Exercícios Mecânica Quântica

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Resolvidos
EXEMPLOS – PRINCÍPIO DA INCERTEZA –
1º) Pedem-se:
(a) A INCERTEZA NA MEDIDA DA COORDENADA y DA POSIÇÃO DE UM 
PRÓTON É IGUAL A 2,0x10-12 m. QUAL É A INCERTEZA MÍNIMA PARA SE
MEDIR SIMULTANEAMENTE A POSIÇÃO E A COMPONENTE y DA VELOCIDADE
DO PRÓTON?
R.: 3,2x104 m/s
(b) A INCERTEZA NA MEDIDA DA COMPONENTE z DA VELOCIDADE DE UM
ELÉTRON É IGUAL A 0,250 m/s. QUAL É A INCERTEZA MÍNIMA PARA MEDIR
SIMULTANEAMENTE A VELOCIDADE E A COORDENADA z DO ELÉTRON?
R.: 4,6x10-4 m
EXEMPLOS – PRINCÍPIO DA INCERTEZA –
2º) VIDA MÉDIA DE UMA PARTÍCULA – A PARTÍCULA INSTÁVEL W+ POSSUI
ENERGIA DE REPOUSO IGUAL A 80,41 GeV E A INCERTEZA NA ENERGIA DE
REPOUSO É IGUAL A 2,06 GeV. ESTIME A VIDA MÉDIA DE UMA PARTÍCULA W+.
R.: 3,2x10-25 s
Obs: Ver sobre a partícula W+ em item 46.4, pág 378, livro Sears/Zemansky, 
10ª edição, Pearson Addison Wesley.
Propostos
EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO DA INCERTEZA –
1º)
UM CIENTISTA DESCOBRIU UM MÉTODO NOVO PARA ISOLAR 
PARTÍCULAS INDIVIDUAIS. ELE ALEGA QUE SEU MÉTODO PERMITE A
MEDIDA SIMULTÂNEA DA POSIÇÃO DA PARTÍCULA AO LONGO DE UM
EIXO COM UM DESVIO-PADRÃO DE 0,12 nm E A MEDIDA DO COMPONENTE
DO MOMENTO LINEAR AO LONGO DO MESMO EIXO COM UM DESVIO-
PADRÃO DE 3,0x10-25 kg.m/s. USE O PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE 
HEISENBERG PARA VERIFICAR A VALIDADE DESSA ALEGAÇÃO. 
R.: Não.
Propostos
EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO DA INCERTEZA –
2º)
UMA PARTÍCULA INSTÁVEL PRODUZIDA EM UMA COLISÃO COM 
ENERGIA ELEVADA POSSUI MASSA 4,50 VEZES MAIOR DO QUE A MASSA
DO PRÓTON E UMA INCERTEZA NA MASSA IGUAL A 14,5% DO VALOR DA
MASSA. USANDO A RELAÇÃO E = mc² ENTRE A ENERGIA E A MASSA, 
ESTIME A VIDA MÉDIA DA PARTÍCULA.
R.: 1,08x10-24 s
3º)
O PÍON NEUTRO (piº) É UMA PARTÍCULA INSTÁVEL PRODUZIDA EM
COLISÕES ENTRE PARTÍCULAS COM ENERGIAS ELEVADAS. SUA MASSA
É APROXIMADAMENTE 264 VEZES MAIOR DO QUE A MASSA DO ELÉTRON
E POSSUI UMA VIDA MÉDIA DE 8,4x10-17 s ANTES DE DECAIR TRANSFOR_
MANDO-SE EM DOIS FÓTONS DE RAIOS GAMA. USANDO A RELAÇÃO 
ENTRE MASSA E ENERGIA E = mc², CALCULE A INCERTEZA NA MASSA 
DA PARTÍCULA.
R.: 1,402x10-35 kg
Propostos
EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO DA INCERTEZA –
EXEMPLOS – QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA NA MATÉRIA –
1º) QUANDO AS FUNÇÕES DE ONDA PARA UMA PARTÍCULA CONFINADA EM UMA
CAIXA TÊM A FORMA DESCRITA PELA FIGURA 1, A SUA ENERGIA TOTAL É DE 6,0 eV.
PEDEM-SE:
(a) QUAL A SUA ENERGIA TOTAL QUANDO A FUNÇÃO DE ONDA TEM A FORMA DA 
FIGURA 2? R.: 13,5 eV
(b) QUAL A ENERGIA TOTAL POSSÍVEL MAIS BAIXA PARA A PARTÍCULA? R.: 1,5 eV
0 L
Figura 1
0 L
Figura 2
Resolvidos
2º) UM SISTEMA MASSA-MOLA, COM MASSA m = 1,0 kg E CONSTANTE
DE MOLA k = 20 N/m, OSCILA COM UMA AMPLITUDE DE 1,0 cm.
PEDEM-SE:
(a) SUPONDO A SUA ENERGIA TOTAL QUANTIZADA DE ACORDO
COM A EQUAÇÃO E = nhf, QUAL SERIA O VALOR DO SEU NÚMERO
QUÂNTICO n? R.: 2,12x1030
(b) CASO n VARIASSE DE UMA UNIDADE, QUAL SERIA A PERCENTA_
GEM DE VARIAÇÃO DA ENERGIA? EXPLIQUE. R.: 4,78x10-29%
EXEMPLOS – QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA NA MATÉRIA –
Proposto
1º) BOLAS DE BILHAR NO NÍVEL FUNDAMENTAL – (a) DETERMINE O 
NÍVEL DE ENERGIA MAIS BAIXO PARA A PARTÍCULA EM UMA CAIXA 
SUPONDO QUE A PARTÍCULA SEJA UMA BOLA DE BILHAR, m = 0,20 kg, E 
QUE A CAIXA POSSUA UMA LARGURA IGUAL A 1,5 m, O TAMANHO DE
UMA MESA DO JOGO DE BILHAR. (SUPONHA QUE A BOLA DE BILHAR
DESLIZE SEM ATRITO EM VEZ DE ROLAR SEM DESLIZAR. OU SEJA, 
DESPREZE A ENERGIA CINÉTICA DA ROTAÇÃO.)
(b) COMO A ENERGIA DO ITEM (a) É TOTALMENTE DADA PELA ENERGIA
CINÉTICA, A QUE VELOCIDADE ISSO CORRESPONDE? COM ESSA VELO_
CIDADE, QUANTO TEMPO, EM HORAS, A BOLA LEVARIA PARA IR DE UMA
EXTREMIDADE DA MESA ATÉ A OUTRA? 
(c) QUAL É A DIFERENÇA DE ENERGIA ENTRE OS NÍVEIS n =2 E n = 1?
(d) OS EFEITOS DA MECÂNICA QUÂNTICA SÃO IMPORTANTES PARA O
JOGO DE BILHAR? 
R.: 1,22x10-67 J ; 1,10x10-33 m/s ; 3,78x1029 h ; 3,66x10-67 J ; Não.
QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA NA MATÉRIA
2º) PARTÍCULA EM POÇO QUÂNTICO - UM ELÉTRON EM UMA MOLÉCULA
ORGÂNICA USADA EM UM LASER DE CORANTE SE COMPORTA APROXIMA_
DAMENTE COMO UMA PARTÍCULA EM UMA CAIXA DE LARGURA IGUAL A
4,18 nm. QUAL É O COMPRIMENTO DE ONDA DO FÓTON EMITIDO QUANDO
O ELÉTRON SOFRE UMA TRANSIÇÃO:
(a) DO PRIMEIRO NÍVEL EXCITADO PARA O NÍVEL FUNDAMENTAL?
R.: 19,22x10-6 m
(a) DO SEGUNDO NÍVEL EXCITADO PARA O PRIMEIRO NÍVEL EXCITADO?
R.: 11,5x10-6 m 
Proposto
QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA NA MATÉRIA
Proposto
3º) PRINCÍPIO DA INCERTEZA - IMAGINE QUE EM OUTRO UNIVERSO
A CONSTANTE DE PLANCK SEJA IGUAL A 6,63x10-22 J.s E QUE AS LEIS 
DA FÍSICA E DEMAIS CONSTANTES SEJAM AS MESMAS DO NOSSO.
NO OUTRO UNIVERSO UM ÁTOMO POSSUI UM NÍVEL DE ENERGIA 4,5 eV
ACIMA DO NÍVEL FUNDAMENTAL. A VIDA MÉDIA DESSE ESTADO EXCITADO
(O TEMPO MÉDIO DURANTE O QUAL O ELÉTRON PERMANECE NESSE 
ESTADO) É IGUAL A 2,24x10-3 s. QUAL É A INCERTEZA MÍNIMA (EM eV) NA 
ENERGIA DO FÓTON EMITIDO QUANDO O ÁTOMO FAZ A TRANSIÇÃO DO 
ESTADO EXCITADO PARA O ESTADO FUNDAMENTAL? R.: 0,294 eV
5º) Um átomo de sódio com massa igual a 3,82x10-26 kg vibra com movimento
harmônico simples no interior do cristal. A energia potencial cresce de 0,0075 eV
quando o átomo é deslocado de 0,014 nm a partir de sua posição de equilíbrio.
(a) Calcule a frequência angular usando a mecânica newtoniana.
(b) Determine o espaçamento entre dois níveis de energia adjacentes em eV.
(c) Se um átomo emite um fóton durante a transição de um nível vibracional até
o nível seguinte mais baixo, qual é o comprimento de onda do fóton emitido? Em
que região do espectro eletromagnético esse fóton se encontra? 
EXERCÍCIO – Partícula em um poço quântico –
(exemplo 42.7, pág 255, 10ª ediçã)
Propostos
6º) UMA BOLA DE VIDRO DE 10,0 g É COLOCADA CUIDADOSAMENTE
SOBRE UMA MESA HORIZONTAL DE 1,75 m DE LARGURA.
a) QUAL É A INCERTEZA MÁXIMA NA POSIÇÃO HORIZONTAL DA BOLA?
b) SEGUNDO O PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG, QUAL É A
INCERTEZA MÍNIMA NA VELOCIDADE HORIZONTAL DA BOLA?
c) À LUZ DA SUA RESPOSTA À PARTE (b), QUAL É O MAIOR TEMPO QUE 
A BOLA PODE PERMANECER SOBRE A MESA?
R.: 1,75 m ; 6,03x10-33 m/s ; 2,90x1032 s
PROPOSTOS
7º) UM BLOCO DE MADEIRA COM MASSA IGUAL A 0,250 kg OSCILA NA 
EXTREMIDADE DE UMA MOLA CUJA CONSTANTE É IGUAL A 110 N/m. 
CALCULE A ENERGIA DO NÍVEL FUNDAMENTAL E A DIFERENÇA DE ENERGIA
ENTRE DOSI NÍVEIS ADJACENTES. CONSIDERE QUE OS NÍVEIS DE ENERGIA
DO OSCILADOR POSSAM SER DETERMINADOS POR En = nhf. EXPRESSE
SUA RESPOSTA EM JOULES E EM ELÉTRONS-VOLT. EXPLIQUE SE OS 
EFEITOS QUÂNTICOS SÃO IMPORTANTES.
R.: 2,21x10-33 J , 1,38x10-14 eV ; 2,21x10-33 J