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Equações de Maxwell e Transformação de calibre

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Capítulo 3 
 
Dinâmica dos Campos Eletromagnéticos 
 
 
3.1 Corrente de Deslocamento de Maxwell 
 
No início da década de 1860 (durante a guerra civil americana!), a eletricidade e inclusive a 
indução eram bem estabelecidos experimentalmente. Uma grande série de avanços estava 
ocorrendo sobre teoria. Os campos rivais foram divididos em 
• Defensores da ação à distância e os 
• Defensores da teoria do campo. 
 
James Clerk Maxwell estava firmemente no campo dos defensores da teoria de campo. Ele 
inventou analogias mecânicas para o comportamento dos campos no espaço e de como as 
influências elétricas e magnéticas eram levadas através do espaço por engrenagens dentadas 
circulantes invisíveis. Sendo um perfeito matemático, ele também formulou equações 
diferenciais para descrever os campos. Em anotação moderna, eles teriam (em 1860) 
obtido: 
 
 
0
ρ
ε∇ ⋅ =E Lei de Coulomb 
 
t
∂∇× = ∂
BE Lei de Faraday (3.1) 
 
 0∇⋅B =
 
 0µ∇× =B j Lei de Ampère. (Quase-estático) 
 
A tacada de mestre de Maxwell foi perceber que este conjunto de equações era 
incompatível com conservação de carga. Em particular, era a forma quase-estática da lei de 
Ampère que tinha um problema. Tomando o sua divergência 
 
( )0 0µ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇× =j B (3.2) 
 
(porque divergência do rotacional é zero). Isto está de acordo com a situação estática, mas 
não se verifica para a situação dependente do tempo. A conservação da carga no caso 
dependente do tempo é 
 
 67
t
ρ∂∇⋅ = − ∂j não zero. (3.3) 
 
O problema pode resolvido, acrescentando um termo extra à lei de Ampère porque 
 
0. . .t t t
ρ ε∂ ∂ ⎛∇ + = ∇ + ∇⋅ = ∇ +⎜∂ ∂ ⎝ ⎠0ε
∂ ⎞⎟∂
Ej j E j (3.4) 
 
Então, a lei de Ampère só será consistente com a conservação de carga, se na realidade ela 
for escrita com a quantidade ( 0 tε+ ∂ ∂j E ) , que substitui j na equação, isto é 
 
0 0 0 o 0j t t
µ ε µ ε µ∂ ∂⎛ ⎞∇× = + = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
E EB j (3.5) 
 
O termo 0 tε ∂ ∂E é chamado de Corrente de Deslocamento de Maxwell. Não havia, na 
ocasião, nenhuma evidência experimental para este termo; ainda assim, as equações 
exigiram isto, como constatou Maxwell. A adição torna as formas livres de fontes (onde ρ 
e j são zero) graciosamente simétricas 
 
0 0 ; t t
µ ε∂ ∂∇× = − ∇× =∂ ∂
B EE B (3.6) 
 
Significam que um campo B variável induz um campo E (indução), mas também um 
campo E variável induz um campo B. O termo extra também é responsável, como veremos 
brevemente, para ondas eletromagnéticas. Apesar da sua elegância, as equações de 
Maxwell não resolveram o argumento. As equações podem ser reescritas da forma integral, 
semelhante ao que desejavam os defensores da ação à distância. Porém a ação, ficou claro 
agora, não pôde ser considerada instantânea. Além disso, não foram descobertas 
inequivocamente ondas eletromagnéticas durante outros 23 anos! 
 
 
3.2 Dinâmica de Campos, Energia e Momento 
 
3.2.1 Introdução 
 
Suponha um condensador que é carregado através de uma fonte de tensão. Durante a carga, 
uma 
 
 68
 
 
Figura 3.1: A energia obtida através de uma fonte de tensão para “carregar” um capacitor ou indutor é armazenada no campo 
eletromagnético. 
 
corrente I está fluindo e em qualquer instante de tempo o potential é V Q C= 
 
 , dQQ Idt I
dt
= ∫ = (3.7) 
 
Assim a fonte de tensão trabalha à taxa IV (por segundo) e trabalho total efetuado é 
 
dQIVdt V dt VdQ
dt
= =∫ ∫ ∫ (3.8) 
 
2
 iniciando em 0).
2
Q QdQ Q
C C
= =∫ = (3.9) 
 
Onde foi esta energia? Resposta: no campo elétrico. O campo E dentro do condensador 
armazena energia com uma densidade volumétrica de energia que iremos calcular Agora 
considere o “carregamento” de um indutor com auto indutância L. 
 
2
 Trabalho efetuado 
2
dI LIV L VIdt LIdI
dt
= ⋅ = =∫ ∫ (3.10) 
 
Onde foi esta energia? Para o campo magnético. 
 
 
3.2.2 Teorema de Poynting: Conservação de Energia 
 
Como sabemos, ou mostramos, que os campos eletromagnéticos armazenam e transportam 
energia? Formalmente através de um teorema derivado das equações de Maxwell. 
Dissipação de energia é a taxa do trabalho efetuado pelo campo sobre as partículas. A 
energia é transferida do campo para as partículas (e então é freqüentemente convertida por 
algum processo aleatório em “calor”). O campo magnético não efetua trabalho algum sobre 
as partículas porque ⊥F v . A taxa do trabalho efetuado pelo campo elétrico sobre uma 
única partícula é 
 
 69
q⋅ = ⋅F v E v (3.11) 
 
A taxa média do trabalho efetuado sobre todas as partículas no volume V é 
 ( )
 em 
j j
j V
q x j⋅∑ E v (3.12) 
 
assim para um volume elementar dV tal que E possa ser tomado uniforme, através do 
volume, a taxa de trabalho é 
 
j
qn dV⋅ = ⋅∑ j jE q v E v (3.13) 
 
onde n é o número/unidade de volume densidade= . A média qnv é exatamente a 
densidade de corrente, j. Conseqüentemente a taxa de dissipação de energia (= trabalho 
efetuado sobre as partículas) (isto é, potência) por unidade de volume é 
 
E.j (3.14) 
 
[É claro que esta equação é uma forma local da equação de circuito ]. Temos a taxa 
de dissipação da densidade de energia 
P VI=
E.j , mas agora podemos expressá-la em termos dos 
campos usando a lei de Ampère: 
 
[ 0 0
0
1 ]µ εµ⋅ = ⋅ ∇× −E j E B (3.15) 
 
Vamos agora transformar a forma do primeiro termo, ( )⋅ ∇×E B usando a identidade 
vetorial 
 
( ) ( ) ( )∇ ⋅ ∇× = ⋅ ∇× − ⋅ ∇×B B E E B (3.16) 
 
assim 
 
( ) ( ) 0 0
0
1
t
µ εµ
∂⎧ ⎫⋅ = −∇ ⋅ × + ⋅ ∇× − ⋅⎨ ⎬∂⎩ ⎭
EE j E B B E E (3.17) 
 
Então, usando a lei de Faraday t∇× = −∂ ∂E B temos 
 
( ) 0 0
0
1 B
t t
µ εµ
∂ ∂⎧ ⎫⋅ = ∇ ⋅ × + ⋅ + ⋅⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭
EE j E B B E (3.18) 
 
Note que se tivéssemos usado os campos auxiliares D e H (que no vácuo são dados por 
0ε=D E e 0µ=H B ) teríamos obtido 
 70
 
( )
t
∂ ∂⎧ ⎫⋅ = − ∇ ⋅ × + ⋅ + ⋅⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭
B DE j E H H E
t
 (3.19) 
 
a qual é completamente equivalente para o vácuo mas sutilmente diferente para meios 
dielétricos e magnéticos, do modo que é feita a contabilidade de energia. Note que (para o 
vácuo) a mesma pode ser escrita 
 
( ) (0 0 012tµ µ ε
∂⎧ ⎫⋅ = − ∇ ⋅ × + ⋅ + ⋅⎨ ⎬∂⎩ ⎭)E j E B/ B B/ E E (3.20) 
 
Embora não pareça óbvio, esta equação está agora sob a forma de uma lei de conservação 
de energia. O significado físico pode se tornar evidente, considerando um volume arbitrário 
V, com superfície A 
 
( ) [3 30 0 01/ 2d x d xtµ µ ε ]
∂⋅ = − ∇ ⋅ × + ⋅ + ⋅∂∫ ∫v vE j E B B B/ E E (3.21) 
 
2
2 3
0
0 0
1
2A V
Bd
t
εµ µ
⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂= − × ⋅ − +⎜ ⎟ ⎢∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫
BE A E d x⎥ (3.22) 
 
Esta equação nos diz que a taxa total do trabalho sobre as partículas em V é igual ao 
negativo da taxa de variação 
 
 
 
Figura 3.2: Integral do fluxo do vetor de Poynting sobre asuperfície de V. 
 
da integral sobre V de 
 
2
0 0
1 /
2
2B Eµ ε⎡ ⎤+⎣ ⎦ (3.23) 
 
menos o fluxo do vetor E através da superfície A. Fisicamente ela nos diz que 
0 01 2
2 2B Eµ ε⎡ +⎣ / ⎤⎦ deve ser considerado como sendo a densidade de energia 
eletromagnética no volume V e a quantidade 0µ×E B como a densidade do fluxo de 
 71
energia (através de qualquer superfície). 0µ= × = ×s E B E H é chamado de “Vetor de 
Poynting”. Se escrevermos 2 0 01 2w B Eµ ε 2⎡ ⎤≡ +⎣ ⎦ para a densidade de energia, então o 
teorema de Poynting é dado por 
 
w
t
∂= −∇⋅ − ∂E × j s (3.24) 
 
A significado da identificação da densidade de energia do campo e da densidade do fluxo 
de energia é imensa. Até mesmo nos dias de hoje, tendemos a pensar em energia elétrica 
como sendo transportada por cabos condutores. Mas se nós entendemos o teorema de 
Poynting e a teoria eletromagnética, percebemos que a energia é transportada pelos campos 
como representado por 0µ×E B . Não pelos elétrons no condutor, embora eles transportem 
a corrente elétrica. 
 
 
3.2.3 Conservação do Momento 
 
A taxa à qual os campos transferem momento para as partículas é igual a força 
eletromagnética (q + × )E v B e a densidade de força é 
 
ρ= + ×f E j B (3.25) 
 
Use as equações de Maxwell para eliminar ρ e j em favor dos campos: 
 
0 0
0
1 ; 
t
ρ ε µ εµ 0
∂⎛= ∇ ⋅ = ∇× −⎜ ⎞⎟∂⎝ ⎠
EE j B (3.26) 
 
Então 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0 0
0 0
2
0 0
0
1
1 1
2
1 1
2
t
t t
B
t
ε ε µ
ε ε ε µ
ε ε µ
⎡ ⎤∂= ∇ ⋅ + × − × ∇×⎢ ⎥∂⎣ ⎦
⎡ ⎤∂ ∂ ⎧ ⎫= − × + − × + ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ⋅ − ⋅∇⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ⎩ ⎭⎣ ⎦
∂ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − × + ∇× × ∇⋅ − ∇ − ⋅∇⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦
Ef E E B B B
BE B E E E B B B
E B E E + E E B B
B 
 72
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0
1
2
1 1
2
t
ε ε
µ
∂ ⎡ ⎤= − × + ⋅∇ − ∇ ⋅ ∇ ⋅⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ⋅∇ − ∇ ⋅ ∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
E B E E E E + E E
B B B B + B B
 (3.27) 
 
Agora os dois últimos termos podem ser escritos como a divergência ∇⋅ da quantidade 
tensorial 
T
 
2
0
0
1 1 1
2 2
Eε µ
⎡ ⎤ ⎡≡ − + −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣T EE I BB
2B ⎤⎥⎦I (3.28) 
 
onde I denota o tensor unidade. Em notação indexial 
 
2
0
0
1 1 1
2 2ij i j ij i j ij
T E E E B B Bε δ µ
⎡ ⎤ ⎡= − + −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ δ
⎤⎥⎦ (3.29) 
 
T é chamado de “Tensor de Maxwell”. E a equação da força (conservação do momento) se 
torna 
 
( )0t ε
∂= − × +∇⋅∂f E B T (3.30) 
 
que está, como o teorema de Poynting, sob a forma de conservação. Da mesma maneira que 
antes, o significado físico é visto através da integração sobre o volume, a qual fornece 
 
0 2
0
1
c c
ε µ× = × =
B
2
1E B E s (3.31) 
 
é a densidade volumétrica do momento do campo, e T é a força por unidade de área na 
superfície, isto é, a tensão. Assim, os campos eletromagnéticos transportam densidade de 
momento que é 2c1 vezes a densidade do fluxo de energia, onde usamos o fato que 
2
0 0 1 cε µ = . 
Concentrando nos campos E e B, e deixando explícito todas as cargas e correntes em ρ e j, 
excluímos toda a energia e momento“mecânicos” associados, por exemplo, com 
movimento ou polarização de átomos ou moléculas ou de suas partes constituintes. 
(Embora a energia ou momento pudessem ser de ordem eletromagnética, se estivéssemos 
lidando com a média de E e B por todos os átomos). Nos problemas eletromagnéticos, a 
maior parte da confusão que se tem em relação à energia e o momento, se origina da falta 
de clareza que se tem sobre o que deve ser levado em consideração na energia/momento 
eletromagnéticos, em contraste com a energia/momento da partícula. 
 
 73
3.3 Indutância, Energia, e Tensão Magnética 
 
O teorema de Poynting formaliza a observação que já havíamos feito que a energia 
requerida para “carregar” uma indutância (isto é, elevar a sua corrente) é armazenado no 
campo magnético. Sabemos agora que a densidade de energia é 2 02B µ (no vácuo) ou 
1 2 ⋅B H em um meio magnético linear (mas a maioria dos materiais magnéticos não são 
lineares). Semelhantemente a densidade de energia armazenada no campo elétrico de um 
condensador é 20 2Eε , ou 1 2 ⋅E D . Encontramos também que a densidade de força 
associada com B foi governada pelo tensor 21201 Bµ ⎡ ⎤−⎣ ⎦BB I cujo segundo termo é da 
mesma forma que a densidade de energia 2 02B µ . Há uma razão fundamental para esta 
relação que podemos mostrar pensando em forças sobre ímãs. 
 
 
3.3.1 Relação entre densidade de energia e pressão magnética em um 
solenóide 
 
Considere um solenóide formado por uma corrente que flui azimutalmente. É fácil mostrar 
que a força eletromagnética é sempre externa. De fato, não podemos apenas tomar a 
corrente total e multiplicá-la pelo campo interno para obter a força, porque j e B variam 
pelo ímã. externo. Em vez de efetuar a integral de , vamos calcular a força pelo 
método do “trabalho virtual”. Isto implica imaginar um movimento incremental pequeno, 
calculando as mudanças de energia e pondo-as igual ao trabalho efetuado 
×j B
0B = jB
Fdx . Assim 
ignore a espessura do condutor, e considere uma expansão do raio inicial a um por um 
incremento pequeno da . A energia magnética armazenada (por unidade comprimento 
axial) ( )2 00 2 2a B rdrµ π∫ muda porque a muda, e porque B (possivelmente) muda. De fato, 
quer B mude quer não, depende do circuito externo preso ao solenóide através do qual a 
corrente flui. Vamos supor que aquele circuito atue para manter 
 
 
Figura 3.3: Força sobre um solenóide 
 
a corrente constante de forma que B é constante. Precisamos calcular quanta energia o 
circuito provê à indutância. Isto requer uma voltagem durante a expansão. Lembrando da 
lei de Faraday, 
 
 74
V
t
∂Φ= = − ∂∫v E × dl (3.32) 
 
Se B é constante, então 2a BπΦ =
 
2d B a
dt dt
π daΦ = (3.33) 
 
Conseqüentemente a voltagem induzida em uma única volta é 
 
2 daV B a
dt
π= − (3.34) 
 
A corrente por unidade de comprimento necessária para fornecer B é 0J Bµ = . Assim o 
trabalho efetuado pelo circuito externo é (por unidade de comprimento) 
 
0
2B daVJdt B a dt
dt
πµ− =∫ ∫ (3.35) 
 
2
circuito
0
2BdW adaπµ= (3.36) 
 
(para um incremento pequeno da). A mudança na energia magnética armazenada é 
 
2 2
3
magnético
0 0
2
2 2
B Bd x ada dWπµ µ= = (3.37) 
 
Então pela conservação da energia 
 
circuito magnético mecânicodW dW dW= + (3.38) 
 
onde mecânico 2dW adaPπ= e P é a força por unidade de comprimento axial, por unidade de 
comprimento azimutal, isto é, a força por unidade de área ou pressão. Substitutindo 
 
2 2
0 0
2 2 2B Bada ada P adaπ πµ µ= + π (3.39) 
 
Conseqüentemente 
 
2
02
BP µ= (3.40) 
 
 75
é a pressão externa exercida pelo campo B sobre o ímã. Note que nunca invocamos 
qualquer lei de força como a do tensor de tensão de Maxwell, usamos somente nosso 
conhecimento sobre densidade de energia magnética. O resultado final também não 
depende de nossa suposição sobre o circuito externo. Poderíamos ter assumido o que 
quiséssemos. Se fizéssemos corretamentea contagem de energia, teríamos obtido o mesmo 
resultado de força. Se assumirmos também que a distribuição do campo B no condutor não 
varia, não precisamos saber como obter este resultado. Assim a razão força/área total no 
ímã não depende da distribuição de corrente/campo, desde que o imã não seja espesso, de 
forma que a energia armazenada no campo magnético, na espessura do imã, seja pequena. 
A pressão magnética é alta para campos intensos. 
 
2
5 2 2
0
4,0 10 Pa 4 bar.
2
BP Bµ= = × = B (3.41) 
 
1T de campo magnético fornece 4 bar de pressão (~ atmosferas). 10T de campo magnético 
fornecem 40MPa de pressão (c.f. resistência do cobre duro ~ 300MPa). Para um cilindro 
fino, a tensão (tensão no aro) induzida pela pressão P é 
 
a P
t
 (3.42) 
 
raioa = , . Imãs de campos altos devem ser “grossos” e mesmo assim eles 
logo vão para os limites de tensão. 
expessurat =
 
 
Figura 3.4: A tensão no aro, σ em um cilindro fino equilibra a pressão externa, P 
 
3.4 Potenciais para Campos Variáveis no Tempo 
 
Os problemas eletrostáticos e magnetostáticos são resolvidos mais facilmente usando os 
potenciais φ e A. Estes potenciais são também críticos para situações que variam no tempo 
e podemos encontrar equações gerais para as equações de Maxwell como segue. 
 
0 significa que ∇⋅ = = ∇×B B A (3.43) 
 
 76
ainda é uma representação válida. Então 
 
t t t
∂ ∂∇× = − = − ∇× = −∇ ∂∂ ∂ ∂
B AE A (3.44) 
 
Assim 
 
0
t
∂⎛ ⎞∇× + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
AE (3.45) 
 
Por esta razão 
 
+ iE A (3.46) 
 
Pode ser escrita como o gradiente 
 
 ou 
t
φ φ ∂+ = −∇ = −∇ − ∂�
AE A E (3.47) 
Então a lei de Coulomb torna-se 
 
(2
0 t t
ρ φ φε
∂ ∂⎛ ⎞= ∇ ⋅ = −∇⋅ ∇ + = −∇ − ∇⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
A )E A (3.48) 
 
e a lei de Ampère 
 
( ) 20 2 2
2
2
2 2 2
1 1
1 1
t c c t t
c t c t
φµ
φ
⎛ ⎞∂ ∂= ∇× − = ∇× ∇× + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞= ∇ ∇⋅ −∇⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
2
∇ ∂
∂
E Aj B A
AA+ A+
 (3.49) 
 
Devemos agora lembrar que há uma arbitrariedade em nossa escolha de A desde que 
somente o seu rotacional é igual a B. De fato podemos escolher para 0∇⋅ =A tudo o que 
quisermos. Uma escolha, gauge de Coulomb, foi 0∇⋅ =A . “Gauge de Lorentz”: 
 
2
1
c t
φ∂∇ ⋅ − ∂A (3.50) 
 
 
 
 
 77
Então 
 
2
2
2 2
0
1
c t
φ ρφ ε
∂∇ − = −∂ (3.51) 
 
2
2
02 2
1
c t
µ∂∇ − = −∂A j
Α (3.52) 
 
As equações de Maxwell são completamente equivalentes a estas equações de ondas com 
fontes. (juntamente com a condição do gauge de Lorentz.) Consideradas neste gauge, 
vemos que a influência eletromagnética de ρ ou j não age instantaneamente à distância. 
Ao invés, a influência tem que propagar a partir das fontes com a velocidade da luz, c. 
 
3.4.1 Soluções Gerais 
 
Queremos encontrar as soluções gerais para estas equações. Trabalharemos apenas na 
equação de φ porque é escalar. Sua solução será generalizada imediatamente. Primeiro 
discutamos a equação homogênea 
 
2
2
2 2
1 0
c t
φφ ∂∇ = ∂ = (3.53) 
 
que é satisfeita onde quer que 0ρ = (no vácuo). Lembre-se também que podemos 
adicionar qualquer solução desta equação a uma solução da equação não homogênea. Um 
tipo de solução é de ondas planas, isto é, soluções que variam somente em uma direção. Se 
escolhermos os eixos tais que 0y z∂ ∂ = ∂ ∂ = , então a equação é unidimensional: 
 
2 2
2 2 2
1 0
x c t
φ φ∂ ∂− =∂ ∂ (3.54) 
 
As soluções gerais desta equação são 
 
( ) ( ), x t f x ctφ = ± ⋅ (3.55) 
 
Quer dizer, funções de formas arbitrárias que se movem tanto na direção de x crescente 
como na direção decrescente, preservando a sua forma. Para o nosso problema, o caso mais 
interessante é o de ondas esfericamente simétricas. 
 
 78
 
Figura 3.5: Solução arbitrária da equação de onda unidimensional. 
 
Quer dizer, soluções em coordenadas esféricas ( ), ,r θ χ tais que 0θ χ∂ ∂ = ∂ ∂ = . Então 
 
2
2 2
2 2 2
1 1r
r r r c t2
φ φφ ∂ ∂ ∂∇ = =∂ ∂ ∂ (3.56) 
 
Fazendo a substituição 
 
u
r
φ = (3.57) 
 
então 
 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 1
u u ur r r
r r r r r r r r r r r
u u u ur
r r r r r r
φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎞− ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= + − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
 (3.58) 
 
assim 
 
2 2
2 2 2
1 0u u
r c t
∂ ∂+ =∂ ∂ (3.59) 
 
Assim u satisfaz a equação de onda (plana), com solução geral ( )f r ct± . 
Conseqüentemente 
 
( )f r ct
r
φ ±= (3.60) 
 
é a solução geral da equação de onda homogênea que é esfericamente simétrica. Ondas 
radiais se expandindo (sinal negativo) ou convergindo (sinal positivo). De fato, esta solução 
esfericamente simétrica não satisfaz a equação homogênea em 0r = devido a presença da 
 79
singularidade. E na realidade nós já sabemos do problema estático que 
 
( ) ( )2 1 4 4r
r
πδ πδ ′∇ = − = − −x x (3.61) 
 
(tomando ′x como sendo o centro do espaço de coordenadas). Então, se f é não singular 
por toda a parte do espaço, então, 
 
( ) ( ) (22 2 21 4f r ct f ctc t r π δ
±⎛ ⎞∂ )′∇ − = − ± −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ x x (3.62) 
 
Assim nossa solução ( )f r ct rφ = ± é realmente a solução (matemática) do problema de 
calcular o potencial variante no tempo de uma carga pontual presente na posição x′ , quer 
dizer, de uma densidade de carga ( ) ( )q tρ δ ′= −x x , onde a carga é relacionada a f por 
 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
/
 e conseqüentemente 
4 4
q t q t r c
f ct f r ctπε πε
⎛ ⎞ ±± = ± =⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅ (3.63) 
 
Em resumo, o potencial na posição x devido a uma carga variável no tempo de intensidade 
 em ( )q t ′x é 
 
( ) ( )
0
/
,
4
q t c
tφ πε
′± −= ′−
x x
x
x x
 (3.64) 
 
Considerando o caso onde a carga é uma função delta no tempo, como também espaço, 
, vemos que a Função de Green ( ) ( )q t t tδ ′= − ( ), ,G t t′ ′x x (no tempo e no espaço) para o 
operador 
 
2
2
2 2
1 ,
c t
∂≡ ∇ − ∂L (3.65) 
 
isto é a função que resolve ( ) ( ) ( )G ,t ,t t tδ δ′ ′ ′ ′= − × −L x x x x , é 
 
( ) 4
t t
c
G ,t ,t
δ
π
′⎛ ⎞− ′− ± −⎜ ⎟⎝′ ′ = ′−
x x
x x
x x
⎠ (3.66) 
 
e que a solução geral da equação potencial eletrostática, 
 
 80
2
2
2 2
0
1
c t
φ ρφ ε
∂∇ − = −∂ (3.67) 
 
é então 
 
( ) 3
0
,
1, 
4
t
c
t
ρ
φ πε
′⎛ ⎞−′ ±⎜ ⎟⎝ ⎠ d x′= ′−∫
x x
x
x
x x
 (3.68) 
 
 
3.5 Soluções Avançadas e Retardadas 
 
Note que ainda temos o sinal em nossa solução do potencial. Se tomarmos o sinal ± − , 
então o integrando é 
 
,t
c
ρ ′⎛ ⎞−′ −⎜ ⎟⎝
′−
x x
x
x x
⎠ (3.69)Isto nos diz que a contribuição para o potencial em ,tx devido a uma densidade de carga 
em ′x depende somente do valor da carga no tempo 
 
t t
c
′−′ = − x x (3.70) 
 
Isto é anterior ao tempo que leva a influência eletromagnética para se propagar de ′x a x, 
isto é, por c′−x x . Um potencial baseado neste sinal é chamado de potencial “retardado” 
porque a influência chega depois da carga: retardado. O tempo t é chamado 
freqüentemente de “tempo retardado”, apesar de ser 
′
anterior. [Em português 
] Se tivéssemos tomado o sinal retardado atrasado≡ + teríamos um resultado muito 
estranho que a influência (isto é, o potencial) dependeria da densidade de carga em um 
tempo posterior. A solução “avançada” de 
 
,t
c
ρ ′⎛ ⎞−′ +⎜ ⎟⎝
′−
x x
x
x x
⎠ (3.71) 
 
viola assim nossas idéias de causalidade. Somos seguros, geralmente, que um efeito 
(potencial) só pode surgir de uma causa (carga), se a causa é anterior no tempo. Por esta 
razão, o potencial avançado está descartado como “não físico”, mas a justificação para esta 
escolha é misteriosa, unida à discussões filosóficas da seta de tempo. 
 81
Tendo obtido a solução geral para a equação de onda escalar com fontes, podemos aplicá-la 
imediatamente a cada componente do vetor da equação para A; então em resumo: 
 
( ) ( ) 3
0
,1,
4
t
t
ρφ πε d x
′ ′= ′−∫ xx x x (3.72) 
 
( ) ( ) 30 ,,
4
t
t µπ d x
′ ′ ′= ′−∫ j xA x x x (3.73) 
com t t c′ ′= − −x x . 
Freqüentemente a notação a bf é usada para denotar a avaliação de qualquer função f a um 
tempo retardado. Você deve ser extremamente cuidadoso em tomar as diferenciais de 
quantidades retardadas porque não só há dependência em x no espaço mas também no 
argumento de tempo. Assim, por exemplo 
 
a b a b,f t fc
′⎛ ⎞−′ ′ ′ ′∇ − = ∇ ≠ ∇⎜ ⎟⎝ ⎠
x x
x f (3.74) 
 
o valor retardado de um gradiente não é igual ao gradiente de um valor retardado. 
Em geral 
 
a b' , ff t f tc c
⎧ ⎫′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −
t
∂⎪ ⎪′ ′ ′∇ − = ∇ +∇ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
c fdde h
x x x x
x gg (3.75) 
 
a b a bff fc t
′− ∂′ ′∇ + = ∇′− ∂
c fd gd ge h
x x
x x
 (3.76) 
 
e 
 
a b a b' ' c t
′− ∂∇ × = ∇ × + ×′− ∂
c fdde h
x x vv v
x x
gg (3.77) 
 82

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