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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL FÍSICA MECÂNICA Prof.: Moacyr Marranghello e Jorge Tadeu Vargas da Silva 01 VETORES 1. ESCALARES E VETORES: Os escalares, como a temperatura, são especificados apenas por números e uma unidade (20 ºC) e obedecem às regras da álgebra comum. Os vetores, como o deslocamento, são especificados por um módulo e uma orientação (5 m, norte) e obedecem às regras especiais da álgebra vetorial. 2. SOMA GEOMÉTRICA DE VETORES: Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente. Para isso, basta desenhá-los na mesma escala e fazer com que a origem do segundo vetor coincida com a extremidade do primeiro. Nesse caso, o vetor soma, s, é o vetor que liga a origem do primeiro à extremidade do segundo. Para subtrair b de a, basta inverter o sentido de b para obter – b e em seguida somar – b a a. A soma e subtração de vetores são comutativas e obedecem à lei associativa. 3. COMPONENTES DE UM VETOR: As componentes ax e ay de um vetor a são determinadas, traçando-se perpendiculares aos eixos do sistema de coordenadas a partir da extremidade do vetor. As componentes são dadas por: ax = a . cos θ e ay = a . sen θ onde θ é medido em relação ao sentido positivo dos x. O sinal da componente indica o seu sentido em relação ao eixo. Dadas as componentes, podemos reconstruir o vetor usando as expressões: 2 y 2 x aaa += e x y a a tg =θ onde novamente θ é medido em relação ao sentido positivo de x. 4. VETORES UNITÁRIOS: É possível definir vetores unitários i, j, k, que possuem módulo unitário e cujas direções são as dos eixos dos x, dos y e dos z de um sistema de coordenadas destrógiro. Em termos dos vetores unitários, um vetor a pode ser escrito na forma: a= axi + ayj + azk axi, ayj e azk são as componentes vetoriais e ax, ay e az, são as componentes escalares de a. b s a a b b a a + b b + a Partida Chegada a – b a – b = d i r jr k r y x z ay ax a x y 0 θ 5. SOMA DE VETORES USANDO AS COMPONENTES: Para somarmos vetores através das componentes, usamos as equações: rx = ax + bx ; ry = ay + by ; rz = az + bz 6. VETORES E LEIS FÍSICAS: Qualquer situação física que envolva vetores pode ser descrita em um número infinito de diferentes sistemas de coordenadas. Em geral, escolhemos um sistema que torne o nosso trabalho mais simples, entretanto, a relação entre as grandezas vetoriais não depende do sistema escolhido. As leis físicas são independentes do sistema de coordenadas. 7. PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR: O produto de um escalar s por um vetor v é um novo vetor cujo módulo é sv e cuja direção é a mesma de v. O sentido é o mesmo de v se s for positivo e o sentido é contrário ao de v se s for negativo. Para dividir v por s, basta multiplicar v pelo inverso do escalar (1/s). 8. PRODUTO ESCALAR: O produto escalar de dois vetores, representado pela expressão a ⋅⋅⋅⋅ b, é uma grandeza escalar dada por: a ⋅⋅⋅⋅ b = a . b . cos φ onde φ é o ângulo entre as direções de a e b. O produto escalar pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do valor de φ. O produto escalar pode ser considerado como o produto do módulo de um dos vetores pela componente do segundo vetor na direção do primeiro. Em termos dos vetores unitários, o produto escalar é dado pela equação: a ⋅⋅⋅⋅ b = (axi + ayj + azk) . (bxi + byj + bzk) que obedece à lei distributiva. Observe que a ⋅⋅⋅⋅ b = b ⋅⋅⋅⋅ a 9. PRODUTO VETORIAL: O produto vetorial de dois vetores, representado pela expressão a x b, é um vetor e cujo módulo é dado por: c = a . b . sen φ onde φ é o menor dos dois ângulos entre as direções de a e b. O vetor c é perpendicular ao plano definido por a e b e seu sentido é dado pela regra da mão direita. Em termos dos vetores unitários, o produto vetorial é dado pela equação: a x b = (axi + ayj + azk) x (bxi + byj + bzk) que obedece à lei distributiva. Observe que a x b = – b x a. a b φ A componente de b na direção de a é b . cos φ A componente de a na direção de b é a . cos φ c = a x b c = a x b c = b x a c = b x a b a b b b a a a φ φ φ φ Exercícios sobre Vetores 1) Calcular as componentes dos vetores abaixo: Sendo: a = 10 N e b = 5 N a) y b) y c) y b a a 30º 40º 45º x x x d) y e) y f) y 105º c = 40N b 50º 120º a d = 50 N 30º x x x 2) Qual é o vetor resultante rv da soma dos vetores: a) av = 4,2 ir - 1,5 jr b v = -1,6 i r + 2,9 jr c v = - 3,7 jr b) Qual é o módulo do vetor rv . 3) Qual é o valor do produto escalar abaixo: a) a=20 N 15º b=6 N b) c=25 N 25º d=3 N c) e = 20 N 40º f = 36 N d) g = 15 N 32º h = 35 N 4) Qual é o produto escalar dos vetores, dados abaixo: a) av = (3 ir - 2 jr + 3kr ) ; bv = (4 jr - 2kr ) b) cv = (- 2 ir + jr - 5kr ) ; dw = (2 ir + 3 jr + 4kr ) c) ev = ( jr - kr ) ; f v = (3 ir - jr + kr ) d) rv = (2 ir + 3 jr - kr ) ; pv = (3 ir - 2 jr + 2kr ) 5) Qual é o ângulo φ entre: av = 3 ir - 4 jr e bv = - 2 ir + 3kr . 6) Para o sistema ao lado determine que se pede: a) ir · jr b) ir · kr c) j r · i r d) ir x ir e) j r x i r f) jr x kr g) kr x jr h) ir x kr i) kr x ir 7) Se av = 3 ir - 4 jr e bv = - 2 ir + 5 kr , qual é o vetor cv = av x bv jr ir k r 8) Qual é o valor do produto vetorial abaixo: a) 2 N 40º 3 N b) 10 N 52º 5 N c) 8 N 6 N d) 60 N 300º 25 N 9) Na notação de vetor unitário, qual é a soma e o módulo: av = 4 ir + 3 jr e bv = - 13 ir + 7 jr 10) Para os seguintes três vetores, qual é o resultado de 3cv · (2 Av x Bv ) A v = 2 i r + 3 jr - 4kr B v = - 3 i r + 4 jr + 2kr c v = 7 i r - 8 jr 11) Usandoa definição do produto escalar (av . bv = a . b . cos φ) calcule o ângulo entre os vetores a v = 3 i r + 3 jr + 3 kr e b v = 2 i r + jr + 3 kr . 12) Dois vetores são dados por: av = 4 ir - 3 jr + 1kr ; bv = - ir + jr + 4kr . Na notação de vetores unitários, ache: a) av + bv b) av - bv 13) Se Av = 2 ir + 4 jr , qual o produto vetorial Av x Bv quando: a) Bv = 8 ir + 16 jr b) Bv = - 8 ir - 16 jr 14) Achar o ângulo entre os dois vetores: Av = 2 ir + 3 jr + 4kr e Bv = ir – 2 jr + 3kr . Gabarito 1) a) ax = 7,66N e ay = 6,43N b) ax = 7,07N e ay = 7,07N c) bx = 2,5N e by = 4,33N d) cx = 30,64N e cy = 25,71N e) dx = 25N e dy = 43,30N f) ax = 8,66N e ay = 5,00N bx = 3,53N e by = 3,53N 2) a) r = 2,6i – 2,3j ; b) r= 3,47 3) a) 115,91N ; b) 67,97N, c) 551,55N; d) 445,22N 4) a) a ⋅ b = - 14 b) c ⋅ d = - 21 c) e ⋅ f = - 2 d) r ⋅ p = - 2 5) φ = 109,47° 6) a) 0 ; b) 0 ; c) 1 ; d) 0 ; e) – k ; f) i ; g) – i ; h) – j ; j) j. 7) –20i – 15j – 8k 8) a) 3,85N ; b) 39,40N ; c) 48N ; d) 1299N 9) r = -9i + 10j ; r = 13,45 10) 540 11) φ = 22,20° 12) a) 3i – 2j + 5k ; b) 5i - 4j - 3k 13) a) 0 ; b) 0 14) 66,61°
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