Prova 1 E - Gabarito

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CM005 - A´lgebra Linear
Prova 1 - Turma B
NOME: GABARITO
1) Considere a matriz
A =
1 −3 0 5 32 −6 1 8 5
3 −9 2 11 7

a) Encontre todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o A ~X = ~0.
b) Encontre todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o A ~X =
 1−2
−3

c) Qual condic¸a˜o devem satisfazer os nu´meros a, b, c para que o sistema
A ~X =
ab
c

tenha soluc¸a˜o?
d) Qual condic¸a˜o deve satisfazer um vetor (a, b, c) ∈ R3 para estar no espac¸o
generado pelos vetores {(1, 2, 5), (−1, 4, 7), (0,−2,−4), (2, 3, 8)}?
e) Encontre uma base do subespac¸o V de R4 formado pelas soluc¸o˜es de
A ~X = ~0, e calcule a dimensa˜o de V .
f) Encontre uma base do subespac¸o W de R4 gerado pelas linhas de A, e
calcule a dimensa˜o de W .
SOLUC¸A˜O: Comec¸emos pela parte (c), que e´ gene´rica. Colocamos a matriz
aumentada 1 −3 0 5 3 | a2 −6 1 8 5 | b
3 −9 2 11 7 | c

1
e fazendo operac¸o˜es de linhas fica a matriz1 −3 0 5 3 | a0 0 1 −2 −1 | b− 2a
0 0 0 0 0 | c− 2b + a

Que corresponde ao sistema
x1 − 3x2 + 5x4 + 3x5 = a
x3 − 2x4 − x5 = b− 2a
0 = c− 2b + a
Assim, o sistema tem soluc¸a˜o se se somente se c− 2b + a = 0.
A parte (a) e´ colocar a = b = c = 0 no anterior, e fica
x1 − 3x2 + 5x4 + 3x5 = 0
x3 − 2x4 − x5 = 0
0 = 0
cuja soluc¸a˜o geral e´ dada por x2, x4, x5 arbitra´rios, x1 = 3x2 − 5x4/ − 3x5,
x3 = 2x4 + x5.
A parte (b) e´ colocar a = b = c = 1 em (d) (note que estes nu´meros
satisfazem a condic¸a˜o c−2b+a = 0) e fica x2, x4, x5 arbitra´rios, x1 = 1 + 3x2−
5x4/− 3x5, x3 = −1 + 2x4 + x5.
A parte (d) se traduz em procurar se existem constantes c1, c2, c3, c4, c5 tais
que
c1(1, 2, 3) + c2(−3,−6,−9) + c3(0, 1, 2) + c4(5, 8, 11) + c5(3, 5, 7) = (a, b, c) .
Quando exprimimos em cada uma das coordenas, encontramos 3 equac¸o˜es nas
inco´gnitas c1, c2, c3, c4, c5, e chegamos a um problema ide´ntico ao item (c). A
soluc¸a˜o e´ a mesma, c− 2b + a = 0.
Na parte (e), a base e´ obtida colocando sucesivamente x2 = 1, x4 = x5 = 0,
x4 = 1, x2 = x5 = 0 e x5 = 1, x2 = x4 = 0 na soluc¸a˜o de (a), e fica
{(3, 1, 0, 0, 0), (−5, 0, 2, 1, 0), (−3, 0, 1, 0, 1)}
como a base tem 3 elementos (os vetores (3, 1, 0, 0, 0), (−5, 0, 2, 1, 0), (−3, 0, 1, 0, 1)),
a dimensa˜o e´ 3.
Finalmente, uma base do subespac¸o gerado pelas linhas de A d´ado pelas
linhas da forma escalonada reduzida de A, isto e´
{(1,−3, 0, 5, 3), (0, 0, 1,−2,−1)}
e a base tem 2 elementos, a dimensa˜o e´ 2.
2
2) Encontre a inversa da matriz M =
1 2 00 1 1
2 0 1
 e use esa invera para
calcular a soluc¸a˜o da equac¸a˜o M ~X =
12
3

SOLUC¸A˜O: O me´todo para encontrar a inversa´ de M e´ colocar a matriz
estendida (M |I) e´ fazer operac¸o˜es de linha. Se chegarnos ate´ (I|B), B = M−1.1 2 0 | 1 0 00 1 1 | 0 1 0
2 0 1 | 0 0 1
 
1 0 0 | 1/5 −2/5 2/50 1 0 | 2/5 1/5 −1/5
0 0 1 | −2/5 4/5 1/5
 ,
depois de fazer operac¸o˜es de linhas. Assim, a inversa existe e
M−1 =
 1/5 −2/5 2/52/5 1/5 −1/5
−2/5 4/5 1/5
 .
A soluc¸a˜o de M ~X =
12
3
 e´ simplesmente ~X = M−1
12
3
, isto e´,
~X =
 1/5 −2/5 2/52/5 1/5 −1/5
−2/5 4/5 1/5
12
3
 =
3/51/5
9/5
 .
3) Suponha que o espac¸o F das func¸o˜es f : R → R e´ um espac¸o vetorial
munido das operac¸o˜es usua´is de soma e produto por escalar de func¸o˜es.
Determine se cada um dos seguintes subconjuntos e´ ou na˜o um subespac¸o
de F . Justifique.
a) O espac¸o das func¸o˜es pares (f(x) = f(−x))
b) O espac¸o das func¸o˜es f tais que f(2) = 0.
c) O espac¸o das func¸o˜es f tais que f(0) = 2.
SOLUC¸A˜O: O exerc´ıcio diz Suponha que o espac¸o F das func¸o˜es f : R→
R e´ um espac¸o vetorial munido das operac¸o˜es usua´is de soma e produto por
escalar de func¸o˜es., enta˜o no precisa mostrar as propriedades de espac¸o vetorial,
so´mente precisa mostrar o fecho: isto e´, se f e g satisfazem a condic¸a˜o, ver se
cf + g satisfaz ou na˜o.
3
Para (a), temos que se f e g sa˜o pares,
(cf + g)(x)
def
= cf(x) + g(x)
hipotese
= cf(−x) + g(−x) def= (cf + g)(−x)
assim (a) e´ um subespac¸o.
Para (b), se f(2) = g(2) = 0, temos
(cf + g)(2)
def
= cf(2) + g(2) = c · 0 + 0 = 0
assim (b) e´ um subespac¸o.
Para (c), se f(0) = g(0) = 2, temos
(cf + g)(0)
def
= cf(0) + g(0) = c · 2 + 2 = 2(c + 1) 6= 2
para c 6= 0; assim (c) na˜o e´ um subespac¸o.
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