Planos, Superfícies e Superficies Quádricas

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Professora Janine Freitas Mota
Professor Doutor João Bosco Laudares
SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE ATIVIDADES
O ESTUDO GRÁFICO DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS, EXPLORANDO 
SECÇÕES TRANSVERSAIS, NA PERSPECTIVA DA HABILIDADE DE 
VISUALIZAÇÃO, COM O SOFTWARE WINPLOT
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
Área de Concentração: Matemática
Este caderno de atividades é um produto decorrente de uma pesquisa de Mestrado em Ensino 
de Ciências e Matemática da PUC-Minas. 
O objetivo geral é propor atividades que possibilitem ao estudante dos cursos de ciências 
exatas desenvolver a habilidade de visualização por meio da representação de planos, cilindros e 
quádricas, utilizando as mídias “lápis e papel” e recursos computacionais. 
A metodologia utilizada na elaboração das atividades contempladas na sequência didática, 
com suporte teórico de Zabala (1998), explorou a construção da habilidade de visualização. 
Foi utilizado o software Winplot, que é um programa gratuito, o qual permite uma dinâmica de 
rotação e translação de figuras, facilitando a visualização geométrica em espaços tridimensionais 
com múltiplas representações. As sequências didáticas de atividades foram organizadas com o 
seguinte conteúdo, assim organizado: 
1 planos;
2 cilindros (quádricos e não quádricos);
3 quádricas;
 3.1 elipsoide / esferoide / esfera;
 3.2 paraboloide elíptico;
 3.3 hiperboloide de uma folha / hiperboloide de duas folhas;
 3.4 cone quádrico;
 3.5 paraboloide hiperbólico (sela).
São propostas três sequências didáticas de atividades que privilegiam o tratamento gráfico, 
utilizando secções transversais e curvas de níveis. Há uma articulação entre teoria e prática pela 
investigação, exploração, visualização e construção das superfícies em estudo, que possibilitam o 
desenvolvimento do pensamento geométrico. 
As atividades foram especialmente preparadas dentro de uma linha metodológica definida e 
testadas durante o processo de aplicação a estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática, 
com ênfase na integração da equação (álgebra) e a figura (geometria) de forma a promover uma 
abordagem entre Álgebra e Geometria, que é o foco da Geometria Analítica. 
Os autores.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS - UNIMONTES
1º PERÍODO LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Prezado(a) Acadêmico(a),
Os autores
Esta atividade deve ser realizada, gradativamente, ao longo da disciplina Geometria 
Analítica e numa sequência didática para o ensino dos tópicos: planos, cilindros e quádricas. 
Propomos realizar atividades que possibilitem o desenvolvimento do pensamento 
geométrico pela visualização e representação dos planos, cilindros e das superfícies 
quádricas, utilizando intersecções (cortes) de planos com essas superfícies por meio da 
análise da equação algébrica dessas figuras.
As atividades serão (ou deverão ser) desenvolvidas em dupla, em sala de aula e no 
laboratório de informática, e de forma a articular a mídia “lápis e papel” com ferramentas 
informatizadas, utilizando o aplicativo Winplot. 
É importante salientar que você será avaliado(a) pelo grau de interesse, participação 
e esforço ao longo das atividades – fatores que contribuirão, decisivamente, para um bom 
aprendizado dos tópicos relacionados.
Enfim, as atividades foram construídas na expectativa de uma grande motivação e 
curiosidade para a construção do seu conhecimento nos tópicos da Geometria Analítica.
SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE ATIVIDADES
O ESTUDO GRÁFICO DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS, EXPLORANDO 
SECÇÕES TRANSVERSAIS, NA PERSPECTIVA DA HABILIDADE DE 
VISUALIZAÇÃO, COM O SOFTWARE WINPLOT
1 OBJETIVOS
 Analisar a constituição e os parâmetros da equação geral do plano: ax + by + cz + d = 0
 Fazer observações sobre as equações.
Analisar a variação dos parâmetros:
explorar o parâmetro d para equações homogêneas (d=0) e equações não homogêneas (d 0);
Trabalhar com equações não completas;
Um coeficiente nulo e d 0;
Dois coeficientes nulos e d 0;
 d = 0.
Traçar gráficos (manual e computacionalmente):
identificar pontos sobre os eixos coordenados;
identificar pontos sobre os planos coordenados;
identificar pontos sobre os octantes;
Manipular comandos no aplicativo Winplot.
Trabalhar com famílias dos planos.
Considerações iniciais para atividades
Para esboço manual do gráfico:
usar apenas o 1º. octante para esboço do gráfico;
linhas ocultas devem estar pontilhadas;
2 CONTEÚDO ABORDADO
Planos:
Equações geral e reduzida dos planos;
Análise das equações;
Traçado dos planos;
Traçado de figuras tridimensionais compostas pelos planos.
3 METODOLOGIA
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Inicialmente, trabalhamos com um exercício para familiarização com o espaço cartesiano, 
no que se refere à identificação dos octantes e ainda, trabalhamos com exercício para 
familiarização com a equação do plano.
As atividades se constituem de uma sequência didática de exercícios para melhor 
desenvolvimento dos tópicos a serem trabalhados: parte-se da reta real para chegar à representação 
tridimensional.
O aluno deverá esboçar os gráficos no papel e, em seguida, fazer plotagem desses no 
aplicativo computacional Winplot. Durante a execução das atividades, o aluno deverá fazer 
observações, conjecturas e conclusões a respeito dos temas tratados.
¹
¹
¹
03
04
ATIVIDADE 1: PLANOS
1 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO / REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
1.1 Identifique as variáveis da equação.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
1.2 Identifique os parâmetros da equação.
1.3 
1.4 Se o parâmetro d for nulo (d=0), 
1.5 Das equações abaixo, 
1.6 O espaço tridimensional é dividido por três planos coordenados (x y, x z, y z) em 8 partes 0 0 0
denominadas octantes. 
Que características gerais podem descrever essa equação?
 tem–se que tipo de equação?
assinale as que podem ser equações de planos.
Todo plano é representado por uma equação do tipo: ax + by + cz + d = 0 com a, b, c e d reais.
0223) )(
0347) )(
010452
1) )(
05325) )(
=+-
=++
=-+-
=-++
zyd
zxyc
zyxb
zyxa
64103
2) )(
210324) )(
045) )(
010107) )( 2
=+-
=+-+-
=+
=--+
xyzh
yzxg
yxf
zyxe
O 1º. octante é limitado pelos planos xy, xz, yz. 
O cubo desenhado abaixo está no 1º Octante.
Dessa forma, os quatro primeiros octantes são adquiridos fazendo uma rotação no sentido anti-horário.
(0.00,0.00,3.00)
(3.20,3.20,0.00)
y
x
z
05
a) 
1º octante é limitado pelos planos xy, xz, yz. 
2º octante é limitado pelos planos ___________________________________
3º octante é limitado pelos planos ___________________________________
4º octante é limitado pelos planos ___________________________________ 
5º octante é limitado pelos planos ___________________________________ 
6 octante é limitado pelos planos ___________________________________
7º octante é limitado pelos planos ___________________________________
8º octante é limitado pelos planos ___________________________________
2 VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS
Serão analisados a seguir, os casos em que os coeficientes da equação geral de um plano se 
anulam:
2.1 Planos paralelos aos eixos coordenados: 
Um dos coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 é nulo, sendo d 0
2.1.1 Considere a equação x + y - 2 = 0 .
a) Como será a representaçãográfica dessa equação considerando o (plano xy)? 
______________________________________________________________________________
Complete, utilizando as variáveis x, y, z, de acordo com o gráfico anterior: 
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
b) Os outros quatro octantes, relativos aos 4 primeiros respectivamente, são obtidos abaixo. Assim:
Ÿ
Ÿ º
Ÿ
Ÿ
Ÿ
 A equação reduzida é obtida através da equação geral, quando algum dos parâmetros é anulado. 
2Â
¹
Faça o esboço do gráfico.
b) Essa equação é uma equação de plano. Dê os valores dos parâmetros e um ponto pertencente ao 
plano:
______________________________________________________________________________
c) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no dessa equação Siga os passos:
c.1) Complete a equação introduzindo a variável z.
______________________________________________________________________________
c.2) Dê as coordenadas das intersecções da reta com os eixos x e y no sistema tridimensional.
______________________________________________________________________________
c.3) Esboce o gráfico, abaixo, usando os interceptos.
06
3Â
y
 
x
z
x y
d) 
Abra o Winplot. Acione a opção JANELA Õ 3-Dim
Use a opção EQUAÇÃO PLANO e informe os parâmetros a, b e c e um ponto pertencente ao plano 
(k, m, n).
Altere os valores t mín: -4 ; t máx: 4 ; u mín: -4 ; u máx: 4
e) Quanto ao esboço do gráfico do plano de equação x + y - 2 = 0, responda:
e.1) Quais são as coordenadas que apresentam valores fixos nos eixos?
______________________________________________________________________________
e.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
e.3) O plano proposto está contido em quais octantes?
______________________________________________________________________________
e.4) O plano proposto está paralelo a quais eixos?
______________________________________________________________________________
e.5) O plano proposto intercepta quais eixos?
______________________________________________________________________________
f) Plote, também, no Winplot, os seguintes planos:
2) x + y - 5 = 0
f.1) O que se pode observar sobre as representações gráficas desses planos?
______________________________________________________________________________
f.2) Pode-se dizer que os gráficos representam famílias de planos? Por quê?
______________________________________________________________________________
g) Dê a equação geral dos planos que tiverem as mesmas características que o plano de equação 
x + y - 2 = 0
______________________________________________________________________________
h) Plote os seguintes planos e descreva o que foi observado:
1) 2x + y - 3 = 0
2) x + 3y - 5 = 0
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Plote o gráfico acima no Winplot.
Õ
1) x + y + 7 = 0
3) x + y - 10 = 0
07
c) Plote no Winplot alguns outros planos da mesma família do plano considerado na letra a e do plano 
considerado na letra b. 
Você poderá usar a opção: 
EQUAÇÃO EXPLÍCITA (Digite a equação do plano, isolando a variável z)Õ
2.1.2 Usando a mesma metodologia, plote os gráficos abaixo no papel e em seguida, usando o 
aplicativo Winplot.
08
z
yx
a) 2y + 3z - 6 = 0
b) x + z - 3 = 0 z
yx
Registre as equações:
Planos da mesma família do plano a):
______________________________________________________________________________
Planos da mesma família do plano b):
______________________________________________________________________________
d) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e, em seguida, as características gerais de 
cada um deles.
Plano a): _______________________________________________________________________
Plano b): _______________________________________________________________________
2.2 Planos paralelos aos planos coordenados: 
Dois coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são nulos d 0
2.2.1 Considere a equação 4x - 8 = 0.
a) Como será a representação gráfica dessa equação, considerando: (responda e faça o esboço do 
gráfico)
a.1) o :________________________ a.2) o :________________________ 
b) Esboce o gráfico da equação.
 2Â
09
¹
Observe a reta que está contida no plano e as variáveis livres
10
c) Complete a equação de acordo com a forma geral de plano.
______________________________________________________________________________
c.1) Dê os valores dos parâmetros: 
______________________________________________________________________________
c.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
d) O plano proposto passa pela origem do plano cartesiano?
______________________________________________________________________________
e) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no Siga os passos:
e.1) Verifique que pontos pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado.
______________________________________________________________________________
e.2) Faça o esboço do gráfico, considerando os interceptos. 
3Â
f) Quanto ao esboço do gráfico, responda:
f.1) O plano intercepta um dos eixos cartesianos. Qual deles?
______________________________________________________________________________
z
yx
f.2) O plano é paralelo a qual (is) plano(s) coordenado(s)?
______________________________________________________________________________
g) Dê a equação geral do plano esboçado.
______________________________________________________________________________
h) Plote o gráfico usando o aplicativo Winplot e registre as observações:
Use a opção: EQUAÇÃO IMPLÍCITA - Após digitar a equação e dar OK, você deverá clicar em 
NÍVEIS AUTO MANTER MUDANÇAS
Ou use a opção EQUAÇÃO PLANO e informe os parâmetros a, b e c e um ponto pertencente ao 
plano (k, m, n).
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.2.2 Plote 4 (quatro) planos da mesma família do plano proposto. Registre suas equações.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.2.3 Plote, no Winplot, os seguintes planos e descreva o que foi observado: 
a) y - 3 = 0
b) z - 4 = 0
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um deles
Plano a): 
______________________________________________________________________________
Plano b): 
______________________________________________________________________________
2.3 Planos que contém um dos eixos coordenados
Dois coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são nulos, sendo um deles o termo 
independente d = 0
Õ Õ
Õ
11
2.3.1 Considere a equação y - 2x = 0.
a.1) Como será a representação gráfica dessa equação, considerando o (plano xy). 2Â
a.2) Esboço o gráfico da equação.
b) Complete a equação de acordo com a forma geral de plano.
______________________________________________________________________________
b.1) Dê os valores dos parâmetros.
______________________________________________________________________________
b.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
c) O plano proposto passa pela origem do plano cartesiano?
______________________________________________________________________________d) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no Siga os passos:
d.1) Verifique quais pontos pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado. 
______________________________________________________________________________
d.2) Faça o esboço do gráfico, considerando os interceptos. 
3Â
Observe a reta que está contida no plano e as variáveis livres.
12
x
 
y
z
yx
e) Visualizando o esboço do gráfico, responda?
e.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados?
______________________________________________________________________________
e.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados?
______________________________________________________________________________
e.3) Qual a posição do plano em relação aos octantes?
______________________________________________________________________________
e.4) O plano contém um dos eixos. Indique-o. 
______________________________________________________________________________
f) Plote o gráfico no Winplot.
g) Dê a equação geral dos planos que tiverem essas mesmas características. 
______________________________________________________________________________
2.3.2 Plote 4 (quatro) planos da mesma família do plano proposto. Registre suas equações.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.3.3 Plote, no Winplot, os seguintes planos e, em seguida, descreva o que foi observado: 
a) z - 2y = 0
b) 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um deles.
Plano a): _______________________________________________________________________
 _______________________________________________________________________
Plano b): _______________________________________________________________________
 _______________________________________________________________________
2.4 Planos que contém a origem e dois eixos coordenados
Três coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são nulos, sendo um deles o termo 
independente (d = 0).
z - 2x = 0
13
2.4.1 Considere a equação 2x = 0.
a) Como será a representação gráfica desta equação considerando:
a.1) O :________________________ a.2) O :________________________
a.3) Esboce o gráfico da equação.
b) Complete a equação de acordo com a forma geral de plano.
______________________________________________________________________________
b.1) Dê os valores dos parâmetros.
______________________________________________________________________________
b.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
c) O plano proposto passa pela origem do plano cartesiano?
______________________________________________________________________________
d) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no Siga os passos:
d.1) Verifique quais pontos pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado. 
______________________________________________________________________________
 2Â
3Â
14
d.2) Faça o esboço do gráfico, considerando os interceptos. 
e) Visualizando o esboço do gráfico, responda?
e.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados? 
______________________________________________________________________________
e.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados? 
______________________________________________________________________________
e.3) Qual a posição do plano em relação aos octantes?
______________________________________________________________________________
f) Plote o gráfico no Winplot
g) Dê a equação geral dos planos que tiverem essas mesmas características que esse. 
______________________________________________________________________________
2.4.2 Plote, no Winplot, alguns planos pertencentes à mesma família desse plano. Registre suas 
equações.
______________________________________________________________________________
2.4.3 Plote, no Winplot, os seguintes planos e descreva o que foi observado.
a) 3y = 0
b) 5z = 0
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
15
Verifique a reta que está contida no eixo coordenado e no plano. Verifique as variáveis livres
x y
z
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um 
deles.
Plano a): _______________________________________________________________________
Plano b): _______________________________________________________________________
2.5 A equação geral do plano ax + by + cz + d = 0 tem apenas o termo independente nulo (d = 0):
2.5.1 Considere a equação do plano - x - y + z = 0.
a) Identifique os pontos que pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado. 
______________________________________________________________________________
b) Para representar graficamente o plano, siga a seguinte sequência: 
b.1) Considerando a variável x = o, tem-se que tipo de figura plana? 
______________________________________________________________________________
b.2) E para y = 0?
______________________________________________________________________________
b.3) E para z = 0?
b.4) Faça o esboço dos gráficos dessas equações nos planos coordenados a partir da origem do 
sistema cartesiano.
______________________________________________________________________________
16
 
c) Vamos fazer a representação tridimensional desse plano. 
c.1) Esboce as retas nos planos coordenados considerando o espaço 
c.2) Tome um ponto qualquer da reta z = y.
c.3) Tome um ponto qualquer da reta z = x.
c.4) Trace o plano usando os 2 pontos destacados e a origem do sistema cartesiano. 
c.5) Para visualizar o plano, trace um cubo no 1º octante. Trace o plano considerando o cubo obtido.
d) Visualizando o esboço do gráfico, responda:
d.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados? 
______________________________________________________________________________
3Â
17
z
x y
d.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados? 
______________________________________________________________________________
d.3) Qual a posição do plano em relação aos octantes?
______________________________________________________________________________
e) Plote o gráfico no Winplot.
f) Dê a equação geral dos planos que tiverem essas mesmas características que esse. 
______________________________________________________________________________
g) Plote, no Winplot, alguns planos pertencentes à mesma família desse plano. Registre suas 
equações.
2.5.2 Plote os gráficos abaixo usando o aplicativo Winplot.
a) 2x + 3y + z = 0
b) -3z + 2x + 4y = 0
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um.
Plano a): _____________________________________________
Plano b): _____________________________________________
2.6 Todos os coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são não nulos.
2.6.1 Considere o plano de equação 
a) Este plano passa pela origem do sistema cartesiano? ________________
b) Para traçar o plano, determinamos os interceptos com os eixos coordenados. Identifique os pontos 
que pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado, fazendo: 
y=0, z=0 x= __________ Ponto pertencente ao eixo x: ________________________________x=0, z=0 y= __________ Ponto pertencente ao eixo y: ________________________________
x=0, y=0 z= __________ Ponto pertencente ao eixo z: ________________________________
 2x + 3y + z - 6 = 0.
Õ
Õ
Õ
18
d) Plote o gráfico no Winplot e, visualizando o gráfico plotado, responda:
d.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados? 
______________________________________________________________________________
d.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados? 
______________________________________________________________________________
d.3) O plano intercepta que eixos? Em que pontos?
______________________________________________________________________________
d.4) O plano passa por quais octantes?
______________________________________________________________________________
2.6.2 Plote os gráficos abaixo no Winplot.
a) 3x - y + z - 3 = 0
b) x - y + z - 2 = 0
c) - x - y + 2z - 6 = 0
d) Dê as características gerais dos planos plotados:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
19
c) Trace, no papel os interceptos do plano com os eixos x, y, z, evidenciando a porção do plano 
formado pertencente ao 1º octante. 
z
yx
Para montar as figuras no 1º octante utilize a opção: BOX DIMENSÔES DO BOX Altere as 
dimensões e clique em TRAVAR POSIÇÃO OK
a) x = 1; y = 1; z = 1
b) x + y = 2; z = 5
c) z = x + y; x = 2; y = 2; z = 5
d) x = 1; z = 3; y = 1; y = 3; x = 3
Õ Õ
Õ
 
20
2.7 Nesse item, vamos traçar figuras geométricas em três dimensões limitadas por planos no 
1º octante. 
Faça o esboço dos gráficos no papel.
Plote os gráficos no Winplot. 
Ÿ
Ÿ
1 OBJETIVOS
Estudar a constituição do cilindro, analisando sua definição e seus elementos: diretriz, geratriz.
Verificar a classificação dos cilindros quanto à sua forma a partir da:
geratriz: cilindros retos e oblíquos;
diretriz: cilindros parabólicos, elípticos, circulares, hiperbólicos e outros;
equação: cilindros quádricos e não quádricos.
Traçar gráficos (manual e computacionalmente):
identificar representação da equação diretriz no plano;
identificar representação do cilindro no espaço;
identificar variáveis livres;
gerar figuras com forma de cilindros e com limitação de planos.
Manipular comandos no aplicativo Winplot.
Considerações iniciais para atividades
Linhas ocultas devem estar pontilhadas.
2 CONTEÚDO ABORDADO
Cilindros:
Definição;
Elementos;
Classificação;
Equação;
Traçado dos cilindros;
Traçado de figuras geométricas a partir de cilindros com limitação de planos. 
3 METODOLOGIA
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Primeiramente, trabalharemos com atividades que proporcionarão ao estudante o 
entendimento dos conceitos iniciais sobre cilindro, como sua definição, elementos e classificação. A 
partir daí, apresentaremos as equações de cilindros retos para que o estudante faça o esboço dos 
gráficos manualmente, seguindo passos orientados.
As atividades se constituem de uma sequência didática para melhor desenvolvimento dos 
tópicos a serem trabalhados: parte-se das definições iniciais, passa-se pela representação 
bidimensional das curvas que geram o cilindro e chega-se à representação tridimensional. 
O estudante deverá esboçar gráficos no papel e fazer plotagem no aplicativo computacional 
Winplot. 
Durante a execução das atividades, o aluno deverá fazer observações, conjecturas e suas 
validações. 
21
ATIVIDADE 2: CILINDROS
1. CONHECENDO O CILINDRO
O Cilindro é uma superfície em gerada por uma reta que se move ao longo de uma curva 
plana, de tal forma que permanece sempre paralela a uma reta fixa, não situada no plano da 
curva dada.
3Â
d: diretriz – curva percorrida.
g: geratriz - reta móvel que percorre a 
curva, paralela à reta r.
Os cilindros podem ser classificados, quanto à forma da reta geratriz, como:
Reto: As geratrizes são perpendiculares ao plano da curva.
Oblíquo: As geratrizes são obliquas à curva.
Ÿ
Ÿ
22
Trabalharemos em nossas atividades com cilindros retos.
I) Cilindro Parabólico II) Cilindro Circular III) Cilindro Hiperbólico
1.2 Caso o cilindro tenha a diretriz como uma das cônicas (circunferência, elipse, parábola, hipérbole) 
será chamado Cilindro Quádrico. Classifique os cilindros como quádricos e não quádricos.
I) II) III)
I)______________________ II) _____________________ III) _______________________
Tradicionalmente, entende-se como cilindro apenas aqueles gerados por uma 
circunferência – o que não é correto pela definição.
1.3 No , uma equação a duas variáveis representa um cilindro de geratrizes paralelas ao eixo 
correspondente à variável ausente. O cilindro quádrico terá pelo menos uma das variáveis do 2º grau.
3Â
2Exemplo: Observe gráfico do cilindro parabólico de equação x = y esboçado abaixo.
 Veja que este tem geratrizes paralelas ao eixo z (variável ausente da equação).
01
1.1 Denominaremos o cilindro como: parabólico, elíptico, circular, hiperbólico, dentre outros, 
conforme a figura definida pela curva diretriz. Assim, temos como exemplo:
23
Representação no plano 
 
x 
y 
Representação no espaço
Observação Importante: A reta diretriz estará paralela ao eixo da variável ausente.
2. TRAÇANDO OS GRÁFICOS DAS SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS
2.1 Cilindro Circular
2.1.1 Esboçar, no papel, o cilindro circular com geratrizes paralelas a z:
a) Esboce o gráfico da curva de equação no plano xy2 2x + y = 4 
Que curva essa equação representa?
______________________________________________________________________________
2x = y 2x = y
2 2 2No plano xy a circunferência de centro na origem e raio r tem equação do tipo x + y = r .
x
 
y
24
x
b) No esboce o cilindro, usando a curva dada no item anterior. Observe que teremos como variável 
livre a variável z
3Â
Que equações representam o cilindro gerado?
______________________________________________________________________________
c) Plote no aplicativo Winplot o cilindro esboçado anteriormente.
Use as opções: EQUAÇÃO IMPLÍCITA (Aumente as dimensões do BOX.) OK 
Clique em NÍVEIS AUTO MANTER MUDANÇAS.
d) Observando o cilindro traçado no Winplot, registre no papel os seguintes gráficos, no 1º octante:
d.1) Trace a porção do cilindro limitada pelo plano z = 6, no 1º octante. (Hachure a figura)
Õ Õ Õ
Õ Õ 
25
x y
z
x y
z
d.2) Variando o valor de z, que tipo de figura obter-se nos planos paralelos a xy?
______________________________________________________________________________
Observação: As curvas obtidas são denominadas de curvas de níveis. 
d.3) Trace as curvas de níveis observadas.
d.4) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com o plano z = 6. (Hachure 
com cores diferentes os contornos visíveis das superfícies).
26
z
yx
z
yx
d.5) Plote o gráfico correspondente à questão anterior no aplicativo Winplot. Para isso:
Altere na caixa Dimensões do BOX os valores das coordenadas x, y, z, para que o gráfico do 
cilindro fique no 1º octante e seja limitado pelo plano z = 6: .
Plote os planos z=6 e z=0, utilizando a opção: EQUAÇÃO CILÍNDRICA 
Altere: RAIO MÍNIMO (r mín) = 0 RAIO MÁXIMO (r máx) = 2 
 t mín = 0 t máx = pi/2 
Plote os planos x = 0 e y = 0, utilizando a opção EQUAÇÃO PLANO. 
Defina: t min = -6; t máx = 6 e u mín = -6; u máx = 6. Altere as dimensões do BOX.
2.1.2 Obter cilindroscirculares com geratrizes paralelas aos outros 2 eixos (eixo x e eixo y):
Ÿ
Ÿ Õ Õ
Ÿ Õ
60 ;20 ;20 ££££££ zyx
2 2 2A equação geral do cilindro circular com geratrizes paralelas ao eixo z é: x + y = a
a) Dê as equações gerais dos cilindros com geratrizes paralelas ao eixo x e geratrizes paralelas ao 
eixo y, considerando um raio a e uma constante k para a variável livre:
Cilindro com geratriz paralela ao eixo x:
______________________________________________________________________________
Cilindro com geratriz paralela ao eixo y: 
______________________________________________________________________________
b) Esboce, no papel, dois cilindros com geratrizes paralelas aos eixos x e y, respectivamente. Siga os 
mesmos passos utilizados no esboço do cilindro com geratrizes paralelas ao eixo z, conforme 
orientado anteriormente:
Esboce a curva no plano.
Esboce o cilindro no , considerando a variável livre.
Cilindro com geratriz paralela ao eixo x 
Equação:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
ª
ª 3Â
27
x y
z
Cilindro com geratriz paralela ao eixo y
Equação: 
c) No Winplot:
c.1) Plote os cilindros esboçados anteriormente. 
c.2) Plote a porção de cada um dos cilindros no 1º octante, limitado por um plano paralelo aos planos 
coordenados. Registre as equações. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
c.2) Trace o sólido resultante de cada um dos cilindros, no 1º octante, da intersecção do cilindro com 
um plano qualquer e os planos coordenados.
2.2 Cilindro Elíptico
2.2.1 Esboçar o cilindro elíptico com geratrizes paralelas a z.
a) Esboce o gráfico da equação no plano xy .
No plano xy a elipse de centro na origem tem equação do tipo , sendo .12
2
2
2
=+ b
y
a
x 0,0 ¹¹ ba
149
22
=+ yx
28
 
x y
z
b) Que curva esta equação representa?
______________________________________________________________________________
c) Trace o cilindro no 
d) Trace a porção desse cilindro limitado no primeiro octante pelo plano z = 5.
e) No Winplot, trace o sólido resultante, no 1º. Octante, da intersecção do cilindro com os planos 
coordenados e o plano z=5.
3Â
29
x y
z
x y
z
2.2.2 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot, para a obtenção de cilindros com 
geratrizes paralelas ao eixo y e outros cilindros com geratrizes paralelas ao eixo x. Em 
seguida, dar as equações dos cilindros plotados. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.3 Cilindro Parabólico
22.3.1 Esboçar o cilindro parabólico de geratrizes paralelas a z de equação y = 2x
a) Esboce o gráfico da equação no plano xy .
b) Trace a curva diretriz no espaço:
2y = 2x
No plano xy :
2A parábola de vértice na origem e eixo de simetria y, tem equação do tipo x = ky onde
A parábola de vértice na origem e eixo de simetria x, tem equação do tipo onde 2x = kx 
ÂÎk
ÂÎk
30
x
 
y
x y
z
c) As geratrizes desse cilindro são paralelas a qual eixo coordenado?
____________________________________________________________________________
d) Trace o cilindro, considerando o .
e) Plote, no aplicativo Winplot, o cilindro esboçado anteriormente.
g) Observando o cilindro traçado no Winplot, registre no papel os seguintes gráficos, no 1º octante:
g.1) Trace a porção do cilindro limitada pelo plano z = 6 e y = 5, no 1º octante. (Hachure a figura.)
f) Observação: Em toda equação de parábola, uma variável é do 2º grau e a outra é do 1º grau, sendo 
que esta corresponde ao eixo de simetria da parábola. 
Assim, qual é o eixo de simetria do cilindro esboçado? ____________________________________
3Â
31
x y
z
x y
z
g.2) Quais são as curvas de níveis?
______________________________________________________________________________
g.3) Trace as curvas de nível observadas:
g.4) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com os planos z=6 e y=5 e os 
planos coordenados. (Hachure com cores diferentes os contornos visíveis das superfícies.)
g.5) Plote o gráfico correspondente à questão anterior no aplicativo Winplot. 
2.3.2 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com 
geratriz paralela ao eixo y e outros cilindros com geratriz paralela ao eixo x. Em seguida, dar as 
equações dos gráficos plotados no Winplot.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
32
x y
z
x y
z
22.3.3 Considerar o cilindro de equação: x = 2y
a) Trace o cilindro no espaço tridimensional.
b) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com os planos z=6 e x=8
c) Quais são as curvas de níveis? ____________________________________________
d) Qual é o eixo de simetria do cilindro? _________________________________________
33
x y
z
x y
z
2.3.4 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com 
geratrizes paralelas ao eixo y e outros cilindros com geratriz paralela ao eixo x. Em seguida, 
dar as equações dos gráficos dos cilindros plotados.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
2.4 Cilindro Hiperbólico 
2.4.1 Esboçar o cilindro hiperbólico de geratrizes paralelas a z:
a) Esboce o gráfico da equação no plano xy
b) Trace a curva diretriz no espaço.
No plano xy:
A hipérbole de eixo real x e imaginário y tem equação do tipo com 
A hipérbole de eixo real y e imaginário x tem equação do tipo com
12
2
2
2
=- b
y
a
x 0,0 ¹¹ ba
12
2
2
2
=+- b
y
a
x 0,0 ¹¹ ba
194
22
=- yx
34
x
 
y
x y
z
c) As geratrizes do cilindro são paralelas a qual eixo coordenado?
______________________________________________________________________________
d) Trace o cilindro no espaço tridimensional.
e) Trace a porção desse cilindro limitado no primeiro octante pelos planos z=5 e x=5.
35
z
x y
z
x y
f) Trace as curvas de níveis que definem o cilindro.
g) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com os planos x=5 e z=5 e os 
planos coordenados. (Hachure com cores diferentes os contornos visíveis das superfícies.)
2.4.2 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com 
geratriz paralela ao eixo y e outros cilindros com geratriz paralela ao eixo x. Em seguida dar as 
equações dos gráficos plotados.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
36
z
x y
z
x y
2.4.3 Esboçar, no Winplot, o cilindro: 
2.4.4 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com 
geratrizes paralelas ao eixo y e outros cilindros com geratrizes paralelas ao eixo x. Em seguida 
dar as equações dos gráficos plotados.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.5 Dar as equações gerais para os diversos tipos de cilindros quádricos, completando a 
tabela:
Considere um raio a.
149
22
=- xy
Tipo de cilindro Geratrizes paralelasao: Equação Geral
Eixo z
Eixo yCIRCULAR
Eixo x
 
Eixo z
 
Eixo y
 
ELÍPTICO
 
Eixo x
 
Eixo z
 
Eixo y
 
PARABÓLICO
 
Eixo x
 
Eixo z
 
Eixo y
 
HIPERBÓLICO
 
Eixo x
 
37
2 2 2x + y = a
2.6 Outros tipos de cilindros
Pela definição, qualquer curva plana pode originar um cilindro. Vamos agora trabalhar 
com cilindros gerados por curvas diretrizes que não são cônicas. 
Esses cilindros são denominados de CILINDROS NÃO QUÁDRICOS.
3 2.6.1 Traçar o cilindro z = x .
a) Trace a curva diretriz no plano determinado.
b) Identifique a curva diretriz no espaço.
38
x
 
y
z
x y
c) Trace o cilindro no espaço tridimensional.
d) Trace o sólido resultante, no 1º octante da intersecção do cilindro com os planos coordenados e os 
planos z=5 e y=5.
2.6.2 Plotar o gráfico esboçado no Winplot. 
2.6.3 Considerar a equação geral 
Variar o valor de k e analise o que acontecer com a superfície. 
3a) digite a equação z = kx na forma explícita e altere o parâmetro K utilizando a opção ANIM 
PARÂMETROS A-W. 
b) Escolha parâmetro K e movimente na barra de rolagem.
c) Registre o que foi observado.
______________________________________________________________________________
3z = kx .
Õ 
39
x y
z
x y
z
2.6.4 Plotar no Winplot os cilindros de equações: 
ya) z = e b) z = senx c) z = logx d) z = 
Observação: Utilize a opção EQUAÇÃO EXPLÍCITA. Deve-se digitar sin(x) em lugar de senx; 
abs(x) em lugar de |x|.
2.6.5 Plotar outros 3 cilindros diferentes no Winplot e registrar as equações. 
______________________________________________________________________________
2.7 Atividades Complementares: Criando Superfícies Cilíndricas
Objetivo: Criar duas figuras com no mínimo três tipos de superfícies, entre Planos e Cilindros.
 2.7.1 Esboçar o gráfico de uma superfície gerada por cilindros e planos:
a) b)
Sólido no 1º octante.
|x|
Õ
 
3,3,1
,1
,1
22
22
ïî
ïí
ì
===
ÂÎ=+
ÂÎ=+
zyx
yzx
zyx
 
6,0
,16
,4
22
22
ïî
ïí
ì
==
ÂÎ=+
ÂÎ=+
zz
zyx
zyx
40
z
x y
c) Monte a sua superfície 
Winplot).
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.7.2 Traçar cilindros quádricos obtidos por uma cônica transladada. 
2 2a) (x - 2) + y = 4
Õ Escreva a equação e faça o esboço do gráfico (manualmente e no 
41
z
x y
z
x y
2b) y = 4(x - 2)
42
z
x y
1 OBJETIVOS
Analisar a constituição e os parâmetros da equação geral das quádricas.
Fazer observações sobre as equações.
Analisar a variação dos parâmetros:
verificar as formas das equações, identificando as quádricas cêntricas e não cêntricas;
identificar os tipos de quádricas a partir de suas equações: 
elipsóide;
hiperbolóide (1 folha, 2 folhas);
cone quádrico;
parabolóide (elíptico e hiperbólico).
Traçar gráficos (manual e computacionalmente):
identificar pontos sobre os eixos coordenados;
identificar pontos sobre os planos coordenados;
identificar pontos sobre os octantes.
Manipular comandos no aplicativo Winplot
Considerações iniciais para atividades
Para esboço manual do gráfico:
usar apenas o 1º. octante para esboço do gráfico;
linhas ocultas devem estar pontilhadas;
2. CONTEÚDO ABORDADO
Quádricas:
equações geral e reduzida das quádricas;
análise das equações;
traçado das superfícies;
traçado de figuras tridimensionais compostas.
Tipos de quádricas:
elipsóide;
hiperbolóide (1 folha, 2 folhas);
cone quádrico;
parabolóide (elíptico e hiperbólico).
3 METODOLOGIA
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Inicialmente, trabalharemos com um exercício para familiarização com as equações.
O aluno deverá esboçar os gráficos no papel e fazer plotagem desses no aplicativo 
computacional Winplot. Durante a execução das atividades, o aluno deverá fazer observações, 
conjecturas e conclusões a respeito dos temas tratados.
43
ATIVIDADE 3: QUÁDRICAS
1. CONHECENDO AS QUÁDRICAS
Quádricas são superfícies no espaço constituídas por cônicas (parábolas, elipses, hipérboles)
DEFINIÇÃO: Uma quádrica ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço 
tridimensional, cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação polinomial do segundo 
grau com, no máximo, três variáveis:
 (I) 
em que pelos menos um dos coeficientes A , B , C , D , E e F é não-nulo.
Observação: Se o termo independente J da equação acima for nulo, a quádrica passa pela 
origem (0,0,0), pois as coordenadas desse ponto validam a equação.
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano.
2 2 2Neste texto, serão trabalhadas as quádricas na sua equação reduzida: Ax + By + Cz = D
0222 =+++++++++ JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx
44
1.1 Das equações abaixo, identifique as que representam quádricas:
02543 ) )(
044 ) )(
0833 ) )(
2259 ) )(
0131064 ) )(
22
33
22
222
=+-+
=+-+
=--+
=+
=+---++
zyxe
zxyxd
xyyxc
yxb
zyxzyxa
222
222
222
2
62 ) )(
1 ) )(
416259 ) )(
02 ) )(
zyxi
zyxh
zyxg
zxyxf
=+
=++
=++
=++
A intersecção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos 
paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a intersecção pode ser uma reta, duas 
retas, um ponto ou não terá intersecção. 
As cônicas que aparecem nas intersecções dão nomes às superfícies quádricas, com a seguinte 
classificação:
Cilindro quádrico
Elipsoide
Esferoide 
Esfera
Hiperboloide
1 folha
2 folhas
Cone Quádrico
Paraboloide
Elíptico
Hiperbólico (sela)
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
1.2 Exemplos de superfícies quádricas:
 I) Hiperboloide II) Elipsoide III) Cilindro Quádrico 
45
 IV) Esfera IV) Paraboloide Elíptico V) Paraboloide Hiperbólico
2 ELIPSOIDE
É uma superfície representada pela equação da forma: com a, b, c reais e 12
2
2
2
2
2
=++ c
z
b
y
a
x 0,0,0 >>> cba
2.1 Esboçar o elipsóide de equação: :1194
222
=++ zyx
a) Esboce as intersecções da superfície com os planos coordenados xy (z = 0); yz (x = 0); xz (y = 0), de 
forma a obter as cônicas nos respectivos planos:
Para x = 0 Para y = 0 Para z = 0 
Equação: Equação: 
 
 
Equação:
 
 
Gráfico no plano:
2
1
1 2 3-1-2-3
-2
-1
 
 
Gráfico no plano:
 
 
 
 
 
 
Gráfico no plano;
 
Cônica
elipse
Cônica Cônica
 
119
22
=+ zy
y
x
46
x
 
y
x
 
z
b) Com essas intersecções denominadas secções transversais, será identificado o sólido no 
espaço. Esboce as mesmas elipses anteriores, referentes às secções transversais em um mesmo 
sistema de coordenadas.
c) Dê as coordenadas de intersecção da superfície com os eixos coordenados:
Eixo x: P = (__,__,__) P = (__,__,__) 1 2
Eixo y: P = (__,__,__) P = (__,__,__) 3 4
Eixo z: P = (__,__,__) P = (__,__,__)5 6
Simetria: A simetria existe em relação aos planos, aos eixos e à origem, basta verificar que na 
equação as 3 (três) variáveis são do 2º. grau. 
d) Plote o gráfico no Winplot: 
d.1) Use a opção EQUAÇÃO IMPLÍCITA (Digite a equação) OK 
d.2) Configure DIMENSÕES DO BOX: -4 < x < 4; -4< y < 4; -4 < z < 4 Travar posição OK
d.3) Clique em: Valores de nível para x AUTO VER TODAS
Que tipo de curva pode ser observada e como essas curvas se apresentam?
______________________________________________________________________________
d.4) Faça o mesmo para Valores de nível para y e para z. 
Que tipo de curva pode ser observada e como essas curvas se apresentam? 
______________________________________________________________________________
Õ Õ Õ
Õ Õ
Õ Õ
 
47
z
x y
1194
222
=++ zyx
d.5) Clique em MANTER MUDANÇAS.
e) Que secções transversais se obtêm fazendo intersecções do elipsóide com o plano x = 1?
______________________________________________________________________________
e.1) Plote esse plano no Winplot: Use EQUAÇÃO PLANO Configure adequadamente os valores 
dos parâmetros a, b, c e os valores para o ponto (k,m,n) pertencente ao plano. Altere os intervalos de t 
e u para (-3,3).
e.2) E para os planos y = 1 e z = 1?
______________________________________________________________________________
f) A que conclusão pode-se chegar quanto às formas e posição das curvas encontradas na questão 
anterior?
______________________________________________________________________________
g) Esboce cortes do elipsoide com os eixos coordenados, fazendo x = 0, y = 0, z = 0. 
Num arquivo novo do Winplot:
g.1) Plote o elipsoide de equação
Mude as dimensões do BOX para ; ; . 
g.2) Plote de novo os níveis (clique em NÍVEIS AUTO) observando, detalhadamente, os 
níveis plotados para cada eixo, separadamente.
Õ Õ
______________________________________________________________________________
Õ
40 << x 40 << y 40 << z
48
g.3) Esboce manualmente o gráfico.
2.2 Caso Particular do Elipsoide
12
2
2
2
2
2
=++ c
z
b
y
a
xSe na equação 
elipsoide que é denominado ESFEROIDE.
, tivermos dois parâmetros iguais, teremos um caso particular do 
2.2.1 Dê valores iguais para dois dos parâmetros a, b ou c para a equação geral e, em seguida, plote o 
gráfico no Winplot. 
Registre as equações e responda: Como serão as secções transversais? (Verifique as curvas de 
níveis).
______________________________________________________________________________
Se na equação , tivermos três parâmetros iguais, teremos um outro caso particular 
do elipsoide, que é denominado ESFERA.
12
2
2
2
2
2
=++ c
z
b
y
a
x
2.2.2 Dê exemplos de equações, plotando os gráficos no Winplot. 
O que se pode dizer sobre as secções transversais? (Analise as curvas de níveis).
______________________________________________________________________________
49
z
x y
2.2.3 Faça o esboço manual de um dos exemplos citados acima: 
3 SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
Superfície de revolução é uma superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de 
uma reta fixa no plano da referida curva. A curva plana rotacionada é chamada geratriz e a reta 
fixa é o eixo de revolução da superfície.
3.1 Faça a rotação de algumas curvas planas no Winplot. Para isso. Siga as orientações: 
Abra o aplicativo Winplot na opção JANELA 2 Dim (duas dimensões). 
a) Plote a reta de equação explícita 
b) Use a opção UM SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Clique em EIXO X VER SUPERFÍCIE
Exiba os eixos, movimente a figura e observe o gráfico.
Feche a janela do gráfico.
c) Use a opção UM SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Clique em EIXO Y VER SUPERFÍCIE
Exiba os eixos, movimente a figura e observe o gráfico.
Feche a janela do gráfico.
Ÿ
Õ
Õ Õ Õ
Õ Õ Õ
Õ
xxf =)(
50
z
x y
d) O que foi observado? 
_______________________________________________________________________________
e) Em um arquivo novo, plote a parábola de equação explícita . Repita as operações e 
veja a superfície de revolução gerada.
plote o gráfico da função  . Veja a superfície de revolução gerada.
lote a reta de equação explícita . Veja a superfície de revolução 
gerada.
Õ
f) Em um arquivo novo, Õ
g) Em um arquivo novo, p Õ
2)( xxf =
3)( xxf =
4)( =xf
Algumas quádricas podem ser superfícies de revolução, para isso basta que exibam uma simetria 
em relação a algum eixo. Algebricamente, isso ocorre quando, pelo menos, dois dos três 
parâmetros a, b ou c são iguais.
3.2 Trace no Winplot, utilizando a janela 3-Dim, a superfície representada pela equação: 
a) O que se observa na equação quanto aos seus parâmetros?
______________________________________________________________________________
b) Quais são as secções transversais obtidas pelos planos z = 0, z = 2, z = 6? (Plote os planos 
usando equações explícitas.)
______________________________________________________________________________
c) Na esfera, as secções transversais são de que tipo?
______________________________________________________________________________
d) Das equações abaixo, quais representam superfícies de revolução? 
e) Plote os gráficos acima no Winplot, observando as curvas de níveis. Registre suas observações:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
1944
222
=++ zyx
Observação: Toda esfera ou esferóide são superfícies de revolução
22
222
222
z ) )(
28 ) )(
14 ) )(
yxc
zyxb
zyxa
+=
=-+
=++
16) )(
2555 ) )(
142 ) )(
222
222
222
=++
=++
=++
zyxf
zyxe
zyxd
51
As equações dos paraboloides elípticos são representadas da forma:
a
x
c
z
b
y
b
y
c
z
a
x
c
z
b
y
a
x =+=+=+ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 ; ; 
Tais equações têm como característica possuir um termo com variável do 1º. grau. A orientação 
da parábola é estabelecida de acordo com o coeficiente que aparece no 1º. grau, que pode ser 
positivo ou negativo. Pela sua própria denominação, a superfície é constituída de elipses e 
parábolas.
0,0,0 ¹>> cbacom a, b, c reais e 
4.1 Traçar o parabolóide de equação a partir de suas secções transversais:
a) Esboce as seguintes parábolas nos planos coordenados: 
2a.1) z = y a.2) 2z = x
194 
22 zyx =+
52
4. PARABOLOIDE ELÍPTICO
x y
z
x y
z
b) Esboce a elipse de equação no plano z = 5194 
22
=+ yx
c) Com as secções transversais dadas, monte o parabolóide num mesmo sistema de coordenadas.
Simetria: A variável do 1º grau corresponde ao único eixo de simetria.
53
z
x y
z
x y
d) Plote o gráfico no Winplot:
 Use a opção: EQUAÇÃO EXPLÍCITA para digitar a equação 
 Altere os intervalos de x mín e x máx e y mín e y máx para (-10,10) .
Õ Õ Õ
Õ
 194 
22 zyx =+ 94z 
22 yx +=
e) Use a opção: UM FATIADOR. Altere o Valor Usual de x e Valor Usual de y alterando a posição 
dos botões das barras de rolagem dessa janela.
Observe que serão apresentadas parábolas como intersecção dos planos com o parabolóide. 
Estas parábolas estarão em planos paralelos a que plano(s) coordenado(s)? 
______________________________________________________________________________
f) Observando o gráfico plotado e levando em consideração sua equação: , responda:
f.1) O que a variável com expoente do 1º grau representa na superfície?
______________________________________________________________________________
f.2) A partir da equação da superfície, para que se tenham as secções transversais em forma de 
parábolas, qual variável deve assumir valoresconstantes?
______________________________________________________________________________
f.3) Que variável se anula para que se tenha uma parábola com vértice na origem?
______________________________________________________________________________
g) Usando a mesma tela onde está plotado o parabolóide, plote o plano de equação explícita z = 4. 
Altere os intervalos de x mín e x máx e y mín e y máx para (-10,10)
g.1) A intersecção (corte) do plano com o parabolóide resulta em que tipo de figura?
______________________________________________________________________________
g.2) Altere a equação do plano para z = a.
Use a opção: ANIM PARÂMETROS A-W Altere o valor do parâmetro a, usando a barra de 
rolagem disponível na janela.
O que pode ser observado?
______________________________________________________________________________
g.3) Plote também outros planos que possibilitem visualizar as secções transversais em forma de 
parábola. 
g.4) Plote a porção dessa superfície apenas no 1º octante. 
Use a opção: BOX e deixe apenas valores maiores que zero para x, y, z.
Clique em TRAVAR POSIÇÃO OK
Registre suas conclusões:
______________________________________________________________________________
Õ
Õ Õ
Õ
194 
22 zyx =+
54
g.5) Faça o esboço do gráfico plotado anteriormente, limitado pelo plano z = 4.
2 24.2 Plote o paraboloide: z = x + y
a) Plote também os seguintes planos de intersecção: x = 3; y = 4; z = 5.
b) Preencha a tabela abaixo, descrevendo a forma das intersecções dos planos com as superfícies e 
as equações dessas intersecções:
c) Observe que esse paraboloide é uma superfície de revolução. Que equação(ões) das parábolas 
são as geratrizes?
______________________________________________________________________________
4.3 Plote os seguintes paraboloides:
Paraboloide: 2 2z = x + y
Intersecção com os planos Forma das intersecções Equação 
x = 3 
y = 4 
z = 5 
22
22
22
22
4)
2)
)
)
zxyd
yxzc
zxyb
zyxa
+=
+=
+=
+=
55
z
x y
5 HIPERBOLOIDE ELÍPTICO DE UMA FOLHA
É uma superfície representada pela equação da forma: 
 1- ; 1 ; 1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=++=+-=-+ c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
com a, b, c reais e 0,0,0 >>> cba
Essa equação reduzida tem a mesma forma da equação do elipsoide, variando apenas um sinal, 
que é negativo, precedendo um dos termos.
5.1 Traçar o hiperboloide de equação a partir de suas secções transversais.194
2
22
=-+ zyx
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
Para z = 2 
Equação: Equação: 
Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
Para z = -2 
Para x = 0 Para y = 0 Para z = 0 
Equação: Equação: Equação: 
 
Gráfico no plano: Gráfico no plano: Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
119
22
=- zy
 
 z
y
-1
-2
2
1
3
4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
56
x
 
z
x
 
y
b) Com essas secções transversais, identificaremos o sólido no espaço. Esboce as secções 
transversais anteriormente esboçadas em um mesmo sistema de eixos coordenados.
c) Plote o gráfico no Winplot.
Õ Digite a equação implícita Altere as dimensões do BOX para o intervalo [-3,3]. 
Õ Verifique as secções transversais através das curvas de níveis plotadas. Que tipo de curvas podem 
ser observadas?
______________________________________________________________________________
d) Nessa superfície o eixo z é chamado de eixo imaginário e não intercepta o hiperboloide. O que se 
pode perceber ao comparar essa informação com a equação da superfície? 
______________________________________________________________________________
e) Os termos positivos correspondem aos eixos reais transversos no hiperboloide. No hiperboloide 
plotado acima, qual são os eixos reais transversos?
______________________________________________________________________________
5.2) Plote os seguintes hiperboloides, observe e registre o eixo imaginário de cada um deles.
Simetria: Existe em relação aos planos, aos eixos e a origem do sistema de coordenadas.
194
2
22
=-+ zyx
1259)
2
22
=-+ zyxa
194)
22
2 =++- zyxb
11649)
222
=+- zyxc
Eixo Imaginário: ______________________
Eixo Imaginário: ______________________
Eixo Imaginário: ______________________
57
x y
z
5.3) Considerando ainda o hiperboloide de equação :
a) identifique a família de curvas geradas pelos planos paralelos ao plano coordenado xy.
194
2
22
=-+ zyx
b) Plote o plano z = a, sobre o hiperboloide considerado. Use a opção: ANIM PARÂMETROS A-W 
 Altere o valor do parâmetro a, usando a barra de rolagem disponível na janela e observe as 
intersecções com os planos.
Õ
Õ
Se na equação de um hiperboloide de uma folha, tivermos os coeficientes correspondentes 
aos termos precedidos de sinal positivos iguais, teremos um hiperboloide de uma folha 
de revolução. 
5.4) Plote o gráfico do hiperboloide de equação Verifique que este hiperboloide 
é de revolução.
5.5) Dê a equação e plote outro hiperboloide de uma folha de revolução.
______________________________________________________________________________
12525
2
22
=-+ zyx
 Equação 
Para z = 0 
 
 
Para z = 1
 
 
 
Para z = -1
 
 
 Para z = 2
 Para z = -2
58
É uma superfície representada pela equação da forma: 
 1 ; 1 ; 1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=-+-=+--=-- c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
com a, b, c reais e 0,0,0 >>> cba
Essa equação reduzida tem dois sinais negativos precedendo os termos quadrados que 
correspondem aos eixos imaginários ou não transversos da superfície.
6.1 Traçar o hiperboloide de duas folhas de equação a partir de suas secções 
transversais.
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
19164
222
=-- zyx
6 HIPERBOLOIDE ELÍPTICO DE DUAS FOLHAS
59
Para z = 0 
Equação: 
 
 
 
Gráfico no plano: Não há intersecção do plano xz 
com o hiperboloide. (verifique a 
equação) 
 
 
 
 
 
Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
 
1164
22
=- yx
 y
1 32-3 -1-2
2
1
3
4
-3
-4
-2
-1
Equação: Equação:
Para x = 0 Para y = 0
x
 
y
b) Com estas secções transversais, identifique o sólido no espaço. Para isso, esboce as secções 
transversais anteriormente esboçadas em um mesmo sistema de eixos coordenados.
6.2) Plote o gráfico no Winplot.
a) Como se apresentam as curvas de nível?
______________________________________________________________________________
Simetria: Existe em relação aos planos, aos eixos e a origem do sistema de coordenadas.
60
Para x = 4 
Equação: Equação: 
Gráfico no plano: Gráfico no plano:
Para x = -4
z
x y
 
x y
z 
 
 
 
 
 
x y
z
6.3) Plote também os seguintes hiperboloides de duas folhas:
11694)
11649)
222
222
=-+-
=--
zyxb
zyxa
11694)
222
=+-- zyxc Experimente plotar essa superfície usando a opção EQUAÇÃO EXPLÍCITA Õ Õ 
no Winplot. Para isso, você deve isolar a variável z:
2122
941 ÷÷ø
ö
ççè
æ
÷÷ø
ö
ççè
æ +-±= yxz
Digite separadamente a equação da seguinte forma: 
2122
941 ÷÷ø
ö
ççè
æ
÷÷ø
ö
ççè
æ +-±= yxz
z=(16*(1+xx/4+yy/9))^(1/2) e z=-(16*(1+xx/4+yy/9))^(1/2) – Altere as dimensões do BOX.
Se na equação de um hiperboloide de duas folhas tivermos os coeficientes correspondentesaos termos precedidos de sinal negativos iguais, teremos um hiperboloide de duas folhas de 
revolução. 
6.4) Plote o gráfico de equação . Verifique que este hiperboloide é de revolução.
6.5) Plote e dê a equação de outros hiperboloides de revolução.
______________________________________________________________________________
1222 =-- zyx
7 CONE QUÁDRICO
É uma superfície representada pela equação da forma: 
 0 ; 0 ; 0 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=++-=+-=-+ c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
com a, b, c reais e 0,0,0 >>> cba
Na equação, dois termos são positivos e um deles é negativo, o que corresponde ao eixo para o 
qual se desenvolve o cone. A equação dessa superfície se assemelha à equação do 
hiperboloide de uma folha, sendo que o segundo membro da equação é nulo. 
61
7.1 Traçar o cone quádrico de equação a partir de suas secções transversais.094
2
22
=-+ zyx
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
Para z = 1 
Equação: Equação: 
 
Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação: Equação: 
 
Gráfico no plano: 
 
Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
309
2
2 yzzy ±=®=-
2
3
1
-2
-1
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
z
y
62
Gráfico no plano:
Para z = -1
x
 
y
x
 
y
x
 
z
Para x = 0 Para y = 0
b) Com essas secções transversais, identifique o sólido no espaço. Para isso, esboce as secções 
transversais anteriormente esboçadas em um mesmo sistema de eixos coordenados.
c) Plote o gráfico no Winplot.
Verifique as secções transversais através das curvas de níveis plotadas. Que tipo de curvas podem 
ser observadas?
______________________________________________________________________________
7.2) Plote também os seguintes cones quádricos:
7.3) Plote o cone quádrico de equação Verifique que esse cone é de Revolução. 
7.4) Plote e dê as equações de outros cones quádricos de revolução.
______________________________________________________________________________
094)
094)
094)
2
22
2
2
2
2
22
=++-
=+-
=-+
zyxc
zyxb
zyxa
0222 =-+ zyx
Simetria: Existe em relação aos planos, aos eixos e a origem do sistema de coordenadas.
63
x
z
y
7.5) Dado o cone quádrico de equação 
a) Identifique a família de curvas geradas pelos planos paralelos: 
z = 0 
z = 1 e z = -1 
z = 2 e z = -2
b) Faça um esboço dessas curvas.
c) Trace, no winplot, outros planos paralelos aos outros eixos coordenados, constatando se também 
há simetria com esses planos.
094
2
22
=-+ zyx
Quando o termo negativo se anular, se tem um ponto. 
Seja o cone quádrico de equação Quando z = 0 temos: . Então, 
se x = 0 e y = 0, logo teremos o ponto (0,0,0) que corresponde ao vértice do cone quádrico.
094
2
22
=-+ zyx 094
22
=+ yx
64
x
z
y
8 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (SELA)
É uma superfície representada pela equação da forma: 
c
z
a
x
b
y
c
z
b
y
a
x =-=- 2
2
2
2
2
2
2
2
ou 0ou 0 <> cc
b
y
a
x
c
z
b
y
c
z
a
x =-=- 2
2
2
2
2
2
2
2
ou 0bou 0 <>b
a
x
b
y
c
z
a
x
c
z
b
y =-=- 2
2
2
2
2
2
2
2
ou 0aou 0 <>a
com
com
com
com a, b, c reais e não-nulos.
A equação dessa superfície se assemelha à equação do paraboloide elíptico, sendo que irá 
aparecer um sinal negativo precedendo um dos termos quadrados. Com as variações do 
parâmetro de 1º grau é possível encontrar 12 (doze) equações que representam o paraboloide 
hiperbólico. 
As secções pelos planos paralelos aos coordenados são hipérboles ou parábolas, como sugere a 
própria denominação da superfície.
8.1 Esboçar o paraboloide hiperbólico de equação a partir de suas secções 
transversais. 
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
22 xyz -=
65
Para x = 0 
2Equação: z = y 
Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
y
2
1
1 2-1
Gráfico no espaço:
Para y = 0 
2Equação: z = -x 
Gráfico no plano: 
 
 
Gráfico no espaço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esboce as parábolas traçadas anteriormente no mesmo espaço cartesiano:
66
x
 
z
x
z
y
x
z
y
c) Atribua para a variável z os valores 4 e -4 e esboce os respectivos gráficos.
Para z = 4 
Equação: 
Gráfico no plano:
 
 
 
 
Gráfico no espaço: 
Obs.: Como z=4, a figura plana deve ser desenhada 
sobre esse plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1444
22
22 =+-®+-= yxyx
32
y
1-3 -1-2
2
1
-3
-2
-1
4
3
4
x
 
Para z = -4 
Equação: 
 
Gráfico no plano: 
 
 
 
 
 
 
Gráfico no espaço: 
Obs.: Como z=-4, a figura plana deve ser desenhada 
sobre esse plano. . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67
d) Esboce as hipérboles traçadas anteriormente no mesmo espaço cartesiano:
Tomando as hipérboles e as parábolas no mesmo sistema de eixos tridimensionais, estaremos 
gerando a sela. Esboce no mesmo sistema as parábolas e hipérboles traçadas anteriormente. 
68
x
z
y
x
z
y
Essa superfície nunca poderá ser de revolução, pois não possui secções circulares, isto é, os 
termos ao quadrado da equação têm sinais contrários (positivo e negativo). 
O eixo que corresponde à variável do 1º grau é o eixo de simetria da superfície.
Verifique a figura, plotando-a no Winplot. Identifique as parábolas e as hipérboles traçadas 
anteriormente. 
Use no Winplot a opção EQUAÇÃO EXPLÍCITA.
Atribua os valores: x mín = -1, x máx = 1; y mín = -1; y máx = 1.
Clique em UM FATIADOR, movimente a barra de rolagem e observe as parábolas que 
constituem a sela.
Clique em NÍVEIS AUTO VER TODAS e veja as curvas de níveis que constituem a 
superfície.
Õ
Õ
Õ Õ
 
69