Cálculo Numérico

Prévia do material em texto

UNIFEG
Centro Universitário da Fundação Educacional Guaxupé 
Engenharia Civil
 
	1º TRABALHO: CÁLCULO NUMÉRICO E COMPUTACIONAL
	
ALUNOS:
	
	
	
	
�
	UNIFEG
Centro Universitário da Fundação Educacional Guaxupé
 Engenharia Civil
	1º TRABALHO: CÁLCULO NUMÉRICO E COMPUTACIONAL
	
ALUNOS:
JEFERSON GONÇALVES RODRIGUES
CÉSAR TOMÉ MAGALHÃES
	
	
	
Sumário
Introdução 	4
1 EESTAÇÃO “A” 	4
1.1 Estação “A”	4
1.1.1 Gráfico da Equação Estação “A” 	4
 1.1.2 Tabelamento da Função Estação “A” 	6
 1.1.3 Convergência quadrática Estação “A” 	6
2 ESTACÃO “B” 	7
2.1 Estação “A”	7
2.1.1 Gráfico da Equação Estação “A” 	7
 2.1.2 Tabelamento da Função Estação “A” 	8
 2.1.3 Convergência quadrática Estação “A” 	9
CONCLUSÃO ..............................................................................................................................9
Bibliografia	10
5Figura 0‑1: Grafico Esquação Estação A .....	�
Erro! Indicador não definido.Figura 0‑2: Grafico Equação Estação B	�
�
INTRODUÇÃO:
 A finalidade deste trabalho é localizar a profundidade do canal, quanto à verificação das duas estações A e B onde seus dados e fórmulas foram descritos no enunciado. Para verificarmos a profundidade utilizamos o Matlab e regras do cálculo numérico como o Método gráfico, método da bissecção, método de Newton e o tabelamento da função.
ESTAÇÃO “A” 
MÉTODO GRAFICO DA ESTAÇÃO “A”
Seu objetivo e visulaizar o intervalo da raizes no gráfico.
Substituindo valores na equação da estação “A”, temos:
Y=((1.49/0.03)^3*20^5*0.0001^(3/2))*x.^5-4*133^3*x.^2-4*133^3*20*x-(133^3)*20^2;
 1.1.1- GRÁFICO DA EQUAÇÃO ESTAÇÃO “A” 
* A precisão do gráfico foi obtida através do Matlab.
Figura 1a: Grafico .....
 Observando o gráfico podemos concluir que a raiz positiva, encontra-se entre os pontos 5.5 e 6 do eixo x. 
*A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função; sendo assim, aplicamos a fórmula interativa de Newton, para chegar ao valor aproximado da raiz.
 
Agora podemos iniciar as substituições na formula de Newton: 
Formula interativa de Newton:
Yn+1=Yn-F(Yn)/F`(Yn)
Substituindo os valores da estação ”A” temos:
X=(’((1.49/0.03)^3*20^5*0.0001^(3/2))*x.^5-4*133^3*x.^2-4*133^3*20*x-(133^3)*20^2’,’33677114718425865/17179869184*x^4-18821096*x-188210960’,5.5,0.01)
Solução da equação:
Raiz aproximada: 5.677694
Erro para raiz aproximada: 0.002443442305
 
 
1.1.2- TABELAMENTO DA FUNÇÃO ESTAÇÃO “A” 
 A partir do processo interativo, de uma solução Xo inicial, geramos a sequencia de soluções aproximadas, dada na tabela 1a: 
Troca_sinal(‘((1.49/0.03)^3*20^5*0.0001^(3/2))*y.^5-4*133^3*y.^2-4*133^3*20*y-(133^3)*20^2’,0,8,1)
Tabela 1a
Como o critério de parada está satisfeito, temos que a raiz positiva aproximada do eixo X ‘e:
	X
	F(x)
	0
	-0.94105480000000
	0.00000000100000
	-1.13828425478519
	0.00000000200000
	-1.34257320912593
	0.00000000300000
	-1.49511368080000
	0.00000000400000
	-1.44300491602963
	0.00000000500000
	-0.89220700370370
	0.00000000600000
	0.63950551040000
	0.00000000700000
	3.86959000939260
	0.00000000800000
	9.79778219105186
Ans = 1.0e+009*
 
 1.1.3- Utilizando o Método Bissecção na Estação “A”
Tem como objetivo diminiar a amplitude do intervalo ( x,y ) que contem a raiz da função.
Substituindo os valore da estação A:
Bissecao_pap(‘((1.49/0.03)^3*20^5*0.0001^(3/2))*x.^5-4*133^3*x.^2-4*133^3*20*x-(133^3)*20^2’,0,8,0.01)
 Calculando os erros temos:
Ea = 5.675781
Er = 0.000688
Ep = 0.007813
2- ESTAÇÃO “B” 
METODO GRAFICO ESTAÇÃO “B”
Seu objetivo e visulaizar o intervalo da raizes.
Substituindo valores na equação da estação “B”, temos:
x= ((1.49/0.030)^3*21.5^5*0.0001^(3/2))*y.^5-4*122.3^3*y.^2-4*122.3^3*21.5*y+(122.3^3)*21.5^2;
 2.1.1- GRÁFICO DA EQUAÇÃO ESTACÃO “B” 
* A precisão do gráfico foi obtida através do Matlab.
Figura 2b: Grafico .....
 Observando o gráfico podemos concluir que a raiz positiva, encontra-se entre os pontos 5 e 5.5 do eixo x. 
*A inclinação da reta tangente ‘e dada pela derivada da função; sendo assim, aplicamos a fórmula interativa de Newton, para chegar ao valor aproximado da raiz.
 
Agora podemos iniciar as substituições na formula de Newton: 
Formula iterativa de Newton:
Yn+1=Yn-F(Yn)/F`(Yn)
Substituindo os valores da estação ”B” temos:
X=((1.49/.03)^3*21.5^5*0.0001^1.5)*x.^5-4*122.3^3*x.^2-4*122.3^3*21.5*x-122.3^3*21.5^2’,’24173926755313325/8589934592*x^4-982085378825519/67108864*x-5278708911187165/33554432’,5.5,0.01)
Solução da equação:
Raiz aproximada: 5.036183
Erro para raiz aproximada: 0.000530466707
 
 
2.1.2- TABELAMENTO DA FUNÇÃO ESTAÇÃO “B” 
 A partir do processo interativo, de uma solução Xo inicial, geramos a sequencia de soluções aproximadas, dada na tabela 2b: 
Troca_sinal(‘((1.49/.03)^3*21.5^5*0.0001^1.5)*x.^5-4*122.3^3*x.^2-4*122.3^3*21.5*x-122.3^3*21.5^2’,0,8,1)
Tabela 2b
Como o critério de parada está satisfeito, temos que a raiz positiva aproximada do eixo X:
	X
	F(x)
	0
	-0.08455830930957
	0.00000000010000
	-0.10096551410331
	0.00000000020000
	-0.11714761087283
	0.00000000030000
	-0.12466195322900
	0.00000000040000
	-0.10155766056010
	0.00000000050000
	-0.00562150092054
	0.00000000060000
	0.23237622608049
	0.00000000070000
	0.71543580639028
	0.00000000080000
	1.58708222862388
Ans = 1.0e+010*
 
 2.1.3- Utilizando o Método Bissecção na Estação “B”
Tem como objetivo diminiar a amplitude do intervalo ( x,y ) que contem a raiz da função.
Substituindo os valore da estação B:
Bissecao_pap(‘((1.49/.03)^3*21.5^5*0.0001^1.5)*x.^5-4*122.3^3*x.^2-4*122.3^3*21.5*x-122.3^3*21.5^2’,0,8,0.01)
 Calculando os erros temos:
Ea = 5.035156
Er = 0.000776
Ep = 0.007813
Conclusão 
Concluímos que por meio de modelos numéricos como os utilizados neste trabalho pode-se obter a resolução de vários problemas, obviamente temos uma cadeia de métodos numéricos para nos utilizarmos, neste caso foi pensado o modelo a ser utilizado, para assim chegarmos à resposta desejada, com isso uma precisão muito dentro da esperada pelo problema que foi levantado.
Bibliografia
http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/bibliografia.html
http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/ref_selm.html
http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/ref_mat7.html
Medeiros, Valeria Zuma (2005). Thomsom Pioneira, 1ª edição. Pré-Cálculo
Larson, Ron/Edwards, Brruce (2005). LTC, 6ª edição Cálculo com Aplicações 
*Trabalho de Cálculo Numérico e Computacional *Curso de engenharia civil, 
*Centro Universitário da Fundação Educacional Guaxupé.
 
 Prof. Paulo Sergio Gonçalves
� PAGE \* MERGEFORMAT �5�
� PAGE \* MERGEFORMAT �6�
� PAGE \* MERGEFORMAT �8�
� PAGE \* MERGEFORMAT �9�
GUAXUPÉ
2013
� GUAXUPÉ
2013