Resumo Cálculo II - PP2 (2015)

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R E S U M O
CÁLCULO II
Aspirante 4023 Constant
Trabalho de um Campo de Forças
O trabalho W de um campo de forças F⃗ (x , y , z )=(F x , F y , F z) ao longo de uma curva C, de
extremidades A e B (no sentido de A para B), é calculado por W=∫
C
F⃗⋅d r⃗.
Para calcular W seguiremos o seguinte roteiro:
(a)Verificar se o campo F⃗ é conservativo:
∂Fx
∂ y
=
∂F y
∂ x
, 
∂F x
∂ z
=
∂F z
∂ x
 e 
∂F y
∂ z
=
∂F z
∂ y
Sendo conservativo, determinamos a função potencial f (x , y , z) a partir da comparação dos termos
de ∫Fx dx, ∫F y dy e ∫F z dz . Devemos somar os termos do resultado das integrais, de forma que
os termos repetidos sejam somados apenas uma vez. Então calculamos:
W=∫
C
F⃗⋅d r⃗=[ f (x , y , z )]A
B
(b)Não sendo conservativo, apelamos para uma parametrização da curva C, de tal forma que:
F⃗=(x (t ), y (t) , z (t)) e d r⃗=(dx (t) , dy (t) , dz( t ))
(E1)Calcule o trabalho realizado pelo campo F⃗=( yz+x2 , xz+3 y2 , xy) ao deslocar uma partícula ao
longo de uma curva C, interseção da superfície z=√4−x2− y2 com o plano y=1, orientada no
sentido de crescimento de x.
Teorema de Green
Seja uma região R do plano, limitada por uma curva C fechada (orientada no sentido anti-horário) e
um campo vetorial F⃗=(F x , F y). Para o cálculo do trabalho devido a esse campo vetorial F⃗ sobre a
curva C é válida a seguinte relação:
W=∮
C
F x dx+F y dy=∬
R
∂ F y
∂ x
−
∂FX
∂ y
dA
(E2)Seja um campo vetorial F⃗=(x2 y+√sen2(x )+1 ,tg(1+ y2)+ 13 x3+1000 x) e duas curvas C e D
representadas na figura abaixo. Sabendo que a área da região limitada por C vale 10.111 e a área da
região limitada por D vale 10, calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial.
Fluxo de um Campo Vetorial
O fluxo ϕ de um campo vetorial F⃗ sobre uma superfície S, onde n⃗ é o seu normal, é dado por:
ϕ=∫
S
F⃗⋅⃗ndS.
Para calcular ϕseguiremos o seguinte roteiro:
(a)Se a equação da superfície S for explícita (da forma z=f (x , y )), determinamos seu vetor normal
por meio das derivadas parciais de f (x , y )−z=0 ou z−f (x , y )=0, dependendo se n⃗ é interior ou
exterior. Então n⃗=±(∂ f∂ x , ∂ f∂ y ,−1).
Em seguida substituímos qualquer termo em z de F⃗ por f (x , y ). Projetamos, então, a superfície S
no plano xy, obtendo uma região S¯ e determinamos os limites de integração. Nesse momento
dS=dxdy.
ϕ=∫
S
F⃗⋅⃗ndS=∬¯
S
F⃗⋅⃗n dxdy
Dependendo da geometria de S¯ será mais fácil integrar recorrendo às coordenadas polares.
{x= r cosθy= r senθ ; dxdy=r drd θr= √ x2+ y2
(b)Se a equação da superfície S for implícita deveremos, então, buscar uma parametrização a duas
variáveis (u , v ) para que r⃗=(x (u , v) , y (u , v ), z (u , v )) e seja possível substituir em F⃗.
Calculamos n⃗=±∂ r⃗
∂u
×∂ r⃗
∂ v
, observando se a orientação de n⃗ é para o interior ou para o exterior.
Os limites de integração são determinados pelo domínio D de u e de v e dS=dudv.
ϕ=∫
S
F⃗⋅⃗ndS=∬
D
F⃗⋅⃗n dudv
(E3)Calcule o fluxo de campo F⃗=(z2 ,0 ,−z ) através do cilindro z=1− y2, z≥0, 0≤x≤1 e
apontando para longe do eixo x.
Teorema da Divergência de Gauss
O TDG é aplicado quando desejamos calcular o fluxo ϕ de um campo vetorial F⃗ em uma superfície
S fechada, tal que o sólido V seja limitado por S. Esse fluxo é dado por:
ϕ=∭
V
∇⃗⋅⃗F dV=∭
V
di v( F⃗)dV .
Para calcular ϕ seguiremos o seguinte roteiro:
(a)Sabendo que ∇⃗=( ∂∂ x , ∂∂ y , ∂∂ z ) é um operador, calculamos o divergente de F⃗ por:
∇⃗⋅F⃗=di v F⃗=∂ Fx
∂ x
+
∂F y
∂ y
+
∂F z
∂ z
(b)Escrevemos, inicialmente, a integral tripla considerando os limites de integração em coordenadas
cartesianas (dV=dxdydz ). A partir disso pode-se escolher um outro método de integração que seja
mais eficaz.
Existem três principais sistemas de coordenadas do ℜ3, a saber:
Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas
x r cosθ ρ senϕ cosθ
y r sen θ ρ senϕ sen θ
z z ρ cosθ
dxdydz r dr d θdz ρ2 senϕdρd ϕ dθ
(E4)Determine, usando o TDG, o fluxo do campo F⃗=(e y ln(ez+1), y+sen(z ),√ x2+ y2) através da
superfície S do sólido T, definido por: T={(x , y , z )∈ℜ3/x2+ y2−4≤z≤2−√x2+ y2}. Orientado com
o vetor normal exterior à superfície de S.
Teorema de Stokes
O TS é aplicado quando desejamos calcular o fluxo ϕ devido ao rotacional rot ( F⃗) de um campo
vetorial F⃗ em uma superfície S aberta e contornada por uma curva C. Existe uma relação de
igualdade numérica entre o fluxo do rotacional e a integral de linha na curva C, dada por:
W=∮
C
F⃗⋅d r⃗=ϕ=∫
S
rot ( F⃗)⋅⃗n d S.
Para calcular ϕ seguiremos o seguintes roteiro:
(a)Calculamos o rotacional do campo vetorial F⃗ por:
rot ( F⃗)=∇⃗×F⃗=| i^ j^ k^∂∂ x ∂∂ y ∂∂ z
F x F y F z
|
(b)Determinamos o vetor normal, sendo n⃗=±(∂ f∂ x , ∂ f∂ x ,−1), para S definida de forma explícita e
n⃗=±∂ r⃗
∂u
×∂ r⃗
∂ v
, para S definida de forma implícita. Vale sinalizar que é mais usual calcular n⃗ pelo
plano que contém a curva C.
(c)Sendo explícita, calcula-se a integral dupla em relação a projeção S¯ no plano xy:
ϕ=∬¯
S
rot ( F⃗)⋅⃗ndxdy. Já no caso de ser implícita, integra-se no domínio D: ϕ=∬
D
rot ( F⃗)⋅⃗ndudv.
(E5)Calcule, usando o TS, ∮
C
( yz+ x3)dx+(2 xz+3 y3)dy+(xy+4)dz, onde C é a curva obtida como
interseção do cilindro x2+ y2=1 com o plano x+ y+z=1, obedecendo o sentido
(1,0,0)→(0,1,0)→(−1,0,2).