1a_Lista

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Nos exercícios 01 a 08, calcule 

D
ydxdyxf ),(
, onde 
D
 é a região descrita em cada caso. 
01. 
2)(
1
),(
yx
yxf


 , 
D
 o retângulo 
21,43  yx
. 
02. 
2
2
),(
y
x
yxf 
 , 
D
 no 1º quadrante, limitada pelas retas 
2,  xxy
 e pela hipérbole 
x
y
1

. 
03. 
xyxf ),(
, 
D
 o triângulo cujos vértices são 
)1,1(,)0,0(
 e 
)1,0(
. 
04. 
xyxf ),(
, 
D
 no 1º quadrante, limitada pela reta 
2 yx
 e pelo arco da circunferência de 
raio 1, que tem seu centro no ponto 
)1,0(
. 
05. 
y
x
eyxf ),(
, 
D
 limitada pela parábola 
xy 2
 e pelas retas 
0x
 e 
1y
. 
06. 
22),( yxyxf 
 , 
D
 o triângulo cujos vértices são 
)1,1(,)0,0( 
 e 
)1,1(
. 
07. 
22
),(
yx
x
yxf


 , 
D
 limitada pela parábola 
2
2x
y 
 e pela reta 
xy 
. 
( Sugestão: 
cuuarctguuduarctg  )1ln(
2
1 2
) 
08. 
22),( yxyxf 
, 
D
 no 1º quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela circunferência 
de centro na origem e raio 
a
. 
Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida. 
09. 
 
4
0
12
3 2
)),((
x
x
xdydyxf
 10. 
 
1
0
3
2
)),((
x
x
xdydyxf
 
11. 
 


a xa
a
xa
xdydyxf
0
2
22
22
)),((
 
12. 
 


1
0
1
1 2
)),((
y
y
ydxdyxf
 
13. Calcule 
ydxd
b
y
a
x
D
  2
2
2
2
1
, sendo 
D
 ),({ yx
 R2 / 
}1
2
2
2
2

b
y
a
x
. 
( Sugestão:Faça 
uax 
 e 
vby 
) 
14. Calcule 
ydxdyxyx
D
  )(sen)(
22
, onde 
D
 ),({ yx
 R2 / 
}||||  yx
. 
( Sugestão:Faça 
yxu 
 e 
yxv 
) 
15. Se 
D
 ),({ yx
 R2 / 
}1||||  yx
, mostre que 



1
1
)()( udufydxdyxf
D
. 
( Sugestão: Faça 
yxu 
 e 
yv 
) 
16. Calcule a área da região que não contém a origem, sendo limitada pela reta 
1x
 e pela 
circunferência 
422  yx
. 
17. Calcule a área da região interior à elipse de equação 
1
94
22

yx
. 
18. Calcule a área da região compreendida entre as parábolas 
25102  xy
 e 
962  xy
. 
19. Calcule a área comum aos círculos limitados por 
422  yx
 e 
4)2( 22  yx
. 
20. Calcule a área da região interior à lemniscata 
)2(cos22 r
 e exterior à circunferência de 
centro na origem e raio unitário. 
21. Calcule a área da região interior à cardióide 
cos1 r
 e à direita da reta 
4
3
x
. 
22. Calcule o volume limitado pelo cilindro 
422  yx
 e pelos planos 
0z
 e 
4 zy
. 
23. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 
22 4yxz 
, pelo plano 
0z
 e pelos cilindros 
xy 2
 e 
yx 2
. 
24. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 
224 yxz 
, pelo cilindro 
yyx 822 
 e pelo 
plano 
0z
. 
25. Calcule o volume do sólido limitado pelo plano 
0z
, pelo cilindro 
xyx 222 
 e pelo cone 
222 zyx 
. 
26. Calcule o volume do sólido contido no parabolóide 
222 yxz 
, limitado por este e pela esfera 
de equação 
3222  zyx
. 
27. Calcule o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelas superfícies 
,1,  yxyxz
 
xyxyyx 2,,2 
 e 
0z
. 
( Sugestão:Faça 
yxu 
 e 
x
y
v 
) 
28. Ao calcular-se, por dupla integração, o volume V do sólido situado abaixo do parabolóide de 
equação 
22 yxz 
 e acima de uma região D do plano XY, obteve-se a seguinte soma de 
integrais 
V = 
  


2
1
2
0
22
1
0 0
22 ))(())((
yy
ydxdyxydxdyx
. 
Faça um gráfico da região D e verifique se é possível obter o valor desse mesmo volume sem a 
necessidade do cálculo de uma soma de integrais. Qual o valor do volume procurado ? 
29. Calcule a integral tripla da função 
yzyxf ),,(
, sobre o tetraedro do 1º octante, delimitado 
pelos planos coordenados e pelo plano 
1 zyx
. 
30. Calcule a integral tripla da função 
zzyxf ),,(
, sobre o sólido do 1º octante, delimitado pelos 
planos 
62,2,0,0  xyyxzy
 e pelo cilindro 
422  zy
. 
31. Calcule a integral tripla da função 
zxzyxf 2),,( 
, sobre o sólido limitado pelos planos 
4,0  zz
 e pelo cilindro 
922  yx
. 
32. Sendo 
R
 o sólido do 1º octante, limitado pelos planos 
0x
, 
0y
, 
1,0  yxz
 e 
1 zx
, verifique que 

R
zyddxdzx
 = 
40
1
, 
a) integrando primeiro em relação a z, depois em relação a y e, finalmente, em relação a x e 
b) integrando primeiro em relação a x, depois em relação a y e, finalmente, em relação a z. 
33. Prove que o volume da esfera de equação 
2222 azyx 
 vale 
3
3
4
a
, usando, inicialmente, 
coordenadas cilíndricas e, posteriormente, coordenadas esféricas. 
Nos exercícios 34 a 37, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla. 
34. Sólido do 1º octante, delimitado pelos planos 
xzyx  ,0,0
 e pelo cilindro 
21 yz 
. 
35. Sólido interior ao cilindro 
xyx 422 
, delimitado pela esfera 
16222  zyx
 e pelo plano 
0z
. 
36. Sólido interseção dos parabolóides 
221 yxz 
 e 
122  yxz
. 
37. Sólido do 1º octante, delimitado pelos planos 
0,0  yx
, pela esfera 
6222  zyx
, 
situado entre os cones 
22 yxz 
 e 
222 yxz 
. 
38. O volume de um certo sólido é dado por 
V = 
xdydzd
yx
yx
xx
])([
22
22
2
4
4
2
0
2
0
 



. 
Descreva o sólido graficamente, dando as equações das superfícies que o delimitam. 
39. Em relação ao problema anterior, exprima o mesmo volume como uma integral tripla em 
coordenadas cilíndricas. 
40. Fez-se um orifício circular em uma esfera, de forma que o eixo do orifício coincidiu com o 
diâmetro da esfera. Calculou-se o volume do sólido restante e obteve-se 
V = 
 
 24
0
2
0
2
1
])([2
r
ddrdzr 

. 
Determine o raio do orifício, o raio da esfera e o valor de V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R E S P O S T A S 
01. 
)
24
25
(ln
 02. 
4
9
 03. 
6
1
 04. 
6
1
 05. 
2
1
 06. 
6

 07. 
2ln
 08. 
6
3a
 
 
09. 
 
48
0
3
12
)),((
y
y
ydxdyxf
 10. 
   
3
2
12
0
3
2
3
)),(()),((
y
y
y
ydxdyxfydxdyxf
 
 
11. 
  



a yaya
yaa
a
a
ydxdyxfydxdyxf
2
22
2
22
2 00 2
)),(()),((
 
 
12. 
  




1
0
1
0
0
1
1
0
)),(()),((
2
xx
xdydyxfxdydyxf
 
 
13. 
3
2 ba
 14. 
3
4
 16. 
3
3
4


 17. 
6
 18. 
3
1516 19. 
)334(
3
2

 
20. 
3
3


 21. 
16
398  22. 
16
 23. 
7
3
 24. 
96
 25. 
9
32
 
26. 
3
)536(  
 
27. 
)24(
3
1

 
 
28. É possível: 
 


1
0
2
22
3
4
])([
x
x
xdydyx
 29. 
24
5
 30. 
3
26
 31. 
81
 34. 
15
4
 
 35. 
)43(
9
64

 36. 

 37. 
)
5
1
2
1
(6 
 38. 
0,2,4 22222  yxyxzyx
 
 
39. 

 
drdzdr
r
r
])([
2
2
20
cos2
0
4
4
  


 40. Raio do orifício: 1; Raio da esfera: 2; V = 
34
. 
