HP 12C – USO E APLICAÇÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA

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HP-12C – USO E APLICAÇÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RENATO BECKER 
 
Renato Becker 
2 
HP-12C – USO E APLICAÇÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
OBJETIVO 
 
Capacitar o participante a utilizar, de modo eficaz, a CALCULADORA HP-12C pelo uso das funções 
existentes e a suas aplicações em Finanças, Matemática, etc.. 
 
Transmitir ao participante as formas de evolução do dinheiro com o tempo nas aplicações e 
empréstimos e instrumentos para análise de alternativas de investimentos, enfatizar também aspectos 
teóricos para desenvolver a capacidade de resolução de novos problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RENATO BECKER 
 
 
 Formação:- Matemática, Economia, Pós-Graduação em Administração de Empresas e Controladoria. 
 
 Experiência:- 10 anos como Analista de Sistemas na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 
2 anos como Chefe de Planejamento de Materiais na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 
4 anos como Assessor Técnico do PCP na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 
4 anos como Coordenador do Projeto MRP II na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 
9 anos como Gerente de Informática na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 
5 anos como Gerente de Tecnologia da Informação na Termotécnica Ltda. 
Professor Universitário da cadeira de Matemática Financeira na FURJ desde 1978. 
8 anos como Instrutor do SENAC para os seminários de Matemática Financeira e 
Calculadora HP-12C. 
Instrutor da ABAM, FAE e FEJ. 
 
 
 
Renato Becker 
3 
P R O G R A M A 
 
 
 
I - HP-12C 
 
 
 OPERAÇÕES BÁSICAS 
 
 Liga/Desliga 
 Apresentação de valores 
 Mantissa 
 Uso do teclado 
 Pilha operacional 
 
 
 INTRODUÇÃO DE VALORES 
 
 Limpar registradores (memórias) 
 Inversão de sinal 
 Fixar decimais 
 
 
 CÁLCULOS ARITMÉTICOS 
 
 Operações aritméticas 
 Registradores (memórias) de armazenamento 
 
 
 CÁLCULOS MATEMÁTICOS 
 
 Inverso 
 Potenciação 
 Raiz "enézima" 
 Logaritmo 
 
 
 ALTERAÇÃO DE VALORES 
 
 Arredondamento 
 Números inteiros 
 Números fracionários 
 
 
 PORCENTAGEM 
 
 Cálculo de percentagem 
 Variação percentual 
 Participação percentual 
 
 
CALENDÁRIO 
 
 Modos de apresentação (notação) 
 Número de dias entre datas 
 Determinação de datas e dia da semana 
 
 
 
Renato Becker 
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II- MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 FUNDAMENTOS 
 
 Conceituação 
 Simbologia 
 
 
 Saldo médio 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
Caracterização 
 Registradores financeiros 
 Fórmulas e exemplos 
.Capitalização para períodos fracionários 
 
 
 PRESTAÇÕES 
 
 Caracterização 
 Prestações iguais 
 Taxa de juros 
 Prestação antecipada 
 Prestação com carência (diferida) 
.Saldo devedor 
 
 
 FLUXO DE CAIXA 
 
Valor presente líquido 
Taxa interna de juros 
 
 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
 Conceituação 
 Fórmulas e exemplos 
 Exercícios 
 
 
 PROGRAMAÇÃO BÁSICA COM A HP-12C 
 
Renato Becker 
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HP-12C - USO E APLICAÇÕES 
 
 
OPERAÇÕES BÁSICAS 
 
 
LIGA/DESLIGA 
 
 
 Tecla ON - LIGA quando está desligada 
 DESLIGA quando está ligada 
 
 
 Desliga automaticamente entre 8 e 17 minutos após uso 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DOS VALORES 
 
 
 Notação Americana/Inglesa - Ponto para decimais 
 Vírgula para milhares 1,000.00 
 
 
 Notação Européia - Vírgula para decimais 
 Ponto para milhares 1.000,00 
 
 
 Tecla . (ponto) e ON muda a notação 
 
 
 
USO DO TECLADO 
 
 
 As teclas da HP-12C podem possuir até 3 funções. 
 
 
 - PRIMÁRIA - Face superior da tecla, identificada na cor BRANCA. 
 
 - 1a. SECUNDÁRIA - Acima da tecla, na cor AMARELA. 
 
 - 2a. SECUNDÁRIA - Face oblíqua da tecla, na cor AZUL. 
 
 
 - PRIMÁRIA (branca) - pressionar a tecla. 
 
 - 1a. SECUNDÁRIA (amarela) - pressionar a tecla e após pressionar a tecla da função 
desejada. 
 
 - 2a. SECUNDÁRIA (azul) - pressionar a tecla e após pressionar a tecla da função desejada. 
 
 
 
Renato Becker 
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PILHA OPERACIONAL 
 
São 4 registradores especiais usados para armazenar números durante os cálculos. 
 
Para melhor entendimento e visualização usa-se a notação de empilhamento. 
 
 
 T 
 Z 
 Y 
 X (visor) 
 
 
 Cálculos com 1 número - registrador X 
 Cálculos com 2 números - registradores X e Y. 
 
 Z e T ===> Armazenam resultados intermediários. 
 
 
 
 
TECLA ENTER 
 
Ao digitarmos um número na calculadora, este é apresentado no visor, ou seja, no registrador X. 
Pressionando a TECLA ENTER este número é transferido para o registrador Y, permitindo que novo 
valor seja digitado. 
 
Exemplo - 
 
T 
Z 
Y 
X 
 
 
Renato Becker 
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TECLA (Roll down = Girar para baixo) 
 
 
 Permite verificar e recuperar o conteúdo da Pilha Operacional. 
 
 X --> T --> Z --> Y --> X 
 
 
 Exemplo - 
 
 
T 
Z 
Y R↓ R↓ R↓ 
X 
 
 
 
 
 
 
TECLA 
 
 
 Inverte o conteúdo dos registradores X e Y. 
 
 
 Exemplo - 
 
T 
Z 
Y X><Y X><Y X><Y 
X 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
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TECLA (Last X = Último X) 
 
 
 Recupera o valor do último número que constava no visor antes da última operação. 
 
 
 Exemplo - 
 
T 
Z 
Y 
X 
 
 
 Também pode ser usado como constante 
 
 
 Exemplo - Qual a receita produzida por um produto se vendermos 800 unidades a UM$ 50,00, UM$ 
75,00 e UM$ 95,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO DE VALORES 
 
LIMPAR REGISTRADORES (MEMÓRIAS) 
 
 
 CL X - Registrador X (Visor) 
 f CLEAR ∑ - Registradores Estatísticos (0 a 6) 
 f CLEAR PRGM - Programa 
 f CLEAR FIN - Registradores Financeiros 
 f CLEAR REG - Todos Registradores 
 f CLEAR PREFIX - Anula tecla de prefixo (f,g) 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
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INVERSAO DE SINAL (CHange Sign = Trocar sinal) 
 
 
 Positivo ===> Negativo 
 
 Negativo ===> Positivo 
 
 
 Exemplo - 
 
 -32 
 
 (-27) x 8 
 
 41 : (-3) 
 
 
 
FIXAR DECIMAIS n 
 
 
 Para fixar o número de casas decimais a serem apresentadas no visor (registrador X) da calculadora, 
teclar f e em seguida o número de decimais desejadas. 
 
 
 Exemplo - 
 
 0 decimais 
 
 3 decimais 
 
 9 decimais 
 
 
 Obs.:- Apesar do visor apresentar o número de casas decimais desejadas, internamente a HP-12C 
continua efetuando os cálculos com até 16 casas decimais. 
 
MANTISSA 
 
 
 Mostra no visor o conteúdo dos 10 dígitos do visor. 
 Manter a tecla ENTER pressionada. 
 
 
 Exemplo - 
 f 2 1,23456789 ENTER 
 
 
 
 
Renato Becker 
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CÁLCULOS ARITMÉTICOS 
 
 
 
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS 
 
 
As operações aritméticas são cálculos que necessitam de dois números e para efetuar esta operação a 
calculadora HP-12C utiliza o sistema de notação polonesa inversa (RPN). 
Neste caso será necessário introduzir na calculadora os dois números (armazenados em X e Y) e entãoefetuar a operação a ser executada. 
 
 
 Exemplo - 
 
 12 + 5 14 x 8 29 - 12 36 ÷ 4 
 
 
 
 
 
 
 
 Com o auxílio da pilha operacional podemos executar cálculos encadeados. 
 
 
 Exemplo - Calcular 
 
 (4 + 8) ÷ (7 - 3) 9 x (3 + 5) (98 - 90) x (5 + 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
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REGISTRADORES (MEMÓRIAS) DE ARMAZENAMENTO 
 
 
 A HP-12C pode possuir até 20 registradores ou memórias para armazenar resultados de operações 
aritméticas. 
 
 0 --> 9 e .0 --> .9 
 
ARMAZENAR NÚMEROS (STOre = Armazenar) 
 
 
 STO n (n = número da memória) 
 
 
 Exemplo - 
 
 2 no registrador 9 
 
 35 + 7 no registrador 6 
 
 4 x 9 no registrador 3 
 
 45 ÷ 3 no registrador .2 
 
 
Os registradores de 0 a 4 permitem que a operação de armazenamento seja acompanhada de 
operações aritméticas, possibilitando o seu uso como acumuladores. 
 
 
 Exemplo - 
 
 Somar 5 no registrador 3 
 
 Diminuir 2 do registrador 3 
 
 Multiplicar por 9 o registrador 3 
 
 Dividir por 3 o registrador 3 
 
 
 
RECUPERAR NÚMEROS ARMAZENADOS (ReCalL = Recuperar) 
 
 
 RCL n (n = número da memória) 
 
 
 Exemplo - Verificar o conteúdo dos registradores 
 
 0 
 
 3 
 
 6 
 
 9 
 
 .2 
 
Renato Becker 
12 
CÁLCULOS MATEMÁTICOS 
 
 
 
INVERSO 
 
 
Obtém o inverso do valor contido no visor. Esta operação representa o mesmo que dividir 1 pelo 
conteúdo do visor (registrador X) 
 
 
 Exemplo - 
 
 Determinar o inverso dos seguintes números:- 
 
 5 0,25 0,5 
 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
 
 
 
Esta é uma operação de dois números (registrador X e Y). 
 
 Y Recebe a base 
 
 X Recebe o expoente 
 
 
 Exemplo - 
 
 Calcule as seguintes potências:- 
 
 45 9-2,5 3,8720 ÷ 58 
 
 
RAIZ ENÉZIMA x y 
 
A HP12C dispõe somente da função raiz quadrada, porém usando um artifício matemático, é possível 
extrair qualquer raiz, ou seja, se utilizarmos a potência inversa (elevar à potência 1/X) obteremos o 
resultado desejado. 
 
 
x y = Y 1÷X ou Y1/x 
 
 
 Exemplo - 
 
 Determinar as seguintes raizes:- 
 
 
3 8 12 254 5 425− 
 
 
 
 Determinar a taxa mensal equivalente 600% ao ano. 
 
Renato Becker 
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LOGARITMO 
 
 
 ln = Logaritmo natural ou Neperiano 
 
 
 Exemplo - 
 
 Calcular o logaritmo neperiano de:- 
 
 100 123 2 2,7182818 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obs.:- Para obter o logaritmo comum (base 10) de um número (log, base 10), calcular o ln do número 
desejado, em seguida o ln de 10 e dividindo-se os valores. 
 
 Calcular o logaritmo comum (log) de:- 
 
 100 123 2 2,7182818 
 
 
 
Renato Becker 
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 ALTERAÇÃO DE VALORES 
 
 
 
ARREDONDAMENTO (RouND = Arredondar) 
 
 
Arredonda o número do visor (registrador X) e internamente para a quantidade de decimais constantes 
no visor 
 
 g Lst X -- Recupera o valor com todas as decimais. 
 
 
 Exemplo - 
 Arredondar para:- 
 
 3 decimais 1,2345678 
 
 
 5 decimais 234,5678901 
 
 
 
 
 Obs.:- O critério de arredondamento usado, é o convencionado internacionalmente. 
0 a 4 -- abandona 
5 a 9 -- aumenta. 
 
 
 
 
PARTE INTEIRA (INTeGer = Nº Inteiro) 
 
 
 Altera o número do visor (registrador X) para a parte inteira do número nele contido, abandonando as 
decimais. 
 
 g Lst X -- Recupera o valor original. 
 
 
 Exemplo - 
 
 Obter o número inteiro de:- 
 
 1,2345678 
 
 
 345,678901 
 
 
 0,598723 
 
 
 
Renato Becker 
15 
PARTE FRACIONÁRIA (FRACtional = Fracionário) 
 
 
 Altera o número do visor (registrador X) para a parte fracionária, a parte inteira é substituída por zero. 
 
 g Lst X -- Recupera o valor original. 
 
 
 Exemplo - 
 
 Manter as decimais dos seguintes números:- 
 
 457,987 
 
 754 
 
 9,876578 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Segundo o dicionário - Porcentagem ou percentagem - “Quantia que se paga ou recebe na proporção 
de um tanto por cento”. 
Porcento – “Importância recebida proporcional à venda; taxa ou quantidade que 
determina essa importância”. 
Cento – (s. m.) Número de cem; Uma coleção de cem unidades. 
 
PERCENTUAL 
 
 
Operação de dois números. Informar em primeiramente o valor base (de quem se quer obter o 
percentual) e em seguida o valor do porcentual que se deseja calcular. 
 
 Exemplo - 
Calcular 35% de 120.000. 
 
 
 
 
 Obs.:- O valor base permanece no registrador Y, permitindo com isso operações aritméticas entre ele e 
o resultado 
 
 
 Exemplo - 
Um objeto custa UM$ 520,00 e teve um aumento de 15%. Qual o seu novo preço? 
 
 
 
 
 
Uma loja oferece 12% de desconto para a compra à vista de um objeto que custa UM$ 420,00. Qual o 
valor a pagar? 
 
Renato Becker 
16 
VARIAÇÃO PERCENTUAL 
 
 
 Determina a diferença percentual entre um número base (registrador Y) e o número indicado no visor 
(registrador X). 
 
 
 Exemplo - 
O preço de um objeto aumentou de UM$ 240,00 para UM$ 324,00. Qual foi o aumento verificado? 
 
 
 
 
 
Um objeto alterou seu preço de UM$ 675,00 para UM$ 540,00. Qual a redução ocorrida? 
 
 
 
 
 
 
PARTICIPAÇÃO PERCENTUAL (Percentual de um Total) 
 
 
 Determina quantos porcentos representa o valor contido no visor (registrador X) em relação a um valor 
base (registrador Y). 
 
 
 Exemplo - 
 
Qual a participação percentual de 220 em um total de 880? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O faturamento de uma empresa foi:- 
 UM$ 1200,00 Mercado Nacional 
 2500,00 Europa 
 4500,00 E U A 
 500,00 África 
 
Qual a participação de cada um sobre o total? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
17 
CALENDÁRIO 
 
 
A HP-12C está preparada para manipular datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 
4046. 
 
 
 
FORMATO DA DATA 
 
 
 A data pode ser manipulada de duas maneiras:- 
 
 Americano/Inglês - Mês Dia Ano 
 
 Europeu - Dia Mês Ano 
 
 
 Um desativa o outro. 
 Quando D.MY estiver ativado, esta informação permanece indicada no visor. 
 
 As datas devem ser informadas da seguinte maneira.- 
 
 M.DY ==> 15/08/1998 
 
 D.MY ==> 15/08/1998 
 
 
 
 
NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS (DaYS = Dias) 
 
 
 Determina a quantidade de dias entre duas datas informadas. 
 
 Registrador X ==> Ano Civil (365 dias) 
 Y ==> Ano Comercial (360 dias) 
 
 
 Exemplo – 
 
 Determinar o número de dias decorridos entre 15 de outubro de 1998 e 27 de julho de 1999. 
 
 
 
 
 
 
Determine o número de dias decorridos entre o dia do seu nascimento e data de hoje. 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
18CÁLCULO DE DATA E DIA DA SEMANA (DATE = Data) 
 
 
 Determina a data e o dia da semana a partir de uma data base, decorrido um certo número de dias 
(passado ==> nº de dias negativo). 
 
 O resultado tem o seguinte formato:- 
 dd.mm.aaaa S ==> D.MY 
 mm.dd.aaaa S ==> M.DY 
 
 S ==> Dia da semana, 1 - Segunda, 2 - Terça,....., 6 - Sábado, 7 - Domingo. 
 
 Utiliza o calendário civil. 
 
 
 Exemplo - 
Determinar a data e dia da semana em que ocorrerá o vencimento de uma duplicata emitida no dia 20 
de agosto de 1999 com prazo de 45 dias. 
 
 
 
 
 
 
Determinar o dia da semana do seu nascimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
19 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
CONCEITUAÇÃO 
 
 
A fim de produzir os bens de que necessita, o homem combina os fatores produtivos - recursos 
naturais, trabalho e capital. Assim organizando a produção temos a geração de bens e serviços. A sua 
venda gera a renda que é distribuída na forma de salários, alugueis, lucros e juros, este último 
destinado aos proprietários do capital. 
 
 
No cálculo financeiro JURO é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por um 
determinado tempo, a uma taxa previamente combinada. 
 
 
Dinheiro que se paga pelo uso de dinheiro emprestado 
 
 
 
 
SIMBOLOGIA 
 
 
P (PV) = Principal, valor do capital no início do investimento, ou seja, é a quantia transacionada, 
também chamado de valor atual, valor presente, capital, etc.. 
 
r (I)= Taxa de juros por período de capitalização, expresso como porcentagem do principal. 
 
i = Taxa de juros por período de capitalização, expresso na forma decimal (r/100), também conhecida 
como taxa unitária de juros. 
 
n = Número de unidades de tempo do investimento, ou seja, é a duração do investimento, (representa a 
quantidade de capitalizações). 
 
j = Valor dos juros produzidos (recebidos/pagos) durante um investimento. 
 
S (FV) = Montante, valor do capital no final do investimento acrescido de juros, também conhecido 
como valor nominal, valor futuro, valor final, etc.. 
 
d = Desconto obtido numa operação de antecipação de pagamento de um título. 
 
R (PMT) = Valor de uma parcela de pagamento, quando uma dívida é paga de forma parcelada. 
 
 
 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
 
 
 $ $ 
 | | receitas 
0 1 2 3 4| n-1| n 
+---+---+---+---+ .............---+---+---+---> período 
| | | | 
| | | | despesas 
$ $ $ $ 
 
Renato Becker 
20 
Cuidados 
 
• A taxa de juros deve sempre ser transformada para o seu período de capitalização. 
 
• A taxa de juros e o número de períodos de um investimento devem sempre ser expressos na mesma 
unidade de tempo (de preferência na unidade de tempo da taxa de juros). 
 
 
SALDO MÉDIO 
 
 
O cálculo do saldo médio de um saldo bancário é o resultado da soma dos saldos diários dividido pelo 
número de dias de observação. 
 
 
n
$$$$
médio_saldo n321 ++++= L 
 
 
n321
nn332211
nnnn
n$n$n$n$
médio_saldo
++
×++×+×+×
=
++ L
L
 
 
 
Exemplo 
 
 
 Saldo D/C Dias de Saldo 
 600,00 C 5 
 710,00 C 4 
 280,00 C 12 
 110,00 C 9 
 
 
 
 
 
FORMAS DE PAGAMENTO POR JUROS COMPOSTOS 
 
 
- Pagamento Simples (único) 
 
- Série Uniforme de Pagamentos (prestações) 
 
- Mistos 
 
 
 
 
Renato Becker 
21 
REGISTRADORES FINANCEIROS 
 
 
Através das funções financeiras podem ser resolvidos, no regime de capitalização composta, quaisquer 
problemas financeiros que impliquem num só pagamento ou em uma série de pagamentos iguais. Os 
valores dos pagamentos ou recebimentos introduzidos na calculadora devem estar de acordo com a 
convenção de sinais estabelecida para fluxos de caixa, ou seja, sinal + para entradas e sinal - para 
as saídas. 
 
 
A HP-12C possui 5 registradores especiais para armazenamento e cálculo de valores na resolução de 
problemas que envolvam finanças. 
 
 
 - Número de períodos de um investimento 
 - Taxa de juros por período de capitalização em % 
 - Valor Presente ou Principal 
 - Valor da prestação de uma Série Uniforme 
 - Valor Futuro ou Montante 
 
Para armazenar valores nestes registradores basta digitar o valor e pressionar a tecla correspondente. 
 
Para recuperar o valor armazenado em um registrador financeiro, basta pressionar seguida da 
tecla do registrador correspondente. 
 
 - É importante limpar os registradores financeiros antes de qualquer cálculo. 
 
 
 
Para planos de pagamentos mistos (fluxos de caixas) podem ser utilizadas as teclas de fluxo de caixa:- 
 
 - Valor no período zero do fluxo de caixa 
 - Valor nos demais períodos do fluxo de caixa 
 - Número de vezes que o valor se repete 
 - Valor atual líquido do fluxo de caixa 
 - Taxa interna de retorno do fluxo de caixa 
 
 
Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa. 
Cada conjunto de valores, a exceção do gCf0, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento. 
 
 
 - Valor atual líquido do fluxo de caixa 
 
Renato Becker 
22 
 - Taxa interna de retorno do fluxo de caixa 
 
 
Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa. 
Cada conjunto de valores, a exceção do gCf0, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento. 
 
 
 
Renato Becker 
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PAGAMENTO SIMPLES 
 
 
No sistema de pagamento simples sempre estão envolvidos um principal e um montante, além de 
evidentemente da taxa de juros e do tempo do investimento. 
 
Para P sempre atribui-se o tempo (período) zero e para S o período n. 
 
 
 0 1 2 3 4 . . . . . . n 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | 
 | | 
 | | 
 P S 
 
 
 
FÓRMULAS 
 
 
 
 
( )i1PS n+= S = P x FAC'(r,n) 
 
 FAC' = fator de acumulação de capital 
 
 
 ( )ni1
SP
+
= P = S x FVA'(r,n) 
 FVA' = fator de valor atual 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Um investimento paga 5% a.m. de juros, quanto é possível resgatar após 6 meses, se aplicarmos 
UM$ 35.000,00? 
 
 0 1 2 3 4 .5. . 6 
 +---+---+---+---+---+---+----> 
 | | 
 | | 
 | | 
 P S 
 
 
 
 
 
2. Qual o principal, que aplicado a juros de 11% a.a. produz um montante de US$ 35.000,00 após 12 
anos? 
 
 
Renato Becker 
24 
3. Um investimento de UM$ 25.000,00 produz UM$ 36.600,00 ao final de 4 meses. Qual a taxa de 
juros? 
 
1
P
Si n −








= 
 
 
 
 
 
 
4. Durante quanto tempo um capital de UM$ 100.000,00 deve ser aplicado a juros de 10% ao mês para 
produzir juros de UM$ 61.000,00? 
 
( )i1log
P
Slog
i
+
= 
 
 
 
 
 
5. Um banco remunera as aplicações com juros de 3% a.m.. Se aplicarmos hoje UM$ 8.500,00 e UM$ 
10.000,00 daqui a 3 meses qual será o resgate daqui a 6meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
25 
 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS É FRACIONÁRIO 
 
 
Para investimentos em regime de capitalização composta por um período de tempo nao inteiro, é 
necessário convencionar de que forma será calculado o valor do montante. São utilizadas várias 
convenções, conforme exposto a seguir para o exemplo de uma aplicação de UM$ 100.000,00 durante 
3,5 meses com uma taxa de 18% a.m. 
 
Três critérios:- 
 
 
a) EXCLUSÃO – Período Inteiro – Juros Compostos 
Período Fracionário – Não remunerado 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) LINEAR – Período Inteiro – Juros Compostos 
Período Fracionário – Juros Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) EXPONENCIAL – Período Inteiro – Juros Compostos 
Período Fracionário – Juros Compostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
26 
PRESTAÇÕES (ou Rendas) 
 
 
Os sistemas de prestações são casos particulares de juros compostos e devido a sua freqüência e 
características foram desenvolvidas fórmulas para a determinação dos valores. 
O principio do sistema de prestações é o de que cada parcela é composta por dois valores, amortização 
e juros. 
 
Os principais sistemas são:- 
 
- Prestações Iguais 
- Prestações Antecipadas 
- Prestações com carência ou diferidas 
- Prestações com pagamentos adicionais (balão) 
 
 
 
 
PRESTAÇÕES IGUAIS OU SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 
 
 
É o caso mais comum de sistema de prestações e serve como base para a maioria dos demais 
sistemas. 
 
 
 0 1 2 3 4 . . . . . . n 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | | | | 
 | R R R R R R R R 
 | | 
 P S 
 
 
 R - parcela de pagamento ou prestação 
 
 
 
Antes de usarmos qualquer fórmula ou a calculadora HP12C para cálculos que envolvam um sistema 
de prestações iguais é necessário que sejam observadas as suas características. 
 
 
Características 
 
1- O primeiro pagamento de um sistema de prestações iguais ocorre um período após o inicio do 
investimento, ou seja, o período 0 é o início do investimento e a ele fica designado o principal. 
2- O valor da parcela (R) é constante durante todo o investimento. 
3- Não existem interrupções de pagamentos durante o investimento. 
4- O número de períodos a ser considerado como n é igual a quantidade de prestações. 
5- A taxa de juros e o intervalo de tempo entre pagamentos de parcelas, devem ser expressos na 
unidade tempo da taxa de juros. 
6- O montante (S) é obtido junto com o pagamento da última prestação. Isto significa dizer que o 
investimento termina com o pagamento da última parcela. 
7- O montante (S) de uma série uniforme de pagamentos é igual ao montante do principal que deu 
origem a ela. 
 
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27 
FÓRMULAS 
 
 
( )










−
+
×=
i
1i1RS
n
 ou S = R x FAC(r,n) 
 FAC = Fator de acumulação de capital 
 
 
( ) 







−+
×=
1i1
iSR
n
 ou R = S x FFC(r,n) 
 FFC = Fator de formação de capital 
 
( )
( ) 







+×
−+
×=
n
n
i1i
1i1RP ou P = R x FVA(r,n) 
 FVA = Fator de valor atual 
 
( )
( ) 







−+
+×
×=
1i1
i1iPR
n
n
 ou R = P x FRC(r,n) 
 FRC = Fator de recuperação de capital 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Se depositarmos mensalmente UM$ 2.000,00 em uma conta que rende 5% a.m. de juros, quanto 
teremos ao final de 8 depósitos? 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | | | | 
 | R R R R R R R R 
 | | 
 P S 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Posso pagar mensalmente de UM$ 1500,00 durante os próximos 10 meses. Que quantia é possível 
financiar se considerarmos uma taxa de juros de 6% a.m.? 
 
 
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28 
3. Uma compra de UM$ 72.000,00 será paga em 7 prestações mensais e iguais. Qual o valor da 
prestação, se a taxa de juros é de 11% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
4. A loja “Vende Fácil” diariamente distribui aos seus vendedores os coeficientes para determinar o 
valor das prestações no caso de vendas a prazo. Hoje ela determinou que a taxa de juros a ser 
praticada é de 4,2% ao mês. Ajude o gerente determinar os coeficientes para os planos de 4, 7 e 12 
meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAXA DE JUROS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS 
 
 
A taxa de juros de um sistema de prestações iguais normalmente é determinada por meio de 
calculadoras financeiras ou então por aproximações sucessivas com o uso de interpolação linear. 
 
 
 
Exemplo 
 
Um financiamento de UM$ 40.000,00 será pago em 24 prestações mensais de UM$ 2.360,00 cada. 
Qual a taxa de juros usada no financiamento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos obter a taxa de juros, de forma aproximada, através da formula de Karppin 
 
 
 
1
P
RnQ −×= ( )( ) 3Q23n
Q3Q200
r
+×+×
+××
= 
 
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29 
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE PARCELAS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS 
 
 
O número de parcelas de um financiamento a partir do valor financiado e do valor da prestação é 
determinado por:- 
 
 
( )i1log
PxiR
Rlog
n
+
−
= 
 
 
Exemplo 
 
Um financiamento de UM$ 20.000,00 seráa pago em prestações mensais de UM$ 2.256,00 cada. A 
juros de 5% a.m qual a duração do financiamento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRESTAÇÕES ANTECIPADAS 
 
 
Neste caso a primeira prestação é paga no dia da tomada do empréstimo, podemos dizer que estamos 
pagando uma entrada de valor igual ao da prestação. Este tipo de plano de pagamentos é muito usado 
no comércio. 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | | | 
 R R R R R R R R | 
 | | 
 P S 
 
 
 
FÓRMULA 
 
( )
( ) 







−+
+×
×=
−
1i1
i1iPR
n
1n
 
 
 
Exemplo 
 
Foram financiados UM$ 5.000,00, em 10 (1 + 9) prestações iguais, onde o primeiro pagamento ocorre 
no ato do financiamento. Qual o valor das prestações se a taxa aplicada é de 8% a.m.? 
 
 
Renato Becker 
30 
PRESTAÇÕES COM CARÊNCIA OU DIFERIDAS 
 
 
Este tipo de plano de pagamentos prevê que o pagamento da primeira prestação ocorre um certo 
número de períodos após a contratação do empréstimo, ou seja existe uma carência. 
 
 
 0 1 2 3 4 5 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | 
 | R R R R R 
 | 
 P 
 
 
 Aqui devemos considerar dois períodos distintos 
 q - número de períodos sem pagamentos (3) 
 n - número de prestações (5) 
 
 
FÓRMULA 
 
( )
( ) 







−+
+×
×=
+
111
i1iPR
n
qn
 
 
 
ExemploPara fazer uma promoção de venda, será necessário elaborar um plano de 6 prestações iguais, onde a 
primeira prestação vence 4 meses após a venda. Determinar o valor das prestações de uma venda de 
UM$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5,4% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
31 
PRESTAÇÕES COM PARCELAS ADICIONAIS 
 
 
São planos de pagamentos onde um ou mais pagamentos são maiores ou menores que a prestação a 
ser paga normalmente. 
 
 q 
 0 1 2 3 4 . . . . . . n 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | | | | 
 | R R R R R R R R 
 | | 
 P ± Adic. 
 
 
Podem ocorrer duas situações: - é conhecido o valor do adicional 
- é conhecido o valor da prestação com o adicional 
 
 
 
PRESTAÇÕES ONDE É CONHECIDO O VALOR DO ADICIONAL 
 
 
Neste caso calcula-se primeiramente o valor atual (P) do adicional 
 
 
 ( )n1 i1
SP
+
= 
 
 
 
Em seguida calcula-se a diferença entre o valor atual da dívida e o valor atual do adicional, obtendo-se 
o saldo. 
 
 
 SALDO = P - P1 
 
 
 
Finalmente calcula-se o valor da prestação tomando-se o SALDO por principal. 
 
 
 
( )
( ) 







−+
+×
×=
1i1
i1iPR
n
n
 P = SALDO 
 
 
 
Renato Becker 
32 
Exemplos 
 
Uma compra de UM$ 9.000,00 será paga em 7 prestações, todas iguais, menos a quarta prestação que 
será UM$ 1.000,00 maior que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 10% 
a.m.. 
 
 - valor atual do adicional 
 
 
 
 
 
 - valor do saldo 
 
 
 
 
 - valor da prestação 
 
 
 
 
 
 
Uma compra de UM$ 40.000,00 será paga em 9 prestações, todas iguais, menos a quinta prestação 
que será UM$ 1.200,00 menor que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 
6% a.m.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
33 
 SALDO DEVEDOR DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES 
 
 
Consiste em determinar a parcela do principal, ainda não paga em determinada ocasião. 
 
 
 P = 20000 
 R = 2934 
 r = 10% a.m. 
 Saldo devedor no vencimento da 5a prestação 
 
 
Mês Juros Saldo Devedor 
antes do pgto 
Pagamento Saldo Devedor 
após pgto 
Amortização 
0 20.000,00 
1 2.934,00 
2 2.934,00 
3 2.934,00 
4 2.934,00 
5 2.934,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Uma compra esta sendo paga através de 17 prestações de UM$ 5.000,00. Considerando uma taxa de 
6% a.m., qual o saldo devedor antes e após o pagamento da sétima prestação? 
 
 
 
 
 
 
Uma compra esta sendo paga através de 20 prestações de UM$ 8.000,00. Considerando uma taxa de 
14% a.m., determinar: 
 
a- Qual o valor à vista da compra? 
b- Qual o saldo devedor antes e após o pagamento da nona prestação? 
c- Quanto deveria ser dado de entrada para liquidar a dívida em 12 prestações de UM$ 8.000,00? 
 
 
 
 
 
Renato Becker 
34 
FLUXO DE CAIXA 
 
 
Quando um plano de pagamentos não é um Pagamento Simples nem uma Série Uniforme de 
Pagamentos, dizemos que se trata de um Sistema Misto e para encontrar o Principal ou a Taxa de 
Juros a HP12C possui um recurso denominado Fluxo de Caixa representado pelas teclas: 
 
 - Valor no período zero do fluxo de caixa (Principal) 
 - Valor nos demais períodos do fluxo de caixa 
 - Número de vezes que o valor se repete 
 
Primeiramente informar o Principal e em seguida os demais valores. 
 
 
Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa. 
Cada conjunto de valores, a exceção do gCf0, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento. 
Antes de inserir o fluxo de caixa limpar as memórias da calculadora (f CLEAR REG) 
 
Quando um ou mais períodos não possuírem valor, para eles deve-se informar para o mesmo o valor 
zero e o número de períodos que ele se repete. 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | | | | | | | | | | 
 | 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 
 | 
 P 
 
 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
 
 
Determina o principal de um fluxo de caixa. 
 
Exemplo 
 
Determinar o valor atual (principal) do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de 5% a.m. 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | | | | | | | | | | 
 | 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 
 | 
 P =? 
 
Renato Becker 
35 
TAXA INTERNA DE JUROS 
 
 
Determina a taxa interna de juros do fluxo de caixa. 
 
 
Obs. – Receitas e despesas devem ser informadas com sinal contrários. 
 
Exemplo 
 
Determinar o valor atual (principal) do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de 5% a.m. 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> 
 | | | | | | | | | | | | 
 | 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 
 | 
 2100 
 
 
 
Renato Becker 
36 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
 
Quando uma taxa de juros é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no final de um número de 
períodos são maiores do que os calculado pela taxa oferecida. 
 
Por exemplo, se um principal de UM$ 10.000,00 for aplicado a 20% ao ano capitalizados 
trimestralmente, temos:- 
 
 
 i = 20 / 4 = 5% ao trimestre 
 P = 10000,00 
 n = 1 ano = 4 trimestres 
 
( ) 00,150.1205,0110000S 4 =+= 
 
 
 
Assim os juros realmente pagos são de 21,5%. 
 
Com isto 20% ao ano capitalizados trimestralmente, representa a taxa nominal e 21,5% ao ano 
representa a taxa efetiva. 
 
 
 
FÓRMULAS 
 
 
( ) 1i1i ne −+= 
 
 
inin ×= n = número de capitalizações a acumular 
 
 
 
Exemplos 
 
1. Quais as taxas nominal e efetiva anual equivalente a 11% ao bimestre? 
 
 
 
 
 
2. Para 10% a.m. calcular a taxa efetiva equivalente a:- 
 
 
 1 trimestre 
 
 
 
 1 semestre 
 
 
 
 1 ano 
 
 
 
 2 anos 
 
Renato Becker 
37 
 
 
 
 5 anos 
 
 
 
3. Sendo a taxa anual de 381,7% ao ano, qual a taxa mensal equivalente? 
 
 re = 381,7% ao ano 
 m = 12 meses 
 
 ( ) 1i1i n e −+= 
 
 
 
 
 
4. Transforme as taxas abaixo em taxa ano 
 
 
 10% a.m. 
 
 
 
 20% a.b. 
 
 
 
 30% a.t. 
 
 
 
 40% a.q. 
 
 
 
 
Renato Becker 
38 
PROGRAMAÇÃO BÁSICA COM A HP-12C 
 
 
Um programa nada mais é do que uma seqüência de teclas que é armazenada na calculadora. Sempre 
que, por várias vezes, for necessário realizar cálculos com a mesma seqüência de teclas, poderá ser 
economizado tempo, compondo um programa com estas teclas. Feito isso, em vez de pressionar todas 
as teclas cada vez, simplesmente será pressionada uma tecla para ativar o programa. A calculadora 
fará o resto automaticamente. 
 
TECLAS DE PROGRAMAÇÃO 
 
 
 
 - Programação / Execução 
 - Mapa de disponibilidade de memória paraprogramação e registradores de 
armazenamento. 
 - Apaga todos os programas contidos na memória de programação. 
 - Desvia de uma linha para outra linha de programação. 
 - Executar / Parar um programa que esteja em execução. 
 - Mostra o número e o conteúdo da próxima linha de programação. 
 - Pausa, interrompe a execução do programa por cerca de um segundo. 
 - Mostra o número e o conteúdo da linha anterior de programação. 
 - Compara o conteúdo do registrador X com zero 
 - Compara o conteúdo do registrador X com o do registrador Y. 
 
 
CRIANDO UM PROGRAMA 
 
Para criar um programa primeiro é necessário escrevê-lo para então armazená-lo. 
 
 1 - Escrever a seqüência de teclas que seriam usadas para calcular o que se deseja. 
 2 - Pressionar a tecla f P/R para colocar a calculadora no modo de programação. O indicador PRGM 
ficará acesso no visor, indicando que tal modo está ativo. 
 3 - Pressionar a tecla f CLEAR PRGM para apagar qualquer programa anteriormente armazenado. 
 4 - Introduzir a seqüência de teclas que foram escritas no passo 1. 
 5 - Pressionar g GTO 00 após a última instrução. 
 6 - Pressionar f P/R para retornar a calculadora para o modo execução. 
 
Durante a confecção do programa ou na sua conferência, percebemos que códigos aparecem no visor 
da calculadora. 
Os dígitos que aparecem no lado esquerdo do visor representam o número de ordem da linha (passo) 
do programa utilizado (um programa pode ter até 99 passos). 
Os dígitos que aparecem no lado direito indicam as teclas digitadas (sua posição no teclado). 
Podemos comparar o teclado com uma matriz composta por linhas e colunas. Dessa forma quando se 
introduz, por exemplo, a instrução RCL 3 na memória de programação, a calculadora apresentará no 
visor "01- 45 3": isto indica que esta é a primeira linha do programa e que estão sendo usadas as 
teclas RCL (4a. linha e 5a. coluna) o dígito 3 (nº 3 bem a direita). 
 
 
Renato Becker 
39 
 
 
Exemplos - 
 
 1- Uma empresa deseja remarcar o preço de seus produtos em +5%. Criar um programa que auxilie 
este cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2- Uma empresa deseja calcular os fatores para um plano de pagamentos diferidos, que serão 
especificados em meses, bem como a taxa de juros. Criar um programa que auxilie a empresa a 
calcular os fatores de multiplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3- Elaborar um programa que permita converter de forma efetiva pelo critério exponencial para 
qualquer período múltiplo de dia, para qualquer taxa de juros e períodos. 
 
 
 
Renato Becker 
40 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 
 . ENGENHARIA ECONÔMICA - Geraldo Hess, José L. Marques, 
 Luiz C. R. Paes, Abelardo Puccini 
 
 
 . MATEMÁTICA FINANCEIRA - Frank Ayres jr. 
 
 
 . MATEMÁTICA FINANCEIRA - Samuel Hazzan, José N. Pompeo 
 
 
 . MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA - Rogério G. de Farias 
 
 
 . MATEMÁTICA FINANCEIRA - Walter de Francisco 
 
 
 . APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA - Renato Becker 
 
 
 . HP-12C - MANUAL DO PROPRIETÁRIO - Hewlett Packard 
 
 
 . SOLUÇÕES FINANCEIRAS COM A HP-12C - Suporte Consultoria e Treinamento