Fisica Geral III Indução magnetica

Prévia do material em texto

Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 16
 
VII. Indução magnética. Equações de Maxwell 
 
7.1 Indução magnética A lei de Faraday 
 
Em 1831, Michael Faraday realizou uma experiência notável, em que observou uma 
corrente numa espira, que não era ligada a bateria nenhuma mas estava em movimento 
na vizinhança de um íman permanente. A conclusão que foi tirada por Faraday é que há 
uma corrente no circuito desde que exista uma variação do campo magnético que 
atravessa a espira. A corrente 
é induzida, ou gerada por 
uma FEM induzida, pela 
variação do campo 
magnético. Numa segunda 
experiência, ele usou uma 
bobina em vez do íman 
permanente. A bobina e a 
espira estavam em repouso, 
mas a corrente na bobina 
variou. Em resultado, o 
galvanómetro detectou uma 
corrente na espira. Assim foi 
estabelecida a lei de Faraday, que pode ser enunciada em palavras seguintes: 
A força electromotriz induzida numa espira é proporcional a taxa temporal de variação 
do fluxo magnético através da espira. 
Essa lei pode ser escrita como 
tc
m
∂
Φ∂

−=Ε 1 (148) 
onde o fluxo magnético 
∫=Φ SdBm rr (149) 
 através duma superfície delimitada pela espira 
Na Eq.(148), o factor 


c
1 só aparece no sistema CGS (no S.I. não existe). 
Mencionemos que a unidade do fluxo magnético no SI chama-se 1 Weber (Wb) 
enquanto no CGS não tem nome especial. 
Para uma bobina constituída por N espiras, a força electromotriz é N vezes maior: 
tc
N m∂
Φ∂

−=Ε 1 
Exemplos 
1) A barra condutora mostrada na figura está em movimento com uma velocidade de 
constante (ν ), deslizando sobre dois tolhas condutores. O campo magnético é 
uniforme e estacionário (B). 
O fluxo através do circuito aumenta, 
se escolhermos a normal ao plano do 
circuito para cima: 
νBL
t
m =∂
Φ∂
 (150) 
onde L é o comprimento da barra. 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 17
Então, a FEM induzida é dada pela Eq.(150) (no S.I.). Qual é o sentido da corrente 
induzida? Com a normal para cima e o fluxo a aumentar, o sentido é o dos ponteiros de 
relógio (o sinal “-“ na Eq.(148)). Provavelmente é mais fácil determinar o sentido da 
corrente induzida pela lei de Lenz: 
A polaridade da FEM induzida é tal que ela tende a provocar uma corrente que vai 
produzir um fluxo magnético que se opõe à variação do fluxo magnético do campo 
externo através do circuito fechado. 
Então, no exemplo que estamos a considerar, o fluxo do campo produzido pela corrente 
induzida tem que ser negativo, ou seja, o campo secundário tem de ter direcção para 
baixo (dentro do circuito). Para isso, o sentido da corrente tem que ser tal como foi 
indicado. 
 
2) Uma espira a rodar num campo magnético uniforme 
O fluxo através da espira varia em função do ângulo 
que a normal à espira faz com o vector de campo 
magnético. 
φcosBSm =Φ (151) 
onde S é área da espira. O ângulo ot φωφ += , ( oφ é 
um constante), então, das Eqs.(143) e (151) temos: 
 
)sin( otBS φωω +=Ε (S.I.) (152) 
Então, a espira funciona como a gerador de corrente sinusoidal. 
 
A energia do campo magnético 
Conhecendo o fenómeno de indução magnética, podemos considerar a questão de 
energia associada a um campo magnético. A primeira coisa que deve ser notada é que o 
campo magnético não é potencial, ou seja, não realiza trabalho sobre partículas 
carregadas. Por isso, a sua energia não pode ser associada ao trabalho realizado. No 
entanto, quando o campo magnético varia com tempo, cria um campo eléctrico. De 
acordo com a Eq.(148) e a definição da FEM, podemos escrever: 
tc
ldE m∂
Φ∂

−=∫ 1rr (148a) 
(Esta é a forma da lei de Faraday proposta por Maxwell). 
Utilizando o teorema de Stokes temos: 
t
B
c
E ∂
∂−=
rr 1rot (153) 
A Eq.(153) determina o campo eléctrico induzido. Este campo, durante um intervalo de 
tempo ,t∆ realiza um trabalho sobre a corrente jr (que é responsável pela existência do 
campo magnético). O trabalho é igual à energia dissipada na passagem da corrente, dada 
pela lei de Joule-Lenz (Eq.(122), 
∫∆=∆ dVEjtR )( rr . 
Da Eq.(143), 
B
K
j
m
rr
rot
4
1
π= 
Assim, podemos escrever: 
∫ ⋅=∆∆ dVEBKtR m
rr
rot
4
1
π . 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 18
Notemos que 
≡⋅∫ dVEB rrrot ∫ ×∇⋅ dVBE )( rrr 
∫∫ ×∇⋅−×=
↓
dVEBdVBE )()(div
rrr
4434421
rr
. 
 ∫ =⋅ 0)( SdBE rrr 
 na superfície remota 
Então, 
 
∫ ⋅ dVEB rrrot ∫ ⋅−= dVEB rr rot 
∫∫ ∂∂=∂
∂

= dVB
tc
dV
t
BB
c
21
2
11
rr
 
 
onde usamos a Eq.(153). O trabalho realizado por unidade do tempo é: 
∫∂
∂=∂
∂=∆
∆ dVB
Kctt
R
t
R
m
2
8
11lim π . 
Este trabalho só pode ser realizado a custa da energia do campo magnético, que é a 
fonte do campo eléctrico e é relacionado com a corrente. Assim, podemos associar ao 
campo magnético uma energia (por unidade de volume), 
mK
B
c
U π8
1 2

=Μ



=
)SI(
2
)CGS(
8
0
2
2
µ
π
B
B
 (154) 
Apesar do facto que a fórmula para a densidade de energia do campo magnético tem 
muita semelhança com a respectiva fórmula para o campo eléctrico (74), o significado 
físico destas energias é diferente. 
 
7.2 Auto-indutância e indutância mútua 
 
Consideremos uma espira que pode estar ligada a bateria. Não há campo magnético 
externo. No instante em que a chave for fechada vai surgir corrente no circuito. Essa 
corrente vai produzir um campo magnético, enfim, um fluxo magnético, que varia. 
(antes de fechar a chave, foi igual a zero!) De acordo com a lei de Faraday, a variação 
de fluxo vai provocar uma FEM induzida, que vai se opor à FEM da bateria (de acordo 
com a lei de Lenz). Este fenómeno é conhecido como auto-indutância. 
Devido à auto-indutância, a espira oferece alguma inércia à variação da corrente. A 
FEM auto-induzida é proporcional à taxa temporal de variação de corrente: 
dt
dIL
dt
d
c
m
ua −=Φ

−=Ε 1.. (155) 
onde L é uma constante de proporcionalidade, chamada indutância. A unidade S.I. 
da indutância é 1 Henry: 
s
A
sVH ⋅Ω=⋅= 111 . 
Por exemplo, para um solenóide comprido com n espiras circulares de raio r por 
unidade de comprimento, não é difícil achar que a sua indutância é dada por 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 19


 


=
(SI)
(CGS)14
0
2
2
22
nNr
nN
c
rL
µπ
π (156) 
onde N é o número total de espiras. Basta substituir na Eq.(155) BSNm =Φ em que 
2rS π= e nIKB m π4⋅= é o campo magnético no interior do solenóide. 
Um circuito que contém uma indutância (ou seja, uma espira ou normalmente uma 
bobina) chama-se circuito RL. Podemos calcular a variação temporal da intensidade de 
corrente neste circuito. Pela segunda lei de Kirchoff, 
 
 RIua =Ε+Ε .. 
ou seja, 
RI
dt
dIL +=Ε (157) 
Resolvendo esta equação, temos 








−Ε=
−
RL
t
e
R
I τ1 
onde 
R
L
RL =τ (158) 
é constante de tempo do circuito RL. Então, como esperamos, a corrente aumenta 
gradualmente, devido ao fenómeno de auto-indutância. 
Indução mútua. 
Dois circuitos com correntes variáveis induzem correntes mutuamente, alem da auto-
indução. A FEM induzida pelo circuito 1 sobre o circuito 2 é directamente proporcional 
à variação da corrente 1, e vice-versa. As FEM’s totais induzidas em cada circuito, são: 
dt
dIL
dt
dIM 112121 −−=Ε 
dt
dIL
dt
dIM 221212 −−=Ε . (159) 
Pode-se mostrar que 2112 MM =. Este parâmetro é chamado de indutância mútua. 
O fenómeno de indutância mútua está na base de funcionamento do transformador. O 
transformador é formado por duas bobinas acopladas (ver figura na página 14), 
conhecidas como primária e secundária. Quando se aplica ao circuito primário uma 
FEM variável, produz-se uma FEM, também variável, no secundário. Normalmente, a 
bobina primária e a secundária estão enroladas em torno de um núcleo de ferro, com o 
objectivo de concentrar o fluxo magnético. Quando se aplica uma FEM variável 1Ε à 
primária, com 1N espiras, produz-se uma corrente neste circuito, que cria um campo 
magnético localizado dentro do núcleo de ferro. Se mΦ for o fluxo magnético através 
de uma espira da bobina primária, o fluxo total através dela é mN Φ1 e podemos 
escrever 
dt
d
c
N m
Φ

⋅−=Ε 111 . 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 20
Aproximadamente o mesmo fluxo passa pelas 2N espiras da bobina secundária. Por 
isso, a FEM que aparece nela é 
dt
d
c
N m
Φ

⋅−=Ε 122 . 
O quociente das duas FEMs é: 
1
2
1
2
N
N=Ε
Ε
, 
o que significa que a FEM que aparece no circuito secundário é maior ou menor do que 
a FEM aplicada à bobina primária dependendo do número de espiras. Quando 12 NN > 
fala-se de transformador de aumento de tensão, caso contrário é um transformador de 
diminuição de tensão. O resultado acima apresentado é simplificado e não leva em 
consideração vários factores, como as perdas de fluxo e o efeito do circuito externo 
ligado à bobina secundária. De facto, nos temos desprezado o efeito da corrente no 
circuito secundário (I2), ou seja, os dois termos com dt
dI 2 nas equações (159). A relação 
obtida implica que 
1
1
2
21 LN
NM = , 
o que é válido apenas na ausência de quaisquer perdas de fluxo entre as bobinas. 
 
7.3 Corrente de deslocamento e as equações de Maxwell 
 
Nos já consideramos um circuito RC (ver Sec.5.5). Se o condensador foi inicialmente 
carregado, neste circuito existiria alguma corrente, que diminuiria de maneira 
exponencial com uma constante de tempo .RCRC =τ Consideremos esta situação do 
ponto de vista de campo magnético criado por essa corrente. A corrente é nula dentro do 
condensador. Apliquemos o teorema de circulação (141) para o contorno L. 
 
∫ ∫= SdjKldB m rrrr π4 
 no contorno L na superfície 
 
A superfície pode ser escolhida de 
maneira arbitrária. A maneira mais 
simples é a superfície .1S Obviamente, 
ISdj
S
=∫
1
rr
 . 
No entanto, podemos escolher também 
superfície ,2S que inclui a placa do 
condensador (ver a figura). Para esta superfície, aparentemente 
 
,0
2
=∫
S
Sdj
rr
 
porque as cargas não passam entre as placas do condensador. Este paradoxo foi 
eliminado por J.C. Maxwell, que introduziu o conceito de corrente de deslocamento. 
Segundo Maxwell, não é só a transferência física das cargas (corrente de condução) cria 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 21
campo magnético. Quando há carregamento por indução, o que é o caso das duas placas 
de um condensador, também surge um campo magnético. A carga numa das placas pode 
ser expressa como 
KK
SEdECQ eππ 44
Φ=== 
em que C é a capacidade do condensador, S a área e d a distância entre as placas. 
Formalmente, a taxa da variação desta carga, 
dt
dQ , representa a intensidade de uma 
corrente, que é a corrente de deslocamento. A sua intensidade é dada por 



Φ
Φ
=
)CGS(
)S.I(
4
1
0
dt
d
dt
d
I
e
e
d
π
ε
 (160) 
onde 
dt
d eΦ é a variação do fluxo eléctrico através da superfície da placa. A Eq.(160) 
tem carácter geral e implica que qualquer variação do fluxo eléctrico através duma 
superfície é equivalente a uma corrente eléctrica (de deslocamento). 
Então, para a superfície 2S da figura da página anterior não há corrente de condução, 
mas há corrente de deslocamento. A corrente de deslocamento através da superfície 1S 
também existe mas é pequena por causa da pequena secção do fio (o campo eléctrico só 
existe no interior do fio!) e, por isso, é desprezável comparando com a corrente de 
condução no fio. 
De acordo com essa conjectura de Maxwell, a forma correcta e geral do teorema de 
circulação é: 






 +



 +
=
∫
∫∫
Sd
dt
Edj
Sd
dt
Edj
c
ldB rrr
rrr
rr
00
41
εµ
π
 (161) 
Então, além das correntes “normais” (ou seja, as de condução), existem também 
correntes de deslocamento (correntes de indução eléctrica, sem transferência física de 
cargas). Em geral, sempre devem ser consideradas as duas componentes de corrente. 
Assim, por exemplo, a corrente total é contínua num circuito com condensador. O 
espaço entre as placas do condensador é atravessado pela corrente de deslocamento, 
enquanto que no resto do circuito existe praticamente apenas corrente de condução. 
Depois disso, podemos escrever no seu conjunto as quatro equações fundamentais de 
electricidade e magnetismo (que, de facto, já conhecemos, ver Eqs.(33), (148a), (141), 
(161) e (142)), 
∫∫ = dVSdE ρπ4rr ; 
Sd
t
B
ctc
ldE m
rrrr ∫∫ ∂∂−=∂Φ∂−= 11 ; 
0∫ =SdB rr ; (162a) 
∫ ∫∫ ∂∂+= SdtEcSdjcldB
rrrrrr 14π , 
no sistema CGS e 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 22
∫∫ = dVSdE ρε0
1rr ; 
Sd
t
B
c
ldE
rrrr ∫∫ ∂∂−= 1 ; (162b) 
0∫ =SdB rr ; 
∫ ∫∫ ∂∂+= SdtESdjldB
rrrrrr
000 µεµ 
no sistema S.I. 
Estas equações são as famosas equações de Maxwell, que determinam o campo 
electromagnético a partir da distribuição de cargas )(ρ e correntes )( jr eléctricas. 
Também podem ser escritas na forma diferencial. Por exemplo, no CGS, 
πρ4div =Er ; 
t
B
c
E ∂
∂−=
rr 1rot ; (163) 
0div =Br ; 
t
E
c
j
c
B ∂
∂+=
rrr 114rot π . 
As equações de Maxwell incluem a lei de Gauss, a lei de Ampère, a lei de Faraday e o 
conceito de corrente de deslocamento, ou seja, todas as leis fundamentais da 
electrodinâmica. Uma das suas consequências destas equações é a existência de ondas 
electromagnéticas, notada por Maxwell. No vazio e quando 0=ρ e 0=jr , podemos 
escrever a partir das Eqs.(163): 
2
2
2
1rot1rotrot
t
E
ct
B
c
E ∂
∂−=∂
∂−=
rrr
. 
Da análise vectorial sabe-se que 
EEE
rrr 2divgradrotrot ∇−= . 
Assim, obtemos: 
 2
2
2
2 1
t
E
c
E ∂
∂=∇
rr
 . (164) 
Pode-se mostrar facilmente que a parte magnética do campo electromagnético é descrita 
pela mesma equação (164). Então, as equações de Maxwell descrevem, entre outros, os 
campos electromagnéticos que oscilam no espaço e no tempo. Este movimento é uma 
onda electromagnética que se propaga com a velocidade da luz, c. Esta previsão teórica 
de Maxwell foi confirmada experimentalmente, pela primeira vez por H.Hertz em 1885.
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 23
Resumo 
 
1) Um campo magnético que varia com o tempo induz uma força electromotriz 
(FEM), que é determinada pela lei de Faraday (148). A polaridade dessa FEM 
defina-se pela lei de Lenz. 
2) Existe também o fenómeno de auto-indutância, quando o campo magnético 
próprio duma corrente variável induz uma corrente secundária que se opõe à 
variação da corrente primária. Então, espiras e bobinas oferecem alguma inércia 
contra variações de corrente que as atravessa. A medida desta inércia chama-se 
indutância (L). 
3) O campo magnético possui uma energia, cuja densidade é dada pela Eq.(154), e 
que se revela através da dissipação de energia numa corrente induzida pela 
variação do campo magnético. 
4) Além de corrente de condução, existetambém corrente de deslocamento, que se 
deve a alguma variação de campo eléctrico (por exemplo, a corrente que 
atravessa o espaço entre as placas de um condensador). A corrente de 
deslocamento também participa na criação de campo magnético e tem que ser 
incluída no teorema de circulação (Eq.(161)). 
5) As equações de Maxwell são quatro equações integrais-diferenciais que incluem 
a lei de Gauss (o fluxo), e o teorema de circulação (integral de linha de campo) 
para os campos eléctrico e magnético. Determinam inteiramente os campos E
r
 e 
B
r
 no vazio para qualquer distribuição de cargas e correntes eléctricas. 
6) Uma das consequências das equações de Maxwell é a existência de ondas 
electromagnéticas, em que os campos E
r
 e B
r
 oscilam no espaço e no tempo de 
maneira correlacionada. 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 24
VIII. Circuitos de corrente alternada. Oscilações eléctricas 
 
8.1 Correntes alternadas quase estacionárias. Circuitos com FEMs 
sinusoidais. Impedância 
 
Em princípio, uma corrente que varia com tempo dá origem a um processo ondulatório 
que é descrito pelas equações de Maxwell. Assim acontece, por exemplo, em linhas 
compridas de telégrafo ou de alta tensão onde se propagam ondas electromagnéticas 
(chamadas ondas telegráficas). No entanto, nos circuitos laboratoriais em que circulam 
correntes varáveis normalmente a situação é mais simples, a intensidade de corrente 
varia com tempo mas o seu valor instantâneo é praticamente igual em qualquer ponto de 
qualquer malha do circuito. Diz-se que os efeitos de retardação são desprezáveis para 
estes circuitos e as respectivas correntes chamam-se quase estacionárias. 
Normalmente é possível definir um tempo típico de variação de correntes eléctricas. Por 
exemplo, no circuito RC este tempo é .RC=τ Para uma corrente alternada (sinusoidal), 
de frequência ω , 
)cos( 00 φω += tii , (165) 
o tempo típico é .1ωτ = 
Uma corrente é quase estacionária se os tamanhos típicos do circuito são pequenos 
comparando com o produto τ⋅c . Neste caso, os efeitos de retardação são desprezáveis. 
A variação temporal da FEM produz efeitos imediatos (sem atraso) nas correntes e 
tensões eléctricas em todo o circuito. Fala-se, também, dos circuitos quase 
estacionários. Para circuitos deste tipo, as leis de Kirchoff aplicam-se da mesma forma 
como para as correntes estacionárias (no entanto, trata-se dos valores instantâneos das 
correntes e tensões). Neste capítulo, falaremos apenas deste tipo de circuitos. Os 
circuitos normalmente são constituídos por resistências, bobinas (ou indutâncias), 
condensadores e fontes de alimentação (geradores). 
 
Correntes e tensões sinusoidais 
O caso mais importante é quando as correntes e as tensões variam de acordo com uma 
função harmónica do tipo (165), em que 0i é a amplitude e 0φ é a fase inicial da 
respectiva grandeza. Os valores instantâneos de corrente e de tensão são relacionados 
entre si de uma forma linear, 
 
RR iRV ⋅= - na resistência 
 
∫== dtiCCQV CC 1 - no condensador 
 
dt
diLV LuaL −=Ε−= .. - na indutância 
 
A lei das malhas (Eq.(130)) pode ser aplicada 
aos valores instantâneos das tensões 
apresentadas acima e, para o circuito mostrado 
na figura ao lado, toma a seguinte forma: 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 25
∫++=Ε idtCRidtdiLt 1)cos(0 ω (166) 
que é uma equação diferencial. A análise das equações das leis de Kirchoff para 
circuitos com correntes sinusoidais é facilitada pelo método de amplitudes complexas. 
Em vez dos senos ou cossenos é conveniente usar as funções complexas, 
)cos()( 00 φω += titi )Re( )(0 0φω += tjei 
)Re( 00
tjj eei ωφ321
⇓
= (167) 
iˆ - a amplitude complexa 
onde 1−=j é a unidade imaginária. Se )(ti for a corrente que atravessa uma 
resistência, a tensão vai ser 
)Re(ˆ
ˆ
0 0
tj
V
j
R eeiRV
R
ωφ
321⋅= , 
ou seja, 
iRVR ˆˆ ⋅= . (168) 
Para o condensador, 
iZi
Cj
V CC ˆˆˆ
1ˆ ⋅≡= ω . (169) 
em que CZˆ chama-se impedância do condensador. Para uma indutância, 
iZiLjV LL ˆˆˆˆ ⋅≡⋅= ω . (170) 
Então, para cada um destes elementos existe uma espécie de lei de Ohm, que relaciona 
as amplitudes complexas, 
iZV ˆˆˆ ⋅= 
A impedância ( Zˆ ) é a resistência complexa que é atribuída a cada elemento e que 
depende da frequência do sinal alternado. Se tivermos dois elementos em série, os 
valores instantâneos de tensão nos elementos somam-se. Por isso, somam-se as 
amplitudes complexas. Por exemplo, para uma resistência e uma indutância em série a 
queda de potencial é dada por ( )iZZVVVZi LRLR ˆˆˆˆˆˆˆˆ +=+== . 
Então, 
LjRZZZ LR ω+=+= ˆˆˆ . 
 
Para dois elementos (por exemplo, uma resistência e um condensador) em paralelo 
somam-se as correntes, 
V
ZZ
ZZ
Z
V
Z
Vi
RC
RC
RC
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
⋅
+=+= 
1ˆ
ˆˆ
ˆ
+=⋅
+=
CRj
CRj
ZZ
ZZ
Z
RC
RC
ω
ω 
 
Então, a impedância equivalente num circuito calcula-se da mesma maneira como se 
fosse a resistência usual, aplicando as leis de associação em série e em paralelo. 
Também são válidas as leis de Kirchoff, quando aplicadas a um circuito de corrente 
alternada, e podem ser escritas 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 26
1) para valores instantâneos das correntes e das tensões, ou 
2) para amplitudes complexas das mesmas. 
A equação diferencial (166), em termos de amplitudes complexas, toma a forma 
 
iLj
Cj
iRi ˆˆ0 ⋅++⋅=Ε ωω (171) 
que é muito mais simples de resolver. 
;ˆ
ˆ 0
Z
i
Ε= 
Lj
Cj
iRZ ωω ++=ˆ . (172) 
Depois de acharmos a amplitude complexa ,iˆ podemos voltar para a forma “normal” de 
apresentar esta corrente, 
( )tjeii ωˆReˆ = 


Ε=
Z
e tj
ˆRe0
ω
 (173) 
Quando se trabalha com os números complexos, é conveniente utilizar a forma gráfica 
da sua apresentação. A cada número complexo associa-se um vector no plano 
complexo, por exemplo, 
)sin(cosˆ 11111 1 φφφ jVeVV j +== , 
)sin(cosˆ 22222 φφφ jVeVV j +== . 
Assim, os dois números complexos podem ser somados graficamente como dois 
vectores. Estes vectores chamam-se fasores. Por exemplo, o fasor da tensão no 
condensador, 
2ˆ1ˆ1ˆ
π
ωω
j
C eiC
i
Cj
V
−== , 
faz um ângulo de 90o com o fasor do RVˆ (o que corresponde a um desfasamento de 90
o 
entre estas duas tensões). 
 
8.2 Trabalho e potência de uma corrente alternada 
 
Para uma corrente sinusoidal, os valores médios da corrente e da d.d.p. são nulos. No 
entanto, a potência média dissipada na passagem desta corrente não é nula. A potência 
instantânea é 
 
)()()( tVtitP ⋅= . 
A potência média: 
∫ ⋅=
T
dttVti
T
P
0
)()(1 
onde ωπ /2=T é o período. A potência média dissipada numa resistência atravessada 
pela corrente (165) é: 
( ) Ridtt
T
i
RP
T
2
0
0
0
2
2
0
2
1cos =+= ∫ φω (174) 
No entanto, num condensador ou numa indutância 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 27
0=P , 
ou seja, a energia é dissipada apenas na resistência (qual, por isso, as vezes é chamada 
activa). Num condensador ou numa indutância, a energia da corrente que passa não é 
dissipada, apenas transforma-se, de uma maneira reversível, noutra forma (magnética no 
caso da bobina e electrostática no caso do condensador) 
. De acordo com o resultado (174), faz sentido introduzir o valor eficaz de corrente (a 
intensidade de corrente contínua que produz a mesma energia dissipada numa 
resistência), que é igual a 
2
0i . Também se pode falar dos valores eficazes das tensões. 
Note-se que os multímetros, no caso das correntes ou tensões alternadas, medem 
precisamenteos valores eficazes das respectivas grandezas. 
 
8.3 Oscilações num circuito RLC em série. Ressonância 
 
Consideremos um circuito constituído por três elementos 
R, L e C ligados em série. Apesar de não ter nenhuma 
FEM externa incluída, neste circuito pode surgir uma 
corrente flutuante. Qual seria a variação desta corrente 
com tempo? A resposta é dada pela equação diferencial 
(166) com a parte esquerda nula, 
 
01 =++ ∫ idtCRidtdiL , (166a) 
ou, derivando em ordem ao tempo, 
 
012
2
=++ i
Cdt
diR
dt
idL (175) 
Suponhamos primeiro que a resistência R é desprezável. Assim, a Eq.(179) é a equação 
de oscilador harmónico com um grau de liberdade conhecida da mecânica. A sua 
solução é 
 
)cos()sin()( 00 tBtAti ωω += (176) 
em que A e B são algumas constantes 
que dependem das condições iniciais 
e 
LC
1
0 =ω (177) 
é a frequência natural (ou a 
frequência das vibrações livres) do 
circuito. 
No entanto, na realidade a resistência 
activa é inevitável. Na mecânica, o 
termo com a primeira derivada na 
equação diferencial do oscilador 
representa atrito, que faz com que as 
vibrações livres decaiam com o 
tempo. Este oscilador chama-se amortecido. A solução da equação (175) com 0≠R é: 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 28
( ) −+= tLRtBtAti 2exp)cos()sin()( '0'0 ωω 
em que 2
2
'
0
4
1
L
R
LC
−=ω . A intensidade de corrente varia como mostra a figura acima. 
O amortecimento das vibrações livres da corrente resulta da dissipação da energia na 
resistência. 
Admitamos agora que no circuito considerado está incluída uma FEM sinusoidal (ou 
seja, voltemos a considerar o circuito apresentado na página 24). A variação da corrente 
neste circuito é descrita pela equação diferencial não homogénea 
 
( ))cos(1 02
2
t
dt
di
Cdt
diR
dt
idL ωΕ=++ . (178) 
Como sabemos da teoria de equações diferenciais, a solução geral da Eq.(178) pode ser 
apresentada como uma soma da solução geral da equação homogénea (175) (que 
representa as vibrações livres) e uma solução particular da Eq.(178). Esta última que 
representa as vibrações forçadas pode ser achada utilizando o método de amplitudes 
complexas. 
A impedância do circuito é dada pela Eq.(172) e depende da frequência. Por isso, a 
amplitude da corrente também depende de ω , 
;
ˆ
1ˆ 0Ε=
Z
i 
onde o módulo da impedância é 
C
RC
C
LRZ ω
ω
ωω
ωω
2
2
0
2
2
2
2
1)(
1ˆ



 −+
=

 −+= . 
 
Assim, a amplitude da corrente em função da frequência é dada por 
 
02
2
0
2
2
0
1)(
ˆ Ε



 −+
==
ω
ωωτ
ωCii 
(179) 
onde RC=τ . Esta função é mostrada 
na figura ao lado. Quando a resistência 
é pequena, a função (179) tem um 
máximo pronunciado a 
0ωω = . 
Este efeito é chamado de ressonância. 
No entanto, quando R aumenta, a 
ressonância é cada vez menos notável. 
A largura do pico é determinada pelo 
parâmetro, 
( ) RLQ 010 ωτω == − , 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 29
conhecido como factor de qualidade. Quando maior for o factor de qualidade, mais 
nítida é a ressonância porque o pico na variação da amplitude da corrente com a 
frequência é mais alto e mais estreito. Para ter uma boa ressonância, é preciso que a 
resistência activa do circuito ( R ) seja baixa. 
Notemos também que nas condições de ressonância ( 0ωω = ) o desfasamento entre a 
intensidade de corrente e a FEM externa é nulo. Nesta situação tem-se 
 
R
i 00
Ε= . 
Electricidade e Magnetismo – notas do Prof. Mikhail Vasilevskiy – 3aParte 
 
 30
Resumo 
 
1) Correntes alternadas quase estacionárias podem ser descritas pelas mesmas 
regras e leis que as correntes contínuas. Por exemplo, as duas leis de Kirchoff 
aplicam-se aos valores instantâneos das correntes e das tensões quase 
estacionárias. 
2) A resolução das equações diferenciais da segunda lei de Kirchoff (ou seja, a 
análise dos circuitos com correntes alternadas quase estacionárias) é facilitada 
pelo método de amplitudes complexas. A amplitude complexa de uma corrente 
ou uma tensão contém informação sobre a amplitude e a fase da respectiva 
grandeza num determinado elemento do circuito. A resistência complexa chama-
se impedância. Para calcula-la, aplicam-se os métodos conhecidos da análise de 
circuitos com correntes estacionárias. 
3) Num circuito constituído por uma resistência, uma indutância e um 
condensador, ligados em série, ocorrem oscilações livres da corrente. O 
amortecimento destas oscilações deve-se à dissipação da energia que tem lugar 
na resistência. Se ligarmos a este circuito um gerador de tensão sinusoidal, 
surgem vibrações forçadas com a frequência do gerador. Se esta coincidir com a 
frequência das vibrações livres, acontece a ressonância, que se manifesta na 
maior amplitude das vibrações forçadas e no desfasamento nulo entre a corrente 
e a FEM do gerador.