Prova 2 E - Gabarito

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CM005 - A´lgebra Linear
Prova 2 - Turma E
NOME: GABARITO
1a) Seja ~v = (1,−1) e B = {(1, 1), (2, 1)} base de R2. Escreva as coordenadas
de ~v na base B.
Sol. Temos que resolver c1 e c2 na equac¸a˜o
(1,−1) = c1(1, 1) + c2(2, 1)
que comparando as coordenadas, fica
c1 + 2c2 = 1, c1 + c2 = −1 .
Resolvendo este sistema de equac¸o˜es, fica c1 = −3, c2 = 2.
1b) Seja θ fixo, e bθ a base demathbbR2 B = {(cos(θ), sen(θ)), (− sen(θ), cos(θ))}
(istoe´, a base padr ao rotacionada antihora´riamente por a´ngulo θ). Escreva as
coordenadas de qualquer vetor (x, y) na base Bθ.
Sol.
Temos que resolver c1 e c2 na equac¸a˜o
(1, 3) = c1(cos θ, sen θ) + c2(− sen θ, cos θ)
que comparando as coordenadas, fica
cos θc1 − sen θc2 = 1, sen θc1 + cos θc2 = 3 .
Resolvendo este sistema de equac¸o˜es, e usando identidades trigonome´tricas , fica
c1 = 3 sen θ + cos θ, c2 = 3 cos θ − sen θ.
2) Decidir se as seguintes transformac¸o˜es sa˜o lineares ou na˜o. Justificar.
a) D : P2 → P2, P2 o espac¸o dos polinoˆmios de grau ≤ 2, D(p(x)) = p′(x).
Sol. A derivada da soma e´ a soma das derivadas, e a derivada de uma constante
vezes uma func¸a˜o e´ a constante vezes a derivada da func¸a˜o. Restringindo a`s
func¸o˜es polinomia´is de grau 2, segue que D e´ linear.
b) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ y, xy)
1
Sol. Na˜o e´ linear, T (cx, cy) 6= cT (x, y).
3) Seja r : R2 → R2 a projec¸a˜o ortogonal ////en/////////torno////`a na reta x = y.
Observac¸a˜o: Na˜o precisa fazer contas nem ter uma fo´rmula para r para res-
solver a questa˜o.
a) Descreva e de bases da imagem e do nu´cleo de r.
Sol. A imagem de r e´ a reta y = x, que tem como base por exemplo ao vetor
(1, 1). O nu´cleo e´ a reta ortogonal a y = x, que tem como inclinacca˜o −1 (o
negativo do rec´ıproco da inclinac¸a˜o de y = x), isto e´, a reta y = −x que tem
como base, por exemplo, o vetor (1,−1).
b) Se Mr e´ a matriz de r na base padra˜o, encontre os autovalores e autove-
tores de Mr.
Sol. Sendo que Mr representa a projec¸a˜o ortogonal na reta y = x, o vetor (1, 1)
e´ um autovetor de autovalor 1, ja´ que r(1, 1) = (1, 1). Da mesma maneira, o
vetor (1,−1) e´ um autovetor de autovalor 0, ja´ que r(1,−1) = 0.
c) Encontre matrizes S,D , com S invert´ıvel eD diagonal, tais que S−1MrS =
D.
Sol. A matriz S e´ aquila cujas colunas sa˜o os autovetores de Mr, e D e´ a matriz
diagonal correspondente aos autovalores. Assim ,
S =
(
1 1
1 −1
)
, D =
(
1 0
0 0
)
.
4) Seja
A =
 1 1 −1−1 1 1
−1 1 1

a) Encontre os autovalores de A e autovetores associados a cada um deles.
(Dica: 0 e´ um autovalor)
Sol. Os autovalores de A sa˜o 0, 1, 2 com autovetores associados respectivamente
0 (1, 0, 1), 1 (1, 1, 0), 2 (0, 1, 1) .
(Mu´ltiplos na˜o nulos dos autovetores tambe´m esta˜o certos).
b) Encontre matrizes S,D , com S invert´ıvel e D diagonal, tais que S−1AS =
D.
Sol. S e´ obtida colocando os autovetore como colunas, isto e´
S =
1 1 00 1 1
1 0 1

2
e D e´ a matriz com os autovalores na diagonal, na mesma ordem na qual colo-
camos os autovetores:
D =
0 0 00 1 0
0 0 2
 .
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