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Funções potência DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 9 - p. 95 Definição: Uma função potência é da forma fx = xn, onde n é um número real. fx = x2, gx = x3, hx = x2/3 e lx = x−5 são exemplos de funções potência. ● Vamos caracterizar algumas funções potência, de acordo com seus expoentes. Expoente natural par. Vamos considerar as funções fx = x2, gx = x4 e hx = x6 cujos gráficos são apresentados a seguir. -3 -2 -1 1 2 3 2 4 6 8 x y -3 -2 -1 1 2 3 2 4 6 8 x y -3 -2 -1 1 2 3 2 4 6 8 x y ⋆Para entender o comportamento dos gráficos, escolha alguns valores para x e determine os valores correspondentes para y, em cada uma das funções. Observe que todas têm um formato mais ou menos parecido. O domínio é R. As imagens são sempre positivas ou, para x = 0, a imagem é zero. Isto significa que Imf = Img = Imh = 0;+∞. Todas "decrescem" para x < 0 e "crescem" para x > 0. Para valores de x que são menores que −1 ou maiores que 1, quanto maior o expoente, maior a imagem. Para valores de x entre −1 e 1, quanto maior o expoente, menor a imagem. Essas funções são pares, pois f−x = fx, g−x = gx e h−x = hx para todo x do domínio. Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação ao eixo y (característica de funções pares). Expoente natural ímpar. Vamos considerar as funções fx = x3 e gx = x5 cujos gráficos são apresentados a seguir. -2 -1 1 2 -4 -2 2 4 x y -2 -1 1 2 -4 -2 2 4 x y ⋆Para entender o comportamento dos gráficos, escolha alguns valores para x e determine os valores correspondentes para y, em cada uma das funções. 1 Observe que elas têm um formato mais ou menos parecido. O domínio é R. As imagens são sempre positivas para x > 0, negativas para x < 0 ou, para x = 0, a imagem é zero. Isto significa que Imf = Img = R. As duas funções são "crescentes" em todo o seu domínio. Para valores de x que são menores que −1 ou que estão entre 0 e 1, quanto maior o expoente, menor o valor da imagem; para valores de x que são maiores que 1 ou que estão entre −1 e 0, quanto maior o expoente, maior o valor da imagem. Essas funções são ímpares, pois f−x = −fx e g−x = −gx para todo x do domínio. Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação à origem (característica de funções ímpares). Expoente fracionário. Considere as funções fx = x1/2 e gx = x1/3 cujos gráficos são apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que toda potência de expoente fracionário pode ser escrita como uma raiz. No caso das funções consideradas, temos fx = x1/2 = x e gx = x1/3 = 3 x . 0 2 4 6 8 10 1 2 3 x y -4 -2 2 4 -3 -2 -1 1 2 3 x y Expoente inteiro negativo. Considere as funções fx = x−2 e gx = x−3 cujos gráficos são apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que o expoente negativo significa "inverso". No caso das funções consideradas, temos fx = x−2 = 1 x2 e gx = x−3 = 1 x3 . -4 -2 2 4 1 2 3 4 5 x y -3 -2 -1 1 2 3 -4 -2 2 4 x y Obs.: 1) Observe que, nesses gráficos, surgem duas retas com a mesma característica: o gráfico da função se aproxima muito dessas retas mas não chega a encostar nelas. Uma delas é a reta de equação x = 0 (equação do eixo dos y). No primeiro gráfico, quanto 2 mais próximo o valor de x está de zero, tanto maior será o valor da função, além do que , para x = 0 a função não está definida. No segundo gráfico, ocorre algo semelhante, apesar dos sinais diferentes para valores de x menores ou maiores que zero. A reta x = 0, com essas características, é uma assíntota vertical do gráfico das funções. Outra é a reta de equação y = 0 (equação do eixo dos x). No primeiro gráfico e no segundo gráfico, quanto maior (ou quanto menor) for o valor de x, mais próximo de zero estará o valor de y. A reta y = 0, com essas características, é uma assíntota horizontal do gráfico das funções. Exemplos: 1) Consideremos, por exemplo, a função definida por Fx = x − 3−2 = 1 x − 32 , obtida de fx = x−2 tirando 3 unidades de x. Assim como fizemos com outras funções, também podemos obter seu gráfico, deslocando o gráfico de fx = x−2 para a direita 3 unidades. Veja os dois gráficos no mesmo sistema de eixos. -4 -2 2 4 6 8 1 2 3 4 5 x y No caso, a assíntota horizontal continua sendo a reta y = 0, porém, a assíntota vertical é a reta x = 3. 2) Consideremos a função Gx = x + 1−3 − 2 = 1 x + 13 − 2, obtida de gx = x−3 somando 1 unidade a x e tirando 2 unidades de y. Portanto, podemos obter o gráfico da G, deslocando o gráfico da g para a esquerda 1 unidade e, em seguida, descendo 2 unidades. Veja os gráficos da g (com linha descontínua) e o gráfico da G (com linha contínua) no mesmo sitema de eixos. -6 -4 -2 2 4 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y No caso, a assíntota horizontal passa a ser a reta y = −2, e a assíntota vertical é a reta x = −1. Importante: Funções obtidas de funções potências através da multiplicação ou da divisão por 3 uma constante. 1) Consideremos as funções fx = x3 e gx = 2x3. Obtemos o gráfico da g simplesmente multiplicando as imagens da f por 2. Veja no sistema abaixo os gráficos da f e da g. Saliente o gráfico da g com caneta azul. -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 2) Consideremos as funções fx = x3 e gx = 12 x3. Obtemos o gráfico da g simplesmente dividindo as imagens da f por 2. É bom observar que gx = 12 x 3 = x 3 2 . Veja no sistema abaixo os gráficos da f e da g. Saliente o gráfico da g com caneta azul. -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 3) Considere a função fx = x2/3 cujo gráfico é apresentado a seguir. Sobre ele, construa o gráfico de gx = −2x2/3. Observe que fx = x2/3 = 3 x2 e que gx = −2fx. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 x y Exercícios: 1) Considere a função fx = x3 representada no gráfico abaixo, que é uma função ímpar (f−x = −fx), com Df = R. Construa, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções dadas a seguir e cite as transformações efetuadas, comparando cada um com o gráfico da f. (a) f1x = x − 33 (b) f2x = x + 23 (c) f3x = x3 + 4 (d) f4x = x3 − 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 2) Considere novamente a função fx = x3 representada no gráfico abaixo. Construa, no mesmo sistema de eixos, o gráfico da função gx = x − 23 + 3 e cite as transformações efetuadas, comparando com o gráfico da f. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 3) Considere novamente a função fx = x1/3 = 3 x representada no gráfico abaixo. Construa, no mesmo sistema de eixos, o gráfico da função gx = − 13 3 x e cite as transformações efetuadas, comparando com o gráfico da f. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x y 4) Construa no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções dadas em cada caso. Também, identifique as assíntotas horizontais e verticais, apresentando suas equações. a) fx = x−2 e gx = x + 3−2 b) fx = x−2 e hx = x−2 + 3 5
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