Gabarito - 2a avaliação NB006-BC

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NB006-B/C – Probabilidade e Estatística 
 
2ª Avaliação – GABARITO 
Renan Ralpe Sthel Duque 
Nota: 
 
 
 
1ª Questão (30 pontos): O período de hospital, em dias, para pacientes em tratamento de uma 
determinada enfermidade é uma variável aleatória contínua X, de função de distribuição 
cumulativa dada por 
 








≥
≤≤





−⋅
=
contrário caso 0
20 1
2010 1001
3
4
)(
2
x
x
x
xFX . Pede-se: 
 
a) (15 pontos) A média do número de dias que um paciente permanece no hospital para 
tratar esta enfermidade. 
 



 ≤≤
=
contrário caso , 0
2010 ,
3
800
)( 3 xxxf X 
 
∫∫ ==
−
=⋅=⋅=
=
−
20
10
20
10
2
20
10
3 dias 13,333
40
3
800
3
800
3
800][
xx
dxxdx
x
xXE 
 
b) (15 pontos) O desvio padrão do número de dias que um paciente permanece no hospital 
para tratar esta enfermidade. 
 
∫∫ =⋅=⋅=⋅=⋅=
=
−
20
10
20
10
1
20
10
3
22 184,84ln(2)
3
800)ln(
3
800
3
800
3
800][
x
xdxxdx
x
xXE 
15,733,1384,184 22 =−=Xσ 
dias 67,215,7 ==Xσ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (30 pontos): Em uma transmissão digital, a probabilidade de um bit ser recebido 
com erro é de 0,8%. Pede-se: 
 
a) (14 pontos) Qual é a média e o desvio padrão de bits recebidos com erro, se observarmos 
blocos de recepção de 100 mil bits? 
 
800008,0100000][ =⋅== npXE 
17,286,793992,0008,0100000 ==⋅⋅== npqXσ 
 
b) (16 pontos) Considerando a recepção de um bloco de 100 mil bits, determine a 
probabilidade de encontrar entre 780 e 830 bits recebidos com erro. 
 
71,0
17,28
800780
1 −=
−
=Z 06,1
17,28
800830
2 =
−
=Z 
%67,61%45,14%88,23%100)06,1()71,0(1]06,171,0[]830780[ =−−=−−=<<−=<< QQZPXP
 
3ª Questão (15 pontos): Os átomos de um elemento radioativo estão se desintegrando 
aleatoriamente. Se cada grama desse elemento, em média, emite 3,9 partículas alfa por 
segundo, qual é a probabilidade de que durante o próximo segundo, o número de partículas 
alfa emitidas de um grama seja no mínimo 2? 
 
Distribuição de Poisson, em que 9,3][ == αXE 
 
%08,90e9,41e
!1
9,3
e
!0
9,31]2[
]1[]0[1]2[
9,39,3
1
9,3
0
=−=−−=≥
=−=−=≥
−−−XP
XPXPXP
 
 
4ª Questão (25 pontos): Você está estudando Probabilidade e Estatística na biblioteca, 
quando é abordado por um amigo que afirma ter encontrado a seguinte função característica 
de uma variável aleatória contínua X: 
 
224)( wwjejw +−=Ψ
 Pede-se: 
 
a) (10 pontos) Para a função característica encontrada pelo seu amigo, determine o valor 
médio da variável aleatória X. 
 
 
( ) 224e44 wwjwj
dw
d +−
⋅+−=
Ψ
 j
dw
d
w
4
0
−=
Ψ
=
 ( ) 4)4(][
0
−=−⋅−=
Ψ
−=
=
jj
dw
djXE
w
 
b) (10 pontos) Para a função característica encontrada pelo seu amigo, determine a 
variância da variável aleatória X. 
 
( ) 22 242422
2
e4e44 wwjwwjwj
dw
d +−+−
⋅+⋅+−=
Ψ
 124)4( 2
0
2
2
−=+−=
Ψ
=
j
dw
d
w
 
( ) 12)12()(][ 2
0
2
2
22
=−⋅−=
Ψ
−=
=
j
dw
djXE
w
 
 
4
1612
2
2
−=
−=
X
X
σ
σ
 
 
c) (05 pontos) Seu amigo te apresentou uma função característica válida de uma variável 
aleatória X? Justifique. 
 
Não, pois a variância deve ser positiva.