Variáveis Contínuas em Estatística

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 Probabilidade e Estatística – Aula 8 Prof.: Duarte 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
2 – Variáveis contínuas 
 
Suponha que as notas de 30 alunos em uma prova nos conduziram aos seguintes valores: 
 
X: 3 4 2,5 4 4,5 6 5 5,5 6,5 7 
 7,5 2 3,5 5 5,5 8 8,5 7,5 9 9,5 
 5 5,5 4,5 4 7,5 6,5 5 6 6,5 6 
 
Observando esses valores notamos que temos grande número de elementos distintos, o que significa que nesta 
situação a variável discreta não é aconselhável na redução de dados. 
Para casos como este é melhor dar o tratamento da variável como contínua, agrupando os dados por faixas de 
valores, por exemplo, agrupamos as notas entre 
4x2 
 numa classe só e a indicamos por 2 4. Deste modo a 
série fica com a seguinte apresentação: 
 
Classe Notas fi 
1 2  4 4 
2 4  6 12 
3 6  8 10 
4 8 10 4 
  30 
 
A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos estabelecer aproveitando a 
tabela acima. Neste caso as Notas serão o Intervalo de classe. 
 
Classe Intervalo de classe fi 
1 2  4 4 
2 4  6 12 
3 6  8 10 
4 8 10 4 
  30 
 
Amplitude Total de uma sequência é a diferença entre o maior e o menor elemento da sequência. 
 
Representando por AT a amplitude total, por Xmáx o maior elemento da sequência X e por Xmín o menor elemento da 
sequência X, então: 
mínmáx XXAT 
 
 
No exemplo, temos Xmáx = 9,5 e Xmín = 2 e, portanto AT = 9,5 – 2 = 7,5. 
 
Intervalo de classe é qualquer subdivisão da amplitude total da série estatística. 
 
Subdividimos a amplitude total em 4 classes, obtendo os intervalos de classe 2  4 , 4  6 , 6  8 e 8  10. 
Observe que na realidade não trabalhamos com a AT = 7,5, e sim com a amplitude ajustada para 8 por conveniência. 
Cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números reais: o menor valor, que é chamado limite inferior da 
classe e é indicado por I, e o maior valor, que é chamado limite superior da classe, é indicado por L. Estes números 
são os chamados limites da classe. 
No exemplo, na classe 2  4 , temos I = 2 e L = 4. 
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A amplitude do intervalo de classe é a diferença h = L – I. 
 
O número de classes, a qual chamaremos de K, depende da situação do problema e do número n de elementos da 
sequência. Tem de ser um número inteiro. 
 
Para o cálculo de K vamos utilizar a fórmula de Sturges: 
nlog3,31K 
 
 
A frequência simples de uma classe (fi) é o número de elementos da sequência que são maiores ou iguais ao limite 
inferior e menores que o limite superior dessa classe 
)LfI( iii 
. 
 
Exercício 1: 
Um teste para aferir o QI dos alunos de uma determinada turma de 70 alunos deu origem à sequência de valores: 
 
X: 111 90 121 105 122 60 128 112 128 93 
 108 138 88 110 112 112 97 128 102 125 
 87 119 104 116 96 114 107 113 80 113 
 123 95 115 70 115 101 114 127 92 103 
 78 118 100 115 116 98 119 72 125 109 
 79 139 75 109 123 124 108 125 116 83 
 94 106 117 82 122 99 124 84 91 130 
 
Usando Sturges: 
09,770log3,31K 
. O número de classes (K) tem de ser inteiro. Arredondando para cima o valor 
inteiro mais próximo é 8 mas podemos, por conveniência, construir a variável contínua com 8, 9 ou 10 classes. 
 
O maior valor da sequência é Xmáx = 139 e o menor valor da sequência é Xmín = 60 e, portanto, a amplitude total da 
sequência é AT = 139 – 60 = 79, que não é divisível nem por 8, nem por 9 e nem por 10. 
 
Por conveniência vamos ajustar Xmáx para 140. Assim ficamos com: 
 
AT
 
= 140 – 60 = 80, e podemos adotar como amplitude do intervalos 
10
8
80
K
AT
h 
 
 
Computando as frequências simples de cada classe construímos a variável contínua representativa dessa série: 
 
 Teste de QI 
 
 
 
A frequência simples relativa (fri), a frequência acumulada (Fi) e a frequência acumulada relativa (Fri) são 
definidas, como na variável discreta, em função da frequência simples f i e do número n de elementos da sequência. 
Classe Intervalo de classe fi 
1 60  70 1 
2 70  80 5 
3 80  90 6 
4 90  100 10 
5 100  110 12 
6 110  120 19 
7 120  130 14 
8 130  140 3 
  70 
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Exercício 2: Construir a distribuição de frequências para a série a seguir, que representa uma amostra dos salários 
de 25 funcionários de uma empresa: 
 
Classe Salários (R$) n
o
 funcionários (fi) 
1 1.000,00  1.200,00 2 
2 1.200,00  1.400,00 6 
3 1.400,00  1.600,00 10 
4 1.600,00  1.800,00 5 
5 1.800,00  2.000,00 2 
  25 
 
Calculando temos: 
 
Classe Salários (R$) fi (n
o
 func.) fri (%) Fi Fri (%) 
1 1.000,00  1.200,00 2 8 2 8 
2 1.200,00  1.400,00 6 24 8 32 
3 1.400,00  1.600,00 10 40 18 72 
4 1.600,00  1.800,00 5 20 23 92 
5 1.800,00  2.000,00 2 8 25 100 
  25 100 # # 
 
Lendo a classe 4 (4
a
 linha da tabela) concluímos que: 
a) Existem 5 funcionários que recebem entre R$ 1.600,00 e R$ 1.800,00 
b) Eles representam 20% do total de funcionários. 
c) Existem 23 funcionários que recebem salários menores que R$ 1.800,00, e eles representam 92% do total. 
 
O histograma correspondente é: Para construirmos o polígono de frequência 
ligamos os pontos médios das classes. 
 
 
 
 
Também na variável contínua, nós consideramos as medidas de tendência central: a média aritmética , a 
mediana MD e a moda MO. 
Para cada classe, consideramos o valor 
2
IL
x iii


, onde Li é o valor máximo da classe e Ii é o valor mínimo 
da classe. 
 
n
f.x.......f.xf.x
n
f.x
nn2211ii 
 
 
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No exercício anterior, ampliamos a tabela original para: 
 
Classe Salários (R$) fi (n
o
 funcionários) Fi xi xi.fi 
1 1.000,00  1.200,00 2 2 1.100,00 2.200,00 
2 1.200,00  1.400,00 6 8 1.300,00 7.800,00 
3 1.400,00  1.600,00 10 18 1.500,00 15.000,00 
4 1.600,00  1.800,00 5 23 1.700,00 8.500,00 
5 1.800,00  2.000,00 2 25 1.900,00 3.800,00 
  25 # # 37.300,00 
 




n
xf ii

25
00,300.37 00,492.1 R$ 
 (salário médio). 
 
Para calcular a mediana MD, primeiro achamos a classe mediana, isto é, aquela que contém o valor mediano. 
Calculamos a frequência acumulada da classe da media (FMEDIANA) dividindo n (número de dados estatísticos) por 
dois. No exemplo em questão, como n = 25, temos: 

2
25
2
n
FMEDIANA
5,12FMEDIANA 
. 
Na tabela devemos procurar a classe que contém FMEDIANA = 12,5. Observamos que está na classe 3, ou seja, na 
classe que vai de F = 9 até F = 18 e, portanto, é um valor entre R$ 1.400,00 e R$ 1.600,00. 
 
Supondo que a distribuição se dê linearmente, aplicamos a fórmula: 
MEDIANA
MEDIANA
ANTMEDIANA
MEDIANAD h
f
FF
IM 


 
 
Onde IMEDIANA é o limite inferior da classe mediana, FMEDIANA é a frequência acumulada da classe da mediana, FANT a 
frequência acumulada da classe anterior à mediana, fMEDIANA a frequência simples da mediana e hMEDIANA a 
amplitude do intervalo de classe da mediana. 
 
No exemplo em questão temos: 
IMEDIANA = I3 = 1.400,00 ; 
5,12
2
n
FMEDIANA 
 ; FANT = F2 = 8 ; fMEDIANA = f3 = 10 e hMEDIANA = h3 = 200,00. Substituindo 
na fórmula ficamos com: 


 00,200
10
85,12
00,400.1MD
 00,20045,000,400.1MD
 
 9000,400.1MD
00,490.1 R$ MD 
 (salário mediano). 
Isto significa que, aproximadamente, uma metade dos funcionários (12 funcionários) ganha abaixo desse valor e a 
outra metade dos funcionários (12 funcionários)ganha acima desse valor. 
 
A moda MO se calcula pela fórmula de Czuber: 
MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM


, onde: 
D1 = fMOD – fANT , onde fMOD é frequência modal e fANT é frequência anterior à modal. 
 
D2 = fMOD – fPOS , onde fMOD é frequência modal e fPOS é frequência posterior à modal. 
 
No exemplo temos: 
 



 200
9
4
400.1200
)510()610(
610
400.1MO
89,488.1 R$ MO 
 (salário modal). 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
3) Calcule a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição dos pontos obtidos por candidatos a um concurso. 
 
Classe Pontos fi (n
o
 de candidatos) xi (ponto médio) xi.fi Fi 
1 0  40 48 20 960 48 
2 40  80 67 60 4020 115 
3 80  120 123 100 12300 238 
4 120  160 164 140 22960 402 
5 160  200 141 180 25380 543 
6 200  240 57 220 12540 600 
  600 # 78160 # 
 




n
xf ii

600
78160 pontos 27,130
 
 300
2
600
FMEDIANA
 


 MEDIANA
MEDIANA
ANTMEDIANA
MEDIANAD h
f
FF
IM 

 40
164
238300
120MD
pontos 12,135MD 
 
 


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM 


 40
)141164()123164(
123164
120MO
pontos 63,145MO 
 
 
 
4) Em um estudo das idades do habitantes de uma cidade X obteve-se os dados abaixo. Complete a tabela e calcule 
a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição. 
 
Classe Idade fi (n
o
 de habitantes) xi fri Fi Fri xi.f i 
1 0  18 1.685 9 7,46 1685 7,46 15165 
2 18  36 4.267 27 18,88 5952 26,34 115209 
3 36  54 5.624 45 24,88 11576 51,22 253080 
4 54  72 7.166 63 31,71 18742 82,93 451458 
5 72  90 2.456 81 10,87 21198 93,80 198936 
6 90  108 1.402 99 6,20 22600 100 138798 
  22600 # 100,00 # # 1172646 
 




n
xf ii

22600
1172646 anos 89,51
 
 
 11300
2
22600
FMEDIANA 

 MEDIANA
MEDIANA
ANTMEDIANA
MEDIANAD h
f
FF
IM 

 18
5624
595211300
36MD
anos 12,53MD 
 
 


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM 


 18
)24567166()56247166(
56247166
54MO
anos 44,58MO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) A tabela abaixo mostra o levantamento de preços de artigos de uma loja. Calcule o preço médio dos artigos, o 
preço mediano e o preço modal. 
 
Classe Preços (R$) n
o
 de artigos (fi) xi Fi xi.f i 
1 250  350 18 300 18 5400 
2 350  450 24 400 42 9600 
3 450  550 16 500 58 8000 
4 550  650 31 600 89 18600 
5 650  750 35 700 124 24500 
6 750  850 28 800 152 22400 
7 850  950 10 900 162 9000 
  162 # # 97500 
 




n
xf ii

162
97500 85,601 R$
 
 81
2
162
FMEDIANA 

 MEDIANA
MEDIANA
ANTMEDIANA
MEDIANAD h
f
FF
IM 

 100
31
5881
550MD
19,624 R$MD 
 


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM 


 100
)2835()3135(
3135
650MO
36,686 R$MO 
 
 
6) Abaixo temos o levantamento da idade de um grupo de 60 funcionários de uma indústria. 
 
25 56 49 23 46 18 35 64 53 58 28 18 32 44 72 
19 25 31 24 46 48 62 54 30 20 28 32 20 50 48 
36 61 25 38 54 52 50 43 58 21 25 32 61 53 58 
18 25 31 60 25 48 62 31 44 28 26 36 42 50 40 
a) Elabore o rol; 
b) Determine o número de classes (use a fórmula de Sturges: K = 1 + 3,3 log n); 
c) Determine a amplitude das classes (h = AT/K); 
d) Faça a tabela contendo: Idade, fi , xi . fri , Fi e xi.fi; 
e) Calcule , MD e MO. 
f) Faça o Histograma e o Polígono de Frequências 
Rol 
18 18 18 19 20 20 21 23 24 25 25 25 25 25 25 
26 28 28 28 30 31 31 31 32 32 32 35 36 36 38 
40 42 43 44 44 46 46 48 48 48 49 50 50 50 52 
53 53 54 54 56 58 58 58 60 61 61 62 62 64 72 
87,660log3,31K 
; 
541872XXAT mínmáx 
; 
6
9
54
K
AT
h 
 
Classe Idade n
o
 de func. (fi) xi Fi xi.f i fri Fri 
1 18  24 8 21 8 168 13,33 13,33 
2 24  30 11 27 19 297 18,33 31,67 
3 30  36 8 33 27 264 13,33 45,00 
4 36  42 4 39 31 156 6,67 51,67 
5 42  48 6 45 37 270 10,00 61,67 
6 48  54 10 51 47 510 16,67 78,33 
7 54  60 6 57 53 342 10,00 88,33 
8 60  66 6 63 59 378 10,00 98,33 
9 66  72 1 69 60 69 1,67 100,00 
  60 # # 2454 100,00 # 
 
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



60
2454
n
xf ii anos 9,40
 
 
 30
2
60
FMEDIANA 

 MEDIANA
MEDIANA
ANTMEDIANA
MEDIANAD h
f
FF
IM 

 6
4
2730
36MD
anos 5,40MD 
 
 


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM 


 6
811()811(
811
24MO
anos 27MO 
 
 
7) O presidente de uma montadora resolveu determinar o consumo médio de um determinado modelo de automóvel. 
Para isso separou aleatoriamente 40 automóveis do modelo escolhido. Para tornar o resultado o mais real possível foi 
escolhido um percurso urbano, que seria feito entre 7 h e 8 h de segunda a sexta. O resultado do teste, em km/L está 
na tabela: 
 
km/L 8,95 9,01 9,02 9,03 9,05 9,07 9,08 9,10 9,10 9,12 
 9,13 9,15 9,16 9,17 9,18 9,18 9,19 9,19 9,20 9,20 
 9,21 9,22 9,23 9,23 9,24 9,25 9,25 9,26 9,27 9,28 
 9,29 9,30 9,33 9,34 9,35 9,35 9,42 9,42 9,43 9,44 
 
Complete a tabela abaixo. 
Determine, em km/L, a média aritmética, a mediana e a moda. 
Faça o histograma e o polígono de frequências. 
 
29,640log3,31K 
 
49,095,844,9ATXXAT mínmáx 
 
07,0
7
49,0
K
AT
h 
 
 
Classe Consumo (km/L) fi xi Fi xi.f i fri Fri 
1 8,95  9,02 2 8.985 2 17.970 5,00 5,00 
2 9,02  9,09 5 9.055 7 45.275 12,50 17,50 
3 9,09  9,16 5 9.125 12 45.625 12,50 30,00 
4 9,16  9,23 10 9.195 22 91.950 25,00 55,00 
5 9,23  9,30 9 9.265 31 83.385 22,50 77,50 
6 9,30  9,37 5 9.335 36 46.675 12,50 90,00 
7 9,37  9,44 4 9.405 40 37.620 10,00 100,00 
  40 # # 368,50 100,00 # 
 




n
xf ii

40
5,368 km/L 21,9
 
 
 20
2
40
FMEDIANA 

 MEDIANA
MEDIANA
ANTMEDIANA
MEDIANAD h
f
FF
IM 

 07,0
10
1220
16,9MD
km/L 22,9MD 
 
 


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM 


 07,0
)910()510(
510
16,9MO
km/L 21,9MO 