Prova 1 - Com gabarito

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CM005 - A´lgebra Linear - Prova 1 - Gabarito
1a) (2 pontos) Para quais a, b, c o sistema
2x + 2y − z = a
x− y + z = b
x + 3y − 2z = c
tem soluc¸a˜o
Sol. A matriz associada ao sistema e´2 2 −1 | a1 −1 1 | b
1 3 −2 | c

Fazendo a reduc¸a˜o por linhas, fica1 0 1/4 | a/4 + b/20 1 −3/4 | ba/4− b/2
0 0 0 | c− a + b

Consequentemente, a condic¸a˜o para o sistema ter soluc¸a˜o e´ c− a + b = 0.
1b) (1 ponto) Escrever a soluc¸a˜o geral do sistema acima quando a = b = c =
0.
Sol. Colocando a = b = c = 0 acima, fica o sistema x+1/4z = 0, y−3/4z =
0, cuja soluo “z arbitrrio, x = −1/4z e y = 3/4z”.
2) Considere a matriz A =
 1 2 10 2 1
−1 1 0

a)(2 pontos) Calcule a inversa de A
Sol. Para calcular a inversa, reduzimos por linhas a matrix aumentada 1 2 1 | 1 0 00 2 1 | 0 1 0
−1 1 0 | 0 0 1

Depois de fazer a reduo, fica1 0 0 | 1 −1 00 1 0 | 1 −1 1
0 0 1 | 2 3 −2

1
Assim, A−1 =
 1 −1 01 −1 1
−2 3 −2

b)(1 ponto) Use a parte (a) para resolver A ~X =
 21
−1
 e A ~X =
10
0
.
Sol. Se A e´ invertivel, podemos resolver A ~X = ~b fazendo X = A−1~b. No
primeiro caso, fica
~X =
10
1

no segundo caso, fica
~X =
 11
−2

(que e´ simplesmente a primeira coluna da matrix A−1.)
3) (2 pontos) Considere os vetores em R3
~v1 =
 21
−1
 , ~v2 =
10
1
 , ~v3 =
 11
−2
 , ~v4 =
 32
−3

3a) Decida se o conjunto {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} e linearmente dependente ou inde-
pendente.
3b) Escreva equac¸o˜es que descrevem o espac¸o gerado [{~v1, ~v2, ~v3, ~v4}]. Eles
geram todo R3?
Sol. Fazer a (3b) primeiro e´ mais eficiente. A equac¸a˜o
c1 ~v1 + c2 ~v2 + c3 ~v3 + c4 ~v4 =
xy
z

tem soluc¸a˜o (como equac¸a˜o em c1, c2, c3, c4), se e somente se o sistema
2c1 + c2 + c3 + 3c4 = x
c1 + +c3 + 2c4 = y
−c1 + c2 − 2c3 − 3c4 = z
Que leva a` matriz aumentada 2 1 1 3 | x1 0 1 2 | y
−1 1 −2 −3 | z

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que, usando o me´todo de Gauss-Jordan, fica na forma em escada reduzida1 0 1 2 | y0 1 −1 −1 | x− 2y
0 0 0 0 | −x + 3y + z

Assim, o espacc¸o gerado por estes vetores som os (x, y, z) que satisfazem a
equac¸a˜o −x + 3y + z = 0.
Agora ’e simples resolver a parte (a): para resolver
c1 ~v1 + c2 ~v2 + c3 ~v3 + c4 ~v4 = 0
usamos o sistema acima com x = y = z = 0, e chegamos ao sistema reduzido
c1 + +c3 + 2c4 = 0
c2 − c3 − c4 = 0
que tem infinitas soluc¸o˜es. Consequeˆntemente, {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} e´ linearmente de-
pendente.(Notem que, com a teoria que vimos em aula depois da prova, fica
bem mais fa´cil: 4 vetores em R3 sempre sa˜o linearmente dependentes!)
4)(2 pontos) De exemplos de matrizes quadradas A,B tais que: AB 6= BA
e AB = 0 mas A 6= 0 e B 6= 0.
Sol. Para construir exemplos de matrizes quadradas A,B 2x2 tais que AB 6=
BA, fac¸a o seguinte: coloque os 4 u´ltimos d´ıgitos do seu GRR ordenados numa
matriz, esta e´ A. Coloque os 4 u´ltimos d´ıgitos do seu RG ordenados numa
matriz, esta e´ B. Quase com certeza AB 6= BA. (O que estou querendo dizer
com esta brincadeira e´ que era muito fa´cil conseguir exemplos, quase qualquer
para de matrizes “gene´ricas” A e B vai satisfazer AB 6= BA).
Para o outro exemplo, pode ser
A =
(
0 0
1 0
)
, B =
(
0 0
0 1
)
.
Temos AB = matriz zero. Notem que BA na˜o e´ a matriz zero, e estas
matrizes tambe´m funcionan como exemplo de AB 6= BA.
5)(1 ponto) Considere o subconjunto W ⊂ R2,
W = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y2}.
E´ W um subespac¸o de R2?
Sol. Na˜o e´ um subespac¸o. Considere (1, 1), (1,−1), ambos esta˜o em W mas
a soma (2, 0) na˜o esta´ em W .
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