10_EQUIVALENCIA_DE_CAPITAIS

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Manoel Paiva Filho
I SEMESTRE DE 2012
10_EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
DEPARTAMENTO DE 
MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Equivalência de Capitais
Conceito:
Dois fluxos de caixa(capitais) são 
ditos equivalentes, quando, a uma 
determinada taxa de juros, os 
valores atuais de cada fluxo de 
caixa, para uma mesma data, forem
iguais entre si.
Exemplos:
1) Uma empresa tem uma obrigação a vencer, no 
valor de R$ 300,00, e deseja antecipar o pagamento 
em 5 meses, a uma taxa de juros de 2,7% ao mês. 
Calcule o valor do novo pagamento. 
Dados: 
S1=300,00
i=2,75%(0,027)a.m
n1=x meses
n2=x-5 meses
S2=? 58,262
)027,01(
300
)027,01()027,01(
300
)027,01()027,01(
300
2
5
2
52
5
2
2
0
1
0
=
+
=
+×
+
=
+
=
+
=
−
−
S
S
S
S
VAVA
x
x
xx
Modo RPN Modo Financeiro
300[enter] {Clear Fin}
1.027[enter]5[Yx][÷] 300[FV]
=>262,58 2,7 [i]
5[n]
[PV]=>-262,58
58,262
)027,01(
300
)027,01()027,01(
300
)027,01()027,01(
300
2
5
2
52
5
2
2
0
1
0
=
+
=
+×
+
=
+
=
+
=
−
−
S
S
S
S
VAVA
x
x
xx
2) Um banco deseja substituir uma série de 24 
títulos mensais postecipados, no valor de 
R$ 700,00 cada um, por um único título que 
vencerá em 3 anos. Sabendo-se que a taxa 
de juros compostos é de 4,5% ao mês, 
calcule o valor do título. 
95,489.49877378,48348,146.10
)045,01()045,01(045,0
1)045,01(700
)045,01()045,01(045,0
1)045,01(700
)1()1(
1)1(
36
24
24
3624
24
21
21
1
=×=
+×
+
−+
=
+
=
+
−+
+
=
+
−+
=
S
S
S
i
S
ii
iR
VAVA
nn
n
Dados: 
PMT=R=700,00
n1=24 meses
i=4,5%(0,045)a.m
n2=3x12=36meses
S=?
Modo RPN Modo Financeiro
1,045[enter]24[Yx] 1[-] {Clear Fin} “end”
1,045[enter]24[Yx]0,045[x][÷] 700[PMT] 4,5[i]
700[x]=>10.146,8348 24[n] [PV]=>10.146,83
1,045[enter] 36[Yx][x] 0[PMT] 36[n] [FV]
=>49.489,95 =>49.489,95
95,489.49877378,48348,146.10
)045,01()045,01(045,0
1)045,01(700
)045,01()045,01(045,0
1)045,01(700
)1()1(
1)1(
36
24
24
3624
24
21
21
1
=×=
+×
+
−+
=
+
=
+
−+
+
=
+
−+
=
S
S
S
i
S
ii
iR
VAVA
nn
n
3) Uma empresa tem uma dívida com um banco constituído por 
uma série de 36 pagamentos mensais postecipados iguais a 
R$350,00 e deseja substituir por apenas um pagamento, 
vencendo ao final dos 36 meses. Sabendo que o banco opera 
uma taxa de juros compostos de 32% ao ano, calcule o valor do 
pagamento. 
Dados: 
PMT=R=350,00
n1=36 m.post
i=32%(0,32)a.a
n2=36
S=?
02340569,0
1)32,1(
)11()32,01(
12
1
12
=
−=
+=+
m
m
m
i
i
23,19439
299967,2960419,8451
)02340569,01()02340569,01(02340569,0
1)02340569,01(350
)02340569,01()02340569,01(02340569,0
1)02340569,01(350
36
36
36
3636
36
2
0
1
0
=
×=
+×
+
−+
=
+
=
+
−+
=
S
S
S
S
VAVA
Modo RPN Modo Financeiro
1,023406[enter]36[Yx] 1[-] 100[PV] 32[i] 1[n][FV]
1,023406[enter]36[Yx]0,0234 12[n][i]=>2,340569
06[x][÷]350[x]=>8.451,96 {Clear Fin} “end”
1,02340569[enter] 36[Yx][x] 350[PMT] 
36[n]2,340569[i]
=>19.439,24 [PV]=>8451,96 ou[FV]
0[PMT] [FV]=>19.439,24
24,19439
29996794,2960419,8451
)02340569,01()02340569,01(02340569,0
1)02340569,01(350
)02340569,01()02340569,01(02340569,0
1)02340569,01(350
36
36
36
3636
36
2
0
1
0
=
×=
+×
+
−+
=
+
=
+
−+
=
S
S
S
S
VAVA
4) Uma empresa deseja substituir uma série postecipada
de 25 pagamentos mensais iguais a R$480,00, junto a 
um banco, por outra série de 4 pagamentos anuais, a 
uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês. Calcule 
o valor dos pagamentos anuais.
Dados: 
PMT=R1=480,00
n1=25 m
i=3,5%(0,035)a.m
n2=4 a
PMT=R2=?
511069,0
1)035,1(
)1()1(
12
12
=
−=
+=+
a
a
ma
i
i
ii
68,002.5632359,013,911.7
1)511069,01(
)511069,01(511069,0
)035,01(035,0
1)035,01(480
)511069,01(511069,0
1)511069,01(
)035,01(035,0
1)035,01(480
)1(
1)1(
)1(
1)1(
2
4
4
25
25
2
4
4
2
25
25
21
21
2
2
1
1
=×=
−+
+
×
+
−+
=
+
−+
=
+
−+
+
−+
=
+
−+
=
R
R
R
ii
iR
ii
iR
VAVA
n
n
n
n
Modo RPN Modo Financeiro
1,035[enter]25[Yx] 1[-] {Clear Fin} “end”
1,035[enter]25[Yx]0,035 [x][÷] 480[PMT] 25[n]3,5[i]
480[x]=>7.911,13 [PV]=>7.911,13
1,511069[enter]4[Yx] 0,511069[x] 4[n] 51,1069[i]
1,511069[enter]4[Yx]1[-][÷] PMT=> 5.002,68
[x]=>5.002,68
68,002.5632359,013,911.7
1)511069,01(
)511069,01(511069,0
)035,01(035,0
1)035,01(480
)511069,01(511069,0
1)511069,01(
)035,01(035,0
1)035,01(480
)1(
1)1(
)1(
1)1(
2
4
4
25
25
2
4
4
2
25
25
21
21
2
2
1
1
=×=
−+
+
×
+
−+
=
+
−+
=
+
−+
+
−+
=
+
−+
=
R
R
R
ii
iR
ii
iR
VAVA
n
n
n
n
Exercícios:
1) Calcule o novo valor de uma dívida 
de R$ 3.500,00 que foi antecipada em 
5 meses, sabendo-se que a taxa de 
juros compostos utilizada é de 4% ao 
mês.(R$ 2.876,74)
2) Um título de crédito, no valor de R$ 
4.650,00, vence daqui a 2 anos e vai 
ser substituído por um outro cuja o 
vencimento será daqui a 4 anos. 
Sabendo que a taxa de juros 
compostos é de 29% ao ano, calcule o 
valor do novo título.(R$ 7.738,07)
3) Um banco pretende substituir uma série de 
24 créditos mensais postecipados, no valor 
de R$ 1.220,00 cada um, por um título 
equivalente único com vencimento daqui a 
2 anos e meio. Sabendo que a taxa de juros 
utilizada é composta de 34% ao ano, calcule 
o valor do título.(R$45.509,68)
4) Calcule a valor da prestação mensal de uma 
séria de 5 postecipadas para substituírem 
uma outra série de 4 prestações anuais 
postecipadas, no valor de R$ 340, 00 cada 
uma, a uma taxa de juros de 2, 5% ao 
mês.(R$147,33)
5) Calcular o valor atual do fluxo de caixa abaixo (à taxa de 
juros compostos de 10% ao período):
Ano Receitas Despesas Líquido
0 300,00 -200,00 100,00
1 440,00 440,00
2 605,00 -363,00 242,00
3 -133,10 -133,10
00,60000,10000,20000,400100
)10,01(
10,133
)10,01(
242
)10,01(
440100
)1()1(...)1(
0
3210
11
1
00
=−++==
+
−
+
+
+
+==
+
+
+
++
+
+==
−
VAP
VAP
i
R
i
R
i
RRVAP
nn
OBS:
440[FV] 1[n] 10[i] [PV]=> 400,00
242[FV] 2[n] 10[i] [PV]=> 200,00
133,10 [FV] 3[n] 10[i] [PV]=> 100,00
Cálculo do valor presente líquido (VPL) 
ou valor atual de um fluxo de caixa: 
Recurso financeiro
Modo Financeiro(HP12C)
{Clear reg}
100.00 Cf0
440.00 Cfj
242.00 Cfj
-133.10 CHS Cfj
10 i
NPV
���� 600,00000
6) Examinar se existe equivalência entre os fluxos de 
caixa abaixo(à taxa de juros compostos de 10% ao 
período):
Ano Fluxo A Fluxo B
0 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
A)
00,600400100100
)10,01(
40,532
)10,01(
121
)10,01(
110
)1()1(...)1(
0
3210
11
1
00
=++==
+
+
+
+
+
==
+
+
+
++
+
+==
−
VAP
VAP
i
R
i
R
i
RRVAP
nn
B)
00,60000,10000,30000,200
)10,01(
10,133
)10,01(
00,36300,200
)1()1(...)1(
0
320
11
1
00
=++==
+
+
+
+==
+
+
+
++
+
+==
−
VAP
VAP
i
R
i
R
i
RRVAP
nn
Equivalência entre dois fluxos de caixa 
Recurso financeiro: a 10% a.a.
���� 600,00000���� 600,00000
NPVNPV
i10i10
Cfj133.10Cfj532.40
Cfj363,00Cfj121.00
Cfj0Cfj110.00
Cf0200.00Cf00.00{Clear reg}{Clear reg}
HP12C
B
HP12C
A
7) O Banco Norte deseja trocar seu fluxo de recebíveis
com o fluxo do Banco Sul, a uma taxa de 30% a.a. 
Quanto o banco Norte deve receber ou pagar ao 
Banco Sul?
Ano Fluxo Bco
Norte
Fluxo Bco
Sul
0 100,00
1 100,00
2 100,00
3 130,00
4 130,00
5 130,00
���� 139,70099����236,09467
NPVNPV
i30i30
Nfj3
Cfj130.00
Nj2Nj2
Cfj0Cfj100.00
Cf00Cf0100.00
{Clear reg}{Clear reg}
HP12C
Sul
HP12C
Norte
• O Banco Norte deve receber R$ 96,39 (236,09 –
139,70)
8)O Banco Nordeste tem 6 créditos mensais 
postecipados no valor de R$ 1.000,00, cada um. 
Deseja fazer uma troca com o Banco Sudeste por 8 
créditos mensais iguais, o primeiro vencendo 
daqui a 7 meses. A uma taxa de juros de 3% ao mês 
indique qual o valor dos créditos do Banco 
Sudeste para que a troca seja justa e adequada para 
ambos os bancos.
Dados: 
B.N.
PMT=R1=1.000,00
n1=6 p.m.post
i=3%(0,03)a.m
B.S.
n2=8p.m.dif.
K=7-1=6
PMT=R2=? 47,9211701,019,417.5
1)03,01(
)03,01(03,0
)03,01(03,0
1)03,01(000.1
)03,01(03,0
1)03,01(
)03,01(03,0
1)03,01(000.1
)1(
1)1(
)1(
1)1(
2
8
1468
6
6
2
1468
8
2
6
6
21
21
2
2
1
1
=×=
−+
+
×
+
−+
=
+
−+
=
+
−+
+
−+
=
+
−+
=
=+
=+
+
R
R
R
ii
iR
ii
iR
VAVA
kn
n
n
n
HP12C Modo 2
{Clear fin} end
1000 PMT
6 n
3 i
PV=>-5.417,19
0 PMT
FV=>6.468,41
STO PV
0 FV
8 n
PMT
���� 921,46631
HP12C Modo 1
{Clear fin} end
1000 PMT
6 n
3 i
PV=>-5.417,19
8 n
PMT=>771,71
STO PV
0 PMT
6 n
FV
���� 921,46631
Prova 
���� 5.417,19144
NPV
i3
Nj6
Cfj1000
Cf00
{Clear reg}
HP12C
Nordeste
���� 5.417,21312
NPV
i3
Nj8
Cfj921.47
Nj6
Cfj0
Cf00
{Clear reg}
HP12C
Sudeste
Exercícios: 
5) Verifique se os fluxos seguintes são equivalentes entre si, a 
uma taxa de juros de 5%, desprezando diferenças menores do 
que R$ 1,00 ( A e B; C e E)
6) O Banco da Fronteira possui uma série de 6 títulos de créditos 
anuais postecipados iguais a R$ 25.000,00. O Banco do Oeste 
possui uma série de 6 créditos mensais postecipados iguais a 
R$ 14.500,00. Para ajustar seus fluxos de caixa, ambos 
concordam em trocar entre si os créditos, a uma taxa de juros 
compostos de 32% ao ano. Identifique que banco e qual a 
quantia que o mesmo deverá dar à vista, de modo que a 
negociação se viabilize do ponto de vista da equivalência de 
capitais.(O Banco da Fronteira deverá pagar R$ 16.939,27)
608,32464,00883,33452,442. 500,004
608,32484,00833,33452,440,003
608,32504,00783,33452,440,002
608,32524,000,00452,440,001
0,00544,000,00452,440,000
EDCBAAno
7) Os Bancos Itaú e Unibanco que possuem CDBs cujos valores e 
vencimentos encontram-se identificados na tabela a seguir, 
querem fazer uma permuta, acertando entre si uma taxa de 
juros de 25% ao ano. Um dos bancos deverá pagar uma 
determinada quantia ao outro, para que a troca seja adequada. 
Identifique que Banco deverá pagar e qual a quantia a ser 
paga(Unibanco paga R$ 7.737,73 ).
20.000,0029.000,006
1.800,000,005
20.000,000,004
20.000,005.900,003
1.800,005.900,002
1.800,005.900,001
0,000,000
ItaúUnibancoAno
8) Considerando-se uma taxa de juros de 5% ao ano, calcule o 
valor de X no fluxo A, para que o mesmo se torne 
equivalente ao fluxo B. (R$ 3.977,13) 
1.000,005.000,004
2.000,004.000,003
3.000,00X2
4.000,002.000,001
5.000,001.000,000
BA
FluxosAno
9 )Um banco é credor de uma série de 20 pagamentos anuais iguais 
a R$23.000,00 postecipados. Por necessidade de caixa, pretende 
negociar com uma corretora esta anuidades, por outra de 6 
pagamentos mensais iguais postecipados. Sabendo-se que a taxa 
de juros acertada, com base no mercado entre os dois agentes 
financeiros, é de 32,5% ao ano, calcule o valor da prestações 
mensais.(R$ 12.747,57)