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R E S U M O CÁLCULO II Aspirante 4023 Constant Trabalho de um Campo de Forças O trabalho W de um campo de forças F⃗ (x , y , z )=(F x , F y , F z) ao longo de uma curva C, de extremidades A e B (no sentido de A para B), é calculado por W=∫ C F⃗⋅d r⃗. Para calcular W seguiremos o seguinte roteiro: (a)Verificar se o campo F⃗ é conservativo: ∂Fx ∂ y = ∂F y ∂ x , ∂F x ∂ z = ∂F z ∂ x e ∂F y ∂ z = ∂F z ∂ y Sendo conservativo, determinamos a função potencial f (x , y , z) a partir da comparação dos termos de ∫Fx dx, ∫F y dy e ∫F z dz . Devemos somar os termos do resultado das integrais, de forma que os termos repetidos sejam somados apenas uma vez. Então calculamos: W=∫ C F⃗⋅d r⃗=[ f (x , y , z )]A B (b)Não sendo conservativo, apelamos para uma parametrização da curva C, de tal forma que: F⃗=(x (t ), y (t) , z (t)) e d r⃗=(dx (t) , dy (t) , dz( t )) (E1)Calcule o trabalho realizado pelo campo F⃗=( yz+x2 , xz+3 y2 , xy) ao deslocar uma partícula ao longo de uma curva C, interseção da superfície z=√4−x2− y2 com o plano y=1, orientada no sentido de crescimento de x. Teorema de Green Seja uma região R do plano, limitada por uma curva C fechada (orientada no sentido anti-horário) e um campo vetorial F⃗=(F x , F y). Para o cálculo do trabalho devido a esse campo vetorial F⃗ sobre a curva C é válida a seguinte relação: W=∮ C F x dx+F y dy=∬ R ∂ F y ∂ x − ∂FX ∂ y dA (E2)Seja um campo vetorial F⃗=(x2 y+√sen2(x )+1 ,tg(1+ y2)+ 13 x3+1000 x) e duas curvas C e D representadas na figura abaixo. Sabendo que a área da região limitada por C vale 10.111 e a área da região limitada por D vale 10, calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial. Fluxo de um Campo Vetorial O fluxo ϕ de um campo vetorial F⃗ sobre uma superfície S, onde n⃗ é o seu normal, é dado por: ϕ=∫ S F⃗⋅⃗ndS. Para calcular ϕseguiremos o seguinte roteiro: (a)Se a equação da superfície S for explícita (da forma z=f (x , y )), determinamos seu vetor normal por meio das derivadas parciais de f (x , y )−z=0 ou z−f (x , y )=0, dependendo se n⃗ é interior ou exterior. Então n⃗=±(∂ f∂ x , ∂ f∂ y ,−1). Em seguida substituímos qualquer termo em z de F⃗ por f (x , y ). Projetamos, então, a superfície S no plano xy, obtendo uma região S¯ e determinamos os limites de integração. Nesse momento dS=dxdy. ϕ=∫ S F⃗⋅⃗ndS=∬¯ S F⃗⋅⃗n dxdy Dependendo da geometria de S¯ será mais fácil integrar recorrendo às coordenadas polares. {x= r cosθy= r senθ ; dxdy=r drd θr= √ x2+ y2 (b)Se a equação da superfície S for implícita deveremos, então, buscar uma parametrização a duas variáveis (u , v ) para que r⃗=(x (u , v) , y (u , v ), z (u , v )) e seja possível substituir em F⃗. Calculamos n⃗=±∂ r⃗ ∂u ×∂ r⃗ ∂ v , observando se a orientação de n⃗ é para o interior ou para o exterior. Os limites de integração são determinados pelo domínio D de u e de v e dS=dudv. ϕ=∫ S F⃗⋅⃗ndS=∬ D F⃗⋅⃗n dudv (E3)Calcule o fluxo de campo F⃗=(z2 ,0 ,−z ) através do cilindro z=1− y2, z≥0, 0≤x≤1 e apontando para longe do eixo x. Teorema da Divergência de Gauss O TDG é aplicado quando desejamos calcular o fluxo ϕ de um campo vetorial F⃗ em uma superfície S fechada, tal que o sólido V seja limitado por S. Esse fluxo é dado por: ϕ=∭ V ∇⃗⋅⃗F dV=∭ V di v( F⃗)dV . Para calcular ϕ seguiremos o seguinte roteiro: (a)Sabendo que ∇⃗=( ∂∂ x , ∂∂ y , ∂∂ z ) é um operador, calculamos o divergente de F⃗ por: ∇⃗⋅F⃗=di v F⃗=∂ Fx ∂ x + ∂F y ∂ y + ∂F z ∂ z (b)Escrevemos, inicialmente, a integral tripla considerando os limites de integração em coordenadas cartesianas (dV=dxdydz ). A partir disso pode-se escolher um outro método de integração que seja mais eficaz. Existem três principais sistemas de coordenadas do ℜ3, a saber: Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas x r cosθ ρ senϕ cosθ y r sen θ ρ senϕ sen θ z z ρ cosθ dxdydz r dr d θdz ρ2 senϕdρd ϕ dθ (E4)Determine, usando o TDG, o fluxo do campo F⃗=(e y ln(ez+1), y+sen(z ),√ x2+ y2) através da superfície S do sólido T, definido por: T={(x , y , z )∈ℜ3/x2+ y2−4≤z≤2−√x2+ y2}. Orientado com o vetor normal exterior à superfície de S. Teorema de Stokes O TS é aplicado quando desejamos calcular o fluxo ϕ devido ao rotacional rot ( F⃗) de um campo vetorial F⃗ em uma superfície S aberta e contornada por uma curva C. Existe uma relação de igualdade numérica entre o fluxo do rotacional e a integral de linha na curva C, dada por: W=∮ C F⃗⋅d r⃗=ϕ=∫ S rot ( F⃗)⋅⃗n d S. Para calcular ϕ seguiremos o seguintes roteiro: (a)Calculamos o rotacional do campo vetorial F⃗ por: rot ( F⃗)=∇⃗×F⃗=| i^ j^ k^∂∂ x ∂∂ y ∂∂ z F x F y F z | (b)Determinamos o vetor normal, sendo n⃗=±(∂ f∂ x , ∂ f∂ x ,−1), para S definida de forma explícita e n⃗=±∂ r⃗ ∂u ×∂ r⃗ ∂ v , para S definida de forma implícita. Vale sinalizar que é mais usual calcular n⃗ pelo plano que contém a curva C. (c)Sendo explícita, calcula-se a integral dupla em relação a projeção S¯ no plano xy: ϕ=∬¯ S rot ( F⃗)⋅⃗ndxdy. Já no caso de ser implícita, integra-se no domínio D: ϕ=∬ D rot ( F⃗)⋅⃗ndudv. (E5)Calcule, usando o TS, ∮ C ( yz+ x3)dx+(2 xz+3 y3)dy+(xy+4)dz, onde C é a curva obtida como interseção do cilindro x2+ y2=1 com o plano x+ y+z=1, obedecendo o sentido (1,0,0)→(0,1,0)→(−1,0,2).
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