Lecciones_de_Teoria_de_las_Ecuaciones

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l. PETROVSKI 
-r• 
·~ 
LECCIONES 
DE 
TEORIA 
DE 
LAS 
ECUACIONES 
INTEGRALES 
EDITORIAL MIR - MOSCU 
M. r. nE'I'POBCIU-tA 
JlEKUVfVI 
no TEOPMJif 
11HTErPAJlhHblX YPABHBHI1Vf 
113,llATF.JJhCTBO «HAYKA» 
MOCKBA 
l. G. PETROVSKI 
LECCIONES 
DE TEO.RIA 
DE LAS ECUACIONES 
INTEGRALES 
EDlTORTAL MIR • MOSCU 
1971 
CDU S17.94(07S.8)=60 
Trnducido de In 30 ed. rusa 
por JUAN JOSI! 'TOLOSA 
Traducción rcvisitda por 
f'.Mll..IANO APARICIO llEJtNARDO, 
candidato a Doctor en Ciencias flsico-malemáticas, 
Catedrático de Matemáticas Superiores 
1"rad11cfdo rn la URSS 
/Jerechos reservados 
PROWGO DEL REDACTOR 
DE LA TRADUCCION 
Eslc libro es la traducción al castellano de la 311 edición 
rusa. La segunda edición del mismo está. traducida al alemán 
e inglés. Véase T. G. Petrovski, "Vorlesungcn uber die Thco-
rie der Intcgralgleichungen" (Physica-Verlag, Würzburg, 
1953; trad. alemana de la 2° ed . rusa, 1951) y " Lcctu rcs on 
thc theory of integral eq uations" (Graylock Press, Roches-
tcr, 1957, trad. inglesa de la misma edición rusa). 
A pesar de que la primera edición rusa de este libro 
salió en el año 1948, creemos que el tema tratado, así comn 
su exposición, siguen siendo actuales. Esperamos que la 
traducción castellana será bien acogida por los matemáticos 
de habla castellana, no sólo por la importancia del material 
expuesto, sino también por la misma personalidad del autor, 
Reclor de la Universidad de Moscú desde el año 1951. 
E. Aparicio 
Dedico esfc libro 
a Ja memuría prcclura de 
mi pudre 
GL>ORGUI l\IANOVICH 
PETROVSKI 
CAPlTULO 1 
l NTRODUCClON. 
TEOREMAS DE FREDHOLM 
§ 1. Defi11icio1ws. Gjempfo~· 
Se acostumbra llamar ecuaciones integrales a aquéllas 
que contienen Ja funci ón incógnita bajo el signo integral. 
En particular, la siguiente ecuación, respecto a la función 
1p(~), es una integral: 
(¡ 
a(x)q{x) + f(x} = J K(x, ~q{~) d~, ( 1, 1) 
o 
donde a(x.), f(x), K(x, ~) son funciones dadas, y <¡!(~) es 
una función incógnita; las variables x y ; toman todos los 
valores del intervalo (a, b). 
En este libro solamente estudiaremos ecuaciones en las 
que 1a función incógnita figura en forma lineal, es decir, 
solamente ecuaciones del tipo (J , l). Dichas ecuaciones se 
llaman ecuaciones integrales lineales. Si a(x) no se anula. 
divjdiendo ambas partes de la ecuación (1,1) entre a(x), 
obtenemos una ecuación del tipo 
f¡ 
'P(x) = J K(x, ~)rp(~) d~ + f(x). (2, 1) 
" 
10 Tntroducc/ó11. T<i'Ol'emas de Fredholm 
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones integrales lineales 
de segunda espl•cie, o de Fredholm, en honor al matemático 
que las estudió por primera vt>z. Sif(-~) a O, la ecuación {2,1) 
se llama homogénea. 
Si fuese a(x) =O, enlonces la ecuación (1, l) se reduciría a 
b J K(x, ~}p(~) ~ = f(x), 
11 
la cual se llama ecuación integral lineal de primera especie. 
La función K(x, ~) se llama núcleo de Ja ecuación inte-
gral. 
En lo sucesivo nos ocuparemos principalmente de las 
ecuaciones integrales lineales de segunda especie. 
Pueden considerarse ecuaciones integrales, en las que 
las funciones incógnitas dependan no de una variable, sino 
de varias. De este tipo es, por ejemplo, Ja ecuación 
i¡{x, y)= J K(x, y ; ~. r¡)cp(~, r¡) d~ dr¡ + f(x, y) 
a 
respecto a la función incógnita <p(~. r¡), donde la integración 
se efectúa sobre cierta región G del plano (~, r¡). El punto 
(x, y) también pertenece a esta región. Esta ecuación puede 
escribirse en la forma 
1p(P) = J K(P, Q)p(Q) dQ + f(P), 
G 
donde PEG y QEG *>. 
•) La notación A E M significa. que el punto A pertenece al con-
junto M . 
Problemas tlpicos que se red. a ecuac. i11teg. 11 
También pueden examinarse sistemas de ecuaciones intew 
grales con varias funciones incógnitas. 
Observación. En lo sucesivo, excepto en el § 20, sin in-
dicarlo expresamente, supondremos que las funciones con-
sideradas de los puntos P o Q están definidas en una región 
finita G de dimensión d, que· son continuas en to<la esta 
región, a excepción, posiblemente, de un número fin ito de 
puntos, de curvas y de superficies suficientemente regulares, 
hasta de dimensión (d-1) inclusive. En estos puntos, curvas 
y superficies singulares, Jás funció"ries pueden no estar de-
finidas. La frontera de la región G se considerará compuc.c;ta 
por un número finito d·;~ superficies regulares de dímensión 
(d-1), o de un número finito de arcos regulares, si d = 2. 
En Jo sucesivo, excepto en el § 20, Ja integración se 
entenderá en el sentido ordinario, si Jas funciones son con-
tinuas en G; si dichas funciones tienen discontinuidades en 
ciertos puntos, curvas o superficies, entonces las integrales 
se considerarán como impropias; se supondrá que todas las 
funciones estudiadas son absolutamente integrables. 
§ 2. Problemas típicos que se reducen 
a ecuaciones integrales 
Consideremos un hilo flexible de longitud /, el que fácil-
mente (en el límite, como supondremos, sin ninguna re-
sistencia) puede cambiar su forma, pero, para aumentar su 
longitud en LJ/ se necesita aplicar una fuerza e LJI, donde e 
es una constante (ley de Hooke). Supongamos que los extre-
mos de este hilo estfo fijos a dos puntos inmóviles A y B, 
que se encuentran en la parte no negativa del eje x. Supon-
gamos, además, que el punto A se encuentra en e) origen 
del eje. BI eje x lo consideraremos horizontal. Cuando el 
hilo está en reposo, sólo bajo la acción de la fuerza hori-
12 lntroducclá11, Teoremas de Fredholm 
zon(al de tensión T0 , muy grande. en comparación con las 
otras fuerzas consideradas, Ja posición del hilo :;erá hori· 
zontal , o sea, coincidirá con el eje Ox. 
Supongamos que en el punto C, para el cual x=~. hay 
aplicada al hilo una fuerza vertical P . . Bajo la acción de 
ésta, el hilo Loma Ja forma de una linea quebrada ACB 
(fig. 1). Supongamos que CC0 = o es muy pequeño, en com-
y 
Fig. 1 
paracipJl con A C0 y C0 8 (el resultado de que P sea pequeño 
respcct"O a Tc1). Despreciando el cuadrado de la magnitud h 
con respecto a /, se puede considerar que tambi~n, bajo la 
acción de la fuerza .P, la tensión del hilo se conserva igual 
a Tu. Proyectando sobre la vertical las fuerzas de tensión 
del hilo en el punto e y la fuerza p y despreciando núeva-
mcnte los miembros que contíenen ó~, obtenemos: 
de donde 
T. ó .,. t5 p O"f +-'o¡_ ~ = ' 
~ = P(/-f~ 
u Tol . 
Designando por y(x) Ja flexión del hilo en el punto de ab· 
cisa x, de lo anterior obtenemos 
y(x) =P. G(x, ;), 
Problema.~ tlpi~s que se rctf. n ccunc. /me.g. 1J 
donde 
G(x, ~) = x(~~l~) para el intervalo 
G(x, e) =(!;;~ para el intervalo 
AC(O;:¡; x -,:~,} 
(1,2) 
CBg~x~I). 
Aplicando estas fórmulas, puede comprobarse fácilmente 
que 
G(x, E) = G(~. x). 
Supongamos que sobre el hilo actlia una fuerza distri-
buida en forma conlinua con densidad lineal p(~) tal, que 
en el intervalo de éste, entre los puntos ; y ~+LI;, actúa 
una fuerza, aproximndnmenle igual a p(~) t lt Ya que los 
desplazamientos causados por las fuerzas elementales p(;) LI~ 
se suman ("pr.incipio de superposición"), el hilo, bajo la 
acción de esta fuerza, toma la forma 
y(x) º J G(x, ~)p(E) dt 
o 
Con·sideremos los problemas siguientes. 
1. Buscaremos la densidad de distribución de 1a fuerzn 
p(~), bajo cuya acción el hilo toma una forma dada y = y(x). 
Entonces llegamos a lu ecuación integral de primera especie 
y(x) = J G(x, E)p(e) d~ (2,2) 
11 
respecto a la función incógnita p(~). 
2. Supongamos que sobre el hilo actúa una fuerza que 
·varía con e1 tiempo t, coi~ una densidad en el punto ~ igual a 
p(~) sen wt (w >O). 
14 ltt1md11cciti11 . Teoremas de Frcdholm 
Bajo su acción, el hilo se pone en movimiento. Supondre--
mos, además, que durante su movimiento,
la abscisa de cada 
punto del mismo no varía, y que el hilo efectúa oscilaciones 
periódicas, descritas por la ecuación 
y= y(x) sen wt. 
Denotando por em la densidad lineal de la masa del 
hilo en el punto ~. obtenemos que, en el momento t, en el 
segmento del hilo, entre Jos puntos ~ y ; + L1E, además de 
la fuer1..a p(~) sen wt L1~ actúa también la fuerz.a de inercia 
rfly 
- g(~) L1~ dt2 = e(E)y{~)ro2 sen wt LI~. 
Por esto, la igualdad (2,2) toma la siguiente forma: 
' 
y(x) sen <JJt == J G(x, ~)[pm sen wt + ro2e{~)y(~) sen o>t] d~. 
o 
Simplíficando por sen wt y haciendo 
1 J G(x, E)p(~) d~ = /(x), G(x. E)em"" K(x, E), w2 = J., 
u 
obtenemos: 
y(x)= l.Í K(x, ~)y(~) de+f(x). (3,2) 
Suponiendo dada la función p(~) y, por lo tanto, f(x), llega~ 
mos de esta manera a una ecuación integra) de Frcdholm 
para la determinación de la función y(x). Obsérvese que, 
en virtud de la definición de la función f(x), se tiene que 
ftO)= f(I)= O. 
Prnblcmas tlpicos que u . red. a acuac. lntag. IS 
Sí la densidad e(~) es constante y f(x) es una función 
con segunda derivada continua, no es dificil resolver esta 
ecuación integral. En efecto, poniendo en K(x, ~) en lugar 
de G(x, ;) su expresión dada por ( 1,2), resulta 
X l 
J(l- x)~ J' x(l-~ y(x) =w2e --¡;;f-y(~) d; + w2e --:¡:¡-y(~) d~ + f(x ) 
o ')( 
o sea 
X 1 
w
1
c J w•cx J y(x)= - 1 (1 - x) ;y(~) d~+-1- (/-~y(~) d~ + f(x), 
o ')( 
donde 
e=!}.º. 
Derivando dos veces respecto a x ambas partes de esta 
ecuación, obtenemos 
y''(x) = - w2cy(x) + f " (x) . (4,2) 
Por otra parte, se puede demostrar que cualquier solución 
de la ecuación diferencial (4,2), que se anula para x= O y 
x = l, es ta mbién solución de la ecuación integral (3,2). Para 
ello basta multiplicar ambas partes de la igualdad y"(~)= 
= -w2cy(~) + f"(~) por -T0G(x, ~) e integrar respecto a ~ 
desde O hasta l. Entonces se obtiene la igualdad (3 ,2), ya 
que, integrando por partes, se muestra fftcilmente que 
J.r0G(x, ;)qi"(~) d~= -rp(x). 
o 
donde rp(x) es una función cualquiera con segunda derivada 
continua, igual a cero para x=O y x=I. 
16 l ntmd11cció11. Teorcmn.r de T'red}l()/m 
Como es sabido por el curso de ecuaciones diferenciales 
ordinarias, Ja solución general do la ecuación (4,2) tiene la 
forma 
X 
y= C1 sen ¡1.x + C2 cos ~tx +~ f f"(~) sen ¡1.(x- .:) dt 
o 
en donde ¡t = w 1/C y C1 y C2 son constantes arbitrarias. De 
las igualdades ( 1,2) y (3,2) se deduce que y(O) =y(/)= O. 
Determinando de estas condiciones C1 y C2 , obtenemos que, 
si sen µ/~O, 
1 
y(x) = -fi ·5;~ ~~ J f"(~) sen·µ(/ - ;) d~ + 
(J 
X 
+ ~ f r<~) sen µ(x - ~) dt (5,2) 
il 
En este caso, la ecuación integral (3,2) posee una solución 
única para cualquier función f(x), siempre que ftx.) tenga 
segunda derivada continua y f(O) = f(I) = 0, 
Se puede demostrar, que para Ja existencia de solución 
de Ja ecuación integral (3,2) es suficiente, si sen 1d ~O, que 
la función f (x) sea continua; la condición de existencia y, 
con más razón, de continuidad de Ja segunda derivada, es 
superílun. En cambio, la condici6n sen ¡t/FO es completa· 
mente imprescindible para que esta ecuación integral tenga 
solución para cunlquier función continua, e incluso, para 
toda función f(x) derivable cualquier número de veces. 
Si sen ttl = O, entonces 
kn 
µ= y ' (6,2) 
Problemas tlpico!I que se red. a ecuac. integ. 
kn 
a>=-/fc, 
17 
(7,2) 
(8,2) 
en donde k es un número entero cualquiera: positivo, nega-
tivo o cero. Los valores de A, dados por la fórmula (8,2) 
para k= I, 2, 3, •.. , se llaman valores propt'os (autovalores) 
del parámetro ?. de la ecuación integral (3,2), y los corres-
pondientes valores de ro, frecuencias propias de las oscila-
ciones de la cuerda. De la deducción de la fórmula (5,2) 
se desprende que la ecuación integral (3,2), en el caso en 
que sen µl = 0 y la función f(x) tenga segunda derivada 
continua, puede tener solución solamenle si 
f f"(~) sen ¡i(l-~) d~ =0, (9,2) 
ll 
Integrando por partes y utilizando el hecho de que 
sen ¡t(l- ~) = O y f(~) =O para ~ = O y ~ = !, esta condición 
puede llevarse a Ja forma 
1 
J!<~) sen ¡i~ d~ - o. (10,2) 
o 
Recfprocamente, es fácil comprobar que la condición 
(I0,2) es también snftciente pura la existencia de una solu-
ción de la ecuación (3,2) para un l' dado, para el cual 
sen ¡ti =0. 
En particular, la condición (10,2) se satisface si 
f(x)=O. 
18 Introducción. Teoremas de Fredholm 
Entonces, Ja ecuación integral (J,2) y la ecuación diferencial 
(4,2) se hacen homogéneas. Todas las soluciones de Ja ecua-
ción diferencial homogénea (4,2), se igualan a cero para 
x =O y x = l y, por lo tanto, todas las soluciones de la ecua-
ción integral (3,2) vienen dadas por la fórmula 
y(x) =e sen /.tkx, ( ll ,2) 
donde C es una constante arbitraria y µ,, es igual a uno 
de los números (6,2). La fórmula (11 ,2) nos da las ampli-
tudes en el punto x de las oscilaciones propias de Ja cuerda: 
Y= C sen /kkX Sen W1rt, 
que tienen Jugar sin Ja acción de fuerzas exteriores. Como 
se ve de lo antedicho, estas oscilaciones pueden tener Jugar 
no con cualquier frecuencia, sino solamente con una de las 
frecuencias dadas por la fórmula {7,2) para k = 1, 2, .. . 
Como muestra la fórmula (5,2), si la condición (9,2) no 
se cumple, la amplitud y{x) de las oscilaciones periódicas 
de la cuerda en el punto x aumenta indefinidamente, Cliando 
w (frecuencia de Jas oscilaciones de la fuerza exterior) se 
aproxima a una de las frecuencias propias de las oscilaciones 
de la cuerda. En el limite, al coincidir estas frecuencias, co-
mienza la resonancia. Entonces, en general, para ampli-
tudes arbitrarias de Ja fuerza exterior, no eidsten oscílacio· 
nes periódicas de la cuerda. En correspondenci a con esto, 
en general, no existe solución de la ecuación integral no 
homogénea {3,2), cuando A es igual a uno de Jos valores 
propios de esta ecuación. 
A11a!ogía entre las ecuac. integ. lin. y algeb. lí11. 
§ 3. Analogía entre la.5 ecuaciones integrales 
/í11eales y las ecuaciones algebraicas lineales. 
Emmciado de los teoremas de Frcdholm 
19 
Consideraremos la ecuación integral lineal de segunda 
especie 
b 
y(x)= J K(x, ~)y(~) Je +f(x), (1,3) 
,, 
donde K(x, ~) y f(x) son funciones conocidas para. a ~x~b, 
as;~ sb. Dividamos el intervalo (a, b) en n intervalos iguales, 
cuyas longitudes serán 
h-a - 11 ~Lit: 
n - ... X "'' 
Pongamos 
K(a +p Llx, a +q Ll~) =Krq 
y(a+pLlx) =Jlp 
(p, q= l, 2, .. ., n), 
(p = 1, 2,. .. , n), 
.f(a + p Ax) =fp (p =1,2, . . . ,n). 
b 
Sustituyamos Ja integral J K(x, ;)y(~) d; para x =a+ p Llx 
por la suma " 
n 
ZK{lqYqt.l~, p = l,2 •. .. ,11. 
l)=I 
Entonces, en lugar de Ja ecuación integral (1,3) obtenemos 
un sistema de ecuaciones algebraicas lineales 
n 
J'p= ZKpqyqtJ~+fp, p= J, 2, . . . , n. (2,3) 
q=l 
2• 
20 Ttltroducción. Teoremas <fe Fredho/m 
Aquí supondremos que KP4, fp, L1; son magnitudes conoci-
das, y que Yp son incógnitas. 
La finalidad de los próximos parágrafos es extender los 
conocidos teoremas de las ecuaciones algebraicas lineales 
a las ecuaciones integrales de Fredholm de 211 especie. En 
tos enunciados habítuales de los teoremas de las ecuaciones 
lineales algebraicas intervienen determinantes, los cuales, 
si bien pueden ser ligados con las ecuaciones integrales, ello 
resulta muy laborioso. Por eso enunciaremos estos teoremas 
sin utilizar los determinantes. Estos enunciados están im-
presos en cursiva. 
En la resolución del sistema (2,3), el determinante for· 
mado por los coeficientes ele este sistema desempeña un 
papel fundamental: 
1 -K11 Lt.; - Kt2 Lt.; ... -K111 L1~1 
- K.u Ll~ 1- Ki>2L1~ •• . -K211 ¿t; 
(3,3) 
. 
- Km 11; - K112 LI~ 1 - Knn 11~ 
Como es sabido, si este determinante
es diferente de O, 
el sistema (2,3) tiene solución única, para va.lores Ji ,/2 , ••• 
. . .,fn cualesquiera. En este caso, el sistema transpuesto, 
o sea, el sistema 
n 
zp= :ZKqpzqL.l~ +fp*, p= 1, 2, .. ., n. 
q=I 
tiene también solución única para ¡,r arbitrarios. 
Si, en cambio, el determinante es igual a O, el sistema 
(2,3), para/" arbitrarios, en general, no tiene solución. Pero, 
enfonces, el sistema homogéneo correspondiente, es decir •. 
el sistema que se obtiene de {2,3), igualando todas las fp 
A11alogfa e/lfre las ecuac. illteg. fin. y algcb. li11. 21 
a O, siempre tendrá una solución no trivial, o sea, una s0Ju-
ción no formada por ceros solamente. 
De este modo, tiene lugar Ja siguiente ley alternativa: 
o el sistema no homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales 
dado (2,3) tiene una solución única para valores arbitrarios 
/ 1, •• • ,fn, de los segundos miembros, o el sistema homogéneo 
correspondiente tiene, al menos, una solución no trivial. Si 
para el sistema dado tiene Jugar el primer caso de e;ta altu-
nativa, entonces éste también tiene lugar para el sisfrma trans-
puesto. 
En el Sl!gundo caso, el sistema homogéneo dado 
n 
Yp- .,4KpqYqL1~ = 0, p = 1, ... , n, (4,3) 
qml 
tiene el mismo número de soluciones linealme11/e indepe11-
die11tes que su sistema transpuesto 
n 
z11 - ,Z KqpZq LIE =O, p = l, .. . , n. (5,3) q;l 
Este número es igual a n - r, e/onde r es el rango de la matriz 
del determinante (3,3) *>. 
Hallemos las condiciones necesarias y suficientes para 
que en el segundo caso de la alternativa et sistema no homo-
géneo (2,3) tenga solución. Anle todo, es fácil encontrar 
Jas coudiciones necesarias. Sea 
•) Obsérvese, que Ja afirmación de la eKistencia do exactamente 
(11-r) soluciones lincalmonto independientes de los sistemas homogé-
neos (4,3) y (5,3) es válida también en el primer caso de Ja alternativa, 
cuando /1 = r. La expresión "cero solucjones Jíncalmente independien-
tes" sígoiüca que se tiene solámcato la. solución formada por ceros. 
22 lntrorfr1cclú1t. Teoremas de Fredlwlm 
alguna solución del sistema (5,3). Multiplicando la p-ésima 
ecuación de (2.3) por zp y sumando todas las ecuaciones 
miembro a miembro, obtenemos que 
z1,,zp- ZKµqYqZµ L1; ... Z fµZp· 
p ~· p 
Pero el primer miembro de esta igualdad puede escribirse 
también así: 
¿ }'pZ p - z KqpYpZq Ll~ = z :Y p(Z p - z KqpZq LI;). 
p p,q p q 
En virtud de las C{;uaciontS (5,3), csla expresión es igual 
a O. Por lo tanto, tiene que ser 
(6,3) 
Demostremos que esta igualdad es también condición 
suficiente para la existencia de solución del sistema (2,3), 
si ésta se cumple para todas las soluciones del sistema (5,3). 
Es evidente, que esta condición se observa, si se cumple 
para cualesquiera (n - r) soluciones linealmente independien-
tes del sistema (5,3). Para demostrnr nuestra afirmación, 
recordemos del curso de álgebra superior, que la condición 
suficiente para ta existencia de Ja solución del sistema (2,3), 
en el caso en que su determinante sea igual a cero, es la 
siguienle: el rango de la matriz 
1-KuLT; -KrnL1~ ... - K111 LJ~j~ 
-K21.L1; l -K22!.1~. · · - K.2 '1. LJ; ¡;_ (7,3) 
1 -K,it LI; -Kn~LI; 1 - Kllfl L1;Jn 1 
debe coincidir con el rango de la matriz (3, 3). 
Analogía entre las ecuac. inleg. fin. y ulgeb. /i11. 23 
Para esto es suficienlc que todos los determinantes de 
orden (r+ 1), formados por elementos de la matriz (7,3), 
y que contienen elementos de la última columna de esta 
matriz, sean jguales a cero. Desarrollando dicho determi-
nante D,+1 por Jos elementos/k, obtenemos de la condición 
(6,3) que, en efecto, éste es igual a cero, ya que el sistema 
(5,3) se satisface por Ja sucesión de números 
z1, z2 , ••• , Zn 
formados de la siguiente manera: si i es tal que f; figura 
en el determinante D,+1" entonces, z1 es igual al comple· 
mento algebraico de Ji en este determinante; en caso con-
trario, z1=0 *>. 
De este modo, en el segundo caso de la uflernatiltu, la 
solución del sistema no homogéneo existe si, y sólv si, ¡wrll 
cualquier solución (z 1, ••• , z11) del sistema homogéneo trans· 
puesto se cumple la condición (6,3). 
Obsérvese que, si en el segundo caso de Ja alternativa 
el sistema (2,3) tiene solución, enlonces esta solucíón no 
es única. En efecto, sumando a esta solución cualquier so-
lución del sistema homogéneo correspondiente, obtenemos 
nuevamente una solución del sistema (2,3). 
*) La justeza de esta afirmación pued\· demostrarse del siguiente 
modo. Sustituyamos los números z1 , z2 , • •• , z11 en la j ·ésíma ecuación 
del sistema (5,3). Si j es tal, que en el determinante Dr+i figuran ele-
mentos <le la j-ésima columna <le la malriz (7,3), entonces el rcsuJuu.lo 
de dicha sustitución será O, ya que éste será igual a un determinante, 
en el que coinciden dos de sus columnas. Si j e~ tal, que los elementos 
ele la j-ésima columna no figuran en el determinante Dr+i • entonces 
el resultado de esta sustitución será también cero, puesto que será 
igual a un determim\llte de orden (r+ 1), formado por elementos de 
una matriz de rango r. 
24 /lltrud11cció11. Teurc11ws de Fretllrvl111 
Cuando Lf~ tiende a O, es natural esperar que Z K11qY<i LI~ 
b q 
lienda a J K(x, ~)y(~) d~, y la solución del sistema de ccuaM 
a 
cioncs (2,3) pase a la solución de la ecuación integral {l ,3). 
Esto, en efecto, tiene lugar bajo·cicrtas condiciones respecto 
al núcleo K(x, ~). Pero la demostración de esto es compliM 
cada, por lo que no la daremos, aunque para la resolución 
aproximada de la ecuación integral (1,3), se sustituya a veces 
por el sistema (2,3) *>. Demostraremos solamente, que los 
teoremas enunciados anteriormente para el sistema (2,3) se 
convierten en Jos siguientes teoremas: 
Teorema 1. ( Al1emativa). O la cc1wcicí11 integral lineal no 
!tomogénea de 2"' especie dada tie1te una solución única para 
cualquier fi111ció11 f (x) (ele una clase sujicientenwn/e amplia), 
o la ecuación ltomogénea correspondiente tle11e, pur lo menos, 
una solución 110 trivial, o sea, 110 idénticamente nula. 
Teorema 2. Si para la ecuación dada (1,3) lielle lugar el 
primer mso <le: la alternativa, entonces licne lugar el primer 
caso lambié11 para la ecuación transp1wstc1 
(1 
z(x) = J K(~, x)z(~) d1; ·1-f*(x). 
o 
la ecuación integral homogénea dada y su transpuesta tienen 
un mismo número finito de soluciones lincahrwntc irnlepell-
dientes. 
•) Véase L. V. K.antorovich y V. I. Krylov, Métodos Aprollimados 
del Analisis Superior, Sª od., Fizmatgui1., cap. IJ, § 1, 1962. 
A11ulogiu e11trc las ecuat~. f11teg. /in. y a/geb. Ji11. 
Es evidente que, si las funciones y1(x ), y2(x), ... , Yn(x) 
satisfacen a la ecuación homogénea (1,3), entonces cualquier 
combinación lineal de ellas CJYt(x) + C:iJ!ix) + .. . + C11Y11(x) 
con coeficientes constantes C1 también satisface a esta ecua-
ción. 
Teorema. 3. En el S(!gundo caso de la altemativa, fo co11-
dici6n necesaria y suficiente para la existencia de solución 
de la l'cuacióti n" homogénea (1,3) es la siguiente: 
b f f(x)z(x) dx= O, 
11 
t!fl clondt.! z(x) es culllquier solución ele la ecuacióu homogénea 
transpuesta a (l ,3). 
Si se cumple esta con<lición, la ecuación ( 1,3) posee un 
conjunto infinito de soluciones, ya que, como es fácil com-
probar, esta ecuación SCl'Ú satisfecha también por cualquier 
función del tipo 
y(x)+q;(x). 
en donde y(x) es alguna solución de la ecuación (1,3), y 
q.(x) es cualquier solución de la ecuación homogénea co-
rrespondiente. Por otra parle, es evidente que, si las fun· 
ciones y 1(x) y y:¡(x) satisfacen a la ecuación (1,3), su diferen-
cia satisface a Ja ecuación homogénea correspondiente. 
Los teoremas 1, 2 y 3 que se acaban de enunciar, se 
llaman teoremas de Fredho/m, quien los demostró por pri-
mera vez para la ecuación
(1,3) bajo condiciones bastante 
amplias respecto a K(x, ~)y af(x). Los parágrafos próximos 
están dedicados a la demostración de estos teoremas para 
ciertas clases de ecuaciones. El número de variables inde-
pendientes aquí no es esencial. Por eso, todas las demostra-
ciones se harán para cualquier número de variables inde-
26 /11troducci<i11. Tl!<Jremas de Fredh'1lm 
pendientes; escribiremos P en lugar de x, y Q en Jugar de 
~. as{ como se lúzo al final del § l. Estas demostraciones, 
como, en general, la mayoría de las demostraciones de exis-
tencia de soluciones de ecuaciones, dan también métodos 
para la resolución aproximada de las ecuaciones integrales 
( 1,3). 
En las aplicaciones desempeña un papel particularmente 
importante el primer teorema de Fredholm sobre la alter-
nativa. En lugar de demostrar que la ecuación integral dada 
(J ,3) tiene solución, es más cómodo, frecuentemente, de-
mostrar, que la ecuación homogénea correspondiente o su 
lranspuesta tiene solamente solucione:; triviales. Y, <le aquí, 
por el primer teorema de Fredholm, se deducirá que la 
ecuación dada (1,3), en efecto, tiene solución. 
§ 4. Ec11ucio11es integrales cou 11úcleos degenerados 
Existe una clase de ecuaciones integrales que se reducen 
fftci lrnente a ecuaciones algebraicas lineales. Los teoremas 
<le Fredholm para estas ecuaciones se obtienen inmediata-
m~nle de los teoremas enunciados en el parágrafo anlcrior 
pura las ecuaciones algebraicas lineales. Tales son las ecua-
ciones integrales con núcleos degenerados (o de variables 
separadas o disociadas): 
Ahora demostraremos los teoremas de Frcdholm para 
las ecuaciones integrales con núcleos degenerados, y, en lo 
sucesivo, utilizaremos este caso particular para la demostra-
ción de los teor~mas de Fredholm para las ecuaciones inte-
grales con n úcleos continuos cualesquiera. 
Un núcleo se llama degenerado (o disociado), si tiene 
la forma 
171 
K(P, Q)= Za;(P)b¡(Q). (1,4) 
1• 1 
Ecuac, integ. CQ/l núcleos degenerados 27 
Supondremos que a1(P), b,(Q), y(P) y/(/') son funciones 
uniformemente continuas en cierta región finita G, y que 
todas las a¡{P) y todas las b¡(Q) son linealmente indepen-
dientes entre sí . 
.Demostremos que con esta última suposición no se res-
tringe la generalidad. Para esto, supongamos que existen 
tales constantes C1 , • • ., Cm , que 
C1a1(P) + . .. + C111am(P) =0, 
y, por lo menos, u110 de los números CJ, .. . , C111 es dilC-
rente de O. Sea C,,1 ~O. Entonces esta igualdad puede ser 
resuelta respecto a am(P). Obtenemos que: 
am(P) = Cta1( P) + .. . + c:,_1a111 _ 1( P). 
Sustituyendo esta expresión en el segundo miembro de (1,4), 
obtenemos: 
111-1 m -1 
K(P, Q) = Z a,( P)b,{Q) + Z Cfa,(P)bm(Q)s 
1~1 1=1 
m-.t m-1 
= Z a,(P)[b,(Q) + C¡l'bm(Q)] = Z a,(P)bt(Q). 
¡,,.¡ 1 .. 1 
De este modo, resulta que el núcleo .K(.P, Q) puede ser 
representado como una suma de un número menor que m 
de productos de funciones que dependen de P por funciones 
dependientes de Q. Si las funciones a;(P) o bf(Q), i == I, . .. 
. . . , m - 1 fuesen de nuevo linealmente dependientes, este 
número se podría disminuir otra vez y asi sucesivamente. 
Como ya se ha señalado, las ecuaciones integrales con 
núcleos degenerados se reducen fácilmente a ecuaciones 
algebraicas lineales, y, para ellas, los teoremas de Frcdholm 
se demuestran sin dificultad. En efecto, supongamos que 
la ecuación integral 
28 !11troáuccló11. Teoremus de Fredhulm 
y(P) = JK(P , Q)y(Q)dQ +f(P), (2,4) 
en donde K(P, Q) está dado por la fórmula (1,4), tiene solu-
ción. Entonces, debe ser 
y(P)= r ia,(P)b;(Q)y(Q) dQ ·t/(P) 
• lml 
o sea, 
y(P) = Za;(P) J bí(Q)y(Q) dQ + f(P). (3,4) 
l = l 
Aquí, como también en lo sucesivo, omitimos la letra 
G bajo el signo de la integral . El símbolo f siempre indi-
ca rá la integral tomada sobre la región G. 
Hagamos 
J bi(Q)y(Q) dQ ~C,. (4,4) 
Entonces, de la ecuación (3,4) se obtiene que 
111 
y( P) = _¿ C,-a,{ P) + f( I' ). (5,4) 
/e l 
Para determinar las constantes C1, sustituyamos el valor de 
y, dado por esta fórmula, en la ecuación (4,4). Obtendre-
mos: 
Poniendo 
J b,(Q)a1(Q) dQ = K;¡, f b¡(Q'Jf(Q) dQ = J,, (6,4) 
Ecuac. imec. con míclcns dege11erndos 29 
de la última ecuación hallamos: 
rn 
C;=ZK11C11·f¡, ;.,,1,2, . . .,m. (7.4) J= l 
Así pues, a cada solución de la ecuación integral (2,4) le 
corresponde una solución (C1, ..• , Cm) del sistema (7,4) 
y, debido a que las funciones a¡(P) son linealmente inde-
pendientes, la solución es solamente una. Recíprocamente, 
si este sistema de ecuaciones algebraicas JineaJes tiene al-
guna solución (C1 , • • ., C,J, entonces, sustituyéndola en el 
segundo miembro de (5,4), se obtendrá una solución de Ja 
ecuación integral dada (2,4), puesto que cada operación 
efectuada para llevar (2,4) a (7,4) es reversible. Po r lo tanto, 
el problema se ha reducido al estudio del sistema (7,4). 
De la misma ma nera, la ecuación integral 
z( P ) = f K(Q, P)z(Q) dQ +f*(P ), (8,4) 
transpuesta respecto a la ecuación (2,4), se reduce al sistema 
m 
Ct == :¿K11C/' + /¡*, i = J, 2, ... , m, (9,4) 
)"' l 
transpuesto con respecto al sisLema (7,4). 
Como se ha supuesto que las funciones a;(P) y h,{Q) 
son linealmente independientes, a cada p soluciones lineal-
mente independientes del sistema homogéneo (7,4) o (9,4) 
le corresponden p soluciones linealmente independientes de 
la ecuación homogénea (2,4), o de la ecuación (8,4), res-
pect ivamente, y viceversa. (lPor qué?) De este modo, se 
establece una correspondencia biunívoca entre las solucio-
nes de las ecuaciones integrales (2,4) y (8,4), por un lado, 
y las soluciones de las ecuaciones algebraicas lineales (7,4) 
30 b11rod11ccíó11. Tl'oremM de FredJl()/m 
y (9,4), por el otro. A las soluciones de las ecuaciones (2,4) 
y (8.4), transpuestas una respecto a Ja otra, les correspon-
den las soluciones de las ecuaciones transpuestas (7,4) y (9,4). 
De esto se deducen directamente los dos primeros teo-
remas de Frcdholm para la ecuación integral (2,4), ya que 
éstos son válidos para el sistema de ecuaciones algebraicas 
lineales (7,4). (iVcrifíquese!). 
Para demostrar el t~rcer teorema, obsérvese lo siguiente. 
Si tiene lugar el segundo caso de la alternativa para el 
sistema (7,4), entonces, la condición necesaria y suficiente 
para la existencia de una solución del sistema (7,4) es 
m 
,ZJ;Cf- = 0, 
l=l 
en donde (Cf, .... e:,) es una solución cualquiera del sis-
tema homogéneo transpuesto. Utilizando las igualdades de 
(6,4), esta condición puede escribirse asi: 
111 s ZCt f(Q)h;(Q)dQ=O , 
1=1 
o así: 
Jf(Q) (.¿ Cfb¡(Q)) dQ = O. (10,4) 
Si (Ct,, ... , C!) es unn solución del sistema homogéneo 
(9,4), entonces 2 Cfb1(Q) es una solución de Ja ecuación 
homogénea (8,4), transpuesta a la (2,4). Por eso, ta con-
dición (10,4) es equivalente a la condición 
J!(Q)z(Q) dQ =O 
para cualquier solución z(Q) de la ecuación homogénea (8,4). 
De esto se deduce directamente el tercer teorema de Fre-
dholm para la ecuación (2,4). 
Ecunc. intcg. con núcleos degenerados 31 
Observaciones. l. Ocurre, frecuentemente, que el núcleo 
K(P, Q) y f(P ) son funciones cocnpJejas de los puntos reales 
P y Q. Entonces, las soluciones y( P) de la ecuación integral 
(2,4) serán también, en general , funciones complejas del 
punto real P. En este caso se conserva·n todos los teoremas 
demostrados en este parágrafo. Recordemos que, si 
q.{ P) =rp1(P) + icpi(P), 
en donde <p1(P ) y rp.,l P) son funciones reales del punlo ren l 
P, entonces, por definición, 
f <p(P)dP= f rp,.(P) dP+i J rpz(P)dP. 
2. A menudo ocurre también, que a¡(P) y h;(Q) son fun-
ciones de cierto parámetro complejo .A. Los razonamientos 
del presente parágrafo muestran, que para la ecuación (2,4) 
tiene lugar el primero o
el segundo caso de la alternativa 
de Fredholm, dependiendo de que sea igual o diferente de 
O el determinante formado por los coeficientes del sistema 
(7,4), e.e; decir, el determinante 
1 - K.11. -K12 ... - K1111 
D(i.) "" - K21. 1 -K'J.'.! . .. -K2m (11,4) 
-Kml 
- Km'!.··· 1- Kmm 
en <londc 
K11 = J h¡(Q, /,)aj(Q, l.) dQ. 
Sean a j(Q, ).) y b;(Q, ).) para cada Q de G, funciones 
holomorfas de J. en cierta región finita A del plano com-
plejo. Se supondrá que a1(Q, J.) y h1(Q, A.) son func iones 
32 lntroduccflín. Teoremas de Frcdhnlm 
uniformemente continuas respecto al conjunto (Q, Á). En-
tonces K11 y el determinante (11,4) también son funciones 
holomorfas de J.•>. Por eso, aquellos valores de l., para los 
cuales el determinante (ll,4) es igual a O, y por esto tiene 
lugar el segundo caso de la alternativa para (2,4), no pueden 
tener puntos de acumulación finitos en el interior de A, 
siempre que el determinante (1 1,4) sea diferente de O, por 
Jo menos, para un .AEA. 
3. Sean K11 y¡, funciones holomorf as de .A E A. Así será, 
en particular, si a¡(Q, Á) y b1(Q, l.) poseen las propiedades 
señaladas en Ja observación 2, y /(Q) es una función uni-
formemente continua de Q, lo cual supondremos para mayor 
sencillez. 
Seg(in las conocidas reglas de la teoría de determinan-
tes, los coeficientes C1 se obtienen de las ecuaciones (7,4) 
en forma de quebrados, cuyo denominador para todo i es 
el mismo determinante (11 ,4), y en el numerador está el 
determinante D;, que se obtiene del determinante (11,4), 
sustituyendo su i-ésíma ~olumna por Ja columna (f1 ,/2, ••• 
• • • ,/111). Desarrollando D; por Jos elementos de esta última 
columna, obtenemos: 
!,MofJ 
C¡= J D(.íl) , 
en donde M,1 son polinomios en Kc¡ . Sllstituyendo estos 
•) Esto no c.~ dificil de demostrar, representando la integral en 
forma de limite de una suma integral y ·utili:r.a.1\do el conocido teorema 
de Weierstra.~" que afirma que, si una suce~ión de funciones holomorfa-; 
converge uniformemente en cierta región, entonces, Ja función limite 
e~ también holomorfa en la misma región. (f. J. Privalov, Introducción 
a la Teorla de Funciones de Variable Compleja, J()<l ed., Fizmatguiz, 
1960, cap. 5, § 1). 
Ecuac. i11tcg. con núcleos degenerados 33 
valores de C, hallados en el segundo miembro de (5,4) y 
aplie<rndo las fórmulas de (6,4) para /¡, o btenemos: 
r L; M;¡bj..Q, i.)a,{P, í.)f(Q) dQ 
y(P)="-·.!L ... - ..... D(),,) ···~ ...... --·-- +f(P). (12,4) 
El numerador (para cada .P fijado) y el denominador del 
quebrado del segundo miembro de la últ ima igualdad son 
funcio nes holomorfas de A. en la región A. 
Frecuentemente, es útil escribir la igualdad (1 2,4) en la 
siguiente forma: 
y( P)= JrcP, Q,.:l)f(Q) dQ +f(P). (13,4) 
en donde 
"2,M¡¡bf.Q, A)a1(J>, A) 
, - i} 1 (P, Q, A.)- D(A) (14,4) 
La función r ( P, Q, .il) no depende de/(P) y, como muestra 
la fórmula (14,4), se expresa en forma de cociente de dos 
funciones holomorfas de ). en toda la región A. I'(P, Q, A.) 
puede no ser una función holomorfa de A. sólo para aquellos 
valores de). donde D0.)=0, es decir, para ]os cuales tiene 
lugar el segundo caso de la alternativa de Fredholm para 
la ecuación integral (2,4). En el apartado an terior se de-
mostró, que tales valores de ). no tienen puntos de acu-
mulación en el interio r de A, siempre q ue D().) no sea idén-
ticamente nulo, lo cual supondremos. Se puede demostrar 
fáci lmente, que cada valor /. = A.0 , donde .D(A.0) =0 es, en 
efecto, singular para I'(P, Q, A.) en el sentido siguiente: 
I'( /', Q, A.) no es una función uniformemente continua de 
( P, Q, Á), cuando J. se encuentrn en un entorno <irbitraria-
mente pequeño del punto A0 , y P y Q varían en G. 
En realidad, supongamos lo contrario. Sea la runcitSn 
y( J>, A.), definida por la fórmula (13,4), uniformemente con-
34 lmrod11cció11. Teol'emas de Fredholm 
tinua, si P E G y Á. varia en cierto entorno del punto 1.0 • 
Sustituyamos entonces el segundo miembro de ( 13,4) o, lo 
que es lo mismo, de (12,4), en ambas partes de la ecuación 
(2,4). 'Los resultados de las suslitucioncs, para cualquier 
función uniformemente continua f(Q) , serán funciones uni-
formemente continuas en la misma región de variación de 
P y Á. Sabemos que estos resultados coinciden, cuando Ar! 
:>6 Á0 y p. -i.111 es suficientemente pequeño, ya que enton-
ces D(il) ré O . .Por lo tanto, por continuidad, estos resultados 
coinciden también para ~. = 1.0 • Por consiguiente, para cual-
quier función /(P) de la clase considerada, la ecuación in-
tegral (2,4) tiene solución para l.= Ílo: ésta viene dada por 
la fórmula (13,4) para/.=)-<>• donde I'(P, Q, /.)está definida 
para A=~ por continuidad. Pero, entonces, para este valor 
de /. para Ja ecuación (2,4) tiene lugar el primer caso de 
la alternativa de Fredholm, y no el segundo, por lo que 
D(/.0) ~o•>. 
.Ejemplo. 
Y(x} = - }. J (xi~ i x~2}}{~) d$ .1-f(x), 
11 
<le donde 
y(x) ~ - ). [x' j !y( 0) d< 1 x ¡ l'y(!) di J I· /(x). 
•) Los ra1..onamieníos anteriores se extienden fúcilmente al casCI 
en que a;(Q, l ), b,{Q, ).) y f(Q) tienen discontinuidades con respt'cto 
a Q <>n algunos puntos, y en curvas y superficies sulicientemenle regu-
ft\rcs de dimensión hasta d - 1, inclusive, independientes de l, si al 
:Leercarso el punto Q a l(.ls lugares de discontinuidad la¡(Q, 7.}J , 1 b¡(Q, J.)\ 
y 1 f (Q) 1 no crecen con muchn rapide1 .. l.as soluciones estarán in-
<lctormin:idas en aquellos puntos P, en los c¡uo aí( P, .:!) y f (P) no estén 
lleJinidM, 
Ecuac. integ, cxm núcleos degencra<l<>s 35 
Haciendo 
1 l J ~y(~) ,,e= c.! Y J ~2y(E) d~ = C1, ( 15,4) 
o o 
obtenemos que 
( 16,4) 
Sustituyendo esta expresión de y en las igualdades (15,4), 
obtenemos 
l J ;[f(~) -c,:i.;-C2A~2] de = C2, 
(1 
1 
.f ~lf(e) - C1A~ - C2l~2J d~ = cj 
o 
o sea, 
(17,4) 
1 1 
bj = J e1<~) d; Y h2 = f ~2.f(E) d~. 
o o 
Escribamos Jns ecuaciones (17,4) en Ja siguiente forma: 
e, i+c2(1 +i}="J•} 
C1 ( 1 ·t·i) + C2~=h2 • (18,4) 
El determioante de este sistema es igual a 
~ ..t' 1 +2-240. 
36 Tntr()(fucció11. Teoremas de Fredholm 
Este tiene só lo dos raíces 
A= 60± 16VT5. 
Para estos <los valores de /. solamente tiene lugar el 
segundo caso de la alternativa de Fredholrn . En estos casos, 
todas las soluciones de la ecuación integral homogénea 
l 
y(x) + }. J (x2; + .~2)y(~) d; =O 
11 
están dndas por las fórmulas 
y(x)= c(x+V:Sx2) ' 
en donde C es una constante arbitraria. Para otros valores 
de ), nuestra ecuación integral tiene una solución única, 
dada por la fórmula (16,4), donde C1 y C2 se determinan 
unlvocamente del sistema (18,4). Esta solución puede ex-
presarse en la formi\ (13,4), do.nde 
.;x ( ") (. A) í, S J.- L+¡ e1x-'~ I+¡ +~2x: 3 I'(x, t .A.)=/, l ;.,2°-~--
1 +- - -2 240 
Ejc:rcidos. Hallar u(x) de las ecuaciones 
.tn 
l. 11(x) =ex + l. J x tu(t) dt. 
11 
2. u(x)= !. J sen xi1(t) dt. 
o 
Ecuac. i11teg. con núcleos cont. de mod, suf peq. 
... 
3. u(x) =A. J cos x u(t) dt. 
o 
.l 
4. u(x)=x+ ), J (x-t)u(t) dt . 
u 
5. u(x) =A f sen x sen tu(t) dt +.f(x}. 
() 
§ 5. Ecuacicmes integrales con 11úclws 
continuos de módulo suficie11tcmcntc peque1ío 
37 
Para estas ecuaciones siempre tiene lugar el primer caso 
de la alternativa, es decir, estas ecuaciones siempre tienen 
solución única. Esto se demuestra por el método de apro-
ximaciones sucesivas, como en la teoría de ecuaciones dife-
renciales ordinarias se demuestran la existencia y unicidad 
de la solución de una ecuación integral, que es equivalente 
a la ecuación diferencial dada con sus condiciones iniciales. 
En esencia, esto es una aplicación del principio de Caccio-
poli-Banach, expuesto, por ejemplo, en mi libro sobre la 
teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Yo
podria 
comprobar aquí solamente Ja posibilidad de aplicar este 
principio general, pero prefiero hacer la demostración para 
cslc caso concreto dado, puesto que con ello obtendremos 
a lgunas fórmulas ú tiles en lo sucesivo. 
Introduzcamos notaciones simbólicas que serán uti liza-
das a veces en lo sucesivo. Sean K 1(P, Q) y Kz(P, Q) fun-
ciones uniformemente continuas de P y Q, cuando PE G 
y QEG. Hagamos 
K2 o K1 = f K'J.( P, S)K1(S~ Q) dS. ( 1,5) 
38 /11tr()J(lt;c:lcl1r. Tcure111a.v de Fretlfwlm 
Llamaremos al núcleo K( P, Q) = K2 o K1 producto sim· 
bólico del núcleo K2(P, Q) por K1(1', Q) •>. 
Es fácil demostrar que K2 o !(_1 es una función unifor-
memente continua de P y Q. En efecto, 
1 J K.¿(l'v S)K1(S, QJ dS- J K2(Pi. S)Ki(S, Q.;J ds¡ .,¡; 
.:i: JJ KiP" S)[K1(S1, Q,)-K1(S, QJ] ds] + 
+ 1 J K,(S, Q2)[Kz(P1, S) - K'l.(Pi . S)] Jsl . (2,5) 
Supongamos que la cota superior de los valores absolulos 
de K1(P, Q) y K.,JP, Q), cuando PEO y QEG no supera a 
M, y que Des el volumen de la región G. Debido a lu con-
tinuidad u11iforme de K 1(P, Q) y de K2(P, Q) para todo i:: >O, 
existe un r¡ >O tal, que 
IK2(P1, S)-K.iJP2 , .S~I <2~:M 
y 
•) El producto simbólico de núcleo~. introducido de esta manera, 
es análogo al producto de matrices. 
Supongamos que la función <p1(P) se transforma por medio del nlli;-
leo K1(P, Q) en la función 'Pz(P) = J K1(P, Q)ip1(Q)dQ, y Ja funci6n ir.i(P), 
por medio tlel núcleo K2(P,Q) en lafunci6nÍ3(P) 0 rK2(P, Q)qi~(Q) ,/Q. 
Enlonc~s el núcleo K2 oK1 da Ja lransformación Je la función <p.(/') 
en rp3(/'), o sea, qi3 ° J (K2 o K1)<p1(Q) dQ. De la misma manera, la apli· 
cación sucesiva en un espacio de dimensión n de dos transformacionc.~ 
lineales nos da una transformación lineal con una matriz igual al pró· 
dueto de las matrices de estas transfonnacioru-"'S. 
Ec11ac. integ. co11 núcleos cont. d~ mód. suf. peq. 
si Ja distancia entre Jos puntos P 1 y P2 y entre los puntos QL y Q2 es menor que 'Y/· Fácilmente se observa que bajo 
esta condición, el primer miembro de la desigualdad (2,5) 
es menor que '" que es lo que se quería demostrar. Obsér-
vese que, en general , K2oK1 ~K.ioK2 . Si KJP,Q) es una 
función uniformemente continua en P y Q, es fácil com-
probar que 
K1 o(K2 oK.J= (K¡ ú K2)o K3 • 
Pasemos ahora a demostrar, que fas ecuaciones integra-
les con núcleos cont inuos de módulo suficientemente pe-
queño siempre tienen una solución única. Esto será util i-
zado en lo sucesivo para la demostración de los teorem~\S 
de Fredholm · en el caso de una ecuación in tegral con un 
núcleo continuo cualquiern. 
Sea dada la ecuación integral 
y(P)==.A f K(P,Q)y(Q.) dQ +J(P), (3,5) 
y scnn K (P, Q) y f (P) ciertas funciones uniformemente co11-
tinuas, cuando PE G y QEG, en donde G es una regil'in 
fin ita*>. Aquí /. es cierto parámclro. Generalmente, éste 
*) En lugar de subrayar cad¡L vez la conlinui.dad uniform1; de In:> 
funciones consideradas en la región abierta G, estas funciones se podrfon 
considerar en la región cerrada finita G {es decir, en la unión de G 
y su frontera), y exigir sólo su continuidad. Entonces, de aquí se de-
duciría directamente la continuidad uniforme de estas funciones. Si 
está dada alguna función rp uniformemente continua en la región abícrta 
G, 6.sta puede ser prolongada por continuidad a la frontera de G. En-
tonces se obtiene una función uniformemente continua en la región 
cerrada. G. Para las regiones sencillas que consi<leraremos aquí {co!ll-
párese con la observación al § 1), el volumen de la dimensión d de 
la frontera es igual a O. Entonces, la integral de la función p sobre 
la región G coincide con la integral de su prolongación sobre G. 
40 J11tr(}l/11cció11. Teoremas de Fredholm 
figura en In ecuación precis¡fmcnte de la forma indicada 
en (3,S). 
Todos Jos razonamientos ulteriores de este paritgrafo 
son ígualmcntc aplicables. tanto al caso en que las funciones 
considerndas lomen valores complejos, como al caso en 
4uc las mismas tomen sólo valores reales. El parámctrn A. 
también puede tomar valores complejos. Pero es fundamen-
tal que los puntos P y Q sean reales, es decir, que todas 
las coordenadas de estos puntos sean reales; de olro modo 
surgiria la necesidad de definir qué es una integral <le varias 
variables complejas. 
Siguiendo exactamente Ja definición de núcleo dada an-
teriormente, ahora deberíamos llamar núcleo a A.K(P, Q). 
Pero, utilizando Ja terminología común, llamaremos tam-
bién a la función K(P, Q) núcleo de Ja ecuación integral 
(3,5). AJ hablar en el título del presente parágrafo de Ja 
pequeñez del núcleo, nos referíamos a la pequeñez de 
J.K(P, Q). 
Buscaremos Ja solución de la ecuación integral (3,5) en 
forma de una serie de potencias en J. 
y(P)=y0(P)+Ay1(P)+JLi12(P)+... (4,5) 
Suslituycn<lo formalmente esta serie en (3,5), obtenemos que 
Yo(P)+ ).y1( P) ·I· ).2y2(P) + l.ªh(P) + ... = 
= Á f K(P, Q)[y0(Q) + ).yJ(Q) + .. . ] dQ +f(P). (5,5) 
De aquí y comparnndo los coeficientes de iguales polcnciai-; 
<le A., obtenemos 
y0( P) = f( P), 
Y1<1• 1(P) = J K( P, Q)y1«Q) dQ, k =O, 1, 2, . . . (6,5) 
Ecuac. integ. con núcleos cont. de mód. suj. peq 
o sea 
J'oCI') = f(P ), 
Yi.( P) = j'K(P, P1)f(P1) dP1 , 
ylP) = J J K(P,P1)K(P1, P2)f(P2) JP1 dP, 
h veces 
.----.. 
y1,(P)s:: J ... J K(P, P1)K(Pi., P.¿) •.• 
41 
. . . K( P1i-L • P,,)f(P1J dP1 ••• dP1,. (7,5) 
Lá última igualdad puede ser escrita de la siguiente forma: 
y1c(P) = J KOr>(P, Q)f(Q) dQ, k = 1, 2, 3, . . . (8,5) 
en donde 
(T.~5 
K<11>(P, Q)= f ... J K(P, P1) • • • 
. . . K(P1r_1 , Q) dP1 •• • dP11-1, 
para le = 2, 3, .. ., (9,5) 
K 1(P, Q)=K(P, Q). 
Utilizando nuestras notaciones simbólicas, el núcleo 
K<1'>(P, Q) puede ser representado en la forma 
KO'>( P, Q)=KoKoKo ... oK. (10,5) 
----.,.--/;Veces 
Por lo demostrado al comienzo de este parágrafo, todos 
Jos núcleos K(k)(P, Q) son uniformement<continuos. La 
42 /111rod1u:c:i1í11 . Teoremas de Frí!tl/w/111 
función x<11>(P, Q) se llama reiteración k-ésima o iter.acción 
k-ésima del núcleo K(P, Q). Como puede verse fácilmente, 
todas las funciones y1,(P) son también uniformemente con-
tinuas. 
Acotemos los núcleos K<k>(.P, Q). En virtud de Ja con-
tinuidad uniforme, el núcleo K(P, Q) es acotado. Sea 
IK(P, Q)l<M. (l l,5) 
Sustituyendo esta acotación en el segundo miembro de (9,5), 
obtenemos que 
(12,5) 
en donde Des el volumen de la región G. Utilizando la fór-
mula (8,5), de lo anterior obtenemos que 
IYk(P)I sM~[)lrF, 
en donde Fes el <ixtrcmo superior de lf(l')I . Por eso, si 
IX!< ~D ' ( 13,5) 
Ja serie (4,5) converge absoluta y uniformemente respecto 
a P en la región G. 
l a suma de esta serie es una función continua de P, ya que 
cada sumando es continuo. Como la serie (4,5) es uniforme-
mente convergente, Ja integración en la igualdad formal (5,5) 
escrita anteriormente, puede ser efectuada miembro a m iem-
bro. Por eso, debido a la definición de y1lP), según las fór-
mulas (6,5), la igualdad (5,5) tiene lugar realmente, es decir, 
la fu nción y(P) definida por la serie (4,5) es solución <le 
la ecuación integral (3,5). 
Demostremos que esta solución es única en la clase de 
funciones acotadas, si. se cumple la condición (l3,S). En 
efecto, supongamos que existen dos soluciones de \a ecua-
Ec11uc. /11tc11. con uúcleos cont. de mód. su[. pcq. 43 
ción (3,5) y1(P) '} y.¿{P ). Sustituyéndolas en la ecuación (3,5) 
y restando miembro a miembro las identidades obtenidas, 
hallamos: 
y.¿{P ) - y1(P) == AJ K(P, Q)[y2(Q)-y1(Q)] dQ. (14,5) 
Denotemos por Y el extremo superior de IY2(P)-y1(P ) J; 
entonces, de (14,5), utilizando la desigua ldad (11,5), oblenc-
mos que 
Y .s: i). l /vf DY. 
De es Lo, y debido a ( 13,5), obtenemos 
Y,,.; cY, en donde e< l. 
Esto es posible sólo si Y == O, que es lo que q ucriamos
de-
mostrar. 
Frecuentemente conviene represen tar la solución de la 
ecuación integral (3,5) en Ja forma siguiente 
y( P )=A f T(P, Q, A)f(Q) dQ +f(P), (1 5,5) 
en donde 
.. 
F( P, Q, J.)= ;i).'<- J K<1'>(P, Q). ( 16,5) 
k~J 
De las acotaciones (12,5) se desprende que la serie (16,5) 
converge uniformemente respecto a (P, Q, A), si P E G, Q E G 
l y p,¡ < MD -e, donde e > O. De esto se deduce que la fun-
ción t'(P, Q, }.) es uniformemente continua respecto a l con-
junto (.P, Q) para una A fija, y es una función holomorfa 
de A. en el círculo (13, 5), si PE G y Q E G. Por eso, la inte-
gral (15,5) existe. El hecho de que ésta dé, en efecto. la 
solución de Ja ecuación integral (13,5), expresada por la 
serie (4,5), se ve fácilmente, si se sustituye la serie ( l6,5) 
44 lntroducci6fl Teoremas de Fredholm 
en lugar de T(P, Q, .A) en el · segundo miembro de (15,5), 
y se integra rcspcclo a Q término a término. 
La fu nción /"(P, Q, /.) se llama resolvente de la ecuación 
integral (3,5) 11<)_ Como se ve de lo anterior, ésta se defi ne 
por ~J núcleo de la ecuación integral y no depende de f(P ). 
Como la función y(P ), dada por la fórmula (1 5,5), rcprc-
•) Comparemos (15.5) y (1 3,4). Mostremos que para la.s ecuaciones 
integrales (3,5) con núcleos degenerados, para las cuales a¡(P) y b¡(J>) 
son funciones uniformemente continuas y de módulo su.ficientemcntc 
pequeño; es decir, para aquellas ecuaciones integrales que pertenecen 
a la vez a los tipos estudiados en los § § 4 y 5, será 
f(P, Q, l) ... í.l'(P, Q, J.). 
Como élquí 1icne lugar el primer caso de la alternativa, se tiene que 
D(..l) ;0 O. 
Supongamos que en cierto punto (P0 , Qu , ?.<f) 
f'(Po, Qo, At)) ~l.ul'(Po, Gu , },u), D011),. 0. 
Ya que para las ecuaciones con los núcleos considerados T(P0 , Q, Av) 
y l'(P0 , Q, í.0) son continuas respecto a Q, siempre se puede hallar un 
entorno G0 del punto Q0 , en el cual 
Re { l-;(P0 , Q, }.,,)} ;o< Re {At>/ '(P0 • Q, l.uH 
o 
Por otra parte, en virtud de la unicidad de la solución de las ecuaciones 
integrales del tipo considerado, para cualquier función f (P) uniforme-
me1>te continua tiene que verificarse Ja siguiente igualdad: 
J l'U'a, Q, ).,i)f(Q) dQ.,, A0 Jr (P11 , Q, -\i)/(Q) dQ, 
En particular, esta igualdad debe cumplirse para la función /(Q), que 
es igual a cero en el exterior de un entorno G0 del punto Q0 , y positiva 
en el interior de este entorno, lo cual es imposible. (¿Por qué?) 
Ecuac. lnleg. con 11úcleos co111. de mód. su/. pt'q. 45 
senta la única solución de la ecuación (3,5), de aquí se sigue 
que las ecuaciones (3,5) y ( 15;5) son equivalentes. Por eso, 
si en la ecuación ( 15,5) consideramos y(P) como funcíón 
conocida y f(P) como función incógnita, entonces la única 
solución f(P) de esta ecuación viene dada por la fórmula 
(3,5). l..a función K(P, Q) en esta fórmula juega el papel 
de resolvente para Ja ecuación (J 5,5) con núcleo F( P, Q, Je). 
Aplicando a la ecuación 
z(P) = Á J K(Q, P)z(Q) dQ +f(P), (17,5) 
transpuesta a la ecuación (3,5), y los mismos razonamientos 
que acabamos de hacer para la ecuación (3,5), ha\laremos 
que en el circulo (l3,5) ésta tiene una solución única en 
la clase de funciones acotadas, la cual viene dada por la 
serie 
A qui 
z0( P) = f(P), 
z1,.( P) = f K(Q, P)z1,_1(Q) dQ 
o, designando por K '~(P, Q) el núcleo K(Q, P), obtenemos: 
Z¡(P)= J K*(P, P1).f(PJ. ) dP1 , 
k veces 
Z¡c(P) = J .. . .f.K"'(P, P1)K*(P1,P.¡) . •. K*(P1¡-¡, P1r)X 
xf(P,j dP1 • • • <IPk 
46 /tltroduccMa. Teorcmns de Frcdlio/m 
o bien, 
z1.( P) = J K*<11>( P, Q)JtQ) dQ, k e:: 1, 2 .•... , 
en donde 
/:- 1 veccs 
K*(1'>(P, Q)= J ... J K *(P, P1) ••• K*(.P1c- t. Q) dP.1 .. . dP,,_., . 
Escribiendo las integrales respectivas es fácil ver que 
K'*<11>(P, Q) =K<11>(Q, 1'). De esto se desprende que la sol u· 
ción de In ecuación ( 17 ,5) puede ser representada en la 
forma 
z(.P)= 2 J J'*(P, Q, Á)f(Q) dQ+ f(.P), (18,S) 
en donde 
f'*(P, Q, l.)=T(Q, P, Á). 
De este modo, vemos que en el clrculo (13,5), para cual· 
quier función uniformemente continua f(P) y bajo las co11di-
cio11es impuestas al núcleo, tanto la ecuación (3,5), como ,\'U 
trarrspuesta (17,5), tienen solución Úllica., es decir, hemos de-
mostrado que aquí siempre tiene lugar e\ primer caso de 
la alternativa de Fredholm. 
Señalemos las dos fórmulas siguientes: 
.f'(P, Q, ).)=K(P, Q)+.A J K(P,P1)T(PJ, Q, 1.) dPP (19,5) 
l'(P, Q, J.) = K(P, Q)+). J l'(P, P1 , J.)K(P1, Q) dP1 • (20,5) 
Para comprobarl as, basta sustituir en lugar de T' la serie 
( 16,5), y luego comparar los coeficientes de iguales poten· 
cias de 1, utilizando la fórmula (10,5). 
&uac. i11reg. "'n 11úcleas próx. a /ns degcn. 47 
El método de las aproximacíones sucesivas puede ulili-
1.arse para Ja resolución aproximada de ecuaciones integra-
les para p,J suficientemente pequeño •>. 
§ 6. Ecuaciones integrales co1t míc/eos próximos a Jos degenerados 
Sea dada Ja ecuación integral 
y(P) =l. J K(.P, Q)y(Q) dQ + J(P), ( 1,6) 
en donde f(P) es una función uniformemente continua, y 
m 
K(P, Q) = _¿ a¡{P)b¡(Q) + K1( P, Q) = A(P, Q) + K1(P, Q). 
1-1 
Aquí a1(P), b;(Q), K1(P, Q) son funciones uniformemente 
continuas y, por lo tanto, acotadas, ya que sus dominios 
de definición son finitos. Nuevamente, nos es indiferente si 
estas funciones toman valores complejos o sólo reales. 
Para que los cálculos ulteriores, que por cierto, son has· 
tatlte complicados, no oculten la esencia de la cuestión, nos 
será más cómodo escribir las ecuaciones inlegrales en form:i 
simhólica. 
La. igualdad 
"P( P) = f K(P, Q)y(Q) t!Q (2,6) 
convendremos escribirla simbólicamente en In forma 
1p=Ky. 
--~·-
•) Compa.rar con L. V. Kuntorovich y V. I. Krylov, Métodos Apro· 
ximndos clel Análisis Superior, 511 ecl, Fiunatg!,U?~ 1962. c.ao. II, § 2 
48 T111rot1uccici11. TeoremCL~ ele Frcdlwlm 
De este modo, designaremos por K el operador que 
transforma la función y(P) en la función 1p(P)= J K(P,Q)· 
· y(Q) dQ. Este operador se determina por el núcleo K(P, Q). 
Designaremos por K* eJ operador que se determina por el 
núcleo transpuesto K*(P, Q) = K(Q, P). El simbolo E desig-
nará el operador que transforma la función y(P) en sí misma, 
o sea, Ey ==y para cualquier función y(P). El operador K1 ± K2 
se define por la igualdad 
(K1 ±K.¡)y=.K1y±K'JY 
para cualquier función y(P). El operador Kt Kz. lo definimos 
mediante la siguiente igualdad : 
Kif(,¡y= Kt(KIJY) 
para cualquier función y(P). 
Fácilmente ¡;e ve que, si K1 y K2 son operadores del tipo 
(2,6) con núcleos K1(P, Q) y K2(P, Q), entonces eJ operador 
K1.±K2 se determina por el núcleo K1(P, Q)±K2{P, Q). y el 
operador K1K2 , por el núcleo K1 o TGJ.. 
De esta manera, la ecuación (l ,6) puede escribirse en 
In forma 
(E-1.K)y=f 
Antes de pasar a la demostración de los teoremas de Fred· 
holm para Ln ecuación (1 ,6), enunciaremos 1~ s iguientes 
lemas: 
.Lema 1. Si A ( P, Q) es un núcleo degenerado y K( P, Q) 
t'S un mícl<!o continuo cualquiera, en/onces A o K y K o A son 
también nlÍclcos degenera dos. 
Lema 2. El núcleo transpuesto a K1 o K2 es igual a Kt o Kt. 
La validez de estas a firmaciones es fácil comprobarla, 
considerando las fotegrales rcspccti°vas. 
Ec11ac. integ. con mícfcos pr<ix. a los clege11. 49 
Demostremos ahora, que para Ja ecuac1on (1 ,6), si 
1 A. j < M: 0 . en donde MJ. es el extremo su perior de los 
va lores de IKJ.(P, Q)I, y Des el volumen de la región G, tienen 
lugar los tres teoremas de Fredhohn. 
1. Primer teorema .de Fredholm. Demostremos que, si la 
ecuación homogénea (l ,6) t iene sólo solución trivial, enton~ 
ces la ecuación no homogénea (1,6) tiene solución pnra 
cualquier función f(P). 
Sustituyendo K por A + K1, escribimos la ecuación ( 1,6) 
en Ja forma 
(E - AA - A.KJ.)Y = f, 
en
donde A y KL son los operadores correspondienlcs a los 
núcleos A(.P, Q) y K¡(P, Q). Entonces 
(E - /..K1)y=A.Ay+f. (3,6) 
Hagamos 
l Como 1 J. j < MiD , de la fórmula (15,5), demostmda en el 
parágrafo anterior, se deduce que 
y=11+ i.P.r¡=(E+ ;l. I')17, (S,6) 
en donde r es el operador correspondiente a la resolvente 
I'(P, Q, A.) del núcleo KJ(P, Q). Sustituyendo esta expresión 
de y(P) en la ecuación (3,6), obtenemos: 
17 = ).A(E + J.I')'r¡ +/ 
o bien, 
[E-AA(E+).I')] r¡=f. (6,6) 
Del lema 1 se deduce que el núcleo A ( P, Q) + A ·:> f.I' de 
esla ecuación integral es degenerado. De esta manera hemos 
demostrado, que a ~ida solución y(P) J e la ecuación ( 1,6) 
4 
50 In1rotl11cció11. Te<>l'tma!t de Fredho/111 
le corresponde, según la fórmula (4,6), una solución 1¡(.P) 
de la ecuación (6,6) con núcleo degenerado. 
Recíprocamente, es fácil comprobar que a cada solució n 
?'J( P) de la ecuación (6,6) le corresponde una solución y(P) 
de la ecuac.ión ( 1,6), determi nada por la fórmula (5,6). Luego, 
si la ecuación homogénea (6,6) tiene solución no trivial, Ja 
ecuación ho mogénea ( 1,6) también poseerá. solución no Lri-
víal, la cual se determina por la fó rmula (5,6). 
Puesto que, por la hipótesis, Ja ecuación ho mogénea ( 1,6) 
sólo tiene solución trivial, entonces, por consiguiente, In 
ecuación homogénea (6,6) también tendrá solamente solu-
ció11 trivial. 
En el § 4 se demostró el primer teorema de Fredho lm 
parn la ecuació n (6,6) con núcleo degenerado. Po r eso, la 
ecuación no homogéneq (6,6) tiene solución ·r¡( P) para cual-
q uier función JU'). Por la fó rmula (5,6) obtenemos la solu-
ción y( P) de la ecuación (1,6) pura cualquier funció n f(P ). 
Es cviduntc, que esla solución es única. 
Con esto el primer teorema de Fredholm qucd~~ demos-
trado, puesto que, si In ecuación homogénea tiene solució n 
no trivial, la ecuación no homogénea, o bien no tiene solu-
ción, o bien esta solución no es única. 
2. Segundo teorema de Fred/wlm. D emostremos que, si 
¡;i.¡< M:.o, In ecuación (E-).A -.AKJy=O y su trnns-
puesta 
(E-l.A*-1.Kt)z=O (7,6) 
tienen un mismo nl.'.11nero de soluciones linea)mentc indc· 
pend ientes. 
Obsérvese que las ecuaciones ho mogéneas (1,6) y (6,6) 
tiunen un mismo número de soluciones linealmente indc- · 
pendientes, puesto que a cada p soluciones linealmente in· 
Ecuac. i11teg. cnn núcle<IS próx. a los dcgen. 51 
dependientes de una ecuación le corresponden, según la fór-
mula (4,6) o (5,6), p soluciones linealmente independientes 
de la otra ecuación. 
En virtud del lema 2, la ecuación homogénea transpuesrn 
a ( 6,6) lienc Ja forma 
[E - .l.(E + A.I'*)A*]C = O. (8,6) 
Como la ecuación (6,6) tiene núcleo degenerado, entonces, 
por el segundo teorema de Fredholm, demostrado en el § 4 
para las ecuaciones con núcleos degenerados, las ecuaciones 
homogéneas (6,6) y (8,6) tienen un mismo nlimero de solu-
ciones linealmente independientes. Demostremos ahora que 
las ecuaciones (8,6) y (7,6) son equivalentes. Supongamos 
que cierta función C(P) es solución de la ecuación (8,6). 
Demostremos que ésta satisface también a la ecuación (7,6) . 
Aplicando a ambos miembros de la igualdad (8,6) el <.)pera-
dor E-J.Kf, obtenemos: 
(8 - A.Kt)[E ~ IL(E+ IJ'*)A*)':= 
= [E-i.Kt - i.(E -J..Kf)(E+ l.I'*)A'~]~ =O. (9,6) 
Ya que de las fórmulas (17,5) y (18,5) se dcspre11de que 
(E - ).Kf)( E + i.I'*)rp - <p 
para cualquier función 1p(P), entonces, de la igualdad (9,6) 
obtenemos: 
(E-A.K"[-1.A.*)C=O, 
que es lo que se quería demostrar. 
Análogamente, aplícando el operador E + J.I'* a ambos 
miembros de la igualdad (7,6) y utilizando la jgualdad 
(E+ ).I'*)(E - í.Kt) =E obtenemos que cualquier solución de 
In ecuación (7,6) sati!>face a Ja ecuación (8,6). De este modo, 
~hemos demostradb que las · ecuaciones homogéneas (J ,6), 
52 b1troducci<Ífl. Teoremas de Fredlrolm 
(6,6), (8,6) y (7,6) tienen u~ · mismo número de soluciones 
linealmente independientes. Con esto queda demostrado el 
segundo teorema de FredhoJm. 
Aquellos valores de A., para los cuales se cumple el se-
gundo caso de 1a alternativa de Fredholm, en la ecuaci<.Sn 
(l,6), se llaman valores propios de la ecuación (1,6) (auto-
valores) (o del núcleo K(P, Q) ; compárese con el § 2), y las 
soluciones no triviales correspondientes de Ja ecuación ho-
mogénea, funciones propias (o autofunciones) correspondien· 
tes a dicho valor propio. 
Como en eI circulo 1 i. I < ;,,D , I'(Q, P, J,) es una fun-
ción holomorfa de A., el determinante (11,4), correspondiente 
a la ecuación degenerada (6,6), también es una función holo-
morfa de ). en este circulo. Para A.= O este determinante es 
igual a I. Por consiguiente, no es idénticamente nulo. Por 
eso sus raices no pueden tener puntos de acumulación en 
este círculo. Por lo tanto, los l'alores propios A. tle la ecuación 
( 1,6) no pueden te11er puntos de acumulación en el círculo 
IA.l<M:D . 
3. Tercer teorema de Fredholm. Demostremos que la so-
lución de la ecuación (1,6) existe si, y sólo si, 
f f(P)z(P) dP=O 
en donde z(P) es una solución cualquiera de la ecuación 
homogénea (7 ,6) transpuesta a ( 1,6). 
En la demostración del primer teorema de Fredholm 
para la ecuación (1,6) se ·estableció, que la ecuación (J ,6) 
tiene solución si, y sólo si, exíste solución de Ja ecuación 
(6,6) con núcleo degenerado. En el § 4 se demostró que la 
Ecuac. integ. co11 núcleos umform. commuo.t 53 
ecuación (6,6) con núcleo degenerado tiene solución si, y 
sólo si, 
_f f{P)C(J>) clP=O, 
en donde C(P) es una solución cualquiera de Ja ecuación 
(8,6). Pero, de acuerdo con lo que acabamos de demostrar, 
el conjunto de estas soluciones C(P) coincide con el con-
junto de las soluciones z(P) de la ecuación (7,6). Con esto 
queda demostrado el teorema. 
§ 7. Ec11acío11es integrales con mícleos 
u11iformeme11te comimco.v 
Cualquier núcleo uniformemente contjnuo K(P, Q) puede 
ser aproximado uniformemente, con una exactitud arbitra-
ria cualquiera por núcleos degenerados. En efecto, sea 
K( P, Q) una función uniformemente continua respecto a 
( P, Q), definida en una región finita G. Por el teorema de 
Weierstrass, demostrado en el curso de análisis *}, para 
cualquier s >O existe un polinomio tal K0(P, Q), de grado 
suficientemente grande respecto a las coordenadas de los 
puntos P y Q, que en toda la región G · 
IK(P, Q)-K0(P, Q) I <e. 
Es evidente que cada término del polinomio K0( P, Q) puede 
ser representado como un produclo de dos factores, uno de 
los cuales depende sólo de las coordenadas del punto P, y 
•) Véase, por ejemplo, R. Courant y D. Hilbert, M6todos de la 
F~ica Matemática, t. I, cap. ll, § 4; S. L. SoboJcv, Ecuaciones de la 
Física Matemática, 1° ed., M. - i...., 1947, pág. 229. 
54 /11troduccí611. Teoremas de Frcclh<>lm 
el otro, sólo de las coordenadas del punto Q. Por eso, po-
demos escribir 
·"" K(P, Q) ""2,'a¡(.P)b¡(Q) + K,(P, Q), 
1 .. t 
siendo, además 
IK¡(P, Q)I <F. 
De a.qui, y aplicando el teorema demostrado en el pará-
grafo anterior, obtenemos que en el círculo 
l p,¡.c:eD' 
en donde D es el volumen. de la región G, sean válidos todos 
los teoremas de Fredholm, y que en este círculo no existan 
puntos de acumulación de los valores propios de .A. Como 
e puede tomarse tan pequeño como se quiera, de esto se 
deduce la validez; de estos teoremas en circulos arbitraria-
mente grandes con centro en el punto Á = O; es decir, su 
validez en todo el plano ) .. 
Repasemos los razonamientos que nos Llevaron a la de-
mostración de Jos teoremas de Fredholm para las ecuaciones 
con núcleos uniformemente continuos. Primeramente, (§ 4), 
hemos demostrado estos teoremas para ecuaciones integra-
les con núcleos degenerados. En el § 6 estos teoremas fueron 
demostrados para ecuaciones con núcleos próximos a los 
degenerados. Y en el presente
parágrafo se demostró que 
cualquier núcleo uniformemente continuo puede ser apro-
ximado uniformemente con una prccisfón arbitraria por un 
núcleo degenerado. Con esto obtuvimo:> la demostración de 
los teoremas de Fredholm para las ecuaciones integrales 
con núcleos uniformemente continuos cualesquiera. 
El método con el que hemos demostrado aquí los teo-
r~mf!S c.I~ fr~dholm pcrten~~c ;¡ E. ~~hmi9t, ~n 111i exposi· 
Ecuac. i11teg. c.on micle<Js tlel tipo K(P, Q)/PQ1 55 
ció n he utilizado los apunLos de las clases de S. L. So bolev. 
Obsérvese, que se pueden resolver, aproximadamente, ecua-
ciones integrales con núcleos continuqs, sustituycnd o estos 
núcleos por núcleos degenerados, próximos a ellos•>. 
§ 8. Ecuaciones i11tegrales co11 núcleos 
. K(P. Q) 
dd llPO ---
.PQ:i. 
1. Aquí P y Q pertenecen a una región finita cerrada 
G (véase Ja observación on la pág. 39), y K(P, Q> es una 
función continua respecto a los puntos ( P, Q) (o sea, del 
conjunto de puntos P y Q); PQ es In distancia entre los pun-
tos P y Q. La finalidad del apartado 1 del presente pará-
grafo es demostrar que, par(I las ecuaciones integrales con 
núcleos de este tipo, siendo oc< d, en donde d es la dimensión 
de fa región O, en todo el plano i, se cumplen los trl:.'s teore-
mas de Fredholm, y que, e11t<J11ces, los valores propios ). 110 
pueden tener punttJS de acumulaci<Jn finitos. 
Dernostremos previamente el siguicnlc lema para los 
núcleos K,(P, Q) y K~(J', Q) continuos respecto a ( P, Q), si 
P~Q. P EG y QEG. 
Si 
( 1 ,~) 
y 
(2,8) 
•>Comparar con L. V. Kantorovich y V. I. Krylov, Métollos A pro· 
.'(ilm1Jos del Análisis Superior, 5ª ed, 1962, cap. U, § 4. 
S6 /111rod11cciJn. Teoremas <le Frcdf1olm 
cnto11ces cx;ste la i11tegml 
)' ésta c's cv11timw rcspecto a (/', Q), si P es 1//fere11tc de Q ; 
además 
1 K3(P, Q)I < PQ>:.:0 .-::;¡si rx1 +a-¿> ti, (3,8) 
)l 
en dvnd<' A 3 y A,1 son tlllCJ.Y constantes. Si, en cambio, ct1 + IX:¿< d, 
entonces esta ;ntegral existe y es una función uniformemente 
continua respecto a ( P, Q) *>. 
Demos/ración. Sea P~Q. Entonces 
d 
,..._....__, 
== J ... J A 1A2 dxl') . . . dx~1> · ··~ =l. (5,8) 
r "" /) [ 11 ( ) ] -::;- [ e/ ( ) ]-¡-
' _¿ (x, - x,' )2 • • l (x,1 - Y1)= 
l=l /al 
Aquí X¡, xP>, y,-, i = l, ... , d, son las coordenadas de los 
puntos P, P1 , Q, respectivamente; D es el diámetro de la 
región G, o sea, et extremo superior de las distancias entre 
dos de sus puntos; 
•) Comparar con S. L. Sobolev, ·ecuaciones de la Fisica Matemá-
tica, ¡ci edición, M. - L., 1947, pág. 233. 
Ecuac. integ. con mícleus del tipo K(P, Q)/PQ> 51 
Para simplillcar los cálc ulos sin restringir la generalidad, 
hagamos 
x 1 = .. . =-XJ=O; y 1 = (!, Y.,¿=· .• =y,¡= 0, 
en donde 11 =PQ. Pongamos 1 ucgo 
xP> = ~,. 
Entonces la i ntcgral l que figura en el segundo micm brn 
de (5,8) puede escribirse así: 
Obsérvese que, si 1( Z ~~;;.:: 2, entonces t 1-J. 
(6,8) 
En efecto, de la fig. 2 se vo que PM + OP~ OM. Pero OP= 1. 
Por consiguiente, PM<::OM-1 =~ (OM + (OM-2)). Pero, 
por hipótesis, OM~2. Por eso, PM';¡¡:. º:1. 
5X l11troci11ccián. Teoremas de Frctflwlm 
Descompongamos la integral I en dos partes y utilice-
mos la acotación (6,8). Entonces se obtiene: 
[,,;;: A 1A~ f ... f d~ ... d~d + 
()11., + tt, -ll °'• ll<o 
~ • • d - ¡J -Z~i""I [ .~~~12 ·[<~1-02+ .¿~¡]i 
.1=1 t=~ 
~· é~4~·~=-cl f ... J 2·~·.!'J!.'. .. :.~; ::~ . 
. 1~ ¿;r,=:~ [ í ~7 ]-2-· 
,f=l . 
La íntegra! en el primer sumando es convergente y da cierta 
constante C1 que no depende de e. Para el cálculo de Ja 
segunda integral, pasemos a coordenadas polares. Se ob· 
tiene: D 
(! 
l,.; Cit.!<1-12,-a, + C.!J/-<t, -» J r.c1-1-,,,-4 dr., (7,8) 
en donde C2 es una constante posiLiva. 
Si tx.1 +o:2 .,,.cf, entonces de la última fórmula se deduce que 
es decir, se obtiene la acotación (3,8) . 
Si oc.1 + a2 = d, entonces de Ja fórmula (7 ,8) se desprende que 
D l ~ C1 + C2 in 2!.l , 
es decir, la acotación (4,8) para K(P, Q) *>. 
*) Bn las consideraciones subsiguientes, el caso cc1+ ocz = d siempre 
pu~d~ ~cr 1;xcluido1 aumentando un poco 0:1 o rx2 • 
Ecuac. brteg. rQ11 núcleos del tipo K(P, Q)/PQ"' S9 
Si, en cambio, cx1 + rJ. 2<d, entonces es evidente que 
.K3(P, Q) existe también para .P= Q. Luego, de la acotación (7,8) se sigue que .. 
f ~ C ,,11-"•-"• + Ct<,tl-"'•-«t [ ( D)d-r:i,-"• - 2:1-.,,-.,, ] s C (8 8) 
l. d - IX¡ - «t . ~ :1 • ' 
en d onde C,1 es una constante. 
Demostremos ahora que K3(P, Q) es s iempre continua 
y depende de ( P, Q), si P no coincide con Q. Para esto 
observemos que 
Ka(.P, Q)-Ka(.P* , Q*)I ~ 
-:s: IK3(P, Q)- Ki P, Q*)I + IK3(P, Q*) -K:¡(P*, Q*)I s 
:::; f IK,(P, P,)I · 1 K2(P., Q) - K1:(Pp Q*)I dP .. ..¡. 
+ J IK2(P1 , Q*)I · IK1(P, I'¡)- K1(P'4l, P1)I dP1. (9,8) 
Hemos supuesto que las funciones K1(P, Q) y K2(P, Q) 
cslítn dadadas para lodos los puntos P y Q (si P ;11! Q) per-
tenecientes a G, y que K1{ P, Q) y K.i.(P, Q) son continuas 
siempre que P ~ Q. P o r eso, en cualquier conjunto cerrado 
de puntos (P, Q), que no contenga puntos para los cuales· 
P =Q, las funciones K 1(P, Q) y Kf..P, Q) son uniformemente 
continuas respecto a ( P, Q). Por consiguiente, cada una de 
las diferencias que figu ran bajo el signo integral es uniforme-
mente pequeña con respecto a P 1 , s iempr'e que los puntos Q y Q*, P y P* estén suficientemente próximos entre sí en 
toda Ja región•G· de puntos P1 , a excepción de ciertos en-
tornos G1 , G2 , G3 y G~ de los puntos .Pi = Q, P 1 =Q*, P1 = P 
y Pl.= P*. En los entornos G1 , G2 , 0 3 y G4 incluimos Jos 
punto~ d.e G, que gistan respcctivament<; de Q, (J*, P, ('* 
60 l11trnd1¡cció11. Teoremt1S de Fredholm 
no mús de un cierto r fijo, pequeño, que no varía al apro· 
ximarse P a P* y Q a Q*. Por eso, en virLud de las con· 
diciones ele (1,8) y (2,8), las integrales que figuran en (9,8) 
y son tomadas sobre las regiones G - (G1 + G2) y G- (G:1 + G~) 
se hacen arbitrariamente pequeñas, cuando Jos puntos (P, Q) 
y (P*, Q*) están suficientemente próximos. Las partes de 
las integrales (9,8), tomadas sobre los entornos G1 , G2 , G:\ 
y G 4 , como consecuencia de las condiciones ( 1,8) y (2,8), 
también son arbitrariamente pequeñas, cuando r -0, si 
PytQ. 
Si, en cambio, cx1 + a.2 <d, entonces, cuando los punlos (P, Q) u (P*, Q*) están suficientemente próximos, las inte-
grales (9,8) son arbitrariamente -pequeñas~ incluso si los 
puntos P y Q (o P* y Q*) coinciden, ya que en este caso las 
partes de estas integrales tomadas sobre los entornos G.u G2 , 
G3 y G4 ticn<lcn uniformemente a O respecto a (P, Q), cuando 
r~o. 
En efecto, la primera de las integrnlcs (9,8), lomada sobre 
estos entornos, no es superior a la suma 
Cada una de estas integrales se acota utilizando la desigual· 
liad (8,8). Análogamente se acota la segunda integral de 
(9,8), tomada sobre G1,, G2 , G3 y G4 . 
De esto se deduce la continuidad de la función K.J(P, Q) 
en toda la región cerrada en que está definida y, por lo 
tanto, su continuidad uniforme . 
.Dediquémonos ahora al estudio de las ecuaciones inte-
grales 
y(P)=). f K(P, Q)y(Q)dQ +f(P), (10,8) 
Ccuuc lf/lcg. con 11úclaos del tipo K(P, Q)/PQ .. 61 
en donde K(P, Q) tiene la forma indicada en el título del 
presente parágrafo, para rx<d. La función f(P) la conside-
raremos continua en Ja región cerrada, y por lo tanto, aco-
tada; consideraremos también sólo las soluciones contin uas 
de esta ecuación. Obsérvese que, de manera completamente 
análoga a lo hecho en el párrafo anterior, es fácil demostrar 
que con las s uposiciones hechas sobre K(P, Q), cualquier 
solución acotada de la ecuación ( 10,8) es continua, si/( P) 
es continua. 
Demostremos, ante todo, que para IJ.I suficientemente 
pequeño, esta ecuación , al igual que su transpuesta, tiene 
solución
única en la clase de funciones acotadas. Como para 
la ecuación transpuesta todas las demostraciones son iguales 
a las de la ecuación dada (l0,8), nos limitaremos a consi-
derar sólo la ecuación (10,8). La demostración de Ja existen-
cia y de la unicidad de Ja solución de la ecuación (10,8) 
se lleva a cabo de igual forma a como ·se hizo en el § 5. 
Buscaremos Ja solución en forma de serie: 
y( P) = y0(P) + J.yi( P) + A.2y 2(P) + ... (11,8) 
Como en el § 5, obtenemos que 
y,~P) =f(P), Yk+ 1(P)= f K(P,Q)y,,(Q)dQ, 
k = O, 1, 2, . .. 
Aplicando el lema recientemente demostrado, de aqul oh· 
tenemos que todas las y1,(P) son funciones con tinuas de P. 
Acotemos sus módulos . Supongamos que 
lf(P)I <N, 
en donde N es una constante. Sea M el extremo superior 
de Jos valores de la integral 
62 l11troducci<í11. Teoremas de Fredltolm 
J IK{P, Q)l dQ 
(M, c.vidcntemcntc, existe). Entonces es fácil ver que 
IYk(P)I :;;.NM''. 
De aquí que, para 
1 ¡J.¡ < M-i:.(e >O), 
la serie (l 1,8) converge uniformemente respecto a ), y da 
una. función holomorfa respecto a J. y uniformemente con-
tinua respecto al 9onjunto (P, l.). Completamente igual que 
en el § 5, se demuestra que esta serie dá Ja solución de la 
ecuación integral (10,8). y que no existe otra solución de 
esta ecuación en la clase de funciones acotadas. 
Del mismo modo que en el § 5, hallamos que esta solu-
ción y( P) puede representarse en la forma 
y(P)=} . .f J'(P, Q, ),)f(Q) dQ+f(P), 
en donde 
F(P, Q, /,)=K( P, Q) +J.K<2>(P, Q) +J.2K<ª>(P, Q) + ... (12,8) 
El primer término de esta serie es igual a 
K(P, Q)=K(:Q?), <1.<d, (13,8) 
en donde K(P, Q) es una función uniformemente continua 
respecto a (P, Q). Como Ges una regi6n acotada, de aquí 
se deduce que la función K(P, Q) es también acotada, y por 
el lema dellloslrado al principio de este parágrafo, 
IK<2>(P Q)I <-~·- · ' PQto.-d , 
Ec11ac. lnteg. con núcleos del tipo K(P, Q)/ PQ« 63 
en ge neral 
IK(m)(PQ)l -c ··· Am *) > p(lrn11-(m - 1)d ' 
si m~-(m-l)d>O. Aquí A y A 111 son unas const.inlcs. 
Como a..<d, entonces para m sulkientemente grande ten-
dremos que 
mr:1. -(m - 1) d <O. 
Entonces, en virtud del lema demostrudo, K<"'>(P, Q) es una 
'función uniformemente cont inua respecto a (J>, Q) . Todas 
las i teraciones siguientes K<P>(P, Q) serún también un ifor-
memente continuas. Además, para p:::..111 tenemos que 
IK (p+ l)(P, Q)l ... jJ K(P, Pl)K<P>( P,, Q) dP, ¡,,,. 
-:;;; M pf 1 K(P, P 1)1 tlP1 r;. M 1,M, 
en donde M~ es el ex.tremo superior del módulo deK<P>(P, Q) 
De nqu'I se obtiene la de mostración de In convergencia uni-
forme de la serie (t2,8) respecto a P, Q y). (para A<~- 1'). 
igual a como fue demostrado para Ja serie ( 16,5). Razona-
mientos análogos se pueden hacer para. la ecuación trans-
puesta. 
Todas lélS fórm ulas obtenidas en el § 5 siguen siendo 
válidas. 
Después de esto, todos los razonamientos del § 6 son 
apl i~1blcs a las ecuacio nes integrales con núcleos del tip<) 
111 
K(P, Q) .. Z a,{ P )b,{Q) + K1(P, Q), ,_, 
•} Véase la nota en la pág. 58. 
64 ln,troduccirí1r. Teoremas de Frcdho/m 
en donde ai{P) y bi{Q) son continuas en G y K1(P, Q) tiene 
la forma {J 3,8). De este modo, se obtiene Ja demostración 
de los teoremas de Fred holm en el círculo 
1 p.¡ <M1' 
en donde M 1 es el máximo de los extremos superiores de 
las integrales: 
J IK1{P, Q)j ''º· f IK1(P, Q)I dP. 
Además de esto, resulta que en este círculo no puede 
haber puntos de acumulación de los valores propios de /.. 
Pasemos ahora a Ja demostración de los teoremas <le 
Fredholm para Jas ecuaciones integrales con núcleo del tipo 
indicado en el título del presente parágrafo. Hagamos 
</ic(.t) "" X, SÍ X '!S C, 
rrc(x)= C. si x>C. 
Entonces la función 
Kc( P, Q) = K( P, Q)<pc (p~,.) 
será uniformemente continua respecto a (P, Q) para todo C. 
Parn un valor C suficientemente grande, las integrales 
f IK( I', Q)-Kc(P, Q)I dQ, J IK(P, Q)-Kc(P, Q) I dP 
serán uniformemente pequeñas respecto a P y Q, respectiva-
mente. Como se dijo en el § 6, una función uoiformen:iente 
continua Kc(P, Q) puede ser aproximada uniformemente en 
la región G con una precisión a rbitraria por sumas del tipo 
m 
Sm(P, Q) = ¿ a¡(P)b;(Q). 
1~1 
Ec11nc. integ. COJl núc/eo3 del tipo K(P. Q)¡PQ o. 65 
Ento nces, tenemos que 
K(P, Q) == Sm(P, Q) + K(P, Q), 
y, además, el extremo superior de los valores de 
f IK(P, Q) I dQ, f IK(P, Q) I dP 
puede hacerse menor. que cualquier 6>0. De aquí se ob· 
tiene la demostración de los t res teoremas de Fredholm en 
todo el plano A. para las ecuaciones integra les con núcleos 
del tipo ( 13,8). Además, se obtiene la demostración de que 
no existen puntos de •icumul.ición fl nitos de 1 os valores p ro· 
pi os. 
La demostración que acabamos de hacer, de los tres 
teoremas de Fredholm para núcleos del tipo (13,8), en lo 
fuúdamental repite Ja demostración de estos teoremas para 
núcleos acotados uniformemente continuos. En esencia, la 
demostración de estos últimos teoremas se basaba sólo en 
el hecho de que ciertas integrales eran pequeñas; la exigen-
cia de que los integra.ndos fuesen pequeilos era superflua 
para ello. Esto, precisamente, se tuvo en cuenta en eJ pre-
sente parágrafo. 
Observación. Supongamos que e1 núcleo K(P, Q) es una 
función continua de .P y Q, cuando PEG, Q EG y l' ~Q. 
. y sa tisface a la condición 1 K(P, Q) j < ~ .. , O ..-rx.< d. 
' Sea e ,,.o y r,,,. +F.< d. Entonces 
K(P Q) = K(P,Q)PQo.+t = K(P, Q> 
' PQo.+a PQ«+' ' 
en donde K(P, Q) es una función continua de P y Q. De 
este modo, para los núcleos del tipo indicado también son 
válidos lodos Jos teoremas de Fredhohn. 
2. Muchos problemas de la fisica matemática llevan al 
.estudio de ecuaciones integrales, en las cuales la integración 
66 lntroduccM11. Teorcunos do Frcdholm 
se efectúa no sobre una región del espacio euclídeo d-dimen· 
sional, sino sobre una curva, superficie o variedad*> de 
mayor dimensión, sil.linda en un espacio euclídeo de dimen· 
sión suficientemente grande. 
Para las ecuaciones integrales de este tipo también son 
válidos los teoremas de Frcdholm. Más adelante demostra-
remos cómo· se pueden demostrar Jos teoremas de Fred-
holm, utilizando los razonamientos del apartado 1, en el 
caso en que la región de integración sea una superficie ce-
rrada regular en el espacio tridimensional. Para otras varie-
dades las demostraciones son análogas. 
Asi pues, sea dada la ecuación 
y(P) =J. J K(P, Q)y(Q) dSQ + f (P), (1 4,8) 
s 
en donde Ses una superficie cerrada regular en et espacio 
tridimensional (suponemos que en cierto entorno suficiente· 
mente pequeño de cualquier punto A ES, una cualquiera de 
las coordenadas de fos puntos de S es función con derivadas 
continuas de las otras dos coordenadas) ; dSq es eJ elemento 
del área de la superficie S ; PES, QES y f(P) es una función 
continua dada en S. Sea, además, K(P, Q) x¡,~a.Q), donde 
K(P, Q) es una función continua cuando P ES y Q ES; Os 
:oa: ix. < 2 y PQ es la d istancia entre los puntos P y Q en el 
espacio t ridimensional. Para demostrar mediante los ra7.o· 
•) Por variedad d-dimensional diferencia.ble continua M, en el 
espacio euclídeo n-dimensional E11 (O<d< 11) se entiende un conjunto 
M ncotado, conexo y cerrado de puntos, perteneciente a Fn , y tal, 
que en cierto entorno ele cualquier. punlo A E M, algunas (n - d) coor· 
den:uJus de los puntos de M son funciones con derivndas continuas 
do las restantes d coordenadas. 
F.ct1<1('. i11teg. r.on 111trle11.1· del tipq K( l', Q)/l'Qo' 67 
namientos del apartado 1 todos los teoremas de FredhoJm 
para la ecuación (14,8) considerada, es suficiente demostrar 
que sigue siendo válido el lema del apartado 1 y que todo 
núcleo continuo K1(P, Q), dado en S, puede ser uniforme-
mente aproximado por un núcleo degenerado