Distribuição Normal: Propriedades e Padronização

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2 Probabilidade e Estatística – Aula 11 Prof.: Duarte 
 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
I – Introdução 
 
De todas as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, a mais importante é a distribuição normal. Ela 
abrange um grande número de fenômenos e oferece base para se relacionar com estatística clássica devido à sua 
afinidade com o teorema do limite central. 
Seja uma variável aleatória X que varia de
 até
, e assume os valores x1, x2. x3, .... , xn. 
No caso de a distribuição ser normal a função de densidade da probabilidade (fdp) é: 
2
x
5,0
2
e
2
1
)x(f











 Equação I 
 
Onde: x são os pontos da função, variam de 
 até
;  é a média aritmética e  é o desvio padrão. 
Felizmente, não precisamos usar esta fórmula, uma vez que podemos trabalhar com padronização de dados, usando 
apenas uma tabela para calcular a integral de f(x). 
 
 
 
 
 
O gráfico da função de densidade da probabilidade será: 
 
 
 
 
 
 
II Propriedades de uma distribuição normal 
 
1. A média aritmética, a mediana e a moda são iguais. 
2. Graficamente, a distribuição tem a forma de um sino, simétrico em torno da média. A curva recebe o nome de curva 
normal ou curva de Gauss. 
3. Você aprenderá em Cálculo II que a integral de uma função f(x) fornece a área sob a curva. A equação I é a função 
de densidade de probabilidade e, portanto, a área total sob a curva tem valor 1, ou seja, a probabilidade é 100%. 
Devido a simetria da curva, cada lado da média aritmética  vale 0,5. 
4. A medida que x se afasta da média aritmética  a curva aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, 
contudo, alcançá-la. 
5. Como a curva é simétrica em torno de , a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à 
probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5. Escrevemos: 
5,0)X(P)X(P 
. 
6. Na distribuição normal temos: 
a) o intervalo ]

 , 

[ contém aproximadamente 68,27% dos valores da 
série. 
b) o intervalo ]
 2
 , 
 2
] contém aproximadamente 95,45% dos valores 
da série. 
c) o intervalo ]
 3
 , 
 3
[ contém aproximadamente 99,73% dos valores 
da série. 
7. Numa distribuição normal temos dois pontos de inflexão (onde a curva inverte 
a concavidade), um quando 
x
 e outro quando 
x
. 
 
 
 
 
 
 
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III Padronização da Distribuição Normal. 
 
Para cada valor de  e de  temos um gráfico diferente. Na figura abaixo temos três exemplos. 
 
 
 
Como dependendo do valor de  e de  temos infinitos gráficos teríamos de calcular a integral da equação 1 para 
cada um dos casos, ou seja, não daria para fazer uma única tabela que resolveria todos os cálculos da probabilidade. 
 
Para facilitar vamos padronizar, tomando a média aritmética como 0 e o desvio padrão 1. Com isso teremos um único 
gráfico e podemos fazer uma única tabela de integral, que será usada para todos os exercícios. 
Vamos substituir a variável x por outra z, tal que: 



x
z
 
 
 
 
 
O gráfico da distribuição de z será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área em baixo desse gráfico, que dá a probabilidade, também será igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
Agora tendo a média aritmética fixa em 0 e o desvio padrão fixo em 1 teremos um único gráfico e podemos, então, 
fazer uma tabela que nos dê o resultado da integral, que é a probabilidade P(Z), para vários intervalos de z. Veja essa 
tabela, ela está impressa no final da aula. 
 
 
 
Se integramos a fdp de 0 a z teremos a probabilidade de Z estar entre 0 e z, ou 
seja, 
A)zZ0(P 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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IV Exercícios: 
 
1) Na figura ao lado a área A1 é a probabilidade de Z estar entre 0 e 2, ou seja, 
)2Z0(P 
. 
Para calcularmos essa probabilidade basta olhar na tabela, que está impressa 
no final desta aula. Devemos encontrar onde está 2,00. Procuramos na primeira 
coluna da esquerda (z) onde está a unidade e a primeira casa decimal, ou seja, 
2,0. A seguir devemos achar na primeira linha de cima (z) onde está a segunda 
casa decimal, ou seja, 0. Na intersecção entre a linha 2,0 e a coluna 0 teremos 
a resposta. Nesse caso o resultado é 0,4772. Tendo-se esse número basta 
multiplicá-lo por 100 e teremos a probabilidade: 
 
 
%72,47)2Z0(P 
 
 
2) Na mesma figura a área A2 é a probabilidade de Z estar entre – 2 e 0 , ou seja, 
)0Z2(P 
. 
Como a área está do lado negativo de z devemos calcular a área correspondente do lado positivo, por simetria elas 
são iguais, na figura A2 = A1. Deste modo temos: 
)2Z0(P)0Z2(P 
. 
Como já calculamos 
%72,47)2Z0(P 
, então, ficamos com: 
%72,47)0Z2(P 
 
 
Como você deve ter observado é simples, achamos a probabilidade sem ter de calcular nenhuma integral. 
Mas usamos a distribuição normal padronizada, onde a média aritmética é 
0z 
 e o desvio padrão 
1Z 
. Vamos 
fazer alguns exercícios onde a média aritmética  não é 0 e nem o desvio padrão  é 1. 
 
3) Uma marcenaria fabrica blocos de madeira com comprimento médio 20,0 cm e desvio padrão  = 0,4 cm. 
Sendo a distribuição normal determine a probabilidade de um bloco ter de 20,0 cm até 20,5 cm. 
 
Para resolver o problema devemos transformar para a distribuição normal padronizada, convertendo a variável x na 
variável z. 
25,1z
4,0
0,205,20
z
x
z 





. 
Então ficamos com: 
Quando 
0zz0,20x 
 e quando 
25,1z5,20x 
 
 
A probabilidade a ser calculada será: 
A)25,1Z0(P)5,20X0,20(P 
 
 
Agora calculamos 
)25,1Z0(P 
 
Procuramos na tabela 1,2 na primeira coluna da esquerda e 5 na primeira linha de cima, na intersecção encontramos 
o valor da área.. O valor encontrado é 0,3944. Multiplicando por 100 teremos a resposta do problema: 
%44,39)25,1Z0(P)5,20X0,20(P 
. 
 
%44,39)5,20X0,20(P 
 
 
4) Funcionários de uma fábrica montam uma peça em um tempo médio  = 45,2s com um desvio padrão  = 0,6s. 
Sabendo que a distribuição é normal calcule a probabilidade de uma peça ser montada num tempo de 44,3s até 45,2s 
 
5,1z
6,0
2,453,44
z
x
z 





 
Quando 
0zz2,45x 
 e quando 
5,1z3,44x 
 
 
Devemos calcular 
)0Z5,1(P)2,45X3,44(P 
 
 
A solução do exercício é a área A1 da figura. 
 
 
 
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Como a área está do lado negativo de z devemos calcular a área correspondente do lado positivo (A2), por simetria 
elas são iguais. Deste modo temos: 
)5,1Z0(P)0Z5,1(P 
 
Temos z = 1,50. Na tabela vemos que a resposta está na intersecção da linha do 1,5 com o coluna 0 e é 0,4332. 
Multiplicando o resultado por 100 temos a resposta: 
%32,43)5,1Z0(P)0Z5,1(P)2,45X3,44(P 
 
 
%32,43)2,45X3,44(P 
 
 
 
5) Em uma turma de 400 estudantes a altura tem média aritmética de 1,75 m com um desvio padrão de 0,15 m. 
Supondo a distribuição normal calcule quantos desses alunos tem altura de 2 m ou mais. 
 






15,0
75,12
z
x
z
67,1z 
 
 
67,1z2x 
 
 
 )67,1Z(P)2X(P
 Área A1 na figura. 
 
Agora temos um problema, a tabela nos fornece a probabilidade de 0 até 1,67 (A2 na figura) enquanto a resposta é a 
probabilidade de ser igual ou maior que 1,67 (A1 na figura). 
Sabemos que a soma das áreas A1 e A2 é igual a metade da área total sob a curva, ou seja, é 0,5 (50%), portanto 
temos: 
 
2121 A5,0A5,0AA 
 
Devemos primeiro calcularA2, para isso vamos localizar na tabela 1,67. Vendo na tabela temos que é a intersecção 
da linha 1,6 com a coluna 7. O resultado encontrado é 0,4525. Substituindo temos: 
 
 0475,0A4525,05,0A 11  0475,0)67,1Z(P)2X(P %75,4)2X(P 
 
 
Concluímos que 4,75% dos estudantes têm altura igual ou maior que 2 m. Agora basta calcular 4,75% dos 400 
estudantes. 
 4000475,0n
estudantes 19n 
 
 
6) As médias do 1
o
 bimestre, de uma turma de 64 alunos de Probabilidade e Estatística, tiveram uma distribuição 
normal, sendo o valor médio aritmético 5,8 e o desvio padrão 1,5. Determine: 
a) quantos alunos tiveram nota igual ou menor que 3,5? 
b) qual a Moda e a Mediana? 
 
a) 






5,1
8,55,3
z
x
z
53,1z 
 
53,1z5,3x 
 
 
 )53,1Z(P)5,3X(P
 Área A1 na figura. 
 
Por simetria 
21 AA 
. 
Do gráfico tiramos que: 
3232 A5,0A5,0AA 
 
Devemos começar calculando A3, para isso devemos encontrar 1,53 na tabela. Na intersecção da linha 1,5 com a 
coluna 3 encontramos 0,4370. Substituindo na equação anterior temos: 
063,0A4370,05,0A 22 
 
Portanto 
063,0AA 21 
e 
%3,6)5,3X(P063,0)53,1Z(P)5,3X(P 
 
Agora vamos calcular 6,3% de 64 alunos: 
alunos 03,4n64063,0n 
 
Temos aproximadamente 4 alunos com nota bimestral igual ou menor que 3,5. 
 
b) Como é uma distribuição normal a média é igual a moda e a mediana: 
8,5MM DO 
 
 
 
 
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7) Joãozinho, aquele mesmo das piadas, teve de fazer um estágio na Oceania, onde ficaria por um ano. 315 dias após 
o último “contato” com sua mulher ele recebe um e-mail de um “amigo” relatando que sua esposa deu a luz naquele 
dia. Sabendo que os prazos de gravidez têm distribuição normal, com média aritmética de 268 dias e desvio padrão 
de 15 dias, você acha que Joãozinho deve ficar preocupado? 
 
Devemos calcular a probabilidade de uma criança nascer em 315 dias ou mais de gestação, ou seja: 
)315X(P 
. 
13,3z
15
268315
z
x
z 





 
13,3z315x 
 
 )13,3Z(P)315X(P
A1 na figura ao lado. 
Sabemos que a soma das áreas A1 e A2 é igual a metade da área total sob a curva, 
ou seja é 0,5 (50%), portanto temos: 
2121 A5,0A5,0AA 
 
Vamos calcular A2, para isso vamos localizar na tabela 3,13. Olhando na tabela vemos que a intersecção da linha 3,1 
com a coluna 3 é 0,4991. Substituindo temos: 
 0009,0A4991,05,0A 11  0009,0)13,3Z(P)315X(P %09,0)310X(P 
 
A probabilidade da criança nascer com 315 dias ou mais de gravidez é 0,09%. 
É .... Joãozinho deve ficar muito preocupado ..... 
 
 
8) Sabe-se que uma bateria de automóvel dura em média de 3 a 4 anos. Suponha que a distribuição desse tempo de 
vida útil seja normalmente distribuída, com uma média aritmética de 42 meses e um desvio padrão de 6 meses. 
Determine a probabilidade da bateria de seu carro durar de 30 meses até 50 meses. 
 
A variação é de x1 = 30 meses a x2 = 50 meses. Devemos trocar ambos pela variável z. 
 
2z
6
4230
z
x
z 11
1
1 





 
 
33,1z
6
4250
z
x
z 22
2
2 





 
 
21 AA)33,1Z2(P)50X30(P 
 
 
Observando a figura vemos que A1 está na parte negativa de z enquanto A2 está na positiva. Vamos ter de separar as 
áreas. 
 
)33,1Z0(P)0Z2(P)33,1Z2(P 
 
 
Como vimos 
)2Z0(P)0Z2(P 
, então temos: 
)33,1Z0(P)2Z0(P)33,1Z2(P 
. 
Para calcular de A1 vamos procurar 2,00 na tabela. Na intersecção linha 2,0 com a coluna 0 temos 0,4772: 
A1 = 0,4772. 
Para calcular de A2 vamos procurar 1,33 na tabela. Na intersecção linha 1,3 com a coluna 3 temos 0,4082: 
A2 = 0,4082. 
Mas 
21 AA)33,1Z2(P)50X30(P 
 
 8854,0)50X30(P4082,04772,0)50X30(P %54,88)50X30(P 
 
 
 
 
 
 
 
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9) No exercício anterior qual a probabilidade de uma bateria durar de 48 meses até 50 meses? 
 
A variação é de x1 = 48 meses até x2 = 50 meses. Devemos trocar ambos pela variável z. 
 
1z
6
4248
z
x
z 11
1
1 





 
 
33,1z
6
4250
z
x
z 22
2
2 





 
 
A)33,1Z1(P)50X48(P 
 
 
Observe na figura que área A é igual a área para z variando de 0 até 1,33 (A1) menos a área para z variando de 0 até 
1 (A2). Temos: 
21 AAA 
 
Para calcular de A1 vamos procurar 1,33 na tabela. Na 
intersecção linha 1,3 com a coluna 3 temos 0,4082: 
A1 = 0,4082. 
Para calcular de A2 vamos procurar 1,00 na tabela. Na 
intersecção linha 1,0 com a coluna 0 temos 0,3413: 
A2 = 0,3413. 
Como 
 12 AAA)33,1Z1(P 0669,03413,04082,0)33,1Z1(P 
 
Portanto 
 0669,0)33,1Z1(P)50X48(P %69,6)50X48(P 
 
 
Resolva os exercícios: 
 
10) No exercício 3 determine a probabilidade de retiramos aleatoriamente um bloco e ele ter comprimento de 19,4 cm 
até 19,8 cm. 
 
     1915,04332,0AA5,0Z5,1P8,19X4,19P 0,5 a 01,5 a 0
  % 17,248,19X4,19P 
 
 
11) No exercício 4 calcule a probabilidade de uma peça ser montada num tempo igual ou maior que 46,1 s. 
 
     4332,05,0A5,05,1ZP1,46XP 1,5 a 0
  % 68,61,46XP 
 
 
12) Com os dados do exercício 5 ache a probabilidade de um estudante ter altura menor que 1,60 m. 
 
     3413,05,0A5,01ZP6,1XP 1 a 0  % 87,156,1XP 
 
 
13) Com os dados do exercício 6 ache a probabilidade de um aluno tirar nota igual ou maior que 9. 
     4834,05,0A5,013,2ZP9XP 2,13 a 0
  % 66,19XP 
 
 
14) Usando os dados do exercício 7 calcule a probabilidade de uma criança nascer com 253 dias até 283 dias de 
gestação. 
     3413,03413,0AA1Z1P283X253P 1 a 01 a 0  % 26,68283X253P 
 
 
15) Usando os dados do exercício 8 calcule a probabilidade de uma bateria durar mais de 70 meses. 
Observação: Qualquer área com 
90,3Z 
 dá 0,5 (50 %). 
     0A5,067,4ZP70XP 4,67 a 0
  % 070XP 
 
 
 
 
 
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  AzZ0P 
 
 
 
 
 
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,47880,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
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2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
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2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
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3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
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