16 - Trabalho e energia

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
 
Prof.: Moacyr Marranghello e Prof. Jorge Tadeu Vargas da Silva 
 
16 MATERIAL DE AULA PARA O ESTUDO SOBRE TRABALHO E ENERGIA 
 
O conceito de Energia é, com certeza, um dos mais importantes conceitos no 
estudo da Física. Porém não é tão simples conceituar energia. Na verdade energia é uma idéia, 
isto é, é algo imaginado na cabeça do homem que com a intenção de traduzir a necessidade que 
temos de nos alimentar, por exemplo, para continuarmos vivendo. Nos dicionários encontramos 
definições como: Capacidade dos corpos para produzir um trabalho ou desenvolver uma força; 
Modo como se exerce uma força; eficácia1 (Michaelis). Acontece que nesta definição aparece 
mais um conceito importante, o trabalho. Na física, o trabalho possui uma definição mai precisa. 
Usando essa definição, verificaremos que em qualquer movimento, por mais complicado que seja, 
o trabalho total realizado por todas as forças sobre uma partícula é igual à variação da sua 
energia cinética (uma grandeza associada com a velocidade da partícula). Matematicamente 
podemos definir trabalho (W) como o produto escalar entre os vetores Força resultante (FR) que 
atua sobre uma partícula e o deslocamento (∆S) produzido por esta força (na mesma direção da 
força aplicada). 
SFW R
rr
ƥ= 
A unidade de medida de trabalho no SI é o joule (J), em homenagem ao físico 
inglês do século XIX James Prescott Joule. Pela equação podemos denotar que: 
(1 joule) = (1 newton) . (1 metro) 
Observe que o trabalho é uma grandeza escalar, apesar de ser oriundo de duas 
grandezas vetoriais, o resultado do produto escalar entre elas é um escalar. O trabalho pode ser 
positivo, negativo ou nulo, dependendo dos sentidos dos vetores força aplicada e deslocamento 
produzido. 
 
1. O gigante soviético Vasily Alexeev (1,86 m e 160 kg) 
bicampeão olímpico (Munique 72 e Montreal 76) ficou invicto 
entre 1970 e 1977. Em sua longa carreira como halterofilista, o 
“Urso Russo” como ficou conhecido foi o atleta mais popular do 
Levantamento de Peso. Dono de uma impressionante força 
física, Alexeev dominou o esporte com uma marca 
surpreendente de 80 recordes mundiais durante a carreira, 
sendo sete deles conseguidos em uma única noite. Outra 
curiosidade é que Com sua força incomum, o gigante russo 
alcançou a marca de 640 kg no peso total durante os Jogos 
Olímpicos de Munique-1972. Este recorde jamais será batido, 
já que a prova foi retirada do programa olímpico depois 
daqueles Jogos. 
a) Qual o trabalho executado por Alexeev (ou, mais precisamente, pela força aplicada por 
ele) ao levantar um peso de 6400 N a uma altura de 2,0 m? 
b) Qual o trabalho executado sobre o peso pelo seu peso mg? 
c) Qual o trabalho executado pela força resultante durante o levantamento de peso? 
d) Qual o trabalho que Alexeev executou enquanto mantinha o peso estacionário sobre a 
cabeça? 
 
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 http://michaelis.uol.com.br/moderno/portugues/index.php?lingua=portugues-portugues&palavra=energia 
 
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2. A figura ao lado mostra dois espiões industriais empurrando um cofre por uma distância de 
8,5 m em linha reta na direção do seu caminhão. A força F1 
exercida pelo espião 001 é de 320 N e faz um ângulo de 30º para 
baixo a partir da horizontal; a força F2 exercida pelo espião 002 é 
de 250 N e faz um ângulo de 40º para cima com a horizontal. 
a) Qual o trabalho total realizado sobre o cofre pelos espiões? 
b) Qual o trabalho executado sobre o cofre pelo seu peso mg e 
pela força normal FN exercida pelo piso? 
 
3. Um engradado de 15 kg é arrastado com velocidade 
constante por uma distância d = 5,7 m sobre uma 
rampa sem atrito, até atingir uma altura h = 2,5 m acima 
do ponto de partida, como indica a figura que segue. 
a) Qual o valor da força F que o cabo deve exercer 
sobre o engradado? 
b) Qual o trabalho executado sobre o engradado pela força F? 
c) Se levantarmos o engradado até a mesma altura h usando uma rampa com outra 
inclinação θ, qual será o trabalho executado pela força F? 
d) Qual o trabalho necessário para levantar verticalmente o engradado até uma altura h? 
e) Qual o trabalho realizado pelo peso mg do engradado em (b), (c) e (d)? 
 
4. Um caixote cheio de azeitonas verdes que caiu de um 
caminhão desliza pelo solo em direção a uma menina. Para 
tentar parar o caixote, ela o empurra com uma força F = (2,0 
N)i – (6,0 N) j, recuando ao mesmo tempo. Enquanto ela está 
empurrando, o caixote sofre um deslocamento d = (-3,0 m)i. 
Qual o trabalho que a menina executou sobre o caixote? 
 
TRABALHO EXECUTADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL 
∫ ∫ ∫∫ ++==
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
y
y
z
z zyx
r
r
dzFdyFdxFdWw 
 
5. Qual o trabalho executado por uma força F = (3x² N)i + (4 N)j, com x em metros, que age 
sobre uma partícula enquanto ela se move das coordenadas (2 m, 3 m) para as 
coordenadas (3 m, 0 m)? A velocidade da partícula, aumenta, diminui ou permanece a 
mesma? 
 
TRABALHO REALIZADO POR UMA MOLA 
Segundo a lei de Hooke: F = k . x. Como esta foca é variável para cada 
deformação, podemos integrar a expressão o obteremos: 
[ ] ( )2i2fxxi2xxxxxx xxk21xk21dxxkdx)xk(dx)x(FW ffififi −===⋅== ∫∫∫ 
2xk
2
1W ∆⋅= 
O trabalho será positivo se x12 > xf2 e negativo se x12 < xf2. 
 
3 
 
6. Você aplica uma força F de 4,9 N a um bloco ligado à 
extremidade livre de uma mola, distendendo-a de 12 mm em 
relação ao seu comprimento no estado relaxado, como 
mostra a figura ao lado. 
a) Qual o valor da constante da mola? 
b) Qual a força exercida pela mola quando ela é distendida de 17 mm? 
 
7. Você distende a mola do problema anterior 17 mm a partir do estado relaxado. Qual é o 
trabalho realizado pela mola sobre o bloco? 
 
8. Ainda em relação aos problemas anteriores, se a mola encontra-se inicialmente com uma 
distensão de 17 mm. Você permite que ela volte lentamente ao estado relaxado e depois a 
comprime 12 mm. Qual o trabalho realizado pela mola durante o deslocamento total? 
 
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 
A energia cinética K de uma partícula é igual ao trabalho realizado para acelerá-la 
a partir do repouso até uma velocidade v ou desacelerá-la de uma velocidade v até o repouso. A 
energia cinética de uma partícula de massa m com velocidade v é dada por: 
2vm
2
1K ⋅⋅= 
Quando forças atuam sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento, 
a energia cinética da partícula varia de uma quantidade igual ao trabalho total Wtotal realizado por 
todas as forças que atuam sobre ela, isto é: 
KKKW 12total ∆=−= 
 
9. Em 1896, em Waco, Texas, William Crush, da estrada de ferro “Katy”, colocou duas 
locomotivas nas extremidades opostas de uma pista de 6,4 km, aqueceu-as, amarrou os 
aceleradores na posição de velocidade máxima e permitiu que se chocassem de frente 
diante de 30.000 espectadores. Centenas de pessoas foram feridas pelos destroços; várias 
morreram. Supondo que cada locomotiva pesasse 1,2 x 106 N e que até o momento da 
colisão estivessem se movendo com uma aceleração constante de 0,26 m/s², qual a energia 
cinética total das duas locomotivas no momento da colisão? 
 
10. Um bloco de massa m = 5,7 kg desliza sem atrito num 
plano horizontal com velocidade constante V = 1,2 m/s. 
Ele se choca com uma mola, como indica a figura ao 
lado, e sua velocidade se reduz a zero no momento em 
que o comprimento da mola diminui de d em relação ao 
comprimento natural. Qual é o valor de d? A constante elástica da mola é k = 1500 N/m. 
 
 
 
4 
 
11. Um elevador com massa de 500 kg está descendo com uma velocidade Vo = 4,0 m/s quando 
o sistema de guincho que o sustenta começa a patinar, permitindo que caia com aceleração 
constante 
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g
a = . 
a) Se o elevadorcai por uma distância d = 12 m, qual o trabalho W1 
realizado sobre o elevador pelo seu peso mg? 
b) Durante a queda, qual é o trabalho W2 executado sobre o elevador pela 
tração T exercida pelo cabo? 
c) Qual o trabalho total W realizado sobre o elevador durante a queda de 
12 m? 
d) Qual a energia cinética do elevador no final da queda de 12 m? 
e) Qual é a velocidade Vf do elevador no final da queda de 12 m? 
 
POTÊNCIA 
A potência é a taxa de realização de um trabalho. Quando uma quantidade de 
trablaho ∆W é realizada em um intervalo de tempo ∆t, a potência média Pméd é definida por: 
t
WPméd ∆
∆
= 
A potência instantânea é definida por: 
dt
dW
t
WlimP
0t
=
∆
∆
=
→∆
 
Quando a força F
r
 atua sobre uma partícula que se move com velocidade v, a 
potência instantânea ou taxa com a qual a força realiza o trabalho é: 
vFP
rr
•= 
A unidade de medida da potência no SI é o watt (W), em homenagem ao inventor 
James Watt. 
(1 watt) = (1 joule) / (1 segundo) 
É comum encontrarmos várias outras unidades de medida para a potência como: 
1 kW = 103 W ; 1 MW = 106 W ; 1 cv = 735,5 W ; 1 hp = 746 W 
 
12. Uma carga de tijolos cuja massa total m é 420 kg deve ser levantada por um guindaste até 
uma altura h de 120 m em 5,0 min. Qual deve ser a potência mínima do motor do guindaste? 
 
13. Um motor de popa de 80 hp, funcionando a toda velocidade, faz com que um barco viaje a 
22 nós (= 40 km/h = 11 m/s). Quanto vale o empuxo (força) do motor? 
 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
Energia é uma propriedade associada ao estado de um ou mais corpos. A 
energia cinética K está associada ao estado de movimento de um corpo. A energia térmica está 
associada aos movimento aleatórios dos átomos e moléculas de um corpo. A energia potencial 
está associada à configuração de um ou mais corpos. Dois tipos importantes de energia potencial 
são a energia potencial gravitacional, associada ao estado de separação entre corpos que se 
 
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atraem através de forças gravitacionais e a energia potencial elástica, associada ao estado de 
compressão ou distensão de um objeto elástico. 
A energia mecânica E de um sistema é a soma da energia cinética K e da energia 
potencial U. Se as únicas forças presentes são a força gravitacional e a força elástica, o valor de E 
permanece constante mesmo que a energia cinética e a energia potencial variem com o tempo. 
Esta lei da conservação da energia mecânica pode ser escrita na forma: 
E = U1 + K1 = U2 + K2 = constante 
∆K + ∆U = 0 
 
14. Uma preguiça de 2,0 kg escorrega de um galho de árvore e 
cai no chão,que está a uma distância de 5,0 m. 
a) Qual era a energia potencial inicial U da preguiça se 
tomarmos o ponto de referência yo = 0 com (1) o chão; (2) 
o piso de uma varanda situada a 3,0 m acima do chão; (3) 
o galho e; (4) um ponto situado 1,0 m acima do galho? 
b) Para cada ponto de referência escolhido, qual é a 
variação da energia potencial do sistema preguiça-Terra 
graças à queda? 
c) Qual é a velocidade V da preguiça ao tocar o chão? 
d) Se a preguiça cai de novo do mesmo galho depois de se 
alimentar com folhas e frutas, a velocidade com que toca 
o solo é maior, menor ou igual à calculada no item (c)? 
 
15. A mola de uma espingarda de mola é comprimida de uma distância d = 3,2 cm a partir do 
estado relaxado e uma bala de massa m = 12 g é introduzida no cano. Qual a velocidade 
com que a bala deixa o cano quando a arma é disparada? A constante da mola, k, é 7,5 
N/cm. Suponha que não existe atrito e que o cano é mantido na horizontal. 
 
16. Um bloco de massa m = 1,7 kg é preso em uma mola fixa em uma parede. O bloco tem 
velocidade inicial 2,3 m/s no sentido de comprimir a mola e a constante da mola k é 320 
N/m. 
a) De que distância x a mola será comprimida quando o bloco parar? 
b) Para que valor de x a energia está dividida igualmente entre a energia potencial e a 
energia cinética? 
 
17. Na figura ao lado uma criança de massa m desce por um 
escorregador de altura h = 8,5 m, partindo do repouso. Qual a 
velocidade da criança ao bater na água? Despreze o atrito entre a 
criança e o escorregador. 
 
18. Um praticante de ioiô humano (bang jamp) tem uma massa de 61,0 kg e 
está em uma ponte, 45,0 m acima de um rio. No estado relaxado, sua 
corda elástica tem um comprimento L = 25,0 m. Suponha que a corda 
obedece à lei de Hooke, com uma constante elástica de mola de 160 N/m. 
a) A que distância h os pés da moça estão da água no ponto mais baixo 
da queda? 
 
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b) Qual a força resultante que age sobre a moça no ponto mais baixo da queda? 
 
FORÇAS CONSERVATIVAS E NÃO CONSERVATIVAS 
 
Dizemos que uma força é conservativa quando o trabalho que realiza numa 
partícul que percorre um circuito fechado é zero; caso contrário, dizemos que a força é não-
conservativa. Também podemos dizer que uma força é conservativa quando o trabalho realizado 
sobre uma partícula que se move de um onto a outro é a mesma para todas as trajetórias 
possíveis entre doispontos; caso contrário, dizemos que a força é não-conservativa. 
Quando forças de atrito dinâmico estão presentes, a energia mecânica E não 
permanece contante, mas diminui com o tempo. Por isso, dizemos que as fotças de atrito 
dissipam energia mecânica do sistema. A energia dissipada se transforma em energia interna. A 
principal forma de energia interna é a energia térmica. 
 
19. Um cachorro de circo, de massa 6,0 kg, chega à extremidade esquerda 
de uma rampa irregular que está a uma altura ho = 8,50 m do chão, 
com uma velocidade Vo = 7,8 m/s. O cachorro escorrega para a direita 
e pára quando atinge uma altura h = 11,1 m acima do chão. Qual o 
aumento da energia térmica do cachorro e da rampa durante o 
processo? 
 
20. Uma bala de aço de massa m = 5,2 g é disparada verticalmente para baixo de 
uma altura h1 = 18 m com uma velocidade inicial Vo = 14 m/s, como mostra a 
figura ao lado. A bala penetra no solo arenoso até uma profundidade h2 = 21 cm. 
a) Qual a variação da energia mecânica da bala? 
b) Qual a variação da energia interna do sistema bala-Terra-areia? 
c) Qual o módulo da força média F exercida pela areia sobre a bala? 
 
 
 
Gabarito 
1. a)12800 J 
b) – 12800 J 
c) 0 
d) 0 
2. a) 3984 J 
b) 0 
3. a) 64,5 N 
b) 368 J 
c) 368 J 
d) 368 J 
e) – 368 J 
4. – 6 J 
5. – 4,5 J 
6. a) 408 N/m 
b) – 6,9 N 
7. – 59 mJ 
8. 30 mJ 
9. 2 x 108 J 
10. 7,4 cm 
11. a) 5,88 x 104 J 
b) – 4,7 x 104 J 
c) 1,18 x 104 J 
d) 1,58 x 104 J 
e) 7,9 m/s 
12. 1650 W (2,2 hp) 
13. 5400 N 
14. a) (1) 98 J 
 (2) 39 J 
 (3) 0 
 (4) – 19,6 J 
b) – 98 J 
c) 9,9 m/s 
d) 9,9 m/s 
15. 8,0 m/s 
16. a) 17 cm 
b) 12 cm 
17. 13 m/s 
18. a) 2,1 m 
b) 2266,2 N 
19. ≈ 30 J 
20. a) – 1,437 J 
b) 1,467 J 
c) 6,84 N