TOPOGRAFIA_Aula 1

Prévia do material em texto

Profª Kilcy Costa Ferraz
UNIVERSIDADE CATÓLICA DO SALVADOR
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
Tema da aula: Introdução ao estudo de topografia
Sistemas de Coordenadas
Superfícies de Referência
Efeito da curvatura
O que é Topografia? 
Para que serve? 
Quando preciso de 
topografia? 
1.QUESTIONAMENTOS
Conceito de Topografia:
O significado etimológico da palavra TOPOGRAFIA, quer dizer:
1.1. CONCEITOS E INFORMAÇÕES IMPORTANTES 
1.1. CONCEITOS E INFORMAÇÕES IMPORTANTES 
“A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e
métodos utilizados para obter a representação gráfica de
uma porção do terreno sobre uma superfície plana”
DOUBEK (1989).
“A Topografia tem por finalidade determinar o contorno,
dimensão e posição relativa de uma porção limitada da
superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura
resultante da esfericidade terrestre” ESPARTEL (1987).
O que é Topografia? 
Efeito da curvatura da Terra
O objetivo principal: efetuar o levantamento (executar medições
de ângulos, distâncias e desníveis) que permita representar uma
porção da superfície terrestre em uma escala adequada. Às
operações efetuadas em campo com o objetivo de coletar dados
para a posterior representação, denomina-se levantamento
topográfico.
Determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma
porção limitada de superfície terrestre, do fundo dos mares ou do
interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da
esfericidade da Terra. (DOMINGUES, 1979).
Para que serve? 
Quando preciso de topografia? 
Aplicações
Sistema 
de água 
e esgoto Aeroportos 
Obras 
viárias 
Projetos 
habitacionais
Dentre 
outrosProjetos de 
Reflorestamento
Projetos 
Paisagismo
Irrigação e 
drenagem
Usinas 
hidrelétricas 
Planejamento 
Urbano
A Topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o conhecimento das
formas e dimensões do terreno é importante. Alguns exemplos de aplicação:
De acordo com BRINKER; WOLF (1977), o trabalho prático da Topografia
pode ser dividido em cinco etapas:
1) Tomada de decisão: onde se relacionam os métodos de levantamento,
equipamentos, posições ou pontos a serem levantados, etc.
2) Trabalho de campo ou aquisição de dados: efetuam-se as medições e
gravação de dados.
3) Cálculos ou processamento: elaboram-se os cálculos baseados nas
medidas obtidas para a determinação de coordenadas, volumes, etc.
4) Mapeamento ou representação: produz-se o mapa ou carta a partir dos
dados medidos e calculados.
5) Locação.
De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para
execução de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é
definido por:
“Conjunto de métodos e processos que, através de medições de
ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais
e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida,
primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no
terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes
pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata
representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua
representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com
equidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.”
A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores do
terreno e das leis que regem o seu modelado.
A Topometria estuda os processos clássicos de medição de
distâncias, ângulos e desníveis, cujo objetivo é a determinação de
posições relativas de pontos. Pode ser dividida em planimetria e
altimetria.
2. CLASSIFICAÇÃO DA TOPOGRAFIA 
Classicamente a Topografia é dividida em Topometria e Topologia.
Tradicionalmente o levantamento topográfico pode ser divido em duas
partes: o levantamento planimétrico, onde se procura determinar a
posição planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y) e o levantamento
altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou altitude de um
ponto (coordenada Z). A realização simultânea dos dois levantamentos
dá origem ao chamado levantamento planialtimétrico.
Planimetria
O levantamento é 
planimétrico, quando se 
procura determinar a 
posição planimétrica dos 
pontos (coordenadas X e Y)
Altimetria
O levantamento é 
altimétrico, quando o 
objetivo é determinar a cota 
ou altitude de um ponto 
(coordenada Z)
Delimitação de uma bacia hidrográfica com 
representação das curvas de nível e seu 
respectivo Modelo Digital do Terreno
Carta topográfica com representação de curvas 
de nível
Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimétrico
Planialtimetria  Operação que congrega a planimetria e a
altimetria.
O conceito de grandeza é fundamental para se realizar qualquer medição. 
Em Topografia trabalha-se com quatro espécies de grandezas, a saber:
Lineares
Angulares
Volumétricas
Superficiais
Metro (m), no SI
Metro quadrado (m²), no SI
Metro cúbico (m³), no SI
Radiano; Grau; Grado
3. UNIDADES DE MEDIDA
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Unidade de comprimento (metro)
RADIANO
Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de
circunferência de comprimento igual ao raio da mesma.
É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos.
UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR
2πR — 360° arco = R = raio
Representação de um arco de ângulo.
UNIDADE SEXAGESIMAL
1 grau = 60 minutos (1° = 60’)
1 minuto = 60 segundos (1’ = 60”)
1 grau = 60 minutos = 3.600 segundos
UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE
Para grandes áreas: 
Usa-se quilômetro quadrado (km²) - equivale a 1.000.000 m² ou 
10.000 ares ou 100 hectares
O uso das unidades de superfícies do sistema métrico decimal na medição de
terrenos é oficialmente obrigatório mas, as unidades agrárias antigas, quase todas
derivadas da braça de 2,20 m, são usadas no Brasil desde a época da colonização.
Propagaram-se, continua e desordenadamente, e adquiriram características da
região ou zona em que foram utilizadas, com designação própria e caráter
tipicamente regional, por não terem valores definidos, apresentando variações
não somente com relação à quantidade das terras, como também a fatores locais
e pessoais.
A unidade principal é o alqueire que corresponde a uma medida ideal variável de acordo
com o número de litros ou pratos de plantio, geralmente de milho, que comporta o
terreno, segundo os costumes locais, daí a expressão alqueire de tantos litros ou de tantos
pratos.
Litro – É a área do terreno em que se faz a semeadura de um litro (capacidade) de
sementes de milho debulhado, num compasso de um metro quadrado, para cada cinco ou
seis grãos, cobrindo uma área de 605 metros quadrados.
Prato – Corresponde à área do terreno com capacidade de plantio de um prato
de milho, sendo que as suas dimensões são de 10 x 20 braças e corresponde a 968 metros
quadrados.
Quarta – É a área de terreno correspondendo sempre a quarta parte (1/4) do alqueire.
Dadas as variações da dimensões do alqueire, a quarta varia na mesma proporção.
are=100m2
acre= 4.046,86 m2
hectare (ha)= 10.000 m2
alqueire paulista ( menor) = 2,42 ha = 24.200 m2
alqueire mineiro ( geométrico) = 4,84 ha =48.400 m2
alqueire baiano = 9,68 ha
Alqueirão= 19,36 ha
1) Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a
1224,567 metros quadrados.
2) Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,56
metros quadrados.
1) Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a
1224,567 metros quadrados.
2,42 alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m²
2,42 ha-------------------- 24.200 m²
xha ------------------ 1224,567 m²
x = 0,1224567 ha
2) Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,56
metros quadrados.
1 hectare -------------------- 10.000 m²
x hectares ------------------ 58.675,56 m²
x = 5,867556 hectares
4. SISTEMAS DE COORDENADAS
Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de
coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas
sejam expressas em um sistema de coordenadas.
São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definição
unívoca da posição tridimensional de pontos: sistemas de
coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas esféricas.
Para efeitos de localização precisa de um ponto na superfície
terrestre também utilizamos o sistema de coordenadas geográficas.
4.1. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que
atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez
deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas.
Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente
empregados em disciplinas como geometria e trigonometria, por
exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no
espaço bidimensional ou tridimensional.
4.1. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema
de coordenadas retangulares ou cartesiano. É um sistema de eixos
ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y,
perpendiculares entre si, conforme a figura abaixo.
Sistema de coordenadas cartesianas
4.1. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada
denominada abscissa (coordenada X) e outra denominada
ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) ou P=(x,y) são
utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.
A figura a seguir apresenta um sistema de coordenadas, cujas
coordenadas da origem são O (0,0). Nele estão representados os
pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).
4.1. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas
Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço
tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z)
denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares,
as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem.
A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida
pelas coordenadas cartesianas retangulares (x,y,z) de acordo com a
figura a seguir.
4.1. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais
4.1. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
4.2. SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de forma
parecida, conforme a figura a seguir, pelo afastamento r entre a
origem do sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β formado
entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e
pelo ângulo α que a projeção do segmento OR sobre o plano xy
forma com o semi-eixo OX. As coordenadas esféricas de um ponto R
são dadas por (r, α, β). A figura abaixo ilustra este sistema de
coordenadas.
Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas
sobreposto a um sistema de coordenadas
cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto
R, determinado pelo terno cartesiano (x, y, z)
pode ser expresso pelas coordenadas esféricas
(r, α, β), sendo o relacionamento entre os dois
sistemas obtido pelo vetor posicional:
4.2. SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Exercício:
Um topográfo a partir de um ponto topográfico O visa o ponto B coletando uma
distância inclinada de 100m; um ângulo vertical de 05° e um angulo horizontal
em relação à um poste de 50°. Calcule as coordenadas cartesianas do ponto B.
Considere o ponto O como origem do sistema de coordenadas.
(X, Y, Z) = ?
4.3. SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS
A forma mais utilizada para a representação de coordenadas em um
mapa se dá pela aplicação de um sistema sexagesimal denominado
Sistema de Coordenadas Geográficas. Os valores dos pontos
localizados na superfície terrestre são expressos por suas
coordenadas geográficas, latitude e longitude, contendo unidades de
medida angular, ou seja, graus (°), minutos (‘), segundos (“).
Os meridianos são as linhas que passam através dos pólos e ao redor da Terra, ou seja, são
círculos máximos da esfera cujos planos contêm o eixo de rotação ou eixo dos pólos. À leste
do Meridiano de Greenwich os meridianos são medidos por valores crescentes até 180o e,
a oeste, suas medidas são decrescentes até o limite de -180o.
4.3. SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Os paralelos são círculos da esfera cujo plano é perpendicular ao eixo dos
pólos. O equador é o paralelo que divide a Terra em dois hemisférios. O 0 o
corresponde ao equador, o 90 o ao pólo norte e o - 90 o ao pólo sul.
4.3. SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS
4.3. SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS
A interseção de um meridiano com um paralelo da origem as coordenadas
geográficas, ou seja, Latitude (φ) e Longitude (λ).
4.3. SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos
para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que
mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um
destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura
empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os
cálculos sobre esta superfície.
Basicamente temos quatro superfícies para representar a Terra:
 Esfera
 Elipsóide
 Geóide
 Plano
5. SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
5.1. MODELO ESFÉRICO
Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso
da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua
latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são
denominadas de latitude e longitude astronômicas. Como ilustrado na figura a
seguir.
- Latitude Astronômica (Φ): é o arco de
meridiano contado desde o equador até o ponto
considerado, sendo, por convenção, positiva no
hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul.
- Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador
contado desde o meridiano de origem
(Greenwich) até o meridiano do ponto
considerado. Por convenção a longitude varia de
0° a +180° no sentido leste de Greenwich e de 0°
a -180° por oeste de Greenwich.
Terra esférica - coordenadas astronômicas
O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido
teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso,
prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de
difícil tratamento matemático.
O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou
superfície de nível, utilizado como referência para as altitudes
ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a
superfície física) no ponto considerado.
5.3. MODELO GEOIDAL
5.2. MODELO GEOIDAL
As linhas de força ou linhas verticais são perpendiculares a essas superfícies
equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito
nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto
simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de
vertical.
5.3. MODELO ELIPSOIDAL
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução (figura abaixo)
elipsóide de revolução é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-
elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução).
Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a
(maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerarcomo parâmetros o semi-eixo
maior a e o achatamento f, expresso pela equação a seguir:
a: semi-eixo maior da elipse
b: semi-eixo menor da elipse
Mais de 70 diferentes elipsóides de 
revolução são utilizados em 
trabalhos de Geodésia no mundo.
5.3. MODELO ELIPSOIDAL
As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim
definidas:
Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do
equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.
Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich
(origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste. A normal é uma
reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física.
Coordenadas Elipsóidicas
No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - Sistema
de Referência Geocêntrico para as Américas) adota o elipsóide de
revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo
maior e achatamento são:
a = 6.378.137,000 m
f = 1/298,257222101
5.3. MODELO ELIPSOIDAL
5.4. MODELO PLANO
Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a
simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida
dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos.
Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem
suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este
plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução
de Levantamento Topográfico) admite um plano com até
aproximadamente 80 km.
Segundo a NBR 13133, vale destacar algumas as características do
sistema de projeção utilizado em Topografia :
As deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura
terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximações:
Δl (mm) = - 0,001 l³ (km)
Δh (mm) = +78,1 l² (km)
Δh´(mm) = +67 l² (km)
onde:
Δl = deformação planimétrica devida a curvatura da Terra, em mm.
Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm.
Δh´ = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura
da Terra e da refração atmosférica, em mm.
l = distância considerada no terreno, em km.
5.4. MODELO PLANO
Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no
plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas
para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado
da seguinte forma:
Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio
de prumo);
Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou
verdadeira);
Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90° na direção leste).
5.4. MODELO PLANO
5.4. MODELO PLANO
Plano em Topografia
6. EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA
R: raio aproximado da Terra (6370 km)
Ao substituir a real forma da terra, pelo plano topográfico, comete‐se
um erro denominado “erro de esfericidade”.
 Geodésia a superfície terrestre é curva
 Topografia a superfície é plana
• O erro de esfericidade na distância (ΔS) corresponde à diferença
entre os comprimentos do segmento S' e do arco S.
3. EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA
ΔS = R. tgΘ ‐ (π.R.Θ) / 180°
ΔS = R. tgΘ ‐ R.Θ
ΔS = R(tgΘ – Θ)
Desenvolvendo tg θ em série
tg Θ = Θ + (Θ³/3) + (2.Θ5/15) + …
e utilizando somente o primeiro termo, para ângulos pequenos:
ΔS = R.[ Θ + (Θ³/3) – Θ]
ΔS = R. (Θ³/3)
sabe‐se que Θ=S/R, logo...
5. EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA
A tabela abaixo apresenta valores de erros absolutos e relativos para
um conjunto de distâncias.
5. EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA
EFEITO DA CURVATURA NA ALTIMETRIA
R: raio aproximado da Terra (6370 km)
∆h: diferença de nível entre os pontos
B e B’, este último projeção de B no
plano topográfico.
5. EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA
O efeito da curvatura é maior na Altimetria do que na Planimetria
(Distâncias)
Pode‐se sem erro apreciável considerar plenamente satisfatório a
representação planimétrica em planos tangentes com projeções paralelas e
os cálculos feitos com fórmulas da trigonometria plana.