02 - Vetores 2

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
 Prof.:Jorge Tadeu Vargas da Silva e Moacyr Marranghello 
 
02 Mais Exercícios sobre Vetores 
 
1. Um vetor deslocamento r no plano xy tem um comprimento igual a 15 m e sua 
direção é mostrada na figura ao lado. Determine os componentes x e y deste 
vetor. 
 
2. Quais são os componentes de um vetor a localizado no plano xy, se a sua 
direção faz um ângulo de 250° com o eixo x e o seu módulo é igual a 7,3 
unidades. 
 
3. O componente x de certo vetor vale – 25 unidades e o componente y, + 40 
unidades. 
(a) Qual o módulo deste vetor; 
(b) Qual o ângulo entre esse vetor e o eixo x. 
 
4. Uma pesada peça de uma máquina, suspensa por intermédio de 
uma plataforma inclinada, num ângulo de 20° com a horizontal, 
sofre um deslocamento de 12,5 m, conforme a figura. 
(a) Quanto ela se elevou acima de sua posição original; 
(b) Qual foi o seu deslocamento na horizontal. 
 
5. Uma roda de raio igual a 45 cm rola sem deslizar ao longo de um 
assoalho horizontal, conforme a figura. P é um ponto pintado na 
borda da roda. No instante t1, P está no ponto de contato entre a 
roda e o assoalho. Em um instante posterior, t2, a roda girou de 
meia-volta. 
(a) Qual é o deslocamento de P durante este intervalo. 
(b) Qual o ângulo da reta imaginária do deslocamento com a horizontal? 
 
6. Determine, utilizando os vetores unitários: 
(a) A soma dos dois vetores a = 4i + 3j e b = -3i + 4j; 
(b) Qual o módulo do vetor a + b; 
(c) Qual a direção do vetor a + b. 
 
7. Sendo a = 3i + 4j e b = 5i – 2j, calcule as componentes, o módulo e a direção de 
(a) a + b; 
(b) b – a. 
 
8. Dois vetores são dados por a = 4i – 3j + k e b = -i + j + 4k. Determine: 
(a) a + b; 
(b) a – b; 
(c) um vetor c tal que a – b + c = 0. 
 
9. Dados dois vetores, a = 4i – 3j e b = 6i + 8j, determine os módulos e as direções de: 
(a) a; 
(b) b; 
(c) a + b; 
(d) b – a 
 y 
 
 r 
 
 30º 
 
 x 
 y 
 
 250º 
 
 x 
 P 
 
 
 P 
 
 t1 t2 
 
12,5 m 
 
 
 
 20º 
 2 
(e) a – b. 
 
10. Dois vetores, a e b, têm módulos iguais a 10 unidades. Eles 
estão orientados como mostra a figura, e sua soma vetorial é r. 
Determine: 
(a) Os componentes x e y de r; 
(b) O módulo de r; 
(c) O ângulo que r faz com eixo x. 
 
11. No sistema de coordenadas da figura abaixo, mostre que: 
(a) i · i = j · j = k · k = 1 
(b) i · j = j · k = k · i = 0. 
 
12. Mostre que, para qualquer vetor a, a · a = a2 
 
13. Use a definição de produto escalar a · b = ab·cosθ e o fato de que: a · b 
= axbx + ayby + azbz, para calcular o ângulo entre os dois vetores dados 
por: a = – 2i + 3j + k e b = 2i + j – 3k. 
 
14. Um ganso voa 120 m em linha reta, muda de direção abruptamente e voa 160 m em uma reta que 
forma um ângulo de 77° com a rota original. 
(a) Determine o módulo do deslocamento resultante; 
(b) Qual a distância total percorrida pelo ganso. 
 
 
15. Um caminhão de entregas desloca-se sucessivamente de 1,37 km para sudeste, 0,85 km para o 
norte e 2,12 km na direção 17° noroeste. Determine o módulo e a direção do deslocamento 
resultante. 
 
16. Um avião voa 20 km numa direção 60° a norte do leste, em seguida 30 km diretamente a leste e, 
então 10 km ao norte. A que distância do ponto de partida e em que direção encontra-se o avião. 
 
17. Achar o ângulo entre os dois vetores: A = 2i + 3j + 4k e B = i – 2j + 3k. 
 
18. Dados dois vetores, A = 2i + 3j + 4k e B = i – 2j + 3k. 
(a) Achar o módulo de cada vetor; 
(b) Escrever uma expressão para a soma vetorial, usando vetores unitários; 
(c) Achar o módulo do vetor soma; 
(d) Achar o módulo do vetor diferença A – B. 
 
19. Um automóvel anda 5 km para o leste, em seguida 4 km para o sul e finalmente 2 km para oeste. 
Achar o módulo e a direção do deslocamento resultante. 
 
20. O vetor n, cujo módulo é de 5 cm, está a 36,9° no sentido anti-horário do eixo +x. Ele é 
adicionado ao vetor N. O resultante é um vetor cujo módulo é 5 cm a 53,1º no sentido anti-horário 
do eixo +x. Achar: 
(a) Os componentes de N; 
(b) O módulo e a direção de N. 
 
21. Dado dois vetores: A = 2i + 3j + 4k e B = i – 2j + 3k, achar o produto escalar dos dois vetores. 
 
22. Determinar o ângulo entre os vetores A = 2i + 2j + 4k e B = – 2i + 5j + 5k. 
 
 
 y 
 
 
 
 b 105º 
 
 
 a 
 30º 
 
 x 
 y 
 
 j 
 i x 
 
 k 
 z 
 3 
23. O produto escalar de dois vetores, A e B, é 4 unidades. Os módulos são A = – 0,4 e B = 8. 
Determine o ângulo entre os vetores. 
 
24. Achar vetorialmente: 
(a) o vetor soma S = A + B e; 
(b) o vetor diferença D = A – B. 
 
 
 
 
 
25. Obter graficamente a intensidade e a direção da resultante das 
três forças e analiticamente o valor da resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1. rx = 12,99m e ry = 7,5m 
2. ax = –2,5 e ay = –6,86 
3. a) 47,17 unidades 
b) θ = 122° 
4. a) h = 4,27m 
b) l = 11,75m 
5. a) S∆ = 167,6 cm 
b) θ = 32,5° 
6. a) a+b = i + 7j ; 
b) ba + = 7,07 
c) θ = 81,87° 
7. a) 8i + 2j , 8,25 e 14,04° 
b) 2i – 6j ; 6,32 e 288,43° 
8. a) a+b = 3i – 2j + 5k 
b) b-a = 5i - 4j - 3k 
c) c = –5i + 4j + 3k 
9. a) a = 5 ; θ = 323,13° 
b) b = 10 ;θ = 53,13° 
c) ba + = 11,18 ; θ = 26,56° 
d) ab − = 11,18 ; θ = 79,69° 
e) ba − = 11,18 ; θ = 280,30° 
10. a) r = 1,59 i
r
 + 12,07 j
r
 
b) r = 12,17 
c) θ = 82,5° 
11. Discussão em aula 
12. Discussão em aula 
13. θ = 94,1º 
14. S∆ = 220,54 m ; ∆S = 280m 
15. S∆ = 1,9 km ; θ = 80° (nordeste) 
16. S∆ = 48,44 km 
θ = 34,3° com o leste 
17. θ = 47,68º 
18. a) A = 5,38 ; B = 3,74 
b) A + B = 3i + j + 12 k 
c) BA + = 12,41 
d) BA − = 5,20 
19. ∆S = 5 km , θ = 53,13° sudeste 
20. a) N = ( – i + j) cm 
b) N = 1,41 cm, θ = 135° 
21. A⋅B = 13,56 
22. θ = 55,44º 
23. θ = 143,13º 
24. a) S = 8,97 i + 12,04 j 
b) D = – 22,97 i – 12,04 j 
25. R = 295,55 N 
 
 y 
 
 
 B = 20 N 
 
 A = 7 N 37º 
 
 x 
 y 
300 N 
 
 
 200 N 
 30º 
 
 45º 
 
 53º x 
 
 
 155 N