Função Potência
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Função Potência


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Funções potência
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 9 - p. 95
Definição: Uma função potência é da forma f\ue0a2x\ue0a3 = xn, onde n é um número real.
f\ue0a2x\ue0a3 = x2, g\ue0a2x\ue0a3 = x3, h\ue0a2x\ue0a3 = x2/3 e l\ue0a2x\ue0a3 = x\u22125 são exemplos de funções potência.
\u25cf Vamos caracterizar algumas funções potência, de acordo com seus expoentes.
\ue014 Expoente natural par. Vamos considerar as funções f\ue0a2x\ue0a3 = x2, g\ue0a2x\ue0a3 = x4 e h\ue0a2x\ue0a3 = x6 cujos
gráficos são apresentados a seguir.
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
\u22c6Para entender o comportamento dos gráficos, escolha alguns valores para x e determine os
valores correspondentes para y, em cada uma das funções.
Observe que todas têm um formato mais ou menos parecido. O domínio é R.
As imagens são sempre positivas ou, para x = 0, a imagem é zero. Isto significa que
Im\ue0a2f\ue0a3 = Im\ue0a2g\ue0a3 = Im\ue0a2h\ue0a3 = \ue0a40;+\u221e\ue0a3.
Todas &quot;decrescem&quot; para x < 0 e &quot;crescem&quot; para x > 0.
Para valores de x que são menores que \u22121 ou maiores que 1, quanto maior o expoente, maior
a imagem. Para valores de x entre \u22121 e 1, quanto maior o expoente, menor a imagem.
Essas funções são pares, pois f\ue0a2\u2212x\ue0a3 = f\ue0a2x\ue0a3, g\ue0a2\u2212x\ue0a3 = g\ue0a2x\ue0a3 e h\ue0a2\u2212x\ue0a3 = h\ue0a2x\ue0a3 para todo x do
domínio. Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação ao eixo y
(característica de funções pares).
\ue014 Expoente natural ímpar. Vamos considerar as funções f\ue0a2x\ue0a3 = x3 e g\ue0a2x\ue0a3 = x5 cujos gráficos
são apresentados a seguir.
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
x
y
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
x
y
\u22c6Para entender o comportamento dos gráficos, escolha alguns valores para x e determine os
valores correspondentes para y, em cada uma das funções.
1
Observe que elas têm um formato mais ou menos parecido. O domínio é R.
As imagens são sempre positivas para x > 0, negativas para x < 0 ou, para x = 0, a imagem é
zero. Isto significa que Im\ue0a2f\ue0a3 = Im\ue0a2g\ue0a3 = R.
As duas funções são &quot;crescentes&quot; em todo o seu domínio.
Para valores de x que são menores que \u22121 ou que estão entre 0 e 1, quanto maior o
expoente, menor o valor da imagem; para valores de x que são maiores que 1 ou que estão
entre \u22121 e 0, quanto maior o expoente, maior o valor da imagem.
Essas funções são ímpares, pois f\ue0a2\u2212x\ue0a3 = \u2212f\ue0a2x\ue0a3 e g\ue0a2\u2212x\ue0a3 = \u2212g\ue0a2x\ue0a3 para todo x do domínio.
Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação à origem (característica de
funções ímpares).
\ue014 Expoente fracionário. Considere as funções f\ue0a2x\ue0a3 = x1/2 e g\ue0a2x\ue0a3 = x1/3 cujos gráficos são
apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e
escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que toda potência de
expoente fracionário pode ser escrita como uma raiz. No caso das funções consideradas,
temos f\ue0a2x\ue0a3 = x1/2 = x e g\ue0a2x\ue0a3 = x1/3 = 3 x .
0 2 4 6 8 10
1
2
3
x
y
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
\ue014 Expoente inteiro negativo. Considere as funções f\ue0a2x\ue0a3 = x\u22122 e g\ue0a2x\ue0a3 = x\u22123 cujos gráficos são
apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e
escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que o expoente negativo
significa &quot;inverso&quot;. No caso das funções consideradas, temos f\ue0a2x\ue0a3 = x\u22122 = 1
x2
e
g\ue0a2x\ue0a3 = x\u22123 = 1
x3
.
-4 -2 2 4
1
2
3
4
5
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Obs.:
1) Observe que, nesses gráficos, surgem duas retas com a mesma característica: o gráfico
da função se aproxima muito dessas retas mas não chega a encostar nelas.
Uma delas é a reta de equação x = 0 (equação do eixo dos y). No primeiro gráfico, quanto
2
mais próximo o valor de x está de zero, tanto maior será o valor da função, além do que , para
x = 0 a função não está definida. No segundo gráfico, ocorre algo semelhante, apesar dos
sinais diferentes para valores de x menores ou maiores que zero. A reta x = 0, com essas
características, é uma assíntota vertical do gráfico das funções.
Outra é a reta de equação y = 0 (equação do eixo dos x). No primeiro gráfico e no segundo
gráfico, quanto maior (ou quanto menor) for o valor de x, mais próximo de zero estará o valor
de y. A reta y = 0, com essas características, é uma assíntota horizontal do gráfico das
funções.
Exemplos:
1) Consideremos, por exemplo, a função definida por F\ue0a2x\ue0a3 = \ue0a2x \u2212 3\ue0a3\u22122 = 1
\ue0a2x \u2212 3\ue0a32
, obtida de
f\ue0a2x\ue0a3 = x\u22122 tirando 3 unidades de x. Assim como fizemos com outras funções, também
podemos obter seu gráfico, deslocando o gráfico de f\ue0a2x\ue0a3 = x\u22122 para a direita 3 unidades. Veja
os dois gráficos no mesmo sistema de eixos.
-4 -2 2 4 6 8
1
2
3
4
5
x
y
No caso, a assíntota horizontal continua sendo a reta y = 0, porém, a assíntota vertical é a
reta x = 3.
2) Consideremos a função G\ue0a2x\ue0a3 = \ue0a2x + 1\ue0a3\u22123 \u2212 2 = 1
\ue0a2x + 1\ue0a33
\u2212 2, obtida de g\ue0a2x\ue0a3 = x\u22123 somando 1
unidade a x e tirando 2 unidades de y. Portanto, podemos obter o gráfico da G, deslocando o
gráfico da g para a esquerda 1 unidade e, em seguida, descendo 2 unidades. Veja os gráficos
da g (com linha descontínua) e o gráfico da G (com linha contínua) no mesmo sitema de
eixos.
-6 -4 -2 2 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
No caso, a assíntota horizontal passa a ser a reta y = \u22122, e a assíntota vertical é a reta
x = \u22121.
Importante: Funções obtidas de funções potências através da multiplicação ou da divisão por
3
uma constante.
1) Consideremos as funções f\ue0a2x\ue0a3 = x3 e g\ue0a2x\ue0a3 = 2x3. Obtemos o gráfico da g simplesmente
multiplicando as imagens da f por 2. Veja no sistema abaixo os gráficos da f e da g. Saliente o
gráfico da g com caneta azul.
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2) Consideremos as funções f\ue0a2x\ue0a3 = x3 e g\ue0a2x\ue0a3 = 12 x3. Obtemos o gráfico da g simplesmente
dividindo as imagens da f por 2. É bom observar que g\ue0a2x\ue0a3 = 12 x
3 = x
3
2 . Veja no sistema
abaixo os gráficos da f e da g. Saliente o gráfico da g com caneta azul.
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
3) Considere a função f\ue0a2x\ue0a3 = x2/3 cujo gráfico é apresentado a seguir. Sobre ele, construa o
gráfico de g\ue0a2x\ue0a3 = \u22122x2/3. Observe que f\ue0a2x\ue0a3 = x2/3 = 3 x2 e que g\ue0a2x\ue0a3 = \u22122f\ue0a2x\ue0a3.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
Exercícios:
1) Considere a função f\ue0a2x\ue0a3 = x3 representada no gráfico abaixo, que é uma função ímpar
(f\ue0a2\u2212x\ue0a3 = \u2212f\ue0a2x\ue0a3), com D\ue0a2f\ue0a3 = R. Construa, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções
dadas a seguir e cite as transformações efetuadas, comparando cada um com o gráfico da f.
(a) f1\ue0a2x\ue0a3 = \ue0a2x \u2212 3\ue0a33 (b) f2\ue0a2x\ue0a3 = \ue0a2x + 2\ue0a33 (c) f3\ue0a2x\ue0a3 = x3 + 4 (d) f4\ue0a2x\ue0a3 = x3 \u2212 3
4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2) Considere novamente a função f\ue0a2x\ue0a3 = x3 representada no gráfico abaixo. Construa, no
mesmo sistema de eixos, o gráfico da função g\ue0a2x\ue0a3 = \ue0a2x \u2212 2\ue0a33 + 3 e cite as transformações
efetuadas, comparando com o gráfico da f.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3) Considere novamente a função f\ue0a2x\ue0a3 = x1/3 = 3 x representada no gráfico abaixo. Construa,
no mesmo sistema de eixos, o gráfico da função g\ue0a2x\ue0a3 = \u2212 13 3 x e cite as transformações
efetuadas, comparando com o gráfico da f.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
y
4) Construa no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções dadas em cada caso.
Também, identifique as assíntotas horizontais e verticais, apresentando suas equações.
a) f\ue0a2x\ue0a3 = x\u22122 e g\ue0a2x\ue0a3 = \ue0a2x + 3\ue0a3\u22122
b) f\ue0a2x\ue0a3 = x\u22122 e h\ue0a2x\ue0a3 = x\u22122 + 3
5