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20 - Rotação

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1 
UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
 Prof.: Moacyr Marranghello e Prof. Jorge Tadeu Vargas da Silva 
 
20 ROTAÇÃO 
 
Várias são as aplicações do estudo do movimento de rotação: no movimento de ro-
tação de uma bailarina, em quase todas as máquinas, sempre que abre uma lata de bebidas com 
uma lingüeta de puxar, em parque de diversões, em um chute numa bola de futebol para que ela 
permaneça o maior tempo possível em vôo, a fadiga em metais em aviões mais antigos, etc. 
 
Alguns conceitos fundamentais: 
 
Posição angular – 
r
S
=θ 
 
Deslocamento angular – 12 θ−θ=θ∆ 
Velocidade angular – 
dt
d
tlim0t
θ
=
∆
θ∆
=ω
→∆
 
Aceleração angular – 
dt
d
tlim0t
ω
=
∆
ω∆
=α
→∆
 
 
1. Um disco está girando em torno de seu eixo como um carrossel. A 
posição angular θ(t) de uma linha de referência no disco é dada por 
θ = – 1,00 – 0,600t + 0,250t², com t em segundos, θ em radianos e a 
posição angular correspondente a zero como indica a figura ao lado. 
Determine: 
a) A posição ocupada pelo disco no instante 4,0 segundos; 
b) A velocidade angular do disco no instante 4,0 segundos; 
c) A aceleração angular do disco no instante 4,0 segundos. 
 
2. Um esmeril gira com aceleração angular α = 0,35 rad/s² constante. No instante t = 0, ele tem ve-
locidade angular ω = – 0,46 rad/s, e uma linha de referência sobre o mesmo está na horizontal, 
na posição angular θo = 0. 
a) Em que instante após t = 0 a linha de referência está na posição angular θ = 5,0 revoluções? 
b) Em que instante o esmeril pára momentaneamente? 
 
3. Quando você está operando um rotor (em um parque de diversões), você precebe um passagerio 
sofrendo agudamente e diminui a velocidade angular do cilindro de 3,40 rad/s para 2,00 rad/s em 
20,0 revoluções, com aceleração constante. 
a) Qual é a aceleração angular constante neste decréscimo de velocidade angular? 
b) Em quanto tempo ocorre o decréscimo na velocidade? 
 
Relacionando as variáveis Lineares e Angulares 
 
Posição – S = θ . r 
 
Velocidade – V = ω . r 
Aceleração – atang = α . r e alin = 
r
v2
=ω² . r 
 
Energia Cinética de rotação 
 
∑ ⋅= 2ii rmI (momento de inércia) 2I
2
1K ω⋅= (energia cinética de rotação) 
 
 
 
 
 Eixo de rotação 
 
 
 Linha de 
 referência 
 
 Posição 
 angular zero 
 2 
 
Alguns Momentos de Inércia 
 
 
 
 
4. A figura ao lado mostra um corpo rígido composta de duas partículas de mas-
sas iguais m = 5,00 kg conectadas por uma haste de comprimento L = 3,00 m 
e massa M = 2,00 kg. 
a) Qual é o momento de inércia ICM em torno de um eixo através do centro de 
massa, perpendicular à haste, como mostrado em (a)? 
b) Qual é o momento de inércia I do corpo em torno de um eixo através da extremidade esquer-
da da haste e paralelo ao primeiro eixo, mostrado em (b)? 
 
 
 
Torque 
 
O torque, derivado de uma palavra em latim que significa “torcer”, pode ser de certa 
forma identificado com a ação de girar ou torcer da força F. 
 
( ) ( ) FrFrsenFr t ⋅=⋅=φ⋅⋅=τ ⊥ 
 
α⋅=τ Ires 
 
 
 
 3 
 
5. A figura ao lado mostra um disco uniforme, com massa M = 2,5 kg e raio 
R = 2,0 cm, montado sobre um eixo horizontal fixo. Um bloco com massa 
m = 12 kg está pendurado por uma corda de massa desprezível que está 
enrolada na borda do disco. Encontre a aceleração do bloco em queda, 
a aceleração angular do disco e a tensão na corda. A corda não escor-
rega e não existe atrito no eixo. 
 
6. Para arremessar um oponente de 80 kg com um golpe de judô básico, 
você pretende puxar seu uniforme com uma força F e um braço de ala-
vanca d1 = 0,30 m em relação a um ponto de pivô (eixo de ro-
tação) no seu quadril direito. Você deseja girá-lo em torno do 
pivô com uma aceleração angular α de – 6,0 rad/s² (ou seja, 
com uma aceleração no sentido horário da figura). Suponha 
que o momento de inércia I de seu oponente seja 15 kg.m². 
a) Qual deve ser o módulo de F se, antes de você arremessar 
seu oponente, você o dobrar trazendo seu centro de massa 
para o seu quadril? 
b) Qual deve ser o módulo de F se seu oponente permanecer 
em pé antes de você arremessá-lo, de modo que Fg tem um 
braço de alavanca d2 = 0,12 m em relação ao ponto de pivô? 
 
Trabalho e Energia Cinética de Rotação 
WI
2
1I
2
1KKK 2i2fif =ω⋅−ω⋅=−=∆ (teorema trabalho-energia cinética) 
∫
θ
θ
θ⋅τ= f
i
dW (trabalho, rotação em torno de um eixo fixo) 
( )ifW θ−θτ= (trabalho, torque constante) 
ω⋅τ==
dt
dWP (potência, rotação em torno de um eixo fixo) 
 
7. Suponha que o disco de um esmeril parte do repouso no instante t = 0. Qual é a energia cinética 
de rotação no instante t = 2,5 s? 
 
Rolamento 
Rolamento como uma combinação de Translação e Rotação 
 
VCM = ω . R 
 
Energia Cinética de Rolamento 
 
Um objeto em rolamento possui dois tipos de energia cinética: uma energia cinética 
de rotação devida à sua rotação em torno do seu centro de massa e uma energia cinética de transla-
ção devida à translação do seu centro de massa, assim: 
2
CM
2
CM vM2
1I
2
1K ⋅+ω⋅= 
 
8. Aproxime cada uma das rodas de um carro Thrust SSC por um disco de 
espessura uniforme e massa M = 170 kg e suponha que o rolamento é 
suave. Quando a velocidade do carro era de 1233 km/h, qual era a ener-
gia cinética de cada roda? 
(Thrust SSC (Super Sonic Car) pesa 10 toneladas, faz de 0 a 1000 Km/h 
em 16 segundos e atinge a velocidade de 1172 Km/h em 31 segundos! 
Em 1997, o Thrust SSC atingiu a velocidade de 1228 Km/h, quebrando a 
barreira do som e o recorde mundial! As 2 turbinas Rolls-Royce desen-
volvem uma potência de 106000 HP e consomem 18 litros de querosene por segundo!) 
 4 
 
As forças de rolamento 
 
aCM = α . R 
2
CM
x,CM
RM
I1
seng
a
⋅
+
θ⋅
−= 
 
Podemos usar esta equação para encontrar a aceleração linear (aCM,X) de qualquer 
corpo rolando ao longo de um plano inclinado de um ângulo θ com relação à horizontal. 
 
9. Uma bola uniforme, de massa M = 6,00 kg e raio R, rola suavemente a partir do repouso, des-
cendo uma rampa inclinada de um ângulo θ = 30º. 
a) A bola desce uma altura vertical h = 1,20 m até alcançar a base da rampa. Qual é sua veloci-
dade na base? 
b) Quais são o módulo e o sentido da força de atrito sobre a bola enquanto ela desce a rampa ro-
lando? 
 
10. Um disco cilíndrico sólido e uniforme, de massa M de 1,4 kg e raio R de 8,5 cm, rola sobre uma 
mesa horizontal a uma velocidade de 15 sm/s. Determine: 
a) Qual a velocidade instantânea da parte superior do disco? 
b) Qual é a velocidade angular ω do disco? 
c) Qual é a energia cinética K do disco? 
d) Qual é a fração da energia cinética que está associada ao movimento de translação e qual a 
que está relacionada com o movimento de rotação em torno de um eixo que passa pelo centro 
de massa? 
 
11. Uma bola de boliche, de raio R = 11 cm e massa M de 7,2 kg, desce rolando, a partir do repouso, 
uma rampa de comprimento igual a 2,1 m. A rampa está inclinada de um ângulo θ igual a 34º em 
relação à horizontal. Qual é a velocidade da bola quando chega ao fim da rampa? Suponha que 
ela tenha densidade uniforme. 
 
12. Responda segundo a tabela que se-
gue. Um aro, um disco e uma esfera 
uniformes, com a mesma massa M e 
o mesmo raio R, são abandonados 
simultaneamente, partindo do repou-
so, do alto de uma rampa de compri-
mento L de 2,5 m e que faz um ângu-
lo θ igual a 12º com a horizontal, con-
forme sugere a figura. 
 
a) Qual dos corpos alcança primeiro a base da rampa? 
b) Quais são as velocidades dos corpos ao chegarem a 
base da rampa? 
 
 
13. Um ioiô é composto dedois discos de latão cuja espessura b é igual a 8,5 mm e cujo raio R me-
de 3,5 cm. Os dois discos estão ligados por um eixo de raio Ro = 3,2 mm. 
a) Qual é o valor do momento de inércia em torno do eixo central? Despreze o momento de inér-
cia do eixo. A densidade ρ do latão é de 8400 kg/m³. 
b) Um fio de comprimento l = 1,1 m e de espessura desprezível está enrolado em torno do eixo. 
Qual é a aceleração linear do ioiô quando ele rola descendo o fio, a partir do repouso? 
c) Qual é a tensão no seu fio? 
 
 
 
Distribuição Relativa das Energias Cinéticas Translacionais e Rotacionais para 
corpos em Rolamento 
Porcentagem de Energia Armazenada na Objeto Momento de Inércia (ICM) Translação Rotação 
Aro I MR² 50% 50% 
Disco ½ MR² 67% 33% 
Esfera 2/5 MR² 71% 29% 
Genérico β MR² β+1
1100 β+
β
1
100 
β pode ser calculado, para qualquer objeto em rolamento, como 2CMMR
I
 
 
 5 
 
Momento Angular 
 
( )vrmpr rrrrlr ×⋅=×= (definição do momento angular) 
onde: l
r
 = vetor momento angular; 
 r
r
 = vetor posição da partícula em relação a origem; 
 pr = vetor momento de inércia; 
 m = massa da partícula; 
 v
r
 = vetor velocidade da partícula. 
 
 
14. A figura ao lado mostra uma vista superior de duas partículas se des-
locando com velocidades constantes ao longo de trajetórias horizon-
tais. A partícula 1, com momento de módulo p1 = 5,0 kg.m/s, tem vetor 
posição 1r
r
 e passará a 2,0 m de O. A partícula 2, com momento de 
módulo p2 = 2,0 kg.m/s, tem vetor posição 2r
r
 e passará a 4,0 m de O. 
Quais são o módulo e o sentido do momento angular total L
r
 em torno 
do ponto O do sistema formado pelas duas partículas? 
 
 
 
Segunda Lei de Newton na Forma Angular 
 
A soma (vetorial) de todos os torques que atuam sobre uma partícula é igual à taxa 
de variação temporal do momento angular dessa partícula. 
 
dt
d
res
l
r
r
=τ 
 
Momento Angular de um Sistema de Partículas 
 
O torque externo resultante resτ
r
 atuando sobre um sistema de partículas é igual à 
taxa de variação temporal do momento angular total L
r
 do sistema. 
 
dt
Ld
res
r
r
=τ sendo: ∑
=
=+++=
n
1i
in21L l
r
l
r
Ll
r
l
rr
 
 
Momento Angular de um Corpo Rígido em Torno de um Eixo Fixo 
 
L = I . ω 
 
Conservação do Momento Angular 
 
Se o torque externo resultante que atua sobre um sistema é nulo, o momento angu-
lar L
r
 do sistema permanece constante, não importando que mudanças ocorram dentro do sistema. 
Se a componente do torque externo resultante atuando sobre um sistema ao longo 
de um certo eixo for nula, então a componente do momento angular do sistema ao longo desse eixo 
pode variar, não importando que mudanças ocorram dentro do sistema. 
 
fi LL
rr
= 
 
 
 
 1p
r
 
 
 
 2r⊥ 1r⊥ 1r
r
 
2p
r
 
 
 2r
r
 
 6 
 
 
15. A figura ao lado mostra um pingüim de massa m caindo do repouso a 
partir do ponto A, a uma distância D da origem O de um sistema de co-
ordenadas xyz. (O sentido positivo do eixo z é dirigido saindo do plano 
da figura). 
a) Qual é o momento angular lr do pingüim caindo em torno do ponto 
O? 
b) Qual é o torque τr sobre o pingüim, em torno da origem O, devido à 
força gravitacional gF
r
? 
 
 
 
16. George Washington Gales Ferris Junior, um engenheiro formado pelo Instituto Politécnico Rens-
selaer, construiu a primeira roda-gigante para a Exposição Mundial 
de Colombo em 1893 em Chicago. A roda, uma surpreendente obra 
de engenharia para a época, carregava 36 cabines de madeira, cada 
uma delas comportando até 60 passageiros, em torno de um círculo 
de raio R = 38 m. A massa de cada cabine era de cerca de 1,1 x 104 
kg. A massa da estrutura da roda era de cerca de 6,0 x 105 kg, con-
centrada principalmente na grade circular na qual as cabines fica-
vam suspensas. A roda dava uma rotação completa com uma velo-
cidade angular ωf em cerca de 2 minutos. 
a) Estime o módulo L do momento angular da roda-gigante e dos 
seus passageiros enquanto ela gira com velocidade angular ωf. 
b) Suponha que a roda-gigante completamente carregada é posta a 
girar a partir do repouso até ωf num tempo ∆t1 = 5,0 s. Qual é o 
módulo do torque externo médio resultante τméd atuando sobre ela 
durante ∆t1? 
 
17. Uma estudante está sentada em um banco que pode girar 
livremente em torno de um eixo vertical como indica figura 
ao lado. A estudante, inicialmente em repouso, está segu-
rando uma roda de bicicleta cuja borda está carregada com 
chumbo e cujo momento de inércia Ir em torno do seu eixo 
central é 1,2 kg.m2. A roda está girando a uma velocidade 
angular ωr de 3,9 rev/s; quando vista de cima, a rotação é 
anti-horária. O eixo da roda é vertical e o seu momento an-
gular rL
r
 aponta verticalmente para cima. A estudante então 
inverte a roda de forma que, quando vista de cima, ela gira 
no sentido horário. Seu momento angular é agora – rL
r
. A 
inversão resulta em estudante, banco e roda girando juntos, 
como um corpo rígido composto, em torno do eixo de rota-
ção do banco, com momento de inércia IC = 6,8 kg.m². (O fato da roda também estar girando em 
torno do seu eixo não afeta a distribuição de massa desse corpo composto; assim, IC possui o 
mesmo valor independente de a roda estar girando ou não.) Com que velocidade angular ωC e 
em que sentido o corpo composto gira após a inversão da roda? 
 
Gabarito: 
1. a) 0,6 rad 
b) 1,4 rad/s 
c) 0,5 rad/s² 
2. a) 32 s 
b) 13 s 
3. a) 0,0301 rad/s² 
b) 46,5 s 
4. a) 31,5 kg.m² 
b) 63 kg.m² 
 
5. – 24 rad/s² 
6. a) 300 N 
b) 613,6 N 
7. 90 J 
8. 1,50 x 107 J 
9. a) 4,10 m/s 
b) 8,40 N 
 
 
 
10. a) 30 cm/s 
b) 0,28 rev/s 
c) 24 mJ 
d) Tr. 67%, Rot. 33% 
11. 4,1 m/s 
12. a) Esfera, disco, aro 
b) 2,7 m/s esfera 
 2,6 m/s disco 
 2,3 m/s aro 
 
13. a) 3,4 . 10-4 kg.m² 
b) – 0,16 m/s² 
c) 5,3 N 
14. 2,0 kg.m²/s 
15. a) l=Dmgt 
 7 
b) τ = Dmg 16. a) 6,4 x 107 kg.m²/s b) 1,3 x 107 N.m 17. 1,4 ver/s

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