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Prof. Duarte - Aula 7 página 1 
 Probabilidade e Estatística – Aula 7 Prof.: Duarte 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
I – Introdução 
 
O termo Estatística provém da palavra Estado e foi utilizado originalmente para denominar levantamentos de dados, 
cuja finalidade era orientar o Estado em suas decisões. 
É uma ciência que se preocupa com o planejamento de uma pesquisa, envolvendo desde a forma de coleta das 
observações, obtidas em experimentos ou levantamentos, até a maneira como será feita a organização, a descrição, o 
resumo dos dados, a avaliação e afirmação sobre características de interesse do pesquisador. 
 
Conceitos 
 
População é o conjunto de todos os itens que interessam ao estudo de um fenômeno coletivo segundo alguma 
característica. 
Exemplos: 
– A população de todos estudantes de Engenharia da Unisanta. 
– A população de todos os torcedores do Santos. 
– A população de todos eleitores do estado de São Paulo. 
 
Amostra é qualquer subconjunto não vazio de uma população. 
Exemplos: 
– Estudantes de Engenharia da Unisanta que fazem Engenharia Civil. 
– Torcedores do Santos com mais de 30 anos. 
– Eleitores do estado de São Paulo que votam em Santos. 
 
Parâmetro é uma característica numérica estabelecida para toda a população. 
 
Quando vamos estudar um fenômeno coletivo podemos optar entre os seguintes processos estatísticos: Censo e 
Estimação. 
 
Censo é uma avaliação direta de um parâmetro utilizando-se todos os componentes da população. 
 
Estimação é uma avaliação indireta de um parâmetro com base em uma característica numérica de uma amostra 
através do cálculo de probabilidades. 
 
Dados estatísticos são os valores numéricos resultantes de um censo ou de uma estimação. 
 
A Estatística utiliza métodos racionais para a obtenção de informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de 
obter conclusões válidas para o fenômeno e permite a tomada de decisões, a partir dos dados estatísticos 
observados. Dessa forma, a Estatística pode ser dividida em duas áreas: 
 
a) Estatística Descritiva é o ramo da estatística que envolve a organização, o resumo e a representação de dados; 
 
b) Estatística Indutiva é o ramo da estatística que envolve o uso de uma amostra para chegar a conclusões sobre 
uma população. 
 
 
II – Estatística Descritiva 
 
A Estatística Descritiva tem as seguintes etapas: 
a) Obtenção dos dados estatísticos. 
b) Organização dos dados. 
c) Redução dos dados. 
d) Representação dos dados. 
e) Obtenção de informações que auxiliam na descrição do fenômeno observado. 
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Quando fazemos n observações diretas em um fenômeno coletivo ou observamos as respostas a uma pergunta em 
uma coleção de n questionários, obtemos uma sequência x1, x2, ... , xn de n valores, que são denominados dados 
brutos. 
A característica X observada num fenômeno coletivo se chama a variável que está sendo estudada. Dessa forma os 
dados brutos podem ser representados na forma: X: x1, x2, ... , xn 
 
Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente os dados brutos, essa ordenação passa a se chamar rol. 
 
Exercício 1: Na P1 um aluno obteve as seguintes notas: 4 ; 8 ; 5 ; 6 ; 3 ; 4. 
A variável X representa a nota bimestral desse aluno e pode ser apresentada na forma: X: 4 ; 8 ; 5 ; 6 ; 3 ; 4 (dados 
brutos) ou X: 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 (rol). 
 
Quando o número de elementos distintos de uma série de dados brutos for pequeno dizemos que a variável X é 
discreta, como no caso do exemplo acima. Quando o número de elementos distintos de uma série estatística for 
grande dizemos que a variável é contínua como, por exemplo, a população de todos os alunos da UNISANTA. 
 
 
1 – Variáveis discretas 
 
A frequência simples (fi) de um elemento de uma série estatística é o número de vezes que esse elemento figura no 
conjunto de dados. Utilizando a noção de frequência simples podemos reduzir o número de elementos com os quais 
devemos trabalhar. 
 
Exercício 2: A sequência a seguir representa a observação do número de acidentes diários na rodovia M durante 20 
dias: X: 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 2, 0 (dados brutos) 
O rol então será – X: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3 
Temos: 
x1 = 0 com frequência f1 = 8; x2 = 1 com frequência f2 = 5; 
x3 = 2 com frequência f3 = 5; x4 = 3 com frequência f4 = 2 
 
xi fi 
0 8 
1 5 
2 5 
3 2 
Total 20 
 
Essa tabela se chama tabela de distribuição de frequência da variável X. 
 
Com essa tabela, podemos obter algumas informações adicionais e úteis para compreensão da série estatística. 
 
A frequência simples relativa de um elemento (distinto) xi de uma série com n = f1 + f2 + ... + fn (número de dados 
estatísticos) elementos é a fração fri definida por: 
n
f
f iri 
 , normalmente dada na forma percentual. 
 
A frequência acumulada simples Fi é a soma 



i
1i
ii21i ff.......ffF
. 
 A frequência acumulada relativa é a fração Fri definida por: 
n
F
F iri 
 , normalmente dada na forma percentual. 
 
 
 
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Exercício 3: Considere a tabela de distribuição de frequência dos salários de 25 funcionários de uma empresa:: 
 
 
Frequência simples relativa. 
Para x1
 
= 1000, temos:
%12ou12,0
25
3
n
f
f 11r 
 Para x4
 
= 4000, temos: 
%24ou24,0
25
6
f 4r 
 
Para x2
 
= 2000, temos: 
%28ou28,0
25
7
f 2r 
 Para x5
 
= 5000, temos: 
%4ou04,0
25
1
f 5r 
 
Para x3
 
= 3000, temos 
%32ou32,0
25
8
f 3r 
 
 
Frequência Acumulada Simples. 
F1 = f1 = 3 F2 = f1 + f2 = 3 + 7 = 10 
F3 = f1 + f2 + f3 = 3 + 7 + 8 = 18 F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 3 + 7 + 8 + 6 = 24 
F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 3 + 7 + 8 + 6 + 1 = 25 
 
Frequência Acumulada Relativa. 
%12ou12,0
25
3
F1r 
 
%40ou40,0
25
10
F 2r 
 
%72ou72,0
25
18
F 3r 
 
%96ou96,0
25
24
F 4r 
 
%100ou1
25
25
F 5r 
 
 
Tabela completa da distribuição das frequências: 
 
 Salários de 25 funcionários 
xi fi fri (%) Fi Fri (%) 
1000 3 12 3 12 
2000 7 28 10 40 
3000 8 32 18 72 
4000 6 24 24 96 
5000 1 4 25 100 

 25 100 # # 
 Fonte fictícia 
 
Representações Gráficas 
Podemos representar graficamente uma distribuição de frequências através de um Gráfico de Colunas, Gráfico de 
Barras ou Gráfico de Setores Circulares. 
Para exemplificar vamos supor que um dado é lançado 500 vezes e, em cada lançamento, foi anotado o número 
apresentado na face superior, obtendo-se a tabela: 
 
Face Frequência absoluta ( f i ) Frequência relativa ( f r ) 
1 100 20% 
2 75 15% 
3 150 30% 
4 50 10% 
5 100 20% 
6 25 5% 
Σ 500 100% 
xi fi 
1000 3 
2000 7 
3000 8 
4000 6 
5000 1 
 25 
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a – Gráfico de Colunas é um conjunto de hastes, representadas em um sistema 
de coordenadas cartesianas que tem por base os valores distintos da série 
estatística (xi) e por altura, valores proporcionais às frequências simples 
correspondentes destes elementos (f i). 
 
 
 
 
b – Gráfico de Barras é igual ao Gráfico de Colunas com a inversão dos eixos, ou 
seja, as barras serão horizontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c – Gráfico de Setores Circulares. As áreas dos setores circulares são proporcionais às frequências relativas. 
 
Face 1 = 360º x 0,20 = 72º 
Face 2 = 360º x 0,15 = 54º 
Face 3 = 360º x 0,30 = 108º 
Face 4 = 360º x 0,10 = 36º 
Face 5 = 360º x 0,20 = 72º 
Face 6 = 360º x 0,05 = 18º 
 
 
Medidas de Tendência Central 
 
Para efeito de análise da distribuição de frequênciasconsideramos as medidas de tendência central. 
As mais importantes são: a média aritmética , a mediana MD e a moda MO. 
 
a – Média Aritmética 
 
 
 
Se x1, x2 , ... , xn são os distintos valores de uma variável X com frequências simples respectivamente, f1 , f2 , ... , fn e 
n = f1 + f2 + ... + fn , então a média aritmética vale: 
 
n
f.x.......f.xf.x
n
f.x
nn2211
n
1i
ii



 
b – Moda (MO) 
 
A moda MO corresponde ao valor xi cuja frequência fi é o maior valor entre as frequências simples. Eventualmente 
pode haver mais de um valor para a moda. 
 
c – Mediana (MD) 
 
A mediana MD é o termo que divide os dados estatísticos em duas partes iguais. Se fi for impar a mediana é xi 
correspondente a fi do meio, se fi for par somam-se os dois xi dos dois termos centrais e dividimos por 2. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 4: Considere a série do número de gols marcados por dez times em um turno de um campeonato 
X: 10, 11, 11, 11, 11, 13, 13, 13, 15, 15. Calcule , MO e MD. 
 
Gols marcados em um turno 
xi fi Fi xi . fi 
10 1 1 10 
11 4 5 44 
13 3 8 39 
15 2 10 30 

 10 # 123 
Então: 
Média: 


10
123
n
f.x ii gols 3,12
 
 
Moda: a maior fi que aparece é 4, temos: 
gols 11MO 
 
 
Mediana: A soma dos fi = 10 é par, então somamos os dois termos centrais e dividimos por 2. Neste caso os dois 
termos centrais são Fi = 5, que se encontre em xi = 11, e o Fi = 6, que se encontra em xi = 13. 
 
 



2
24
2
1311
MD
gols 12MD 
. 
 
Exercício 5: Considere a série do número de tiros acertados no alvo por 25 atiradores: 
X: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7. Calcule , MO e MD. 
 
Tiros no alvo 
xi fi Fi xi . fi 
2 3 3 6 
3 7 10 21 
4 8 18 32 
6 6 24 36 
7 1 25 7 

 25 # 102 
Média: 


25
102
n
f.x ii tiros 08,4
 
 
Moda: a maior fi que aparece é 8, temos 
tiros 4MO 
 
 
Mediana: como a soma dos fi = 25 é ímpar pegamos termo do meio que é Fi = 13. O xi neste caso é 4. 
tiros 4MD 
. 
 
 
Exercício 6: A distribuição de frequências para a série representativa da idade de 50 estagiários de uma empresa: 
 
X: 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 
 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 
 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 
 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 
 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 
 
Construa a tabela das distribuições, calcule as Calcule , MO e MD e construa o gráfico de colunas. 
 
 
 
 
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Idade dos estagiários de uma empresa 
xi (anos) fi (n
o
 de estagiários) fri (%) Fi Fri (%) xi . fi 
17 3 6 3 6 51 
18 18 36 21 42 324 
19 17 34 38 76 323 
20 8 16 46 92 160 
21 4 8 50 100 84 

 50 100 # # 942 
 
Média: 


50
942
n
f.x ii anos 84,18
 
 
Moda: a maior fi que aparece é 18, temos 
anos 18MO 
 
 
Mediana: a soma dos fi é par, então somamos os dois termos centrais e dividimos por 2. Neste caso os dois termos 
centrais são Fi = 25, que pertence a classe xi = 19, e o Fi = 26, que também pertence a classe xi = 19. 



2
38
2
1919
MD
anos 19MD 
. 
 
Gráfico de colunas 
 
 
Exercícios: 
 
7) A distribuição ao lado nos fornece o tempo gasto, em minutos, pelos alunos de 
uma classe, para a realização de uma prova. Faça: 
a) A tabela completa da distribuição de frequência (xi , fi , fri (%) , Fi , Fri (%) , 
xi.fi); 
b) Calcule a média aritmética , a moda MO e a mediana MD; 
c) O gráfico de colunas. 
 
 
 Média: 




112
4580
n
fx ii min 89,40
 
 Moda: a maior fi que aparece é 38, temos 
min 40MO 
 
 
 Mediana: A soma dos fi é par. Os dois termos centrais são Fi 
= 56, que pertence a classe xi = 40, e o Fi = 57, que também 
 pertence a classe xi = 40. 
 



2
4040
MD
min 40MD 
. 
 
tempo min (xi) n
o
 de alunos (f i) 
10 7 
20 10 
30 15 
40 38 
50 18 
60 24 
xi f i fr (%) Fi Fr (%) xi
 
fi 
10 7 6 7 6 70 
20 10 9 17 15 200 
30 15 13 32 29 450 
40 38 34 70 63 1520 
50 18 16 88 79 900 
60 24 21 112 100 1440 
 112 100 # # 4580 
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8) Um dado foi jogado 20 vezes, sendo obtido os seguintes pontos: X: 1 5 6 5 2 2 2 4 6 5 2 3 3 1 6 6 5 5 4 2: 
a) Faça o Rol; 
b) Faça a tabela completa da distribuição de frequência; 
c) Calcule a média aritmética , a moda MO e a mediana MD; 
d) Faça o gráfico de colunas. 
 
Rol: X: 1 1 2 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 
 
Média: 




20
75
n
fx ii pontos 75,3
 
 Modas: temos duas maiores fi = 5, portando duas modas: 
 
pontos 2M 1O 
 e 
pontos 5M 2O 
 
 
 Mediana: A soma dos fi é par. Os dois termos centrais são Fi = 10, que 
 pertence a classe xi = 4, e o Fi = 11, que também pertence a classe xi = 4. 
 



2
44
MD
pontos 4MD 
. 
 
9) Considere a distribuição das notas da P1 em Probabilidade e Estatística. Para que a tabela não fique muito grande 
vamos arredondar as notas para cima. Deste modo 1,5 é arredondado 2; 2,5 é arredondado 3 e assim por diante. 
Obtenha as notas de todos os alunos da sua sala, se necessário, arredonde para cima. 
a) Faça a tabela completa da distribuição de frequência; 
b) Calcule a média aritmética , a moda MO e a mediana MD; 
c) Faça o gráfico de colunas. 
 
nota n
o
 alunos (fi) fri (%) Fi Fri (%) xi . fi 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 # # 
 
xi f i fr (%) Fi Fr (%) xi
 
fi 
1 2 10 2 2 2 
2 5 25 7 6 10 
3 2 10 9 8 6 
4 2 10 11 10 8 
5 5 25 16 14 25 
6 4 20 20 18 24 
 20 100 # # 75