) M = . 
RESP: a) λ = 2 , v = (1,1)
 b) não existem autovalores nem autovetores
 c) λ= 1 e λ= 4 , v = (–2, 1) e v = (1, 1)
 d) λ= 1 e λ= 6 , v = (1, – ) e v = (1, 1)
 e) λ = 4 e v = ( 1,1)