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Prof.: Duarte Aula 5 III. Adição de Probabilidade Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que: III. Adição de Probabilidade Obs: Se A e B são mutuamente exclusivos, então, e, neste caso, ficamos com: III. Adição de Probabilidade Exemplos: 1) Num grupo de 30 pessoas, 15 são assinantes do Terra, 12 são assinantes do UOL e 3 assinam os dois. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dele: a) Assinar o Terra ou o UOL? b) Não assinar nenhum dos dois? a) III. Adição de Probabilidade Exemplos: b) Outro modo de fazer: 1) Num grupo de 30 pessoas, 15 são assinantes do Terra, 12 são assinantes do UOL e 3 assinam os dois. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dele: a) Assinar o Terra ou o UOL? b) Não assinar nenhum dos dois? III. Adição de Probabilidade Exemplos: 2) De um baralho de 52 cartas, sendo 13 de cada naipe (copas, espadas, ouros e paus), uma pessoa retira uma carta. Qual a probabilidade da carta ser de copas ou de ouros? São mutuamente exclusivos. III. Adição de Probabilidade Exemplos: Obs.: daria para fazer direto. 2) De um baralho de 52 cartas, sendo 13 de cada naipe (copas, espadas, ouros e paus), uma pessoa retira uma carta. Qual a probabilidade da carta ser de copas ou de ouros? IV. Probabilidade Condicional Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu, modifica a probabilidade que atribuímos a outro evento. Podemos pensar na probabilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A, isto é, a probabilidade condicional de B em relação a A, indicaremos por P(B/A) (lemos probabilidade de B dado A) e será calculado por: IV. Probabilidade Condicional 3) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obter-se um número maior que 2, sabendo que a face superior apresentou um número menor ou igual a 4? Espaço Amostral: Evento A: Evento B: IV. Probabilidade Condicional 4) Seja o lançamento de 2 dados e a observação das faces voltada para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos: a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5. b) Somas das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais. Evento A: { (1,1) , (2,2) , (3,3) ,(4,4) , (5,5) , (6,6) } e n(A) = 6. Evento B: { (1,1) , (1,2) ,(1,3) , (1,4) ,(2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (4,1) } e n(B) = 10. IV. Probabilidade Condicional 4) Seja o lançamento de 2 dados e a observação das faces voltada para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos: a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5. b) Somas das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais. a) Neste caso calculamos a probabilidade de A dado B: P(A/B). IV. Probabilidade Condicional 4) Seja o lançamento de 2 dados e a observação das faces voltada para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos: a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5. b) Somas das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais. b) Agora calculamos a probabilidade de B dado A: P(B/A). V. Regra do Produto Uma das consequências da expressão da probabilidade condicional é a regra do produto, obtida a partir da definição da probabilidade condicional: V. Regra do Produto 5) Uma urna contém 8 bolas azuis e 2 brancas. Retiramos, ao acaso, 2 bolas, uma após a outra, sem reposição. Se a primeira foi uma azul, qual a probabilidade da segunda ser branca? V. Regra do Produto Para a primeira azul temos: Qual o Espaço Amostral para a segunda retirada? Sendo a primeira azul para a segunda branca temos: 8 bolas azuis e 2 brancas V. Regra do Produto 6) Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos, ao acaso, 2 cartões, um após o outro, sem reposição, e observamos as cores dos dois cartões. a) qual a probabilidade de que ambos sejam amarelos? b) qual a probabilidade do primeiro ser vermelho e o segundo amarelo? c) qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo? V. Regra do Produto a) qual a probabilidade de que ambos sejam amarelos? Para o primeiro amarelo temos: Para o segundo amarelo o espaço amostral será: n(E2) = 11 Sendo o primeiro amarelo para o segundo amarelo temos: V. Regra do Produto b) qual a probabilidade do primeiro ser vermelho e o segundo amarelo? Para o primeiro vermelho temos: Para o segundo amarelo o espaço amostral será: n(E2) = 11 Sendo o primeiro vermelho para o segundo amarelo temos: Observação: V. Regra do Produto c) qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo? Queremos a probabilidade de ocorrer (A1 ,V2) ou (V1 , A2), ou seja, a união dos dois eventos. Como esses eventos são mutuamente exclusivos, então a probabilidade é dada pela soma, ou seja: Regra do Produto para 3 Eventos Para 3 eventos A, B e C, vale a seguinte regra do produto: Regra do Produto para 3 Eventos 7) Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos 3 cartões, um após o outro, sem reposição. Qual é a probabilidade de que os 3 sejam amarelos? (pois existem 4 amarelos dentre os 12 cartões). (ao retiramos o segundo cartão só temos 3 amarelos e 11 no total). (ao retiramos o terceiro cartão só temos 2 amarelos e 10 no total). Regra do Produto para Eventos Independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Se dois eventos A e B são independentes, então: Regra do Produto para Eventos Independentes 8) Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos 2 cartões, um após o outro, sendo que o primeiro cartão é reposto antes da retirada do segundo cartão. Qual é a probabilidade de que ambos sejam amarelos? (pois existem 4 amarelos dentre os 12 cartões). (como há reposição, existem 4 amarelos dentre 12 cartões). Como há reposição do cartão antes da segunda extração, os eventos são independentes. Regra do Produto para Eventos Independentes 9) Uma sacola tem 6 abacates, 10 maçãs e 4 jacas. Retirando-se aleatoriamente 3 frutas, uma de cada vez, com reposição, qual a probabilidade de serem três frutas diferentes? Exercícios 10) Uma urna tem 100 bolas, numeradas de 00 a 99. Cada grupo de 4 bolas numeradas na sequência tem uma letra. Deste modo as bolas de 01 a 04 têm a letra A, as de 05 a 08 têm a letra B, as 09 a 12 têm a letra C, e assim sucessivamente até as bolas 97, 98, 99 e 00, que têm a letra Y, perfazendo um total de 25 letras. Tirando uma bola da urna qual a probabilidade de: a) ser um determinado número, por exemplo 35. b) ter a letra C. c) ter a letra C ou D. d) retirando duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de serem C e D? Exercícios a) ser um determinado número, por exemplo 35. Espaço Amostral: n(E) = 100; n(N) = 1. b) ter a letra C. Como temos 4 bolas com a mesma Letra: n(C) = 4. Exercícios c) ter a letra C ou D. Para C: n(C) = 4 e para D: n(D) = 4. São mutuamente exclusivos Exercícios d) retirando duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de serem C e D? Para a letra C temos: Para a segunda letra (D): Sendo a primeira C para a segunda D temos: Exercícios 11) A probabilidade de que a população atual de um país seja 50 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 50 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 50 milhões. 50 milhões ou mais são 95% : 50 milhões ou menos são 8%: Probabilidade de ser 50 milhões: População toda: Exercícios 12) Escolhida uma carta de um baralho de 52 cartas e sabendo que esta carta é de copas, qual a probabilidade de ser Rei? n(E) = 52 ; n(c) = 13 e
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