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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
 Prof.: Moacyr Marranghello e Jorge Tadeu Vargas da Silva 
 
01 VETORES 
 
1. ESCALARES E VETORES: Os escalares, como a temperatura, são especificados apenas por 
números e uma unidade (20 ºC) e obedecem às regras da álgebra comum. Os vetores, como o 
deslocamento, são especificados por um módulo e uma orientação (5 m, norte) e obedecem às 
regras especiais da álgebra vetorial. 
 
2. SOMA GEOMÉTRICA DE VETORES: Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente. 
Para isso, basta desenhá-los na mesma escala e fazer com que a origem do segundo vetor 
coincida com a extremidade do primeiro. Nesse caso, o vetor soma, s, é o vetor que liga a origem 
do primeiro à extremidade do segundo. Para subtrair b de a, basta inverter o sentido de b para 
obter – b e em seguida somar – b a a. A soma e subtração de vetores são comutativas e 
obedecem à lei associativa. 
 
 
 
3. COMPONENTES DE UM VETOR: As componentes ax e ay de um vetor a são determinadas, 
traçando-se perpendiculares aos eixos do sistema de coordenadas a partir da extremidade do 
vetor. As componentes são dadas por: 
 
ax = a . cos θ e ay = a . sen θ 
 
onde θ é medido em relação ao sentido positivo dos x. O sinal da 
componente indica o seu sentido em relação ao eixo. Dadas as 
componentes, podemos reconstruir o vetor usando as expressões: 
 
2
y
2
x aaa += e 
x
y
a
a
tg =θ 
 
onde novamente θ é medido em relação ao sentido positivo de x. 
 
4. VETORES UNITÁRIOS: É possível definir vetores unitários i, j, k, que 
possuem módulo unitário e cujas direções são as dos eixos dos x, dos y e 
dos z de um sistema de coordenadas destrógiro. Em termos dos vetores 
unitários, um vetor a pode ser escrito na forma: 
 
a= axi + ayj + azk 
 
axi, ayj e azk são as componentes vetoriais e ax, ay e az, são as 
componentes escalares de a. 
b 
s 
a 
a b 
b a 
a + b 
b + a 
Partida Chegada 
a 
– b 
a – b = d 
i
r
 
jr 
k
r
 
y 
x 
z 
ay 
ax 
a 
x 
y 
0 
θ 
 
5. SOMA DE VETORES USANDO AS COMPONENTES: Para somarmos vetores através das 
componentes, usamos as equações: 
 
rx = ax + bx ; ry = ay + by ; rz = az + bz 
 
6. VETORES E LEIS FÍSICAS: Qualquer situação física que envolva vetores pode ser descrita em 
um número infinito de diferentes sistemas de coordenadas. Em geral, escolhemos um sistema 
que torne o nosso trabalho mais simples, entretanto, a relação entre as grandezas vetoriais não 
depende do sistema escolhido. As leis físicas são independentes do sistema de coordenadas. 
 
7. PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR: O produto de um escalar s por um vetor v é um 
novo vetor cujo módulo é sv e cuja direção é a mesma de v. O sentido é o mesmo de v se s for 
positivo e o sentido é contrário ao de v se s for negativo. Para dividir v por s, basta multiplicar v 
pelo inverso do escalar (1/s). 
 
8. PRODUTO ESCALAR: O produto escalar de dois vetores, representado pela expressão a ⋅⋅⋅⋅ b, é 
uma grandeza escalar dada por: 
 
a ⋅⋅⋅⋅ b = a . b . cos φ 
 
onde φ é o ângulo entre as direções de a e b. 
 
O produto escalar pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do valor de φ. O produto 
escalar pode ser considerado como o produto do módulo de um dos vetores pela componente do 
segundo vetor na direção do primeiro. Em termos dos vetores unitários, o produto escalar é dado 
pela equação: 
 
a ⋅⋅⋅⋅ b = (axi + ayj + azk) . (bxi + byj + bzk) 
 
que obedece à lei distributiva. 
Observe que a ⋅⋅⋅⋅ b = b ⋅⋅⋅⋅ a 
 
 
 
9. PRODUTO VETORIAL: O produto vetorial de dois vetores, representado pela expressão a x b, é 
um vetor e cujo módulo é dado por: 
 
c = a . b . sen φ 
 
onde φ é o menor dos dois ângulos entre as direções de a e b. O vetor c é perpendicular ao plano 
definido por a e b e seu sentido é dado pela regra da mão direita. Em termos dos vetores 
unitários, o produto vetorial é dado pela equação: 
 
a x b = (axi + ayj + azk) x (bxi + byj + bzk) 
 
que obedece à lei distributiva. Observe que a x b = – b x a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
φ 
A componente de b na 
direção de a é b . cos φ 
A componente de a na 
direção de b é a . cos φ 
c = a x b c = a x b 
c = b x a c = b x a 
b 
a 
b 
b b 
a 
a a 
φ φ 
φ φ 
 
Exercícios sobre Vetores 
 
1) Calcular as componentes dos vetores abaixo: Sendo: a = 10 N e b = 5 N 
a) y b) y c) y 
 b 
 a a 30º 
 
 40º 45º 
 x x x 
 
d) y e) y f) y 105º 
 c = 40N b 
 50º 
 120º a 
 d = 50 N 30º 
 x x x 
 
2) Qual é o vetor resultante rv da soma dos vetores: 
a) av = 4,2 ir - 1,5 jr 
b
v
= -1,6 i
r
 + 2,9 jr 
c
v
 = - 3,7 jr 
b) Qual é o módulo do vetor rv . 
 
3) Qual é o valor do produto escalar abaixo: 
a) a=20 N 
 15º 
 b=6 N 
 
b) c=25 N 
 25º 
 d=3 N 
 
c) e = 20 N 
 40º 
 f = 36 N 
 
d) g = 15 N 
 32º 
 h = 35 N 
 
4) Qual é o produto escalar dos vetores, dados abaixo: 
a) av = (3 ir - 2 jr + 3kr ) ; bv = (4 jr - 2kr ) 
b) cv = (- 2 ir + jr - 5kr ) ; dw = (2 ir + 3 jr + 4kr ) 
c) ev = ( jr - kr ) ; f
v
 = (3 ir - jr + kr ) 
d) rv = (2 ir + 3 jr - kr ) ; pv = (3 ir - 2 jr + 2kr ) 
 
5) Qual é o ângulo φ entre: av = 3 ir - 4 jr e bv = - 2 ir + 3kr . 
 
6) Para o sistema ao lado determine que se pede: 
 
a) ir · jr b) ir · kr c) j
r
 · i
r
 d) ir x ir e) j
r
 x i
r
 
f) jr x kr g) kr x jr h) ir x kr i) kr x ir 
 
7) Se av = 3 ir - 4 jr e bv = - 2 ir + 5 kr , qual é o vetor cv = av x bv 
jr ir
k
r
 
8) Qual é o valor do produto vetorial abaixo: 
 
a) 2 N 
 
 40º 
 3 N 
 
 
b) 10 N 
 
 52º 
 
 5 N 
 
 
c) 8 N 
 
 
 
 6 N 
 
d) 60 N 
 
 
300º 
 25 N 
 
9) Na notação de vetor unitário, qual é a soma e o módulo: av = 4 ir + 3 jr e bv = - 13 ir + 7 jr 
 
10) Para os seguintes três vetores, qual é o resultado de 3cv · (2 Av x Bv ) 
A
v
 = 2 i
r
 + 3 jr - 4kr 
B
v
 = - 3 i
r
 + 4 jr + 2kr 
c
v
 = 7 i
r
 - 8 jr 
 
11) Usandoa definição do produto escalar (av . bv = a . b . cos φ) calcule o ângulo entre os vetores 
a
v
 = 3 i
r
 + 3 jr + 3 kr e b
v
 = 2 i
r
 + jr + 3 kr . 
 
12) Dois vetores são dados por: av = 4 ir - 3 jr + 1kr ; bv = - ir + jr + 4kr . Na notação de vetores 
unitários, ache: 
a) av + bv 
b) av - bv 
 
13) Se Av = 2 ir + 4 jr , qual o produto vetorial Av x Bv quando: 
a) Bv = 8 ir + 16 jr 
b) Bv = - 8 ir - 16 jr 
 
14) Achar o ângulo entre os dois vetores: Av = 2 ir + 3 jr + 4kr e Bv = ir – 2 jr + 3kr . 
 
Gabarito 
 
1) a) ax = 7,66N e ay = 6,43N 
b) ax = 7,07N e ay = 7,07N 
c) bx = 2,5N e by = 4,33N 
d) cx = 30,64N e cy = 25,71N 
e) dx = 25N e dy = 43,30N 
f) ax = 8,66N e ay = 5,00N 
 bx = 3,53N e by = 3,53N 
2) a) r = 2,6i – 2,3j ; b) r= 3,47 
 
 
3) a) 115,91N ; b) 67,97N, 
 c) 551,55N; d) 445,22N 
4) a) a ⋅ b = - 14 
b) c ⋅ d = - 21 
c) e ⋅ f = - 2 
d) r ⋅ p = - 2 
5) φ = 109,47° 
6) a) 0 ; b) 0 ; c) 1 ; d) 0 ; 
 e) – k ; f) i ; g) – i ; h) – j ; j) j. 
 
7) –20i – 15j – 8k 
8) a) 3,85N ; b) 39,40N ; 
 c) 48N ; d) 1299N 
9) r = -9i + 10j ; r = 13,45 
10) 540 
11) φ = 22,20° 
12) a) 3i – 2j + 5k ; b) 5i - 4j - 3k 
13) a) 0 ; b) 0 
14) 66,61°

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